Livro didático

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UnisulVirtual
Palhoça, 2016
Universidade do Sul de Santa Catarina
Noções de 
Álgebra Linear
Créditos
Universidade do Sul de Santa Catarina – Unisul
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Livro didático
UnisulVirtual
Palhoça, 2016
Designer instrucional
Rafael da Cunha Lara
Noções de 
Álgebra Linear
Kelen Regina Salles Silva
Christian Wagner
Livro Didático
Ficha catalográfica elaborada pela Biblioteca Universitária da Unisul
Copyright © 
UnisulVirtual 2016
Professor conteudista
Kelen Regina Salles Silva
Christian Wagner
Designer instrucional
Rafael da Cunha Lara
Projeto gráfico e capa
Equipe UnisulVirtual
Diagramador(a)
Fernanda Fernandes
Revisor(a)
Contextuar
ISBN
978-85-7817-948-9
e-ISBN
978-85-7817-947-2
Nenhuma parte desta publicação pode ser reproduzida por 
qualquer meio sem a prévia autorização desta instituição.
S58
Silva, Kelen Regina Salles
Noções de álgebra linear : livro didático / Kelen Regina Salles Silva, 
Christian Wagner ; design instrucional Rafael da Cunha Lara. – Palhoça : 
UnisulVirtual, 2016.
194 p. : il. ; 28 cm.
Inclui bibliografia.
ISBN 978-85-7817-948-9
e-ISBN 978-85-7817-947-2
1. Álgebra linear. 2. Equações lineares. I. Wagner, Christian. II. Lara, 
Rafael da Cunha. III. Título.
CDD (21. ed.) 512.5
Sumário
Introdução | 7
Capítulo 1
Sistemas de equações lineares | 9
Capítulo 2
Espaço vetorial | 67
Capítulo 3
Transformações lineares | 111
Capítulo 4
Autovalores e autovetores | 171
Considerações Finais | 189
Referências | 191
Sobre os Professores Conteudistas | 193
Introdução
Este livro contém a base da Álgebra Linear, um ramo da matemática que estuda 
sistemas de equações lineares e conceitos fundamentais para a compreensão 
da construção de novas estruturas matemáticas. No seu desenvolvimento, 
procuramos em cada tópico e em cada exemplo o detalhamento completo, 
passo a passo, mostrando sempre as propriedades e os conceitos utilizados, 
sendo que as tabelas e ilustrações sem indicação de fonte foram elaboradas 
pelos autores. Nosso objetivo é proporcionar ao aluno uma leitura independente, 
intercalando com a exposição dos exemplos e realizando os exercícios expostos 
nas atividades de autoavaliação. 
O capítulo 1 apresenta estudos de sistemas de equações lineares, de ordem 
superior a 2, mostrando métodos tradicionais de resolução e algumas aplicações. 
No capítulo 2, você terá contato com uma matemática mais teórica e abstrata, 
conhecerá o conceito de espaço vetorial, fundamental para o estudo da álgebra. 
No capítulo 3, estudará um tipo específico de aplicação entre espaços vetoriais 
e suas características, são as chamadas transformações lineares. E finalmente, 
no capítulo 4, você conhecerá tipos especiais de transformações lineares que 
associam elementos a múltiplos deles próprios.
A sequência apresentada segue uma linha de raciocínio que relaciona um capítulo 
ao capítulo anterior, assim, o pleno aproveitamento da disciplina depende dos 
estudos detalhados e da cronologia apresentada. 
Lembre-se: tenha sempre uma caneta e um papel à mão: não podemos ler um livro 
de matemática, principalmente de Álgebra Linear, como se fosse uma revista. É 
necessário para um bom entendimento que você mesmo reescreva as definições 
e propriedades com suas palavras e refaça os exemplos sempre que necessário 
– às vezes uma representação gráfica ajuda, ou mesmo a tecnologia. Não deixe 
de realizar todos os exercícios propostos nas atividades de autoavaliação, assim 
temos certeza de que você concluirá a disciplina com sucesso.
Nós, autores e professores, estamos à disposição para atendê-lo da melhor 
maneira possível, por isso não deixe de interagir através das ferramentas 
disponíveis no ambiente virtual. Socialize seu conhecimento com seu professor e 
com seus colegas e façamos assim uma grande rede de aprendizagem e troca de 
informações. O sucesso só aparece depois do trabalho.
Então, mãos à obra e bons estudos.
Profº Christian Wagner, Msc Profª Kelen R.S. Silva, Msc
9
Capítulo 1
Sistemas de equações lineares
Seção 1
Introdução
Com o estudo deste capítulo, procuramos contribuir para que o estudante 
desenvolva habilidades no sentido de: definir equações lineares; solucionar 
equações lineares e sistema de equações lineares; associar sistemas a matrizes; 
realizar operações elementares com linhas de matrizes associadas a sistemas 
para obter sistemas equivalentes; transformar uma matriz relacionada a um 
sistema em uma matriz na forma escalonada; aplicar o método de eliminação 
de Gauss e o método de Gauss-Jordan para resolver sistemas lineares; calcular 
inversa de matriz para resolver sistemas lineares; estudar aplicações de sistemas 
de equações lineares.
Sistemas de equações lineares são largamente utilizados na representação de 
modelos matemáticos de sistemas reais e podem aparecer nas mais variadas 
áreas de conhecimento. Dentre elas, áreas como: administração, economia, 
sociologia, ecologia, demografia, genética, eletrônica, engenharias e física. 
10
Capítulo 1 
Neste capítulo, iremos estudar os principais métodos analíticos para resolução 
de sistemas de equações lineares. Métodos clássicos, cujos algoritmos são 
utilizados para determinar a solução de sistemas, caso esta exista, além de 
permitir a análise dos sistemas analiticamente. 
Veremos, também, que essa análise geralmente é realizada utilizando matrizes 
associadas ao sistema. Com isso, iremos também aprofundar o estudo das matrizes. 
1.1 Uma aplicação clássica – Dieta de Cambridge
A busca para uma vida saudável vem sendo estudada há algum tempo. Na 
década de 1980, uma equipe de cientistas da Universidade de Cambridge, 
chefiada pelo Dr. Alan H. Howard, desenvolveu uma dieta com base em mais de 
oito anos de trabalho clínico com pessoas obesas. 
A ideia era equilibrar uma alimentação consumindo poucas calorias conciliada 
a uma combinação precisa e equilibrada de carboidratos, proteínas de alta 
qualidade, gordura, juntamente com vitaminas e minerais considerados 
elementos traços e eletrólitos. 
Veja um exemplo em que são tabelados três dos ingredientes da dieta, 
juntamente com as quantidades de determinados nutrientes (proteína, carboidrato 
e gordura) obtidos a partir de 100 gramas de cada ingrediente (leite desnatado, 
farinha de soja e soro de leite).
Quadro 1.1 – Dieta de Cambridge
Quantidades (em gramas) Fornecidas por 
100g de Ingrediente Quantidade 
Fornecida pela 
Dieta de Cambridge 
em um dia (g)
Nutriente
(gramas)
Leite 
desnatado
Farinha de 
soja Soro de leite
Proteína 36 5113 33
Carboidrato 52 34 74 45
Gordura 0 7 1,1 3
Fonte: Elaboração dos autores (2015).
Determine as quantidades de leite desnatado, farinha de soja e soro de leite 
necessárias para fornecer as quantidades precisas de proteínas, carboidratos e 
gorduras da Dieta de Cambridge.
Esse problema pode ser representado na forma de equações lineares.
11
Noções de Álgebra Linear
Sejam as variáveis:
LD: a quantidade de leite a ser consumida diariamente 
FS: a quantidade de farinha de soja a ser consumida diariamente 
SL: a quantidade de soro de leite a ser consumida diariamente 
Podemos escrever o seguinte sistema de equações lineares:
 
Cuja solução é:
LD = 0,277 
FS = 0,392 
SL = 0,233 
Ou seja, o consumo deve ser de aproximadamente 0,277 unidades de leite 
desnatado, 0,392 de farinha de soja e 0,233 de soro de leite.
Esta é apenas uma ilustração da dieta, pois na íntegra a Dieta de Cambridge 
conseguiu fornecer 31 nutrientes, em quantidades precisas, usando 31 ingredientes.
Na Seção 7 deste capítulo, você verá a resolução do sistema que resultou na 
solução encontrada.
12
Capítulo 1 
Seção 2
Equações lineares
Inicialmente, vamos retomar a definição de equação linear e solução de equação 
linear. Uma equação linear é uma equação que pode ser colocada na forma padrão:
Definição 1.1: uma equação linear é uma equação representada na forma padrão: 
 
Em que: x1, x2 , x3 , ... , xn são as incógnitas ou variáveis
 a1, a2 , a3 , ... , an são números reais chamados coeficientes
 b é um número real chamado termo independente.
Exemplo 1.1: equações lineares e não lineares.
(a) A equação é uma equação linear com duas variáveis x e y.
(b) A equação é uma equação linear com quatro 
variáveis .
(c) A equação não é uma equação linear, pois não pode 
ser escrita na forma padrão, pois apresenta o termo .
(d) A equação também não é uma equação linear, 
apresenta o termo , o que impede a colocação na forma padrão.
Definição 1.2: uma solução de uma equação linear, com incógnitas, é um 
conjunto de valores das incógnitas que satisfazem a equação. Esses valores 
são denominados raízes da equação linear e podem ser representados por uma 
n-upla ordenada de números reais que verifica a igualdade de 
 , ou seja 
 
Exemplo 1.2: a equação tem uma solução dada pelo par ordenado (0, 2), 
pois 2 ( 0 ) + 2 = 2 . 
Contudo, o par (1, 3) não é solução da equação, pois 2 ( 1 ) + 3 = 5 ≠ 2.
13
Noções de Álgebra Linear
Exemplo 1.3: a equação tem uma solução ( 3, 2, 1, 0 ), mas 
( 1, 2, 4, 5 ) não é solução da equação linear.
Como encontrar soluções de uma equação linear? 
 • Uma equação linear , com uma incógnita x, e coeficientes 
a e b , pode apresentar como solução uma das três 
possibilidades:
(i) se , a equação possui solução única ;
(ii) se , mas , a equação não tem solução;
(iii) se e , a equação apresenta infinitas soluções.
 • Uma solução de uma equação linear , 
com incógnitas, coeficientes , não todos nulos e b um 
número real, pode ser obtida isolando uma das incógnitas (com 
coeficiente diferente de zero) e substituindo quaisquer valores para 
as demais incógnitas, chamadas agora de variáveis livres.
 • Uma equação linear, com incógnitas na forma 
 é chamada de equação degenerada.
Teorema 1.1: uma equação degenerada , com 
incógnitas e b um número real: 
(i) não tem solução, se ;
(ii) tem infinitas soluções, se .
Demonstração: dada a equação degenerada , e 
 sendo uma n-upla ordenada qualquer de números reais:
(i) Se , supõe-se que s é solução da equação, ou seja:
 
