Fórmulas de Geometria Plana

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Fórmulas para vocês estudarem e não irem mal na prova 
Distância entre dois pontos: 
 
 
Exemplo fácil: 
Determine a distância entre os 
pontos A e B, sendo: A (-2,-4) e 
B(3,5) 
dAB = √(−𝟐 − 𝟑)𝟐 + (−𝟒 − 𝟓)𝟐 
dAB = √𝟐𝟓 + 𝟖𝟏 
dAB = √𝟏𝟎𝟔 
 
Exemplo mais elaborado: 
 No plano cartesiano, foi construído um triângulo ABC tal 
que A(2,2), B(5,4) e C(3,6). Determine o perímetro desse 
triângulo: 
dAB = √(𝟐 − 𝟓)𝟐 + (𝟐 − 𝟒)𝟐 ---- dAB = √𝟏𝟑 
dAC = √(𝟐 − 𝟑)𝟐 + (𝟐 − 𝟔)𝟐 ---- dAB = √𝟏𝟕 
dBC = √(𝟓 − 𝟑)𝟐 + (𝟒 − 𝟔)𝟐 ---- dAB = 𝟐√𝟐 
P = √𝟏𝟑+√𝟏𝟕+ 𝟐√𝟐 = 10,56 
 
 
Ponto Médio: 
Exemplo fácil: Determine as coordenadas do ponto médio M do segmento AB, sendo A(3,7) 
e B(-5,9): 
Xm = 
𝟑+(−𝟓)
𝟐
= −𝟏 Ym = 
𝟕+𝟗
𝟐
= 𝟖 
Exemplo elaborado: M é o ponto médio do segmento de extremos A(4,0) e B(0,-2). A 
medida da distância de M ao ponto P(-1,3), em unidades de comprimento é: 
1º calcular o ponto médio: 
Xm = 
𝟒+𝟎)
𝟐
= 𝟐 Ym = 
𝟎+(−𝟐)
𝟐
= −𝟏 
2º calcular a distância: 
dAB = √(𝟐 + 𝟏)𝟐 + (−𝟏 − 𝟑)𝟐 
dAB = √𝟗 + 𝟏𝟔 ----- dAB = √𝟐𝟓 = 𝟓 
 
 Baricentro (Ponto G do triângulo): Xg = 
𝑿𝒂+𝑿𝒃+𝑿𝒄
𝟑
 Yg = 
𝒀𝒂+𝒀𝒃+𝒀𝒄
𝟑
 
Exemplo: Determine as coordenadas do baricentro do triângulo de vértices nos pontos A(-
3,5), B(4,8) e C(2,5). 
Xg = 
−𝟑+𝟒+𝟐
𝟑
= 𝟏 Yg = 
𝟓+𝟖+𝟓
𝟑
= 𝟔 
 
 
Equação geral da reta : ax+by+c [
𝑿 𝑿𝒂
𝒀 𝒀𝒂
 
𝑿𝒃 𝑿
𝒀𝒃 𝒀
 ] = 𝟎 
Exemplo simples: Obtenha a equação da reta que passa pelos pontos A e B em A(3,4) e 
B(5,9): 
[
𝑿 𝟑
𝒀 𝟒
 
𝟓 𝑿
𝟗 𝒀
 ] = 4x+27+5y-3y-20-9x = 0  -5x+2y+7 = 0 
Exemplo elaborado: O ponto de intersecção entre a reta que passa por (4,4) e (2,5) e a reta 
que passa por (2,7) e (4,3) é: 
1º Encontrar as equações de reta: 
[
𝑿 𝟒
𝒀 𝟒
 
𝟐 𝑿
𝟓 𝒀
 ] = 𝟒𝒙 + 𝟐𝟎 + 𝟐𝒚 − 𝟒𝒚 − 𝟖 − 𝟓𝒙 = 𝟎 → −𝒙 − 𝟐𝒚 + 𝟏𝟐 = 𝟎 
[
𝑿 𝟐
𝒀 𝟕
 
𝟒 𝑿
𝟑 𝒀
 ] = 𝟕𝒙 + 𝟔 + 𝟒𝒚 − 𝟐𝒚 − 𝟐𝟖 − 𝟑𝒙 = 𝟎 → 𝟒𝒙 + 𝟐𝒚 − 𝟐𝟐 = 𝟎 
2º Resolver o sistema de equações: 
{
−𝒙 − 𝟐𝒚 + 𝟏𝟐 = 𝟎
𝟒𝒙 + 𝟐𝒚 − 𝟐𝟐 = 𝟎
 → 𝟑𝒙 − 𝟏𝟎 = 𝟎 → 𝒙 = 𝟏𝟎/𝟑 
Substituir o “x” na primeira equação: 
−𝒙 − 𝟐𝒚 + 𝟏𝟐 = 𝟎 → −
𝟏𝟎
𝟑
− 𝟐𝒚 + 𝟏𝟐 = 𝟎 → −𝟏𝟎𝒙 − 𝟔𝒚 + 𝟑𝟔 = 𝟎 → 𝟔𝒚 = 𝟐𝟔 
→ 𝒚 =
𝟏𝟑
𝟑
 
