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mecânica dos fluidos
Mecânica dos fluidos
Universidade Católica do Salvador (UCSal)
57 pag.
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Mecânica dos Fluidos
01
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Propriedades dos Materiais
Tem forma bem definida.
- Sólidos:
Praticamente não se alteram em respostas à forças externas.
- Líquidos:
Tem volume bem definido.
Assumem a forma do recipiente que o contém.
- Gases:
Não tem volume e nem forma bem definidos.
Assumem a forma e o volume do recipiente que o contém.
02
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Propriedades dos Fluidos 
Há deslizamento de camadas adjacentes uma sobre as outras.
Ou seja, fluem facilmente.
- Sob tensões tangenciais:
Tensão normal 
de tração
Tensão normal 
de compressão
Tensão de 
cisalhamento ou 
tensão tangencial
03
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Densidade
Também chamado de massa específica é definido por:
V
m
=ρ
densidade.dedefinição(Rô) −ρ
fluido).(oucorpodomassa−m
fluido).(oucorpodoVolume−VV fluido).(oucorpodoVolume−V
No SI a densidade é medida em:
3/1 mkg
Outra unidade muito usada:
33 /1000/1 mkgcmg =
04
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Peso Específico
O peso específico é a massa específica multiplicada pela 
aceleração da gravidade :
gρµ =
.específicopeso(mi) −µ
onde,
.específicopeso(mi) −µ
No SI o peso específico é medido em:
23
s
m
m
kg
⋅ )/(1 22 smkg ⋅⇒
05
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1 dm3 = 1 L = 1000 cm3
1 m3 = 1000 L = 1 x 106 cm3
06
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Densidade Relativa
A densidade relativa de um material ou massa específica relativa é a 
razão entre a densidade do material e a densidade da água a 4,0 0C.
997,0
998,0
999,0
1000,0
1001,0
e
c
if
ic
a
 (
k
g
/m
3
) Massa Especifica (H2O)Massa Específica (H2O)
992,0
993,0
994,0
995,0
996,0
997,0
-15 -10 -5 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45
M
a
s
s
a
 e
s
p
e
Temperatura (0C)
O gráfico mostra que a massa específica do H2O é máximo para T = 
4,0 0C. A 0º C ocorre uma transição para a fase sólida. 
07
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Exercício 1: Peso do ar no interior de uma sala
(a) Ache a massa e o peso do ar no interior de uma sala de estar com uma
altura de 3,0 m e um piso de 4,0 m x 5,0 m. (b) Quais seriam a massa e o peso
de água?
Resolução :
(a)
- Volume da sala
)5()4()3( mmmV ××=
360 mV =
- Peso do ar:
Multiplicando a massa do ar 
por g = 9,8 m/s2:
gmP = 2/8,972 smkg ×=
NP 6,705=
(b)
V
m
=ρ Vm ρ=
- Massa do ar
⇒
kgm
m
kg
m 726020,1 3
3
=×=
-Na tabela, a densidade do ar é: 1,20 kg/m3
(b)
- Massa da água
kgm
m
kg
m 60000601000 3
3
=×=
- Peso da água
2/8,960000 smkgP ×=
NP 588000=
kNP 588=
08
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09
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10
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Exercícios Propostos - Massa Específica
1-1. (a) Se um determinado fluido tem massa específica de 0,8 g/cm3, qual a sua massa
específica em lb/in3? (b) Qual a sua massa específica relativa? 1 lb = 0,4536 kg e 1 in = 2,54
cm.
1-2. Calcule a massa de uma esfera maciça de ferro que tenha diâmetro de 3,00 cm.
1-3. Um rei encomenda uma coroa de ouro com massa de 0,500 kg. Quando ela chega do
ouvires, verifica-se que o volume da coroa é de 185 cm3. A coroa é feita de ouro maciço?
1-4. Três líquidos imiscíveis são despejados em um recipiente cilíndrico. Os volumes e massas
específicas são: 0,5 L e 2,6 g/cm3; 0,25 e 1,0 g/cm3; 0,4 L e 0,8 g/cm3. Qual é a força total
exercida pelos líquidos no fundo do recipiente? Um litro = 1L = 1000 cm3. (Ignore a
contribuição da atmosfera.)contribuição da atmosfera.)
1-5. Um peixe mantém a sua profundidade na água doce ajustando a quantidade de ar em
ossos porosos ou em bolsas de ar para tornar a sua massa específica média igual à da água.
Suponha que, com bolsas de ar vazias, um peixe certo peixe tem massa específica 1,08
g/cm3. Para que fração do seu volume expandido o peixe deve inflar a bolsa de ar para tornar
a massa específica igual à da água?
Respostas :
1. (a) 2,89 x 10-2 lb/in3 (b) 0,8 ; 2. 0,111 kg; 3. Não; 4. 183 N; 5. 0,074
11
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Pressão em um fluido
Uma pequena superfície de área dA no interior 
de um fluido em repouso. Definição:
É a força normal por 
unidade de área.
dA
dF
p ⊥=
Separando as variáveis:
No fluido em repouso, as moléculas exercem 
forças perpendiculares sobre uma superfície 
imaginária no interior do fluido.
Se a pressão for a mesma em 
todos os pontos:
A
F
p ⊥=
Separando as variáveis:
pdAdF =
∫=⊥ PdAF
Integrando a expressão acima:
12
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Figura 1
Um corpo de forma irregular completamente imerso em