 
 , que é um absurdo, já que por hipótese . 
Logo, nenhuma n-upla ordenada é solução da equação acima.
14
Capítulo 1 
(ii) Se , supondo-se novamente que s é solução da equação:
 
 
 , ou seja, qualquer n-upla ordenada é solução da equação.
Logo, a equação admite infinitas soluções.
Exemplo 1.4: a equação tem uma solução:
 
 
(Somente esse valor de x satisfaz a equação).
Exemplo 1.5: a equação não tem solução, pois:
 
(Observe que não existe x tal que a igualdade seja verdadeira).
Exemplo 1.6: A equação tem infinitas soluções, pois:
 
(Observe que para qualquer valor de x , a igualdade é satisfeita).
Exemplo 1.7: A equação , tem infinitas soluções, pois, se isolarmos uma 
das incógnitas, obtemos duas variáveis livres que podem assumir quaisquer valores. 
 
15
Noções de Álgebra Linear
Por exemplo:
 • fazendo e , a equação tem como solução a tripla ordenada 
 ;
 • fazendo e , a equação tem como solução a tripla 
ordenada .
Exemplo 1.8: A equação admite infinitas soluções, 
pois:
 .
2.1 Atividades de autoavaliação
1. Determine quais das equações abaixo são equações lineares, justifique e 
indique as variáveis.
a) .
b) .
c) .
d) .
2. Determine uma solução para a equação linear .
3. Determine o valor de m para que (1, 0, 2) seja solução da equação 
 .
16
Capítulo 1 
Seção 3
Sistemas de Equações Lineares 
O estudo de Sistemas de Equações Lineares tem importante destaque na Álgebra 
Linear, os problemas envolvendo sistemas aplicam-se, além da matemática a 
diversas áreas do conhecimento humano. 
Muitas técnicas para resolver sistemas de equações lineares têm sido aplicadas 
e atualizadas ao longo dos anos. Tais atualizações decorrem do avanço da 
informática e do desenvolvimento de diversos softwares que são capazes de 
realizar um grande número de operações algébricas com enorme rapidez. Esses 
softwares trabalham com a representação matricial do sistema. Nesta seção, 
veremos a relação entre sistemas e matrizes. 
Definição 1.3: um Sistema de m Equações Lineares e n incógnitas é um conjunto 
finito de equações lineares representado na forma padrão: 
 
Em que x1 , x2 , x3 , ... , xn são incógnitas ou variáveis: 
aij com i ∈ { 1, 2, ... , m } e j ∈ { 1, 2, ..., n } são os coeficientes das incógnitas; 
b1 , b2 , b3 , ... , bm são os termos independentes.
As variáveis podem ser representadas por outras letras do alfabeto: x, y, z, w, t,... 
ou a, b, c, d,... 
3.1 Representação matricial de sistemas de equações lineares
Realizar operações com matrizes é uma forma de fazer operações com vários 
números simultaneamente. Um sistema que envolve várias equações lineares pode 
ser escrito como uma única equação matricial e facilitar assim sua resolução.
Se você observar bem, verá que podemos representar o sistema S da definição 
1.3 por meio de matrizes. Ou seja:
 = 
17
Noções de Álgebra Linear
Essas matrizes recebem nomes especiais, conforme apresentadas a seguir. 
1 – Matriz de coeficientes: matriz cujos elementos são os coeficientes das 
incógnitas
 
2 – Matriz (Vetor) das incógnitas: é a matriz coluna cujos elementos são as 
incógnitas do sistema.
 
3 – Matriz (Vetor) dos termos independentes: é a matriz coluna cujos elementos 
são os termos independentes do sistema.
 
4 – Matriz aumentada (ou ampliada): cujos elementos são os coeficientes das 
incógnitas e os termos independentes. Neste caso, a matriz será composta pelo 
mesmo número de linhas da matriz dos coeficientes, porém terá uma coluna a mais.
 
Se chamarmos: 
C = matriz dos coeficientes;
X = vetor das incógnitas;
B = vetor de termos independentes.
Um sistema de equações lineares pode ser representado na notação matricial CX = B,
18
Capítulo 1 
Quando todos os elementos do vetor de termos independentes do sistema 
linear forem iguais a zero, o sistema é dito homogêneo. 
 
Logo, sua representação é: 
 .
Exemplo 1.9: Represente o sistema na forma matricial:
Matriz dos Coeficientes: Matriz aumentada: 
Vetor das Incógnitas: Vetor dos termos independentes: 
Representação matricial: CX = B
 =Exemplo 1.10: o Sistema: tem a representação matricial: 
 = .
Exemplo 1.11: o Sistema homogêneo: 
pode ser representado matricialmente por: 
 .
19
Noções de Álgebra Linear
3.2 Solução de sistemas de equações lineares
Definição 1.4: solução de um Sistema de Equações Lineares é um conjunto 
de valores das incógnitas ou variáveis que satisfazem simultaneamente todas 
as equações do sistema. Ou seja, dado um sistema com m equações lineares 
e n incógnitas representado na forma padrão, a n-upla ordenada (α1, α2, ..., αn) é 
solução se:
 .
Ou ainda, se chamarmos essa n-upla de vetor solução e a representarmos como 
uma matriz coluna, ao substituirmos o vetor de incógnitas pelo vetor solução, 
teremos que o produto da matriz dos coeficientes pelo vetor solução é igual ao 
vetor de termos independentes, isto é:
 = .
Os valores da n-upla também podem ser chamados de raízes do sistema de 
equações lineares.
Um sistema de equações lineares pode admitir uma solução, mais de uma 
solução ou pode não admitir solução.
Definição 1.5: um sistema de Equações Lineares pode ser:
(i) possível ou compatível e determinado: se admite solução única;
(ii) possível ou compatível e indeterminado: se admite infinitas 
soluções;
(iii) impossível ou incompatível: se não tem solução.
20
Capítulo 1 
Exemplo 1.12: Dado o sistema . 
Observe que a primeira equação de S1 possui entre suas soluções os pares 
ordenados:
( - 1, 7) , ( 0, 5) , ( 1, 3 ). 
A segunda equação admite, entre as suas soluções, os pares (5, 7), (2, 4), (1, 3).
Note que o par (1, 3) satisfaz as duas equações do sistema S1, então ele é uma 
solução do sistema S1. 
Exemplo 1.13: a tripla ordenada (-2, -1, 4) é solução do sistema 
 
pois satisfaz as três equações.
Na forma matricial: = = .
Um sistema homogêneo é sempre possível, pois admite pelo menos a 
solução trivial. 
 
Ou seja, todo sistema linear homogêneo com m equações lineares e n 
incógnitas admite no mínimo como solução a n-upla (0, 0, ..., 0) , chamada 
de solução trivial.
Exemplo 1.14: uma solução do sistema 
é a solução trivial , mas, observe que a tripla ordenada (2, 3, 5) 
também é solução do sistema, pois satisfaz as três equações. Portanto, este 
sistema admite outras soluções além da trivial.
Mas, como determinar soluções de um sistema de equações lineares?
21
Noções de Álgebra Linear
Você pode já ter estudado, em outro momento, a resolução de sistemas de 
equações lineares, como a Regra de Cramer, e pôde entender também a 
interpretação gráfica da solução de sistemas lineares. 
Vamos analisar novas situações e conhecer outros métodos de resolução de 
sistemas, para isso precisamos compreender alguns conceitos apresentados a seguir.
Definição 1.6: um sistema de equações lineares que está na forma 
escalonada se apresenta a seguinte forma: 
 
Em que: 
 , , ... , , com .
Teorema 1.2: se um sistema na forma escalonada apresentar a equação 
degenerada:
 , então:
I. se b = 0, essa equação pode ser omitida do sistema sem modificar 
o conjunto solução;
II. se b ≠ 0, o sistema não admite solução.
Demonstração: 
A demonstração deste teorema está diretamente relacionada à demonstração do 
teorema 1.1:
I. se o sistema apresentar uma equação degenerada 
 , esta admite qualquer solução 
(teorema 1.1) e, assim, não influenciará na solução encontrada a 
partir das demais equações;
II. se o sistema apresentar uma equação degenerada 
 , esta não admite qualquer solução 
(teorema 1.1). Assim, o sistema também não terá solução.
22
Capítulo 1 
Um sistema na forma escalonada que apresenta n variáveis e r equações, sendo 
r ≤ n, pode apresentar:
 • solução única se o número de variáveis for igual ao número de 
equações (r = n); 
 • infinitas soluções se o número de equações for menor que o número 
de variáveis (r < n), pois nesse caso teremos variáveis livres.
O número de variáveis livres de um sistema é também chamado de grau 
de liberdade do sistema. 
Se o sistema tiver o número de equações igual ao número de variáveis, a forma 
escalonada tem um nome especial: Sistema de Equações Lineares na forma 
triangular.
Definição 1.7: um Sistema de Equações Lineares está na forma triangular se o 
número de equações é igual ao número de incógnitas e se tem a seguinte forma:
 