 
 
 
 
 
 
Equação reduzida da reta (isolar o y) : y=ax+b 
Exemplo: 2x+3y-1=0 
3y= -2x+1  y = 
−𝟐𝒙+𝟏
𝟑
 
 a = coeficiente angular da reta 
b = coeficiente linear 
 ambos usados quando eu não tenho coordenadas, apenas a equação reduzida da reta. 
 - Usado quando eu tenho apenas as coordenadas. 
 
 
Exemplo: Dados os pontos A e B, em cada item a seguir, determine o coeficiente 
angular da reta que passa por esse ponto. A(4,-3) e B(2,-14). 
𝒎 =
−𝟏𝟒 − (−𝟑)
𝟐 − 𝟒
→ 𝒎 = 
−𝟏𝟏
−𝟐
→ 𝒎 =
𝟏𝟏
𝟐
 
Exemplo: Determine o coeficiente angular e o coeficiente linear das retas cuja 
equação é: 9x-2y-1=0 
1º Escrever a equação reduzida (isolar o y): 
9x-2y-1=0  -2y=-9x+1 (x-1)  2y=9x-1  y = 
𝟗𝒙−𝟏
𝟐
 
Coeficiente angular: 9x/2 coeficiente linear: -1/2 
Equação do feixe de retas: 𝒚 − 𝒚𝒐 = 𝒎. (𝒙 − 𝒙𝒐) 
Usada para encontrar a equação reduzida quando temos apenas uma coordenada e o 
coeficiente angular. 
Exemplo: Obtenha a equação reduzida da reta que passa pelo ponto A(2,5) e tem 
inclinação de 60º com eixo x. 
 𝒚 − 𝒚𝒐 = 𝒎. (𝒙 − 𝒙𝒐) → 𝒚 − 𝟓 = 𝒕𝒈𝟔𝟎. (𝒙 − 𝟐) → 𝒚 − 𝟓 = √𝟑 . (𝒙 − 𝟐) → 
𝒚 = √𝟑𝒙 − 𝟐√𝟑 + 𝟓 
 
Ângulo entre retas: 𝒎 = 
𝒎𝒓−𝒎𝒔
𝟏+𝒎𝒓.𝒎𝒔
 
Exemplo: Determine a medida do menor ângulo formado pelas retas r e s, de equações: 
r: 𝟑√𝟑𝒙 − 𝟗𝒚 + 𝟓 = 𝟎 s: 5√𝟑𝒙 − 𝟓𝒚 + 𝟏 = 𝟎 
1º Escrever a equação na forma reduzida(isolar o y): 
−𝟗𝒚 = −𝟑√𝟑𝒙 − 𝟓𝒚 → 𝒚 =
√𝟑𝒙
𝟑
+
𝟓
𝟗
 
−𝟓𝒚 = −𝟓√𝟑𝒙 − 𝟏 → 𝒚 = √𝟑𝒙 +
𝟏
𝟓
 
2º Determinar o coeficiente angular de cada reta: 
Reta r = mr = 
√𝟑
𝟑
 Reta s = ms = √𝟑 
3º Substituir na fórmula do ângulo entre retas: 
 𝒕𝒈 (𝒕𝒆𝒕𝒉𝒂) = 
√𝟑
𝟑
−√𝟑
𝟏+
√𝟑
𝟑
 .√𝟑
  𝒕𝒈(𝒕𝒆𝒕𝒉𝒂) = 
−𝟐√𝟑
𝟑
𝟐
= 𝒕𝒈(𝒕𝒉𝒆𝒕𝒂) =
√𝟑
𝟑
 
 
 
Paralelismo e perpendicularidade entre retas: 
Paralelismo: mr = ms 
Perpendicularidade: ms = −
𝟏
𝒎𝒓
 
Distância entre ponto e reta: 
Exemplo: Considere uma reta r de equação 3x – 4y + 5 = 0. Calcule a distância do ponto A à reta r, 
sendo: A(2,-2). 
D = 
𝒂𝑿𝒐+𝒃𝒀𝒐+𝒄
√𝒂²+𝒃²
= → 𝑫 = 
𝟑.𝟐−𝟒.(−𝟐)+𝟓
√𝟑²+(−𝟒)²
= → 𝑫 =
𝟏𝟗
𝟓