um fluido. Quando o fluido está em repouso, a força
exercida pelo fluido sobre cada ponto da superfície do
corpo é sempre perpendicular.
αααα
FF
F
Figura 2
Por outro lado, supondo uma força não
perpendicular em um plano imaginário no interior
do fluido, essa força resulta em duas componentes :
na direção perpendicular ( ) e na direção
tangencial ( ). Um fluido sob ação de forças
tangenciais não pode estar em repouso.
F
F
13
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Os trilhos de uma estrada de ferro
estão apoiado sobre dormentes.
Uma pessoa comprime um lápis
entre seus dedos. A força que o
dedo A exerce sobre o lápis é igual
aquela exercida pelo dedo B, mas a
pressão exercida no dedo A e
maior do que aquela exercida no
dedo B.
14
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Unidades de pressão
- No SI
1 pascal = 1 Pa = 1 N/m2
- Outras unidades
1 bar = 105 Pa
1 atm = 1,013 x 105 Pa = 1,013 bar = 1013 milibar
1 mbar = 10-3 bar = 100 Pa
1 atm = 14,70 lbf/pol2
15
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https://www.docsity.com/?utm_source=docsity&utm_medium=document&utm_campaign=watermarkUnidade Símbolo Equivalência
pascal Pa = 1 N.m-2 = 1 kg.m-1.s-2
atmosfera atm
= 101325 Pa = 101325 
N.m-2
bar bar = 105 Pa
Tabela de Conversão de unidades de pressão
torricelli Torr
= (101325/760) Pa ~ 
133,323 Pa
milímetro de mercúrio
(convencional)
mmHg = 1 torr
libra por polegada 
quadrada
psi ~ 6,894 757 x 10³ Pa
milímetro de água mmH2O ~ 9,859 503 Pa
16
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Exercício 2: Força do ar
Na sala descrita do exercício anterior, ache a força total de cima para baixo 
pela pressão do ar de 1,0 atm sobre a superfície do piso.
Resolução :
Na sala descrita no exercício anterior as medidas do piso são: 4 m e 5 m. Portanto, a área do 
piso é
)5()4( mmA ×= 220m=
No SI, a pressão é dado por
p = 1 atm = 1,013 x 105 N/m2
No SI, a pressão é dado por
Da definição de pressão
A
F
p = ⇒ pAF =
Logo, a força que o ar exerce sobre o piso é
)20)(/10013,1( 225 mmNF ×=
NF
610026,2 ×=
17
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Pressão no interior de um fluido
A uma profundidade h, a pressão p é
igual a pressão de superfície p0 mais
uma pressão ρgh devido a altura da
coluna líquida do fluidocoluna líquida do fluido
p = p0 + ρgh
A diferença de pressão entre os níveis 
1 e 2 é
p2 – p1 = – ρg( y2 – y1)
18
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Patm
Patm+ρρρρgh
h
19
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Questão de múltipla escolha:
Na figura, os recipientes 1, 2 e 3 contém água com um mesmo nível h. Se as
áreas do fundo de cada recipiente são iguais, ou seja, A1 = A2 = A3, pode-se
dizer que as pressões p1 , p2 e p3 e as forças F1 , F2 e F3 exercidas no fundo de
cada recipiente são:
h
1 2 3
20
(a) p1 > p2 > p3 e F1 > F2 > F3
(b) p1 < p2 < p3 e F1 < F2 < F3
(c) p1 = p2 = p3 e F1 = F2 = F3
(d) p1 = p2 = p3 e F1 < F2 < F3
(e) p1 = p2 = p3 e F1 > F2 > F3
h
A1 A2 A3
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Exercício 3:
O tubo de um manômetro é parcialmente preenchido com água. Despeja-se
óleo (que não se mistura com água e possui densidade menor que ela) no
braço esquerdo do tubo até que a linha de separação entre o óleo e a água
esteja na metade do tubo. Ambos os braços são abertos para o ar. Encontre a
relação hóleo e hágua.
p0
p0
A relação entre a pressão e profundidade aplica-se
apenas a fluidos com densidade constante. A equação
da pressão no fundo do tubo pelo lado esquerdo é
p = p0 + ρágua ghágua. 
Pelo lado direito é
21
óleoóleoáguaágua ghpghp ρρ +=+ 00
hágua
ρρρρágua
ρρρρóleo hóleo
óleoóleoáguaágua ghgh ρρ =
água
óleo
água
óleo hh
ρ
ρ
=
Pelo lado direito é
p = p0 + ρóleo ghóleo. 
Igualando as duas equações
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Lei de Pascal
A pressão aplicada a um fluido no interior de um recipiente é
transmitida a todos os pontos do fluido e para as paredes do recipiente.
21
A
F
A
F
p ==
1. Uma pequena força F1 é 
aplicada a um pistão de área 
A1 pequena.
3. Atuando sobre o pistão de área ampla, a pressão cria 
uma força capaz de levantar o carro.
21 AA
A1 pequena.
2. A pressão p tem o mesmo valor em todos os pontos com a
mesma altura.
1
1
2
2 F
A
A
F =
22
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Exercício 4: O elevador de carros
Em um elevador de carros utilizado em uma oficina, o ar comprimido exerce
uma força em um pequeno pistão de secção transversal de raio de 5,00 cm.
Essa pressão é transmitida por um fluido incompressível a um segundo pistão
de raio de 15 cm. (a) Que força o ar comprimido deve exercer no primeiro
pistão para levantar um carro de peso de 13300 N sobre o segundo pistão? (b)
Que pressão o ar produzirá esta força?
Resolução :
(a) Como a pressão exercida pelo ar comprimido é transmitida sem perdas por todo o fluido
)1033,1(
)105( 4
22
1 mA ×