em que: .
Você pode observar que a matriz dos coeficientes é uma matriz triangular superior.
Para determinar a solução de um sistema nessa forma escalonada, seguimos 
um processo chamado de retrossubstituição, que consiste em partir da última 
equação para determinar a n-ésima incógnita e substituir na (n – 1)-ésima 
equação e assim sucessivamente até obter a solução do sistema.
Exemplo 1.15: determinar a solução do sistema na forma triangular 
 .
Começamos com , substituindo o valor de z.
23
Noções de Álgebra Linear
Na segunda equação, temos:
 , 
substituindo z e y na primeira equação:
 , 
a solução do sistema é (2, 1, –3).
Exemplo 1.16: o sistema na forma escalonada 
admite infinitas soluções, pois podemos representar as variáveis como:
 e .
Substituindo em : .
Nesse caso, temos em função de e em função de e , ou seja, as 
variáveis e são variáveis livres que podem assumir valores arbitrários, 
obtendo assim infinitas soluções para o sistema. 
Você poderia também escrever em função de , no caso chegaria à mesma 
conclusão sobre o número de variáveis livres.
3.3 Atividades de autoavaliação 
1. Escreva a matriz aumentada de cada um dos seguintes sistemas de equações 
lineares.
a) 
b) 
2. Escreva o sistema de equações lineares que correspondem às seguintes 
matrizes aumentadas:
a) sendo as variáveis x, y e z.
24
Capítulo 1 
b) sendo as variáveis .
3. Resolva os seguintes sistemas:
a) 
b) 
c) 
Seção 4 
Sistemas equivalentes
Apesar de existirem softwares que resolvem sistemas de equações lineares, nosso 
interesse está em estudar esses sistemas e até conhecer os métodos utilizados por 
esses softwares. Para isso, precisamos de algumas definições importantes.
Definição 1.8: dois sistemas de equações lineares são ditos equivalentes quando 
as equações envolvem as mesmas variáveis e admitem a mesma solução, ou seja, 
toda solução do primeiro é também solução do segundo e vice-versa.
Exemplo 1.17: os sistemas S1 e S2 a seguir são equivalentes pois admitem a 
mesma solução (10, 2):
 e .
De fato:
 e .
25
Noções de Álgebra Linear
Exemplo 1.18: considere os sistemas na sequência.
S3 = e S4 = .
Observe que S3 está na forma triangular, se partirmos da última equação 
determinamos o valor da variável . Da segunda equação temos ; 
substituindo na primeira equação, obtemos:
 
 , 
Solução (–2, 4, 2).
Apesar do sistema S4 aparentar ser mais difícil de resolver, observe que se 
somarmos a primeira equação com a segunda, obtemos:
 
Analogamente subtraindo a primeira equação da terceira:
 
Então, se , substituindo o valor de e em qualquer uma das equações de 
S4, obtemos . Logo, a solução é (–2, 4, 2).
Ou seja, os sistemas S3 e S4 são equivalentes.
Definição 1.9: um sistema de m equações lineares se transforma em 
um sistema equivalente quando se efetuam as seguintes operações elementares:
I. permutação de duas equações: , e ;
II. multiplicação de uma equação por um número real k diferente de 
zero: , ;
III. substituição de uma equação por sua soma com outra previamente 
multiplicada por um número real k diferente de zero: , 
 e .
26
Capítulo 1 
Exemplo 1.19: Dado o sistema S = cuja solução é (2,3,1),
vamos realizar algumas operações elementares e observar que os sistemas 
obtidos a partir dessas operações são equivalentes entre si. Para isso, 
chamaremosas equações 1, 2 e 3 de , e respectivamente.
I. Ao permutar a segunda equação pela terceira equação do 
sistema S, obtemos o sistema S1: Notação: ( ↔ )
S1 = 
II. Ao multiplicar a primeira equação do sistema S1 por (1/2), resulta 
no sistema S2: Notação: 
S2 = 
III. No sistema S2, ao substituir a terceira equação pela soma dela com 
a primeira equação previamente multiplicada por (–4), vamos obter 
S3: Notação: 
S3 = 
Observe que a solução (2, 3, 1) é solução dos sistemas S, S1, S2 e S3, ou seja os 
sistemas são equivalentes.
Teorema 1.3: dois sistemas S e S´ são linhas equivalentes se S´ for obtido a partir 
de S por uma sequência finita de operações elementares.
Demonstração: dado o sistema
 
27
Noções de Álgebra Linear
cuja solução é a n-upla ordenada ( α1, α2 , ..., αn ), isto é:
 .
Aplicando a operação, temos as situações descritas a seguir.
I. Com a permutação de duas equações quaisquer do sistema acima, 
a solução se mantém a mesma, pois todas as equações se mantêm 
e os sistemas S e S´ são equivalentes.
II. Com a multiplicação da equação r por um escalar k diferente de 
zero ( ), obtemos o sistema S´ equivalente ao sistema S. 
Assim, considerando
 
Vamos tomar a equação :
 
(i) Vamos mostrar que se (α1, α2, ..., αn) é solução de S, então será 
solução de S´. 
Suponha que (α1, α2, ..., αn ) é a solução do sistema S, então:
 (1)
Substituindo (α1, α2, ..., αn ) no lado esquerdo da equação de S´:
 
Logo, (α1, α2, ..., αn) é solução da equação e portanto solução do 
sistema S´, ou seja, os sistemas S e S´ são equivalentes.
28
Capítulo 1 
(ii) Vamos mostrar que se (α1, α2, ..., αn) é solução de S´, então será 
solução de S.
Suponha que (α1, α2, ..., αn) é a solução do sistema S´, então:
 (2)
Por outro lado, substituindo (α1, α2, ..., αn) na equação de S:
 (1)
Portanto, solução do sistema S, ou seja, os sistemas S e S´ são 
equivalentes.
III. Com a substituição de uma equação por sua soma com outra 
previamente multiplicada por um número real k diferente de zero, ao 
tomar o sistema
 
realizando a operação , obtemos o seguinte sistema S´:
 .
29
Noções de Álgebra Linear
Tomando a linha , devemos mostrar algumas situações, descritas a seguir. 
(i) Se (α1, α2, ..., αn) é solução de S, então será solução de S´.
Neste caso, são válidas as igualdades:
 (3)
 (4)
Substituindo (α1, α2, ..., αn) na equação de S´:
 
Portanto, (α1, α2, ..., αn) é solução de S´ e os sistemas são 
equivalentes.
(ii) Se ( α1, α2 , ..., αn ) é solução de S´ então será solução de S:
Suponha: 
 
 
e
 e 
Logo:
 
Portanto, ( α1, α2 , ..., αn ) é solução de S e os sistemas são 
equivalentes.
As operações que transformam um sistema em outro equivalente a ele são 
as três apresentadas. 
30
Capítulo 1 
4.1 Atividades de autoavaliação 
1. Verifique se os sistemas S1 e S2 abaixo são equivalentes:
 
 
2. Calcule o valor de a e b sabendo que os sistemas S1 e S2 abaixo são 
equivalentes:
 
Seção 5
Resolução de sistemas de equações lineares
Nesta seção, você vai estudar alguns métodos clássicos utilizados para 
a resolução de sistemas de equações lineares. Todos eles consistem em 
transformar o sistema inicial em um sistema equivalente por meio de operações 
elementares. Para tanto, utilizam a forma matricial do sistema e trabalham as 
operações sobre as linhas dessa matriz em vez de trabalhar com equações. 
Assim, as operações elementares podem ser reescritas. Acompanhe!
5.1 Operações Elementares sobre as Linhas de uma Matriz
I. Permutação de duas linhas: , e .
II. Multiplicação de uma linha por um número real k diferente de zero: 
 , .
III. Substituição de uma linha por sua soma com outra previamente 
multiplicada por um número real k diferente de zero: , 
 e .
Se a matriz dos coeficientes desse sistema está na forma escalonada, o sistema 
também se apresenta na forma escalonada.
31
Noções de Álgebra Linear
5.2 Matriz escalonada
Definição 1.10: uma matriz com m linhas e n colunas está na forma 
escalonada se:
1. toda linha nula somente aparece abaixo de todas as linhas não 
nulas (ou seja, daquelas que possuem pelo menos um elemento 
não nulo – chamado pivô); 
2. cada pivô está à direita do elemento pivô da próxima linha. 
Observação 1.2: se uma matriz satisfaz as condições 1 e 2 dizemos que ela está 
na forma escalonada reduzida por linha quando, além disso: 
a. todos os pivôs forem iguais a 1; e
b. toda coluna que contém o pivô em alguma linha tem todos os seus 
outros elementos iguais a zero.
Exemplo 1.20: as matrizes A, B, e C estão na forma escalonada reduzida por linha: 
 , e .
Exemplo 1.21: as matrizes M, N, K e L estão na forma escalonada: 
 , , e .
5.3 Posto e Nulidade
O número de linhas não nulas de uma matriz escalonada pode ser utilizado 
para interpretar se um sistema é compatível (determinado ou indeterminado) ou 
incompatível, para isso vamos definir posto e nulidade de uma matriz.
32
Capítulo 1 
Definição 1.11: chama-se posto ou característica de uma matriz A de ordem 
m x n, ao número de linhas não nulas da matriz escalonada equivalente a A, e 
denota-se por p(A).
Definição 1.12: chama-se nulidade de uma matriz A de ordem m x n, a diferença 
entre o número de colunas e seu posto e se denota por nul(A), logo nul(A) = n – p(A)
Exemplo 1.22: avalie o posto e a nulidade das matrizes dos exemplos 1.20 e 1.21:
p(A) = 3 e nul(A) = 0, pois o número de colunas de A é 3;
p(B) =3 e nul(B) = 2, pois o número de colunas de B é 5;
p(C) = 4 e nul(C) = 2, pois o número de colunas de C é 5;
p(M) = 2 e nul(M) = 0, pois o número de colunas de M é 2; 
p(N) = 3 e nul(N) = 0, pois o número de colunas de N é 3;
p(K) = 2 e nul(K) = 3, pois o número de colunas de K é 5;
p(L) = 4 e nul(L) = 1, pois o número de colunas de L é 5.
A proposição a seguir mostra a importância do posto das matrizes relacionadas a 
um sistema de equações lineares para a análise da solução deste.
Proposição 1.1: dado um sistema de equações lineares com m equações e n 
variáveis e sejam C matriz dos coeficientes deste sistema A a matriz aumentada 
do sistema. Se p(A) é o posto da matriz aumentada do sistema e p(C) o posto da 
matriz dos coeficientes do sistema, então:
(i) o sistema será compatível e determinado se p(A) = p(C) = n; 
(ii) o sistema será compatível e indeterminado se p(A) = p(C) < n; 
(iii) o sistema será incompatível se p(A) > p(C).
33
Noções de Álgebra Linear
Um pouco de história
Johann Carl Friedrich Gauss (1777-1855) nasceu na Alemanha e foi considerado, 
por muitos, como o maior gênio da história da Matemática. Menino prodígio, aos 
sete anos surpreendeu um professor ao calcular correta e rapidamente a soma de 
todos os números inteiros de 1 a 100, sem apresentar nenhum cálculo por escrito. 
Durante sua vida se dedicou a diversas áreas da matemática e da física. Superou 
toda a matemática até então estudada ao propor rigor nas demonstrações e por 
conta disso o estudo da matemática e da astronomia progrediram e se tornaram 
áreas caracterizadas pela precisão. Aos 24 anos publicou sua obra prima, Disquisi-
tiones Arithmeticae, onde sintetizou o estudo da Teoria dos Números, considerada 
por muitos como uma das maiores realizações matemáticas.
5.4 Método de Eliminação de Gauss 
O método utiliza operações elementares com as linhas da matriz dos coeficientes 
do sistema, a fim de transformar as operações numa matriz escalonada e 
encontrar a solução do sistema através de retrossubstituição das variáveis. 
Dado um sistema linear na forma matricial CX = B, podemos descrever o método 
de eliminação de Gauss através das seguintes etapas.
Método de Gauss-Jordan
Etapa 1: determinação da matriz aumentadado Sistema .
Etapa 2: transformação da matriz dos coeficientes C numa matriz escalonada, 
aplicando as operações elementares na matriz aumentada. Para isso, seguiremos 
as seguintes fases: 
 • Fase 1: localizar a coluna mais à esquerda que não seja toda 
constituída de Zeros, coluna r;
 • Fase 2: permutar as linhas de maneira a obter um elemento não-
zero na primeira linha da coluna r, por exemplo, de modo que . 
Chamá-lo de pivô e à linha 1 de linha pivô; 
 • Fase 3: utilizar o pivô para zerar todos os elementos abaixo dele, ou 
seja, para cada i >1, determinar multiplicadores para realizar 
as operações ;
 • Fase 4: repetir as fases 2 e 3 na submatriz formada por todas as 
linhas, exceto a primeira; 
 • Fase 5: continuar o processo até que a matriz esteja na forma 
escalonada.
34
Capítulo 1 
Etapa 3: resolver o novo sistema obtido na etapa 2 por retrossubstituição.
Sem perda por generalidade, iremos apresentar esse método resolvendo 
exemplos. 
Exemplo 1.23: determine a solução do sistema utilizando 
eliminação de Gauss.
Etapa 1: escrever a matriz aumentada do sistema.
 .
Etapa 2: transformar a matriz dos coeficientes em uma matriz equivalente a ela, 
na forma escalonada, através de operações com linhas na matriz aumentada: ƒ 
Fase 1: identificar o elemento pivô (primeiro elemento diferente de zero da 
coluna 1). Neste exemplo, o elemento : 
Utilizar o pivô para zerar todos os elementos da primeira coluna abaixo dele. Para 
isso, definimos os seguintes multiplicadores:
 e 
E as operações:
 e 
 e 
 
