Pesquisa Operacional

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Resumo
A busca por maiores lucros e tomadas de decisões estratégicas corretas estão se tornando cada vez mais importantes e necessárias para as empresas, e portanto, torna-se ainda mais fundamental compreender quais as opções existentes para o auxílio nesses assuntos. Portanto, será abordado neste trabalho, um meio de modelagem e simulação para tal.
Introdução
Este trabalho apresenta o desenvolvimento da modelagem e análise dos resultados do Solver, um software para programação matemática integrada à planilha eletrônica que resolve problemas de programação linear. É objetivo deste trabalho entender quais as melhores opções para maximizar o lucro de uma determinada empresa aplicando no software, um estudo de caso hipotético para determinar como os lotes devem ser divididos em função dos produtos ofertados, atendimento à demanda e quantidade de colaboradores.
Metodologia
Este trabalho é um estudo de pesquisa bibliográfica, com um adendo de um caso hipotético para demonstrar a aplicação da base teórica. A pesquisa bibliográfica se destina a esclarecer conceitos e ideias em função de formulação de problemas mais precisos. Também nos ajuda a aumentar o grau de conhecimento sobre o tema pesquisado. 
O problema aqui apresentado é: Como utilizar a Pesquisa Operacional para resolver o problema de maximização do lucro. Para o embasamento teórico, foi utilizado livros de diferentes autores. Em seguida há um caso hipotético onde os conceitos foram aplicados. A resolução deste trabalho se deu através da ferramenta Solver do Microsoft Office Excel. A resolução foi descrita passo-a-passo.
Resolvendo o problema
Problema: Fabrica de roupas 
Uma fábrica de roupas produz dois tipos de produtos: Moletom e Camiseta. O lucro do Moletom é de R$ 14 por unidade e da Camiseta é de R$ 10 por unidade. São necessárias 8 pessoas para fazer um lote de 20 Moletons por dia, e 5 pessoas para fazer um lote de 25 Camisetas por dia. Existem 13 pessoas disponíveis para produzir as roupas, podendo ser alocadas em qualquer um dos dois, em qualquer etapa. Devido à demanda existente, é necessário fazer um lote de Moletom e um lote de Camiseta. Lembrando que os lotes devem ser inteiros, ou seja, não podem ser produzidas frações de lotes.
Inicialmente foi estruturado o problema em uma planilha do MS Excel, onde foi apresentado os dados de entrada do modelo, a função objetivo, as variáveis de decisão e as restrições. Na Figura 1 (item 1) estruturamos os dados de entrada do modelo disponibilizados no enunciado do problema. As células C5 e D5 contemplam o tamanho do lote de cada produto (moletom = 20 e camiseta = 25), as células C6 e D6 apresentam o número de pessoas necessárias para produzir um lote de cada produto (oito pessoas para o moletom e cinco pessoas para a camiseta), as células C7 e D7 compreendem o lucro unitário de cada produto (catorze para cada unidade de moletom e dez para cada unidade de camiseta) e as células C9 e D9 apontam a demanda mínima de um lote para cada tipo de item. Nas células C8 e D8 estão os lucros de cada lote, os quais são obtidos a partir da multiplicação entre o lucro unitário e o tamanho do lote. 
Podemos observar a função objetiva e as variáveis de decisão do problema na Figura 1 (item 2). As variáveis de decisão são a quantidade de lotes fabricados de moletons (QLM) e quantidade de lotes de camisetas (QLC), enquanto que, a função objetivo que consiste em maximizar o lucro encontra-se detalhada na expressão a seguir:
Max (280 * QLM + 250 * QLC)
As variáveis de decisão QLM e QLC estão nas células C12 e D12, respectivamente. A função objetivo, por sua vez pode ser observada na célula E13 que compreende a soma dos lucros de cada produto. Finalmente, temos que organizar as restrições do modelo. Isso é ilustrado na Figura 1 (item 3). Os elementos que restringem o sistema são i) demanda e ii) quantidade de pessoas disponíveis. Para modelarmos as restrições sobre o número de pessoas disponíveis para produção das roupas no Solver do MS Excel, necessitamos calcular na planilha quantas pessoas são utilizadas em função da decisão de quantidade de lotes de moletons e camisetas. Nas células C18 e D18 calculamos o número de lotes multiplicado pelo número de pessoas por lote. Assim, o número de pessoas necessárias para produzir moletons é obtido pelo produto das células C12 e C6 e das células D12 e D6 para as pessoas necessárias para produzir os lotes de camisetas. 