 −π
)1033,1(
)1015(
)105( 4
222
2
1
1 N
m
m
F
A
A
F ×
×
×
=





=
−π
π
Pap
51088,1 ×=
NF
3
1 1048,1 ×=
(b) A pressão de ar que produzirá essa força é
22
3
1
1
)105(
1048,1
m
N
A
F
p
−×
×
==
π
23
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Exercício 5: A Força em uma Represa
A água preenche uma altura H de uma represa de largura w (Figura).
Determine a força resultante sobre a represa.
A pressão p em cada ponto que age sobre a barragem
varia com a profundidade h , podendo ser escrita como
função de y sendo dada por p = ρg(H – y) . O elemento
de área infinitesimal dA , na qual pressão deve
permanecer aproximadamente constante, é uma faixa
horizontal de espessura dy.
dA = w dy
dy
w
dA = w dy
A força infinitesimal dF que age sobre uma faixa de área
dA é dado por
pdAdF =
( ) wdyyHgdF ⋅−= ρ
Integrando em relação a y de 0 a H
( ) =−= ∫ dyyHgwF
H
0
ρ
2
2
1 gwHρ
24
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Pressão manométrica
O excesso da pressão (acima da pressão atmosférica) é denominado
pressão manométrica.
A pressão total é chamada pressão absoluta.
Exemplo:
Ao encher o pneu de um carro com 2 atm, a pressão no interior do
pneu é 2 atm e a pressão total é 3 atm.
A pressão manométrica 2 atm.
A pressão absoluta é 3 atm.
atmmano ppp +=
atmmano ppp −=
25
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Exercício 6: Cálculo da pressão manométrica e da pressão absoluta
Um tanque de armazenamento de 12,0 m de profundidade está cheio de água.
O topo do tanque é aberto ao ar. (a) Qual a pressão absoluta no fundo do
tanque? (b) Qual a pressão manométrica?
Resolução :
(a) A pressão absoluta no fundo do tanque é igual a pressão de superfície (patm) somado com o
aumento da pressão no interior do fluido (ρgh)
ghpp atm ρ+=
)12()/8,9()/10()/(10013,1 23325 msmmkgsmkgp ⋅⋅+⋅×=
Pap 510189,2 ×= Pap 510189,2 ×=
(b) Para calcular a pressão manométrica basta subtrair da pressão absoluta a pressão
atmosférica;
ghpp atm ρ=−
)12)(/8,9)(/10( 233 msmmkgpmano =
Pap
510176,1 ×=
26
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Medidores de Pressão – Manômetro de tubo aberto 
O manômetro de tubo aberto
mede a pressão manométrica. Na figura, o
tubo em forma de “U” contém um líquido de
densidade ρ, geralmente água ou mercúrio.
Uma extremidade está ligada ao recipiente
na qual deseja-se medir a pressão p e a outra
aberta para a atmosfera a uma pressão patm.
A diferença de pressão p – patm , gera um
desnível h entre as superfícies livres do fluidodesnível h entre as superfícies livres do fluido
nos lados direito e esquerdo. A pressão na
base do tubo devido a coluna esquerda
p + ρgy1 é igual à pressãodevido a coluna
direita patm + ρgy2. Como essas pressões
referem-se a mesma altura
21 gypgyp atm ρρ +=+
)( 12 yygpp atm −+=− ρ
ghpmano ρ=
27
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Medidores de Pressão – Barômetro de Mercúrio 
O barômetro de mercúrio mede a
pressão atmosférica do ambiente. Ele consiste em
um tubo que foi previamente enchido com
mercúrio e posteriormente invertido em um
recipiente que contém mercúrio (figura). O espaço
acima da coluna de mercúrio tem pressão
extremamente pequena de modo que pode ser
desprezada ( p0 = 0 ). A pressão no interior de um
fluido devido a uma coluna de altura h é dado por
vácuo
ghpp ρ+= ghpp ρ+= 0
0
ghp ρ=
onde, ρ é a densidade do fluido e g = 9,8 m/s2
é a aceleração da gravidade.
1 torr = 1 mmHg
1 atm = 760 mmHg
Outras unidades de pressão:
28
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Exercícios Propostos - Pressão
1-6. Encontre o aumento de pressão de um fluido em uma seringa quando uma enfermeira
aplica uma força de 42N ao êmbolo da seringa, de raio 1,1 cm. R. 1,1 x 105 Pa
1-7. A janela de um escritório tem dimensões de 3,4 m por 2,1 m. Como resultado de uma
tempestade, a pressão do ar do lado de fora cai para 0,96 atm, mas a pressão de dentro
permanece 1 atm. Qual o valor da força que puxa a janela para fora? R. 2,9 x 104 N
1-8. Uma caixa vedada com uma tampa de 12 pol² de área é parcialmente evacuada. Se uma
força de 108 libras é necessária para tirar a tampa da caixa e a pressão atmosférica do
exterior é de 15 lib/pol², qual a pressão do ar na caixa? R. 6 lb/pol²
1-9. Uma mulher de 50 kg equilibra-se sobre o salto alto do seu par de sapatos. Se o salto for
circular e tiver um raio de 5,00 cm que pressão ela exerce sobre o piso? R. 6,24 x 106 Pacircular e tiver um raio de 5,00 cm que pressão ela exerce sobre o piso? R. 6,24 x 106 Pa
1-10. Os quatro pneus de um automóvel são inflados a uma pressão atmosférica de 200 kPa.
Cada pneu tem uma área de 0,0240 m2 em contato com o solo. Determine o peso do
automóvel. R. 19,2 kN
1-11. O líquido no manômetro de tubo aberto (indicado na figura da página 25) é o mercúrio,
y1 = 3,00 cm e y2 = 7,0 cm. A pressão atmosférica é igual a 980 milibares. (a) Qual a pressão
absoluta no fundo do tubo em forma de U? (b) Qual a pressão absoluta no tubo aberto 4,0
cm abaixo da superfície livre? (c) Qual a pressão absoluta do gás no tanque? (d) Qual a
pressão manométrica do gás em pascals?
30
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Exercícios Propostos - Pressão
1-12. Blaise Pascal duplicou o barômetro de Torricelli usando vinho tinto, de densidade 984 kg/m3. (a) Qual a altura h
da coluna de vinho tinto à uma pressão atmosférica de 1 atm? (b) Se for utilizado mercúrio como líquido, qual a altura h
da coluna que formará? R. (a) 10,5 m (b) 13,6 cm
1-13. O cérebro humano e a coluna espinal estão imersos em um fluido
cerebrospinal. O fluido normalmente é contínuo entre as cavidades
craniana e espinal normalmente exerce uma pressão de 100 a 200 mm
de H2O acima da pressão atmosférica predominante. No trabalho médico,
as pressões freqüentemente são medidas em unidades de milímetros de
H2O porque os fluidos do corpo, inclusive o fluido cerebrospinal, têm
tipicamente a mesma densidade da água. A pressão do fluido cerebrospi-
nal pode ser medida através da utilização de uma cânula espinal, como
ilustrado no figura. Um tubo oco é introduzido na coluna espinal e éilustrado no figura. Um tubo oco é introduzido na coluna espinal e é
observada a altura que o fluido sobe. Se o fluido levantar uma altura de
160 mm, sua pressão manométrica é registrada como 160 mm de H2O.
(a) Expresse a pressão em pascal, em atmosferas e em milímetros de
mercúrio. (b) Às vezes é necessário determinar se uma vítima de acidente sofreu um esmagamento de vértebras que
esteja obstruindo o escoamento do fluido cerebrospinal. Em outros casos o médico pode suspeitar que um tumor ou
outro crescimento está obstruindo a coluna espinal e inibindo o escoamento de fluido cerebrospinal. Tais condições
pode ser investigadas pelo teste de Queckenstedt. Neste procedimento, as veias na garganta são comprimidas para fazer
a pressão do sangue aumentar no cérebro. O aumento da pressão nos vasos sanguíneo é transmitida ao fluido
cerebrospinal. Qual deve ser o efeito normal na altura do fluido na cânula espinal? (c) Suponha que comprimir as veias
não tem nenhum no nível do fluido. O que pode ser responsável por isso?
Figura 
Exercício 7
31
Figura
Exercício 8
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Empuxo
Princípio de Arquimedes:
Quando um corpo está parcial ou completamente imerso em um
fluido, o fluido exerce sobre ele uma força para cima igual ao
peso do volume do líquido deslocado pelo corpo. Essa força é
chamada empuxo
E
gmE fluido=
gVE ρ= EgVE deslocadofluidoρ=
gVE ρ=
No interior do fluido, os corpos “parecem mais leves”, 
ou seja, o peso aparente dos corpos no interior de um fluido é dado 
por 
EPP −=′ onde, P = Fg
32
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Exercício 7: Empuxo
Uma estátua de ouro de 15 kg está sendo içada de um navio submerso. (a) Determine a tensão
no cabo de sustentação e o empuxo quando a estátua está em repouso completamente submersa.
(b) Qual a força de tensão no cabo quando a estátua fora da água e o empuxo exercido pelo ar?
E
O volume de fluido deslocado é mesmo volume do 
corpo . Substituindo na eq. (1):
corpodeslocado VV =
corpofluidocorpo gVgmT ρ−= (2)