35
Noções de Álgebra Linear
Que nos leva a seguinte matriz:
 
Fase 2: deixar de lado a primeira linha dessa nova matriz e recomeçar o processo 
aplicado na fase 1 à submatriz resultante. Observe que o próximo elemento não 
nulo da segunda coluna é o elemento .
Nesse caso, a operação a ser realizada pode ser: para levá-lo à diagonal 
principal.
 .
Como o elemento abaixo do pivô é zero, já temos a matriz dos coeficientes do 
sistema na forma escalonada equivalente à matriz dos coeficientes do sistema dado.
Podemos, então, verificar que o posto da matriz ampliada p(A) do sistema dado é 
igual a 3 e o posto da matriz dos coeficientes p(C) é igual a 3, como o número de 
variáveis n é também 3. Pela proposição 1.1 concluímos que esse é um sistema 
possível e determinado, pois p(A) = p(C) = n, e sua solução pode ser determinada 
na etapa 3. 
Etapa 3: reescrevendo o sistema e utilizando retrossubstituição, obtemos:
 
cuja solução é (2, –5, 3 ), obtida por retrossubstituição. E como este sistema 
é equivalente ao sistema dado inicialmente, então sua solução é a solução do 
sistema dado.
36
Capítulo 1 
Exemplo 1.24: resolva o sistema a seguir por eliminação de Gauss. 
 
Etapa 1: escrever a matriz aumentada do sistema
 
Etapa 2: transformar a matriz dos coeficientes em uma matriz na forma 
escalonada, através de operações com linhas na matriz aumentada
Devemos utilizar a linha 1 para zerar o elemento realizando a seguinte 
operação:
 
 
 
37
Noções de Álgebra Linear
Observando a submatriz resultante, recomeçamos o processo determinando o 
próximo pivô:
A linha 2 é a linha pivô e o elemento o elemento pivô, utilizado para zerar 
o elemento com a operação 
 
 .
Como a matriz já está na forma escalonada, podemos analisar os postos das 
matrizes:
 • matriz ampliada p(A) = 3; 
 • matriz dos coeficientes p(C)= 3; 
 • n = 4.
Pela proposição 1.1, concluímos que é um sistema possível e indeterminado, pois 
p(A) = p(C) < n.
38
Capítulo 1 
Etapa 3: reescrevendo o sistema e utilizando a retrossubstituição, obtemos
 
Utilizando retrossubstituição: 2
21
1
5 ==x , 
 
 .
Observe que o sistema apresenta duas variáveis livres, seu grau de liberdade é 2, 
então admite infinitas soluções.
Para obter uma solução específica, você pode admitir quaisquer valores às 
variáveis livres, por exemplo: se e , então , logo o 
sistema admite a solução ( 0, 2, 1, 1, 2 ).
Podemos ainda representar as soluções do sistema em função das variáveis 
livres: .
Exemplo 1.25: resolva o sistema .
Etapa 1: escrevendo a matriz aumentada do sistema.
 
Etapa 2: transformar a matriz dos coeficientes em uma matriz na forma 
escalonada, através de operações com linhas na matriz aumentada.
39
Noções de Álgebra Linear
Como o elemento , que seria o pivô, é igual a zero, temos que procurar outro 
elemento na primeira coluna e permutar linhas. De preferência, escolha para pivô 
o número 1, assim os multiplicadores ficam mais simples. Veja que o elemento 
é igual a 1, assim podemos realizar a seguinte permutação: 
Devemos utilizar a linha 1 para zerar os elementos e com as seguintes 
operações:
 e 
 
Sob a submatriz resultante, recomeçamos o processo determinando o próximo pivô:
A linha 2 é a linha pivô e o elemento o elemento pivô, utilizado para zerar 
os elementos e desenvolvendo as seguintes operações:
 e 
 
40
Capítulo 1 
O pivô da próxima submatriz é o elemento :
Para zerar os elementos e , realizamos a operação:
 
 
p(A) = 4, p(C) = 4 e n = 4, então o sistema admite solução única.
Etapa 3: reescrevendo o sistema:
Utilizando retrossubstituição, teremos: , e .
Exemplo 1.26: analise a solução do sistema utilizando eliminação de Gauss.
 
41
Noções de Álgebra Linear
A partir desse exemplo, vamos representar o método juntamente com a 
sequência de operações:
 
 
 
p(A) = 3, p(C) = 2 e n = 3, então o sistema não admite solução, pois p(C) < p(A).
Realmente, reescrevendo o sistema: 
 
Observe ainda, que a última equação é uma equação degenerada com . 
Exemplo 1.27: resolva o sistema: por eliminação de Gauss.
 
 
42
Capítulo 1 
 
p(A) = 2, p(C) = 2 e n = 3, então o sistema não admite infinitas soluções, pois 
p(C) = p(A) < n.
Veja ainda que a matriz na forma escalonada apresenta duas equações 
degeneradas com b = 0, elas podem ser eliminadas do sistema sem alterar a 
solução. A linha 2 pode ser multiplicada por 2, para simplificar as frações.
Portanto, temos o seguinte sistema:
 
Que admite infinitas soluções, pois apresenta uma variável livre.
Exemplo 1.28: resolva o sistema por eliminação de Gauss.
 
 
 
 .
Como p(A) = 3, p(C) = 2, então o sistema não admite solução, pois p(A) > p(C).
43
Noções de Álgebra Linear
Exemplo 1.29: Utilize o método de eliminação de Gauss para determinar os 
valores de k, para que o sistema
 
seja:
a. possível e determinado;
b. possível e indeterminado;
c. impossível.
Escrevendo a matriz aumentada e realizando as operações descritas:
 
 
 
 
Reescrevendo o sistema: 
Da última equação , temos:
a. o sistema é possível e determinado se 
 ou seja, e ;
44
Capítulo 1 
b. o sistema é possível e indeterminado se
 e , ou seja, se ( ou ) e , 
concluindo: 
se ;
c. o sistema é impossível se e , ou seja, 
( ou ) e concluindo: se .
Observação 1.3: quando transformamos a matriz dos coeficientes de um sistema 
na forma escalonada reduzida por linhas estamos aplicando o método chamado 
eliminação de Gauss-Jordan.
Um pouco de história 
Wilhem Jordan (1842-1899) nasceu na Alemanha e em 1888 publicou em 
seu livro Handbuch der Vermessungskunde a sua contribuição à resolução 
de sistemas lineares. Engenheiro, especializou-se em Geodésia.
Exemplo 1.30: determine a solução do sistema pelo método de Gauss-Jordan:
 
Como já aplicamos o método de eliminação de Gauss nesse exemplo, veja 
exemplo 1.23, precisamos apenas continuar o processo para transformar a matriz 
escalonada em uma matriz escalonada reduzida por linha.
 