−=
corpo
corpo
fluidocorpo
m
ggmT
ρ
ρ








−=
corpo
fluido
corpo gm
ρ
ρ
1
Lembrando que Vm /=ρ ⇒ ρ/mV =
Resolução :
(a) Analisando o diagrama de forças
PET =+ ⇒ EPT −=
deslocadofluidocorpo gVgmT ρ−= (1)
 corpoρ  corpoρ






−=
3
3
2
/19300
/1030
1)/8,9)(15(
mkg
mkg
smkgT N2,139=
Cálculo do empuxo: E = ρgVd
⇒
deslocadofluido gVE ρ= corpofluido gVρ= 







=
corpo
corpo
fluido
m
g
ρ
ρ








=
corpo
fluido
corpo gmE
ρ
ρ






=
3
3
2
/19300
/1030
)/8,9)(15(
mkg
mkg
smkg
NE 85,7=
33
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Resolução do exercício 7
(b) O empuxo exercido pelo ar em um sólido é desprezível, assim o diagrama de forças fica:
T
P
PT =
mgT =
)/8,9)(15( 2smkgT =
NT 147=
Caso considerarmos o empuxo do ar, então o cálculo fica similar ao desenvolvido no item (a). 
T
P
E
Caso considerarmos o empuxo do ar, então o cálculo fica similar ao desenvolvido no item (a). 
PET =+ ⇒ EPT −= 







−=
corpo
ar
corpo gm
ρ
ρ
1 





−=
3
3
2
/19300
/2,1
1)/8,9)(15(
mkg
mkg
smkg
NT 0,147=⇒
Também, similar ao item (a), o cálculo do empuxo fica:








=
corpo
ar
corpo gmE
ρ
ρ






=
3
3
2
/19300
/2,1
)/8,9)(15(
mkg
mkg
smkg N
31014,9 −×=
34
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1-14. Membros da tripulação tentam escapar de um submarino danificado, 100 m abaixo da superfície. Que força eles
têm de aplicar no alçapão, de 1,2 m por 0,60 m, para empurrá-lo para fora? Considere a densidade da água do oceano
1025 kg/m³. R = 7,2 x 105 N
1-15. Uma bola de pingue-pongue tem um diâmetro de 3,80 cm e densidade média de 0,0840 g/cm3. Qual a força
necessária força necessária para manter a bola completamente submersa sobre a água? R. 0,258 N
1-16. Uma lata tem volume de 1200 cm³ e massa de 130 g. Qual a massa de balas de chumbo ela poderia carregar sem
que afundasse na água? A densidade do chumbo é 11,4 g/cm³ R = 1,07 kg
1-17. Uma âncora de ferro, quando totalmente imersa na água, parece 200 N mais leve que no ar. (a) Qual é o volume
da âncora? (b) Qual é o peso no ar? A densidade do ferro é 7870 kg/m³ R = 2,045x10^-2 m³ (b) 1,58 x 10³ N
5. Uma amostra de minério pesa 17,50 N no ar. Quando a amostra é suspensa por uma corda totalmente leve e
totalmente imersa na água, a tensão da corda é 11,20 N. Calcule o (a) volume total e a (b) densidade da amostra. R.
6,43 x 10-4m3; (b) 2,78 x 103 kg/m3
1-18. Um bloco de madeira cúbico com aresta de 10 cm flutua sobre uma interface entre a camada de água e a camada1-18. Um bloco de madeira cúbico com aresta de 10 cm flutua sobre uma interface entre a camada de água e a camada
de óleo, com sua base situada 1,50 cm abaixo da superfície livre do óleo (figura). A densidade do óleo é igual a 790
kg/m3. (a) Qual a pressão manométrica na face superior do bloco? (b) Qual a pressão manométrica na face inferior do
bloco? (c) Quais são a densidade e a massa do bloco? R. (a) 116 Pa; (b) 921 Pa; (c) 0,822 kg ; 822 kg/m3.
1-19. Um objeto com densidade média ρ flutua com na superfície livre de um fluido com densidade ρfluido. (a) Qual a 
relação entre as duas densidades? (b) Levando em conta o resultado do item (a), como o navio de aço flutua na água? 
(c) Em termos de ρ e ρfluido, qual é a fração do objeto que fica submerso? Verifique se suas repostas fornecem limites 
corretos quando ρ ρfluido e ρ 0. R. (a) ρρρρ < ρρρρfluido (c) submerso: ρρρρ / / / / ρρρρfluido ; acima da superfície: (ρρρρfluido - ρ)ρ)ρ)ρ) / / / / ρρρρfluido (d) 
32%
Exercício 6 35
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Tensão Superficial
A superfície da água age como uma membrana sob tensão,
permitindo que clipes fique na superfície.
36
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A tensão superficial é uma camada
na superfície do líquido que faz
com que sua superfície se
comporte como uma membrana
elástica que não deixa o objeto
adentrar-los, ou seja, afundar. Isso
ocorre devido às moléculas da
água, que interagem entre si.
As moléculas da água (H2O)
interagem entre si dentro do
liquido e todas as direções,
mas as moléculas que estão
na superfície só interagem
com as que estão abaixo
porque não há nada em cima.
Dessa forma cria-se a tensão superficial.
37
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Na superfície, a atração entre as 
moléculas da água, fazendo 
com que elas resistam a 
expansão.
As moléculas no 
interior do fluído, são 
igualmente atraídas em 
todas as direções. 38
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O movimento dos fluidos é um dos problemas de maior complexidade
dentro da física, tanto na observação experimental como na descrição teórica. Esta
complexidade está ligada ao fato de se estar lidando com um sistema com um
número muito grande de constituintes, e se reflete no número de variáveis
necessárias para a sua descrição matemática. O escoamento dos fluidos pode
ocorrer dentro dos regimes laminar e turbulento. No primeiro caso ainda é possível,
em situações de grande simetria, obter-se uma descrição através de expressões
matemáticas simples. Porém, no último caso, só é possível uma descrição estatística
Escoamento de fluidos
matemáticas simples. Porém, no último caso, só é possível uma descrição estatística
do escoamento, isto é através do valor médio da velocidade e suas flutuações em
torno deste valor.
Descrição matemática – possível apenas dentro de “certas condições” 
Escoamento turbulento – não é possível descrever matematicamente. 
Tratado apenas por modelos estatísticos
39
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Incompressível – aqueles fluidos que tem densidade constante. A densidade não se
altera, mesmo quando é submetido à grandes pressões.
Fluido não viscoso – não apresentam atrito interno. Fluidos que apresentam
viscosidade produzem forças de cisalhamento (forças tangenciais) devido o
deslizamento entre camadas.
Os fluidos ideais
Escoamento irrotacional – O fluido é considerado irrotacional quando, em
qualquer ponto do fluido, não há nenhum momento angular, ou seja, não há
formação de vórtices.
40
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Descrição Matemática
Para descrever o movimento de um fluido, podemos imaginá-lo subdivididos
em elementos de volume suficientemente pequenos, de modo que cada um deles possa
ser tratado como uma partícula, e depois descrever o movimento de cada partícula.
Seja o vetor posição que localiza cada ponto no interior do fluido.
O vetor velocidade de cada partícula de fluido passa em um dado ponto (x,y,z). O vetor
velocidade em cada ponto do fluido e em qualquer instante é descrito pelo
),,( zyxr =
r
);,,( tzyxvv
rr
=
Em geral, a cada instante t, uma partícula diferente passará por um dado ponto
(x,y,z) com um vetor velocidade diferente. No regime de escoamento estacionário ou
em regime permanente, cada partícula de fluido passa por um dado ponto (x,y,z),
sempre com a mesma velocidade.
Um escoamento de fluido é dito estacionário ou em regime permanente
quando o vetor velocidade em qualquer ponto (x,y,z) não varia com o tempo. Neste caso
o vetor velocidade se reduz a
Isto quer dizer que diferentes partículas de fluido passa por um mesmo ponto
do sempre com o mesmo vetor velocidade.
),,( zyxvv
rr
=
41
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Escoamento Estacionário
A trajetória de uma partícula individual
durante o escoamento de um fluido é
chamada de linha de corrente ou linha de
fluxo. No escoamento estacionário, as linhas
de corrente coincidem com a trajetória das
partículas do fluido. Em um escoamento
estacionário, as partículas estão dentro de um
tubo de corrente, ou seja não podem