Para que essa matriz estejana forma desejada, observe, na sequência, algumas 
condições. 
1. Todos os pivôs devem ser iguais a 1. 
Assim, realizamos as seguintes operações:
 , e 
 .
45
Noções de Álgebra Linear
2. Toda coluna que contém o pivô em alguma linha tem todos os seus 
outros elementos iguais a zero. Para isso, aplicamos as operações:
 
 
 
 .
Observe que, por esse método, a solução do sistema está pronta no vetor de 
termos independentes. Portanto, ao reescrever o sistema, não precisamos utilizar 
retrossubstituição para encontrá-la. 
 .
5.5 Métodos de Eliminação de Gauss e Gauss-Jordan para 
resolver sistemas homogêneos 
Podemos aplicar os métodos de eliminação de Gauss e Gauss-Jordan para 
resolver sistemas lineares homogêneos. Mas, nesse caso, nenhuma das 
operações elementares sobre as linhas altera a coluna dos termos independentes, 
já que é formada de zeros. 
Consequentemente, o sistema de equações correspondente à forma escalonada 
da matriz aumentada também deve ser um sistema homogêneo. Com isso, a forma 
escalonada da matriz dos coeficientes de um sistema homogêneo garante que: 
I. se o número de linhas não nulas for igual ao número de variáveis, o 
sistema tem apenas a solução trivial; 
II. se o número de linhas não nulas for menor que o número de 
variáveis, o sistema tem outras soluções além da trivial.
46
Capítulo 1 
Quando o sistema homogêneo tiver o número de equações igual ao número de 
variáveis, uma ferramenta que pode ser utilizada na análise da sua solução é o 
determinante da matriz dos coeficientes:
 • se det A ≠ 0, então o sistema é compatível e determinado ( só 
admite a solução trivial);
 • se det A = 0, então o sistema é compatível e indeterminado ( admite 
a solução trivial e outras próprias).
(Em que: det A é o determinante da matriz dos coeficientes do sistema).
Exemplo 1.31: analise a solução dos seguintes sistemas homogêneos: 
 .
Como o número de variáveis é maior que o número de equações, concluímos que 
o sistema apresenta outras soluções além da solução trivial .
Exemplo 1.32: resolva o sistema homogêneo: 
Como o número de equações é igual ao número de variáveis, podemos analisar a 
solução do sistema de duas formas. Acompanhe. 
I. Determinar a matriz dos coeficientes escalonada:
 
 
 .
47
Noções de Álgebra Linear
Como o número de linhas não nulas é igual ao número de variáveis, o sistema 
possui apenas a solução trivial. 
Veja que, se reescrevermos o sistema, ele admite apenas a solução trivial 
 :
 .
II. Analisando o determinante da matriz dos coeficientes:
 
O sistema apresenta apenas a solução trivial: 
Exemplo 1.33: vimos no exemplo 1.14 que o sistema admite outras 
soluções além da trivial. Veremos agora como determiná-las.
I. Determinar a matriz escalonada da matriz dos coeficientes: 
 
 
 .
Como a matriz dos coeficientes do sistema de 3 equações e 3 variáveis na forma 
escalonada apresenta uma linha nula, concluímos que o sistema homogêneo 
apresenta outras soluções além da trivial. 
48
Capítulo 1 
Reescrevendo- o:
 
 
Logo, é variável livre, fazendo , encontramos a solução trivial: . Mas, 
se admitirmos teremos e , ou seja, a solução . A cada valor 
admitido a será determinada uma solução. 
II. Analisando o determinante da matriz dos coeficientes:
 .
O sistema apresenta outras soluções além da trivial. 
Matemática e informática
As aplicações de resolução de sistemas geralmente apresentam sistemas muito 
grandes. Para isso, são usados softwares que, na maioria das vezes, utilizam 
algoritmos baseados nos métodos de eliminação de Gauss ou de Gauss-Jordan.
49
Noções de Álgebra Linear
5.6 Atividades de autoavaliação 
1. Identifique quais das matrizes abaixo estão na forma escalonada reduzida por 
linhas, justifique.
a) b) c) 
2. Resolva os sistemas abaixo pelo método de Eliminação de Gauss, identifique 
o posto da matriz dos coeficientes e o posto da matriz aumentada e confirme a 
solução com o estudo dos postos. 
a) b) 
c) d) 
3. Resolva os sistemas do exercício 2 pelo método de Gauss-Jordan.
4. Explique por que a nulidade de uma matriz nunca é negativa.
5. Resolva os sistemas homogêneos a seguir:
a) b) 
6. Dado o par de matrizes a seguir, encontre uma matriz elementar tal que 
 .
 e 
50
Capítulo 1 
7. Dado o sistema , mostre que:
(i) Se , o sistema tem a solução única , 
 ;
(ii) Se , ou , o sistema não tem solução.
Seção 6
Matriz inversa e sistemas lineares
Nesta seção, você vai estudar mais um método utilizado para encontrar solução 
de sistemas lineares cujo número de variáveis é igual ao número de equações: o 
Método da Matriz Inversa. 
Definição 1.9: dada uma matriz quadrada A de ordem n, se pudermos encontrar 
uma matriz B também de ordem n, tal que , de ordem n, dizemos que 
A é invertível e que B é a inversa de A. 
Caso não exista a inversa, dizemos que A é não invertível. A inversa de matriz A é 
denotada por .
Observação 1.3: se e são inversas uma da outra, então vale a igualdade 
 
Calculando o determinante em ambos os membros da igualdade
 por propriedades dos determinantes:
 
Logo, .
Portanto, tem que ser diferente de zero, ou seja, a matriz é dita não 
singular.
51
Noções de Álgebra Linear
6.1 Propriedades da matriz inversa
Se A é uma matriz quadrada invertível, as seguintes propriedades são satisfeitas:
1. sua matriz inversa é única se B e C são ambas matrizes inversas da 
matriz A, então B = C;
2. sua matriz inversa é também invertível, e a inversa dessa inversa 
 é igual à própria matriz : ;
3. a inversa de sua transposta é também invertível e é igual a 
transporta da inversa ;
4. o produto de sua inversa por sua transposta é também invertível, 
assim existindo ;
5. a inversa de seu produto por um número (diferente de zero) é 
igual ao produto do inverso desse número pela sua matriz inversa 
 ;
6. seu determinante é diferente de zero, , ou seja, A é não 
singular;
7. a matriz inversa do produto de matrizes invertíveis é igual ao 
produto das inversas dessas matrizes com a ordem trocada, por 
exemplo ;
8. a matriz inversa de uma matriz identidade de ordem n ( ), é a 
própria matriz identidade de ordem n: .
Você pode estar pensando: mas como determinar a matriz inversa de uma 
matriz quadrada?
Em Geometria Analítica, você viu como determinar a matriz inversa de uma matriz 
quadrada de ordem 2. Veremos, agora, outro método para determinar a matriz 
inversa de uma matriz quadrada de qualquer ordem.
52
Capítulo 1 
6.1.1 Determinação da matriz inversa através operações elementares
Se A é uma matriz quadrada não singular, é possível aplicar operações com as 
linhas de A para obter sua matriz inversa .
Teorema 1.4: seja A uma matriz quadrada de ordem n, que admite inversa, 
então, aplicando simultaneamente sobre as linhas de A e à matriz identidade I 
(de ordem n) uma sequência de operações elementares que transformam A na 
identidade, I será transformada na matriz A-1 inversa de A.
Demonstração: sendo A não singular, existe uma matriz B tal que 
A . B = B . A = I.
Tomando a igualdade, temos A . B = I.
Se aplicarmos simultaneamente sobre A e sobre I a mesma sequência de operações 
elementares sobre as linhas que transformam A na matriz identidade I, obtemos
I . B = M
em que M é a matriz obtida de I depois de aplicar sobre suas linhas a sequência 
de operações aplicadas em A. Logo, B = M.
Portanto, a matriz M obtida a partir de I é a inversa de A.
O processo prático consiste em escrevemos uma matriz na forma realizar 
operações elementares com as linhas desta matriz, a fim de transformar A na matriz 
identidade de mesma ordem de A. Assim, a matriz do lado direito será.
Exemplo 1.34: determine a inversa da matriz .
Processo:
 
 
 
53
Noções de Álgebra Linear
 
 
 
Como a matriz dos coeficientes foi transformada na matriz identidade, a matriz ao 
lado é a inversa da matriz . Ou seja:
 
Veja que se é inversa de , então é válido o produto , de fato:
 
Exemplo 1.35: determine a inversa da matriz .
Processo:
 
 
 
54
Capítulo 1 
 
 
Logo, a matriz inversa da matriz é:
 .
Efetuando o produto :
 .
Exemplo 1.36: determine M–1 se M é dada por: 
 .
Processo:
 
 
55
Noções de Álgebra Linear
 
 
 
 
 
Portanto, a matriz é:
 .
6.1.2 Resolução de Sistemas e Matriz Inversa
Dado um sistema de equações lineares com n equações e n variáveis, na forma 
matricial, cuja matriz dos coeficientes C é invertível, o método consiste em resolver 
a equação matricial , utilizando a inversa da matriz C dos coeficientes.
56
Capítulo 1 
Ou seja: 
Se , multiplicando ambos os lados da igualdade pela matriz inversa de :
 
 
 
Ou seja, a solução do sistema será obtida pelo produto da matriz inversa de , 
pelo vetor de termos independentes .
Exemplo 1.37: resolva o seguinte sistema pelo método da matriz inversa:
 
Escrevendo na forma matricial 
Para resolver o sistema pelo método da matriz inversa, precisamos encontrar a 
matriz inversa da matriz dos coeficientes, mas observe que
 
é a matriz cuja matriz inversa foi determinada no exemplo 1.34, ou seja:
 
Assim, a solução do sistema é dada por: 
 
Logo: e .
57
Noções de Álgebra Linear
Qual a vantagem de se aplicar o método da matriz inversa, já que encontrar 
a inversa de uma matriz para depois encontrar a solução do sistema pode 
ser mais trabalhoso do que aplicar o método de Gauss?
A conveniência de se aplicar esse método está relacionada ao problema que se 
quer resolver por meio da solução do sistema. O caso mais importante é quando 
se tem um conjunto de sistemas, tais que as matrizes dos coeficientes sejam todas 
iguais, variando apenas os termos independentes, pois, assim, basta calcular a 
inversa de uma única matriz, com a qual se resolverão todos os sistemas.
Exemplo 1.38: resolva os sistemas:
 
Considerando que:
a. para e
b. para ,
pelo método da matriz inversa, a matriz dos coeficientes do sistema é: 
 .
Determinação da inversa .
 