atravessar as paredes do tubo de escoamento.atravessar as paredes do tubo de escoamento.
Em um escoamento estacionário, todo elemento
de fluido que passa por um dado ponto, sempre
seguindo a mesma linha de corrente.
Nesse regime, o vetor velocidade muda ponto a
ponto, mas num dado ponto o elemento de fluido
passa sempre com o mesmo vetor velocidade.
A direção do vetor velocidade é determinado
pela tangente em cada ponto à linha de escoamento.
42
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Escoamento laminar
Um escoamento é dito laminarquando camadas adjacentes deslizam umas sobre as
outras em um escoamento estacionário.
A trajetória de uma partícula individual durante o escoamento chama-se linha de
escoamento ou linha de fluxo.
O escoamento estacionário ou permanente é quando a configuração global do
fluido não varia no tempo.
As figuras abaixo são fotografia feitas colocando-se corante na água no momento em
que escoava entre placas de vidro.
Escoamento laminar em torno de obstáculos diferentes. 43
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Escoamento turbulento
O escoamento da fumaça erguendo-se dessas varetas de incenso 
é laminar até certo ponto, depois torna-se turbulento.
44
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Sejam dm1 e dm2 as massas de fluido que entra por A1
e sai por A2 no intervalo de tempo dt, respectivamente:
Equação da Continuidade
O volume do fluido passando por A1 em um intervalo
dt é igual ao volume do fluido passando por A2 no
mesmo intervalo de tempo dt.
21 dmdm =
Como dVdm /=ρ ⇒ dVdm ρ=
dtvAdtvA ρρ =
Figura - Um fluido incompres-
sível em escoamento laminar
através de um tubo com área de
seção transversal variável.
2211 vAvA =
onde dV=Avdt é o volume do fluido escoado com velocidade v.
dtvAdtvA 2211 ρρ =
Em qualquer ponto do tubo Av = constante .
A vazão volumétrica Q é a taxa do volume dV de fluido que
atravessa uma seção reta de área A no intervalo de tempo dt.
dt
dV
Q = ou AvQ =
45
SI (m3/s) . Outra unidade (1 L/s = 10-3 m3/s ).
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Exercício 8: Escoamento de Fluidos
Uma mangueira com 2,50 cm de diâmetro é usada por um jardineiro para
encher um balde de 30 litros. O jardineiro observa que leva 1,00 minuto para
encher o balde . Um bico com uma abertura de área igual a 0,50 cm2 é então
conectado à mangueira. (a) Qual a vazão volumétrica ? (b) Qual a velocidade
que a água sai do bico? (c) Se a água sai do bico horizontalmente a 1,0 m acima
do solo, qual a distância que a água é projetada?
Resolução:
smV
smLV
/103
/103030
32
33
−
−
×=∆
×==∆
(b) Como a vazão volumétrica é constante:
AvQ = ⇒ AQv /=
34 /105 sm−×
46
smV /103×=∆
st 60=∆
(a) Um fluido incompressível em escoamen-
to laminar, a vazão volumétrica é cons-
tante e pode ser calculada por :
s
m
t
V
Q
106
103 32
×
×
=
∆
∆
=
−
smQ /105 34−×=
25
34
105
/105
m
sm
v
−
−
×
×
= ⇒ smv /10=
24121 10105105 mcmA −−− ××=×=
25105 mA −×=
(c)
tvx ⋅=
2
2
1 gth =
smv /10=
Tempo de queda tq:
2
2
1 )( qtgh =
g
h
tq
2
=
8,9
12 ⋅
=
stq 452,0=
Distância horizontal x:
tvx ⋅= ⇒ =⋅= 452,010x m52,4
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Exemplo: Escoamento de Fluido Incompressível
Como parte de um sistema de lubrificação para máquinas pesadas, um óleo de densidade igual a
0,850 g/cm3 é bombeado através de um tubo cilíndrico de 8,0 cm de diâmetro a uma taxa de 9,5
litros por segundo. Qual a velocidade de escoamento do óleo? (b) Qual a vazão mássica? (c) Se o
tubo for reduzido para 4,0 cm de diâmetro, quais serão os novos valores para a velocidade de
escoamento e a vazão volumétrica? Considere o fluido incompressível.
Resolução:
33 /850/850,0 mkgcmg ==ρ
2
;08,0 mD =
(b) A vazão mássica é dada por:
)/105,9)(/850( 333 smmkgQQM
−×== ρ
skgQM /08,8=
smsLQ /105,9/5,9 33−×==
(c) Como o fluido é incompressível, a vazão
AvQ =
A
Q
v =
( )4)08,0(
/105,9
2
33
÷×
×
=
−
m
sm
π
smv /89,1=
de modo que a velocidade fica
(a) A vazão volumétrica é dada por:
4
2
D
A
π
=
(c) Como o fluido é incompressível, a vazão
volumétrica é a mesma nas duas sessões do
tubo.
Usando a equação da continuidade:
)89,1(
)04,0(
)08,0(
2
2
1
2
1
2 m
m
m
v
A
A
v
π
π
==
2211 vAvA = 1
2
1
2 v
A
A
v =⇒
smv /56,72 =
47
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Equação da Bernoulli
O trabalho W realizado pelo fluido das vizinhas
sobre uma unidade de volume de fluido é igual à
soma das variações da energia cinética ∆K e da
potencial ∆U ocorridas na unidade de volume
durante o escoamento.
dUdKdW +=
Do enunciado acima, decorre que:
(1)
Desenvolvendo separadamente cada termo da eq. (1):
2
22
1
22
2
12
1
11 vgyPvgyP ρρρρ ++=++
constante=++ 22
1 vgyP ρρ
dVvvvvmdK )()( 21
2
22
12
1
2
22
1 −=−= ρ
dVyygyymgdU )()( 1212 −=−= ρ
dVppFdsdW )( 21 −== (2)
(3)
(4)
Substituindo as equações (2), (3), (4) em (1):
48
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Exercício 9: PRESSÃO DA ÁGUA EM UMA CASA
A água entra em uma casa através de um tubo com diâmetro interno de 2,0
cm, com uma pressão absoluta de igual a 4,0 x 105 Pa (cerca de 4 atm). Um
tubo com diâmetro interno de 1,0 cm conduz ao banheiro no segundo andar
a 5,0 m de altura. Sabendo que a água no tubo entra com uma velocidade de
1,5 m/s, qual a (a) velocidade de escoamento (b) a vazão volumétrica e (c) a
pressão no banheiro? Resolução:
(a) Velocidade de escoamento no banheiro:
Pap
5
1 104×=
01 =y
smv /5,11 =
?2 =p
my 52 =
?2 =v
49
1
2
1
2 v
A
A
v =
(a) Velocidade de escoamento no banheiro:
=⋅= sm
m
m
/5,1
4/)01,0(
4/)02,0(
2
2
π
π
sm /6
(b) Vazão volumétrica:
22vAQ = =⋅= 64
)01,0( 2mπ
sm /1071,4 34−×
(c) Pressão no banheiro:
2
22
1
22
2
12
1
11 vgypvgyp ρρρρ ++=++
)( 22
2
12
1
212 vvgypp −+−= ρρ
=−+⋅⋅−×= )65,1(1058,910104 2232
135
2p Pa
51034,3 ×
0
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Exercício 10: VELOCIDADE DE EFLUXO
Um tanque de armazenamento de gasolina com seção reta de área1 A1, cheio até
uma altura h. O espaço entre a gasolina e a parte superior do recipiente está a
uma pressão P0, e a gasolina flui para fora através de um pequeno tubo de área
A2. Deduza expressões para a velocidade de escoamento e a vazão volumétrica.
O tanque está fechado no topo. O ponto 1 está
submetido a uma pressão p1 = p0 . O referencial y = 0
foi tomado no ponto 2 de modo que y1 = h. A pressão no
ponto 2 é dado por p2 = patm . Substituindo na equação
de Bernoulli
2
22
2
10 2
1
2
1
vgypvghp atm ρρρρ ++=++
Resolução: Usando a 
equação de Bernoulli 
2
222
2
111 2
1
2
1
vgypvgyp ρρρρ ++=++
2210 22 atm
0
2
20 2
1
vghpp atm ρρ +=+−
gh
pp
v atm 22 02 +