 
 
58
Capítulo 1 
 
 
 
 
 .
Observe que a matriz será utilizada para determinar a solução do sistema para 
cada um dos vetores independentes.
Chamando e 
Logo: 
 
59
Noções de Álgebra Linear
 .
Portanto, para a solução é e para a solução é .
6.2 Atividades de autoavaliação
1. Calcule o determinante de cada matriz dada para verificar se ela é invertível:
a) b) c) 
2. Determine todos os valores de e para que a matriz seja 
invertível.
3. Determine a matriz inversa, pelo método prático de escalonamento, de cada 
uma das matrizes dadas.
a) 
b) 
c) 
60
Capítulo 1 
4. Resolva os seguintes sistemas, pelo método da matriz inversa.
 , para:
a) 
b) 
 
Seção 7
Aplicações de sistemas lineares
Como dissemos anteriormente, são inúmeras as áreas em que se pode aplicar 
sistemas de equações lineares, a seguir mostraremos alguns exemplos.
Dieta de Cambridge
Agora podemos apresentar a resolução do sistema mostrado na introdução do 
capítulo:
Por eliminação de Gauss:
 
61
Noções de Álgebra Linear
 
 
Reescrevendo o sistema:
Cuja solução é:
LD = 0,277 unidades 
FS = 0,392 unidades
SL = 0,233 unidades
Suponha, agora, a inclusão de mais informações sobre a dieta.
A introdução de mais um nutriente, o cálcio, e mais um ingrediente proteinato de 
soja, ou seja teremos mais uma coluna e uma linha na tabela.
Quadro 1.2 – Dieta de Cambridge
Quantidades (Gramas) Fornecidas por 100g de Ingrediente
Nutriente
(gramas)
Leite 
desnatado
Farinha 
de soja
Soro de 
leite
Proteinato 
de soja 
Quantidade Fornecida 
pela Dieta de 
Cambridge em um dia
Proteína 36 51 13 80 33
Carboidrato 52 34 74 0 45
Gordura 0 7 1,1 3,4 3
Cálcio 1,6 0,19 0,8 0,18 0,8
Fonte: Elaboração dos autores (2015).
62
Capítulo 1 
Determine as quantidades de leite desnatado, farinha de soja, soro de leite 
e proteinato de soja necessárias para fornecer as quantidades precisas de 
proteínas, carboidratos, gordura e cálcio da Dieta de Cambridge.
Observe que dessa forma o sistema será formado por quatro equações e quatro 
variáveis.
Interpolação
Uma indústria cerâmica precisa ter controle sobre as condições de temperatura 
dos fornos durante o processo de queima. A fim de avaliar a temperatura em 
determinados horários, a empresa pode, a partir de alguns dados obtidos por 
observação em intervalos periódicos, determinar a temperatura entre dois 
horários estimados. 
Suponha que em um determinado dia tenha sido obtidos dados apresentados na 
tabela a seguir, estime a temperatura às 16h30.
Quadro 1.3 – Temperaturas do forno
HORÁRIO 12:00 15:00 18:00
TEMPERATURA 
(em graus)
100º 400º 900º 
Fonte: Elaboração dos autores (2015).
Seja T(x) a função que descreve a temperatura do forno no instante x. Como são 
três pontos T pode ser um polinômio do segundo grau, ou seja, da forma:
T(x) = ax2 + bx + c
Precisamos determinar a, b e c para escrever a função. Substituindo:
T(12) = a122 + b12 + c =100 
T(15) = a152 + b15 + c = 400 
T(18) = a182 + b18 + c = 900
O que resulta em um sistema com três equações e três variáveis:
63
Noções de Álgebra Linear
Resolvendo por eliminação de Gauss, obtemos:
a = 11,11
b = –200
c = 900
Logo, a função que descreve a temperatura do forno no período dado é:
T(x) = 11,11x2 – 200x + 900
Portanto, a temperatura do forno às 16h30 pode ser estimada:
T(16,5) = 11,11 (16,5)2 – 200 (16,5) + 900 = 624,70º 
Produção
Suponha o seguinte problema: uma indústria monta quatro tipos de mochilas, 
mochilas (1), (2), (3) e (4), as quais são processadas e produzidas no decorrer 
da semana. Para produção de cada unidade dessas mochilas necessita-se de 
quatro diferentes tipos de matéria-prima (A – Lona, um corte), (B – ziper, unidade), 
(C – alça, unidade) e (D – bolso, unidade), conforme quadro a seguir.
Quadro 1.4 – Insumos 
(A) Lona 
(corte)
(B) Zíper 
(unidade)
(C) Alça 
(unidade)
(D) Bolso 
(unidade)
Mochila (1) 1 2 2 3 
Mochila (2) 2 3 1 1 
Mochila (3) 4 1 2 5
Mochila (4) 3 1 2 3
Fonte: Elaboração dos autores (2015).
Ou seja: para produzir uma unidade da mochila (1) precisa-se de 1 corte de lona, 
2 unidades de zíper, 2 unidades de alça e 3 unidades de bolso.
Por semana, a indústria pode realizar 3900 cortes de lona, possui em estoque 
2200, 2500 e 4400 unidades de zíper, alça e bolso respectivamente. 
Quantas unidades de cada produto podem ser produzidas com os insumos 
disponíveis no estoque?
64
Capítulo 1 
Sejam: 
M1: a quantidade de mochilas do modelo (1) a ser produzida por semana. 
M2: a quantidade de mochilas do modelo (2) a ser produzida por semana. 
M3: a quantidade de mochilas do modelo (3) a ser produzida por semana.
M4: a quantidade de mochilas do modelo (4) a ser produzida por semana.
Gerando o seguinte sistema:
disponibilidade de (A))
disponibilidade de (B))
disponibilidade de (C))
disponibilidade de (D))
Resolvendo por Gauss:
 
 
 
65
Noções de Álgebra Linear
Reescrevendo o sistema:
Obtemos a solução:
M1: 200 mochilas do modelo 1 por semana.
M2: 300 mochilas do modelo 2 por semana.
M3: 400 mochilas do modelo 3 por semana.
M4: 500 mochilas do modelo 4 por semana.
Circuitos Elétricos
Sistemaslineares também podem descrever o fluxo de corrente elétrica em um 
circuito elétrico. Uma bateria é um tipo de gerador de voltagem que faz com que 
uma corrente de elétrons percorra o circuito. 
Existe uma lei, chamada Lei de Ohm, que relaciona a voltagem V (medida em volts), 
a resistência R (medida em ohms) e o fluxo de corrente I (medida em amperes):
V = R*I
Observe o circuitos da figura a seguir que contém quatro malhas. 
Figura 1.1 – Circuito com 4 malhas
Fonte: Elaboração dos autores (2015).
66
Capítulo 1 
Vamos denotar por: 
 • I1, I2, I3 e I4, as correntes das malhas 1, 2, 3 e 4 respectivamente;
 • V1, V2, V3 e V4, as voltagens das malhas 1, 2, 3 e 4 respectivamente;
 • R1, ..., R8, I3 e I4, as resistências descritas nas malhas do circuito. 
Sabendo que as direções atribuídas a cada uma dessas correntes são dadas 
conforme a figura, se uma corrente aparece com valor negativo, então sua 
direção real é a inversa da estipulada na figura. 
A soma algébrica das quedas de voltagem RI, em torno de uma malha é igual à 
soma algébrica das fontes de voltagem na mesma direção nessa malha. 
Para determinar a corrente em cada malha da Figura 1.1, vamos realizar os 
somatórios das tensões e aplicar a lei de Kirchhoff (o somatório das tensões em um 
circuito fechado deve ser igual a zero, pois o ponto inicial seria o mesmo ponto final).
Logo:
Sabendo que V = R*I, podemos deduzir o seguinte sistema:
(malha 1)
(malha 2)
(malha 3)
(malha 4)
Como a figura informa os valores das resistências e das voltagens, o sistema se 
escreve como:
Cuja solução é:
I1= 1,0464 amperes
I2= – 0,7590 amperes
I3= 1,9853 amperes
I4= – 2,1810 amperes.
67
Capítulo 2
Espaço vetorial
Seção 1
Introdução – espaço vetorial
Neste capítulo, vamos nos familiarizar com os chamados espaços vetoriais. Com 
o estudo deste conteúdo, o leitor poderá identificar um espaço vetorial e um 
subespaço vetorial, bem como utilizar e aplicar matrizes e sistemas lineares para 
gerar a base de um espaço vetorial, além de provar que um conjunto de vetores é 
linearmente dependente ou linearmente independente.
O próprio título do capítulo às vezes leva o leitor a pensar que estaremos 
estudando e trabalhando com os vetores estudados na unidade de aprendizagem 
de Noções de Geometria Analítica, o que não é uma inverdade, mas também não 
é certo pensar assim. Vale ressaltar que a palavra espaço aqui quer dizer conjunto 
e a palavra vetorial é usada para nos remeter às propriedades dos vetores. Assim, 
um espaço vetorial, é um conjunto que tem as propriedades dos vetores. Alguns 
conjuntos (espaços) aqui estudados são:
68
Capítulo 2 
 
 
 – Conjunto das matrizes de ordem 
 – Conjunto dos polinômios de grau n.
E você sabe quais são as propriedades referentes a vetores associados às 
operações de adição e multiplicação por escalar? 
Dados os vetores , e e os escalares e , temos quatro propriedades referentes 
à soma de vetores e quatro propriedades referentes à multiplicação por escalar:
a. (associativa para a soma);
b. (comutativa para a soma);
c. vetor , tal que (existência do elemento neutro);
d. vetor , tal que (existência do elemento 
oposto);
e. (distributiva para soma de vetores);
f. (distributiva para soma de escalares);
g. ;
h. .
De maneira geral, iremos estudar conjuntos onde definiremos uma operação de 
soma e uma operação de multiplicação por escalar entre seus elementos, tal 
que as propriedades acima citadas sejam satisfeitas. Esses conjuntos recebem o 
nome de espaços vetoriais.
Atenção, todo elemento que pertencente a um espaço vetorial será 
chamado de vetor, mas este não será representado com a seta sobre a 
letra. Por exemplo, vamos mostrar que um conjunto de matrizes pode ser o 
espaço vetorial, então os vetores deste espaço serão matrizes.
69
Noções de Álgebra Linear
Definição 2.1: um espaço vetorial real V é um conjunto, não vazio, no qual são 
definidas duas operações:
Soma (+): 
Multiplicação por escalar : .
Nelas, para quaisquer , e e e , as seguintes propriedades são 
satisfeitas:
 ) .
 ) .
 ) , tal que .
 ) , tal que .
 ) 
 ) 
 ) 
 ) 
Deve ficar claro que na propriedade A3 o zero, ali exposto, não é o zero 
número real, e sim o zero do conjunto. Logo se, por exemplo, o conjunto 
ao qual estivermos nos referindo for V = R2 então 0 = (0, 0), se for V = R3 
então 0 = (0, 0, 0) e assim por diante.
Observações 2.1
A operação soma (+): indica que dados e , então e a 
operação multiplicação por escalar : , indica que dados e , 
então .
Se os escalares e forem números complexos, então temos um espaço vetorial 
complexo.
O primeiro matemático a introduzir o conceito de espaço vetorial foi o 
matemático alemão Hermann Grassmann (1809-1877). O matemático 
italiano Giuseppe Peano (1858-1932) foi quem tornou claro os trabalhos do 
matemático alemão. A definição dos axiomas feito por Peano só foi aceita 
em 1918, em um trabalho do matemático Hermann Weyl (1885-1955).
70
Capítulo 2 
Exemplo 2.1: prove que o conjunto dos vetores no plano é 
um espaço vetorial, sendo as operações de adição e multiplicação por escalar usuais.
As operações de adição e multiplicação por escalar usuais no são:
 
 .
Necessitamos agora mostrar que as oito propriedades são verdadeiras. Lembre-
se de que quando queremos provar que algo é verdadeiro o fazemos com 
elementos genéricos e não com exemplos.
Podemos provar que as propriedades são verdadeiras de duas maneiras: 
1) iniciar de um lado da igualdade e chegar ao outro lado da igualdade, ou 
2) desenvolver ambos os lados e mostrar que são iguais.
Sejam, então, , e vetores de e a e b 
 
 (aplicando a definição de soma)
 (aplicando a definição de soma)
 (associando as coordenadas)
 (usando a definição de soma)
 (usando a definição de soma)
 . 
Note que usamos a definição de soma nos dois sentidos.
 
 (comutando as coordenadas)
 (comutando as coordenadas)
 (usando a definição de soma)
 .
Note que para provar a associatividade entre os elementos do conjunto, 
em algum momento usamos a associatividade entres as coordenadas 
dos elementos, que no caso são números reais. O mesmo ocorre para a 
comutatividade.
71
Noções de Álgebra Linear
 Seja , então para todo , temos:
 
 (usando a definição de soma)
 .
 Para todo , existe , tal que:
 
 (usando a definição de soma)
 .
 
 (usando a definição de soma)
 (usando a definição de produto por escalar)
 (distributiva nas coordenadas)
 (usando a definição de soma)
 (usando a definição de produto por escalar)
 .
 
 ( usando a definição de produto por escalar)
 (distributiva nas coordenadas)
 (usando a definição de soma)
 (usando a definição de produto por escalar)
 
72
Capítulo 2 
 
 ( usando a definição de produto por escalar para b)
 ( usando a definição de produto por escalar para a)
 ( associando as coordenadas)
 ( usando a definição de produto por escalar para ab)
 
 
 (usando a definição de produto por escalar)
 
Como as oito propriedades foram satisfeitas, então é um espaço vetorial 
com as operações de soma e multiplicação por escalar usuais.
Observação 2.1: de maneira geral, o espaço 
é um espaço vetorial com as operações de soma e multiplicação por 
escalares usuais. 
 
 
Exemplo 2.2: verifique se o conjunto de vetores no espaço 
 é um espaço vetorial com as operações de 
soma e multiplicação por escalar definidas por:
 
 
Observação 2.2: geralmente, quando não tratamos com as operações usuais, 
usamos os símbolos e . Lembre-se de que se as operações fossem usuais, 
então, é um espaço vetorial, o que não é o caso aqui.
Como a operaçãode soma é a usual, conforme observação 2.1, as propriedades 
 , , e , são satisfeitas. Para a multiplicação por escalar devemos testar, 
para ver se as propriedades M1, M2, M3 e M4 são satisfeitas. Vamos provar as 
propriedades, desenvolvendo os dois lados da igualdade. 
73
Noções de Álgebra Linear
 (usando definição de soma usual)
 (usando definição de produto por escalar )
 .
Por outro lado temos,
 (usando definição de produto por escalar )
 .
Logo, .
 (usando a definição de produto por escalar )
 .
Desenvolvendo o outro lado temos:
 (usando a definição de produto por escalar )
= (usando a definição de soma usual)
 
Logo, .
 (usando definição de produto por escalar para b)
 (usando definição de produto por escalar para a)
 
Do outro lado, temos:
 (usando definição de produto por escalar )
 
Logo, 
74
Capítulo 2 
 (usando definição de produto por escalar )
 
Portanto, a propriedade falhou, logo o conjunto com as operações + e 
 , definidas acima, não é um espaço vetorial.
Se você perceber que alguma propriedade não se verifica, não há 
necessidade de analisar as outras, pois neste caso já se conclui que o 
conjunto associado às duas operações não é um espaço vetorial.
1.1 Atividades de autoavaliação
1. Seja o conjunto , isto é, o conjunto das matrizes de 
ordem . Mostre que W é um espaço vetorial com as operações de soma e 
multiplicação por escalar definida abaixo:
 
 
2. Verifique se os conjuntos abaixo com as operações de soma e multiplicação 
por escalar definidas são espaços vetoriais.
a) 
+ : (x1, y1) + (x2, y2) = (x1 + x2, y1 + y2)
 
b) 
 
 
75
Noções de Álgebra Linear
c) 
 
 .
Seção 2
Subespaço vetorial
Nesta seção, estudaremos espaços vetoriais contidos em espaços vetoriais, são 
os chamados subespaços vetoriais. 
Mas vejamos uma situação interessante: vimos que o R3 com as operações 
usuais de adição e multiplicação por escalar é um espaço vetorial. Vamos pensar 
agora em um subconjunto V do R3, por exemplo, uma reta qualquer do espaço 
tridimensional que não passa pela origem. Nesse caso, o elemento neutro do 
0 = (0,0) não pertence a V, então V não é um subespaço vetorial do R3, apesar de 
ser um subconjunto dele.
2.1 Propriedades hereditárias
Será que para mostrar que um subconjunto W de um espaço vetorial 
V é um subespaço vetorial, necessitamos verificar os oito axiomas da 
definição?
Felizmente não. Basta analisarmos com cuidado o que acontece. Se V é um 
espaço vetorial e quisermos mostrar que o subconjunto W de V é um subespaço 
vetorial, as propriedades , , , , e já são válidas automaticamente 
para W, pois se elas são válidas para todos os vetores de V, consequentemente, 
valem para todos os vetores de W, já que todo vetor de W é um vetor de V. 
Dizemos que essas propriedades são hereditárias.
O teorema a seguir garante o que devemos fazer para provar que um determinado 
subconjunto W de um espaço vetorial V é um subespaço vetorial.
76
Capítulo 2 
Teorema 2.1: seja V um espaço vetorial, um subconjunto W, não vazio, é um 
subespaço vetorial de V, se forem satisfeitas as seguintes condições:
Para todo , tem-se:
 
Para todo e , tem-se:
 
Com isso, garantimos as oito propriedades de espaço vetorial. 
Demonstração:
Pela condição (b), para todo . Em particular, se , então , ou 
seja, isto garante a existência do elemento neutro, portanto a propriedade é 
satisfeita. Particularmente, também, se tomarmos , então , ou 
seja, garante a existência do vetor oposto, propriedade . As outras propriedades 
são hereditárias, como comentamos anteriormente.
Quando queremos provar que um determinado conjunto W não é um 
subespaço, basta apresentar, um contraexemplo, ou seja, tomar dois 
vetores cuja uma das propriedades de subespaço falha.
2.2 Interpretação geométrica e subespaços vetoriais
Podemos fazer uso de interpretações geométricas para mostrar preliminarmente 
alguns conjuntos que não são subespaços vetoriais e alguns conjuntos que, ao 
que tudo indica, satisfazem as condições (a) e (b) do Teorema 2.1.
Exemplo 2.3: Seja V = R2 e . Vamos mostrar 
geometricamente que W1 não é um subespaço vetorial de V. Perceba que 
geometricamente o subconjunto W1 é uma parábola. Todo conjunto tem uma 
propriedade que determina seus elementos.
Propriedade de W1: cada vetor u = (x, y) de W1 tem a propriedade de que a 
segunda coordenada é o quadrado da primeira, e geometricamente podemos 
visualizar W1 como a seguinte parábola.
77
Noções de Álgebra Linear
Figura 2.1 – Representação da Parábola y = x2
Vamos tomar dois vetores quaisquer do conjunto W1, ou seja, dois vetores que 
satisfaçam a propriedade de W1, por exemplo u = (1, 1) e v = (–2, 4) e representá-
los geometricamente:
Figura 2.2 – Representação dos Vetores e da Parábola
Perceba, na representação gráfica da Figura 2.2, que os vetores têm 
extremidades sobre a parábola. 
De acordo com o teorema 2.1, para que W1 seja subespaço vetorial de V, este 
deve conter a soma de dois vetores quaisquer do subconjunto W1, o que não 
ocorre neste exemplo.
78
Capítulo 2 
Figura 2.3 – Representação dos Vetores e da Parábola
Observe que o vetor u + v = (–1, 5) não tem extremidade na parábola. Assim, 
provamos, através de um contraexemplo e da representação geométrica, que o 
subconjunto W1 não é um subespaço vetorial, pois falha a propriedade (a). 
É claro que poderíamos provar isso apenas algebricamente, sem a necessidade 
dos esboços, basta verifica que u + v não satisfaz a propriedade de W1 , isto é: 
5 ≠ (–1)2.
Quando queremos provar que um determinado conjunto W não é um subespaço 
de um espaço vetorial V, basta apresentar um contraexemplo. Ou seja, mostrar 
por meio de um exemplo que uma das propriedades de subespaço falha, como 
feito no exemplo acima.
Acompanhe mais um exemplo interpretando-o geometricamente.
Exemplo 2.4: seja V = R2 e W2 = {(x, y) ∈ R2; y = 3x},geometricamente este conjunto 
é uma reta passando pela origem. 
Propriedade de W2: cada vetor u = (x, y) satisfaz a propriedade de que a segunda 
coordenada deve ser o triplo da primeira. Fazendo a representação gráfica dessa 
reta, teremos a Figura 2.4.
79
Noções de Álgebra Linear
Figura 2.4 – Representação da reta y = 3x
Tomando dois elementos pertencentes a W2, por exemplo, u = (1, 3) e v = (–2, –6), 
observe, na Figura 2.5 que estão sobre a reta y = 3x.
Figura 2.5 – Representação da Reta e dos vetores u e v
80
Capítulo 2 
Realizando a soma u + v = (–1, –3), observamos que este vetor ainda pertence W2.
Figura 2.6 – Representação da Reta e dos vetores u e v e da soma u + v
Vamos agora escolher um escalar, por exemplo, α = 2, o vetor αu = (2, 6). 
Geometricamente:
Figura 2.7 – Representação da Reta e dos vetores u αu
81
Noções de Álgebra Linear
Pelo exemplo 2.4, percebe-se que o vetor soma u + v (propriedade (a) de 
subespaço) e o vetor multiplicação por escalar αu (propriedade (b) de subespaço) 
continuam pertencendo ao conjunto W2, mas, infelizmente, isso não é suficiente 
para provar que W2 é um subespaço vetorial, pois podem existir outros dois 
vetores desse conjunto, cuja soma não pertença a ele, ou pode existir um outro 
escalar que não seja o α = 2, cuja multiplicação por escalar dele por um vetor do 
conjunto também não pertença a W2 . Seria necessário verificar vetor por vetor e 
escalar por escalar se as propriedades (a) e (b) são válidas. Uma tarefa um tanto 
árdua e impossível de realizar.
O que fazer então para provar que um determinado conjunto é realmente um 
subespaço vetorial?
Se você pensou que se deve provar as propriedades usando dois vetores 
genéricos quaisquer, acertou! No exemplo 2.4, tudo indica que o conjunto é um 
subespaço vetorial,vamos verificar:
Prove que o conjunto é um subespaço vetorial com as 
operações usuais de adição e multiplicação por escalar.
Propriedade de W2: este conjunto tem a propriedade que cada elemento, tem a 
segunda propriedade é o triplo da primeira.
Tomemos elementos genéricos deste conjunto com a propriedade do conjunto.
Se e , provemos que .
 