 −
=
ρ
Observe que a velocidade de efluxo depende da diferença de 
pressão p0 – patm e da altura h. Diminuindo h , a velocidade 
de efluxo diminui. 
Considerando que diâmetro do furo é muito pequeno em
comparação com o diâmetro do tanque, ou seja,
que é equivalente fazer v1 0 .( ) 212121 / vAAvAA =⇒>>
50
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Para calcular a vazão volumétrica: 
22vAQ =
gh
pp
AQ atm 22 02 +




 −
=
ρ
Se o tanque for aberto para a 
atmosfera, tem-se que 
0)( 00 =−⇒= atmatm pppp
ghAQ 22=ghv 22 = e 
51
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Exercício11: LEI DE TORRICELLI
Um tanque fechado contendo um líquido de densidade ρ tem um furo na lateral
a uma altura y1 em relação ao fundo do tanque. O furo está aberto à atmosfera e
o seu diâmetro é pequeno em comparação do diâmetro do tanque. Determine a
velocidade que o fluido sai do tanque quando o nível da superfície livre do
fluido está a uma altura h acima do orifício.
O referencial y = 0 foi tomado a partir do fundo do
tanque. O furo está submetido à pressão atmosférica P0.
Como o diâmetro do furo é muito menor que diâmetro
do tanque (A2 >> A1), então a velocidade v2 no ponto de
área A é desprezível. O ar acima da superfície livre do
Resolução: neste problema 
vamos usar a equação de 
Bernoulli 
2
222
2
111 2
1
2
1
vgypvgyp ρρρρ ++=++
área A2 é desprezível. O ar acima da superfície livre do
fluido faz atuar no ponto área A2 uma pressão P. Assim,
2
2
110 2
1
gypvgyp ρρρ +=++
( )120
2
12
1
yygppv −+−= ρρ
Fazendo h = y2 – y1 ,
( )
gh
pp
v 2
2 0
1 +
−
=
ρ
52
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Exemplo de aplicação dos exercício 10 e 11:
A figura mostra um sifão, que é um tubo usado para transferir líquido de um recipiente para
outro. O tubo ABC deve estar inicialmente cheio, mas se esta condição é satisfeita o líquido
escoa pelo tudo até que a superfície do líquido no recipiente esteja no mesmo nível que a
extremidade A do tubo. O líquido tem uma massa específica de 1000 kg/m3 e viscosidade
desprezível. As distâncias mostradas na figura são h1 = 25 cm, d = 12 cm e h2 = 40 cm. (a) Com
que velocidade a água sai do tubo no ponto C? (b) Se a pressão atmosférica é de 1,0 x 105 Pa,
qual a pressão do líquido no ponto B? (c) Teoricamente, até que altura máxima h1 esse sifão
pode fazer a água subir? Resolução:
(a) Aplicando o resultado do problema 10 quando a 
superfície do fluido no recipiente aberto à atmosfera
=+= )(2 2hdgv =+⋅⋅ )4,012,0(8,92 sm /19,3
(a) Aplicando a equação de Bernoulli entre os pontos B e C
2
2
12
2
1
CCCBBB vgypvgyp ρρρρ ++=++
atmC pp =
0=Cy
21 hdhyB ++=
Pela equação da continuidade, CBCB vvAA =⇒=
)()( 222
1
BCBCCB vvyygpp −+−+= ρρ
0
=++−××+×= )]4,012,025,0(0[8,910100,1 55Bp Pa
41025,9 ×
(c) A condição é que 0≥Bp
01 ≥− ghpatm ρ
g
p
h atm
ρ
−≥− 1⇒
g
p
h atm
ρ
≤1⇒
3
5
1 108,9
10
×
≤h⇒ mh 2,101 ≤⇒
53
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Exercício 12: O MEDIDOR DE VENTURI
Um medidor de Venturi, usado para medir velocidade de escoamento em um tubo. A
parte estreita do tubo denomina-se garganta. Deduza uma expressão para velocidade de
escoamento v1 em termos das áreas A1 e A2 e a diferença de altura h entre os níveis do
líquido nos dois tubos verticais. Da equação da continuidade
2211 vAvA = ⇒ ( ) 1212 / vAAv =
Substituindo em Bernoulli
( ) 2122212211 /2
1
2
1
vAApvp ρρ +=+
1 2A
Resolução: Aplicando a equação de 
Bernoulli aos pontos indicados 1 e 2
2
222
2
111 2
1
2
1
vgypvgyp ρρρρ ++=++
0 0
onde fizemos y1= y2= 0, pois não há
diferença da altura entre os pontos 1 e 2.