 
 
 , onde 
Como satisfaz a propriedade do conjunto para todo segue que 
 .
Se e , provemos que .
 
 
 
 , onde 
82
Capítulo 2 
Como satisfaz a propriedade do conjunto para todo e , segue que 
 .
Portanto, é um subespaço vetorial do R2, com as operações usuais. 
Geometricamente, este subespaço vetorial representa uma reta que passa pela 
origem do sistema. 
Figura 2.8 – Subespaço W1
Conforme já foi explicado, dados dois vetores u e v quaisquer da reta, sua soma 
u + v e o produto de qualquer um deles por um escalar αu, ainda resulta em um 
vetor da reta, ou seja de . 
Exemplo 2.5: verifique se e é um subespaço vetorial do R3 
com as operações usuais de adição e multiplicação por escalar.
Propriedade de W2: cada vetor de W2, tem a propriedade que as duas 
primeiras coordenadas são iguais e a variável z é zero.
Se e .
 
 
 , onde .
Como satisfaz a propriedade do conjunto para todo segue que 
 .
83
Noções de Álgebra Linear
Se e 
 
 
 , onde 
Como satisfaz a propriedade do conjunto para todo e , segue que 
 .
Logo, W2 é um subespaço vetorial.
Geometricamente esse subespaço vetorial representa um plano que passa pela 
origem do sistema R3. Na verdade, como W2 tem como propriedade a última 
coordenada nula, ele representa geometricamente o R2.
Exemplo 2.6: seja , mostre que W3 não é um subespaço 
vetorial do conjunto das matrizes de ordem m por n com as operações de adição 
de matrizes e multiplicação de escalar usuais.
Propriedade de W3 : conjunto das matrizes de m linhas e n colunas cujo elemento 
 é maior ou igual a zero.
Para mostrar que W3 não é um subespaço vetorial, basta apresentarmos um 
contraexemplo. Assim, 
 , pois , não satisfazendo 
a propriedade do conjunto, logo a propriedade (b) da definição de subespaço 
vetorial falha, pois ela deve ser válida para qualquer escalar .
Exemplo 2.7: verifique se tal que é um subespaço 
vetorial.
Propriedade de W4: conjunto dos elementos de , que satisfazem a equação 
 .
Se , isto implica que , e se também 
 , logo .
Devemos mostrar que as coordenadas de satisfazem a equação 
 .
84
Capítulo 2 
Somando as igualdades acima, temos:
 
Ou seja,
 e isto mostra que o vetor 
 , pois suas coordenadas satisfazem a equação 
 .
Do mesmo modo, temos que , pois se:
 , então, , isto é, e isto 
mostra que as coordenadas de satisfazem a equação .
Portanto, é um subespaço vetorial. Lembre-se de que geometricamente este 
conjunto representa um plano que passa pela origem do .
Outra forma de chegar à mesma conclusão é isolar uma das variáveis da 
igualdade e escreve os vetores de em função da equação 
encontrada. Por exemplo, isolando y, temos , então os vetores 
de podem ser representados por . Logo, podemos realizar a 
demonstração por outro caminho.
(b) Sejam , devemos mostrar que as 
coordenadas de também se apresentam da mesma forma.
Ou seja, 
 
Do mesmo modo, temos que 
 
Geometricamente representa um plano que passa pela origem do sistema.
Observação 2.3: 
(a) Um espaço vetorial V admite pelo menos dois subespaços vetoriais: o 
conjunto cujo elemento é o zero {0} e o próprio espaço vetorial V. Esses dois 
conjuntos são denominados subespaços triviais de V, os demais subespaços são 
chamados de subespaços próprios de V.
85
Noções de Álgebra Linear
(b) Se W é um subespaço vetorial, temos pela condição (b) do teorema 2.1, que o 
vetor nulo pertence a W. Assim, se em um determinado conjunto W, verificarmos 
que o vetor nulo não pertence a este conjunto, segue então que W não é um 
subespaço vetorial, ou seja, encontramos uma outra maneira, quando possível, 
de verificar que um conjunto não é um subespaço.
Cuidado: o fato de o vetor nulo pertencer a um conjunto, não implica que 
o mesmo seja um subespaço vetorial. Dizemos, neste caso, que esta 
condição é necessária, mas não suficiente.
Exemplo 2.8: seja , o conjunto não é um subespaço 
vetorial de com as operações usuais. 
Basta verificar que o vetor nulo , portanto, pela observação 1.3, segue 
que S não é um subespaço vetorial de V.
Geometricamente, podemos observar ainda que dados dois vetores de S, por 
exemplo e , a soma , não satisfaz a condição 
 com isso o vetor soma não pertence a reta gerada por S. Analogamente, 
se tomarmos o vetor e multiplicarmos por obtemos o vetor 
 .
Figura 2.9 – S não é subespaço do R2
Exemplo 2.9: seja , verifique se o conjunto é um 
subespaço vetorial de V com as operações de adição e multiplicação usuais.
Basta verificar novamente que o vetor nulo , e, portanto, não é um 
subespaço vetorial de V.
86
Capítulo 2 
Exemplo 2.10: seja , não é um subespaço vetorial de 
 com as operações usuais, como mostrado geometricamente, no exemplo 2.3.
Mas cuidado, pois o vetor (0,0) pertence a W1, pois se x = 0, então y = 02 = 0. 
Como você pode observar, essa condição não é suficiente para garantir que um 
subconjunto de V seja um subespaço de V.
Exemplo 2.11: se V é um espaço vetorial e e são subespaços vetoriais de V, 
prove que é um subespaço vetorial.
Devemos provar que a intersecção de dois subespaços vetoriais continua sendo 
um subespaço vetorial.
(a) Se , devemos provar que para todo .
Como e , segue que e , mas e são 
subespaços vetoriais, logo e , ou seja, , 
como queríamos demonstrar.
(b) Se e , devemos mostrar que para todo e . 
Como e , segue que e , mas e são subespaços 
vetoriais, logo e , ou seja, , como queríamos 
demonstrar.
Portanto, é um subespaço vetorial.
Exemplo 2.12: mostre que o conjunto das matrizes diagonais de ordem n é um 
subespaço vetorial, considerando
 {Conjunto das matrizes triangulares superiores}
 {Conjunto das matrizes triangulares inferiores}
 e são subespaços vetoriais, já que satisfazem as condições (a) e (b), pois 
a soma de quaisquer duas matrizes triangulares superiores (inferiores) continua 
sendo uma triangular superior (inferior); e se multiplicarmos qualquer matriz 
triangular superior (inferior) por um escalar real, continua sendo uma matriz 
triangular superior (inferior).
Agora = {conjunto das matrizes diagonais} é um subespaço vetorial, 
de acordo com o exemplo 2.7.
87
Noções de Álgebra Linear
2.3 Atividades de autoavaliação 
1. Interprete geometricamente os conjuntos a seguir e explique porque eles não são 
espaços vetoriais com as operações de adição e multiplicação por escalar usuais.
a) 
b) 
2. Verifique se os conjuntos abaixo são subespaços vetoriais em relação à soma e 
multiplicação por escalar usuais, em caso negativo, de um contraexemplo.
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
f) 
g) e 
Seção 3 
Combinação linear
Vamos iniciar a seção com um exemplo simples, para dar uma ideia do termo 
“combinação de vetores”.
Se e os vetores e , façamos, por exemplo, o 
seguinte cálculo: . O que obtemos? Vejamos:
 .
Nesse caso, dizemos que o vetor é uma combinação dos vetores 
 e , pois w foi obtido a partir de u e v, quando estes foram 
multiplicados pelos escalares 2 e –5, respectivamente. 
88
Capítulo 2 
Definição 2.2: seja V um espaço vetorial e sejam , , e , , 
qualquer vetor , da forma 
 
é uma combinação linear dos vetores , , .
Exemplo 2.13: verifique se o vetor é combinação linear dos vetores 
 e .
Queremos encontrar escalares a e b, tal que, . Então,