−=− 1
2
1
2
2
2
12
121
A
A
vpp ρ






−= 1
2
1
2
2
2
12
1
A
A
vgh ρρ
O desnível h é dado pela diferença 
de pressão p1 – p2 =ρgh, ou seja,
( ) 1/
2
2
2
2
1
1
−
=
AA
gh
v
54
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Exercício 13: O medidor de Venturi
O tubo horizontal indicado na figura possui uma seção reta de área igual a 40 cm2 em
sua parte mais larga e 10 cm2 em sua constrição. A água flui no tubo e a vazão
volumétrica igual a 6,0 x 10-3 m3/s (6,0 L/s). Calcule (a) velocidade de escoamento no
mais larga e na constrição. (b) a diferença de pressão entre as duas partes e (c) A
diferença de altura h entre os dois níveis do mercúrio existente no tubo em forma de U.
R. (a) 6,00 m/s; (b) 1,69x104 Pa; (c) 13,7 cm. 23
2 10 mA
−=
2
2
A
Q
v =
3
3
10
106
−
−×
= sm /6=
(b)
2121 vpvp ρρ +=+pp
55
AvQ = AQv /=⇒
(a) 231 104 mA
−×=
1
1
A
Q
v =
3
3
104
106
−
−
×
×
= sm /5,1=
(b)
2
22
1
2
2
12
1
1 vpvp ρρ +=+
)( 21
2
22
1
21 vvpp −=− ρ
)5,16(10 2232
1
21 −×=− pp
Papp
4
21 1069,1 ×=−
(c) ghpghp HgOH ρρ +=+ 21 2
g
pp
h
OHHg )( 2
21
ρρ −
−
=
8,910)16,13(
1069,1
3
4
××−
×
=
mh 137,0=
Resolução:
2p1p
ghp Hgρ+2ghp OH21 ρ+
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Exercícios Propostos – Escoamento de Fluidos
1-20. Uma mangueira de jardim de diâmetro interno 0,75 pol, é conectada a um esguicho que consiste em um cano com
24 furos, cada um com 0,05 pol de diâmetro. Se a água na mangueira tiver velocidade de 3 pés/s, com que velocidade
ela sairá dos buracos do esguicho? R. 28 pés/s
1-21. A água se move com uma velocidade de 5 m/s através de um cano com uma área de seção transversal de 4 cm². A
água desce 10 m gradualmente, enquanto a área do cano aumenta para 8 cm². (a) Qual é a velocidade do escoamento
no nível mais baixo? (b) Se a pressão no nível mais alto for 1,5 x 105 Pa, qual será a pressão no nível mais baixo?
R . (a) 2,5m/s (b) 2,6x105Pa
1-22. Um tubo horizontal de 10 cm de diâmetro passa por uma redução suave para um tubo de 5,00 cm de diâmetro. Se
a pressão da água no tubo maior for 8,00 x 104 Pa e a pressão no tubo menor for de 6,00 x 104 Pa, qual a taxa que flui
através do tubo? R. 12,8 kg/s
1-23. Um tanque de selado contém água do mar até uma altura de 11,0 m ar acima também contém ar acima a uma
pressão manométrica de 3,0 atm. A água escoa por um pequeno orifício na base do tanque. Calcule a velocidade de
efluxo da água. R. 28,4 m/sefluxo da água. R. 28,4 m/s
1-24. Qual é a pressão manométrica necessária no tubo principal da rua para que uma mangueira de incêndio ligada a
ele seja capaz de lançar água até 15 m de altura? (Suponha que o diâmetro principal do tudo suja muito maior que o
diâmetro da mangueira de incêndio.) R. 1,47x105 Pa
1-25. Uma bebida leve (essencialmente água) escoa num tubo de uma fábrica de cerveja com uma vazão volumétrica tal
que de encher 220 latas de 355 ml por minuto. Em um ponto 2 do tubo a pressão manométrica do tubo é igual a 152
kPa, e a área de seção reta é igual a 8,0 cm2. Em um ponto 1, situado 1,35 m acima do ponto 2, a área de seção reta é
igual a 2,0 cm2. Obtenha a (a) vazão mássica; a (b) vazão volumétrica; as (c) velocidades do escoamento nos pontos 1 e
2; a (d) pressão manométrica no ponto 1.
R. (a) 1,30 kg/s (b) 1,30 L/s (c) 1,63 m/s; (d) 119 kPa.
1-27. O orifício de entrada da bomba de um reservatório (figura) tem área de seção
transversal de 8,00 pés2. A água flui para dentro com uma velocidade de 1,33 pés/s.
No gerador, 600 pés abaixo do orifício da entrada, a área de seção transversal é menor
do que na entrada e a água flui para fora com velocidade de 31,0 pés. Qual é a
diferença de pressão entre a entrada e a saída?
Reservatório
Gerador
Entrada 
Saída 
56
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Exercícios Propostos – Escoamento de Fluidos
1-28. Um sifão é usado para drenar água de um tanque, como mostrado na figura.
O sifão tem diâmetro uniforme. Suponha um escoamento laminar sem atrito
(a) Se a distância for h = 1,00 m, encontre a velocidade de escoamento na saída
do sifão. (b) Qual é a limitação na altura da parte superior do sifão acima
da superfície da água para seja possível haver escoamento?
R. (a) 4,43 m/s (b) 10,3 m
1-29. Um balde cilíndrico, aberto na parte superior, possui um diâmetro de 10,0cm e altura igual a 25,0 cm. Um orifício
circular com área da seção reta igual a 1,50 cm2 é feito no centro da base do balde. A flui para dentro do balde por um
tudo acima dele com uma taxa de 2,40 x 10-4 m3/s. Até que altura a água subirá no balde? R. 13,1 cm
1-30. A água flui continuamente de um tanque aberto, como indicado na figura. A altura1-30. A água flui continuamente de um tanque aberto, como indicado na figura. A altura
do ponto 1 é de 10,0 m e os ponto 2 e 3 estão a uma altura de 2,0 m. A área da sessão
reta no ponto 2 é igual a 0,0480 m2; no ponto 3 ela é igual a 0,0160 m2. A área do tanque
é muito maior que a área de sessão reta do tubo. Supondo que a equação de Bernoulli
seja aplicável, calcule:
(a) a vazão volumétrica em metros cúbicos por segundo;
(b) a pressão manométrica no ponto 2.
R. (a) 0,200 m3/s (b) 6,97 x 104 Pa
57
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