O total de pessoas necessário para produzir os lotes é dado pela soma das células C18 e D18, operação que podemos observar na célula E18. As restrições relacionadas à demanda são configuradas no Solver que será apresentado posteriormente.
Figura 1 - Formulando o problema 
Com a planilha já pronta, foi configurado o Solver do MS Excel. Após a parametrização do modelo, foi gerado dois relatórios, de Resposta e de Sensibilidade.
Interpretando os resultados do modelo
Após rodar o Solver podemos observar na planilha Excel que contempla a estrutura do problema, conforme apresentado na Figura 2:
Figura 2 - Solução do problema 
No item 1 da Figura 2 encontramos os resultados para as variáveis de decisão (QLM – Quantidade de Lotes de Moletons e QLC – Quantidade de Lotes de Camisetas) encontrados pelo Solver que maximizam o lucro da empresa. Ao produzir um lote de moletom (QLM) e dois lotes de camiseta (QLC) o lucro observado pela empresa é de R$ 780,00 (item 2 – Figura 2). Esse é maior lucro possível para a empresa, dada às restrições de demanda e pessoas disponíveis.
O item 3 da Figura 2 apresenta as planilhas adicionais, salvas no momento em que foi selecionado os relatórios que apresentam informações complementares. 
Segue abaixo as análises dos resultados contemplados na aba “Relatórios de Respostas 1”:
Figura 3 - Relatório de Respostas 1 
O lucro máximo obtido pela empresa está apresentado na Figura 3 no item 1, enquanto que, as quantidades a serem produzidas para cada uma das variáveis de decisão são observadas no item 2 da Figura 3. Esses são os mesmos valores que foram observados anteriormente na planilha do MS Excel onde foi construído o modelo. Além disso, o MS Excel mostra quais eram os valores originais antes de ocorrer a otimização com o Solver. No item 3 da Figura 3 dispomos de informações em relação às restrições. Observa-se, também, por exemplo, que para a restrição relacionada ao número de pessoas disponíveis para produção foram consumidas 18 pessoas (coluna Valor da Célula). Nesse caso, na coluna Margem de Atraso podemos ver que não há sobra de pessoas, ou seja, todas elas foram utilizadas. O mesmo pode ser observado para a restrição relacionada à demanda mínima de lotes de moletons que deve ser maior ou igual a um. No caso, o status da restrição é “Associação”, pois a restrição foi atendida com valor exato, visto que, o modelo determinou apenas um lote de moletom para produção. Por fim, na restrição sobre demanda de lote de camiseta, o status é “Não associação”, pois a produção de lotes de camisetas excede em uma unidade (coluna Margem de Atraso) a demanda mínima que é igual a um. 
Realizando a análise de sensibilidade do modelo
Deve-se lembrar que a análise de sensibilidade é uma importante ferramenta para suportar as decisões baseadas nos resultados do modelo. A Figura 4 ilustra a planilha do MS Excel que resume o relatório de análise de sensibilidade.
Figura 4 - Relatório de Sensibilidade 
Analisando os resultados observados na Figura 4 à luz do que foi descrito anteriormente, se iniciará pelos resultados sintetizados no quadro “Células Variáveis”, seguido pela análise dos valores apresentados no quadro “Restrições”. Na coluna de “Valor Final” observamos a mesma informação que já sabemos sobre a quantidade a ser produzida de cada lote, ou seja, um lote de moletons e dois lotes de camisetas. Ou seja, essa coluna apresenta os valores que as variáveis de decisão receberam pelo Solver do MS Excel (item 1 da Figura 4). Em seguida, temos a coluna de Custo Reduzido (item 2 da Figura 4). Essa coluna nos informa se haveráalguma penalização na Função Objetivo, em virtude de um incremento ou redução nas variáveis de decisão. Uma penalização pode ser entendida como uma redução no valor final da Função Objetivo nos problemas de maximização ou um aumento no valor final nos problemas de minimização. No caso que estamos analisando, o relatório informa que se forçarmos o modelo a produzir uma unidade a mais de lotes de moletons, haverá uma redução de R$ 120,00 no lucro que foi calculado. Ou seja, o lucro reduzirá de R$ 780,00 para R$ 660,00.
Por sua vez, os itens 3 e 4 da Figura 4 mostram o quanto pode-se incrementar ou reduzir nos coeficientes da Função Objetivo sem que a solução seja alterada. Por exemplo, foi calculado que ao fabricar um lote de moletons, é gerado um lucro de R$ 280,00 e ao fabricar um lote de camisetas, é gerado um lucro de R$ 250,00. 
Avançando para a análise de sensibilidade das restrições, a Figura 5 apresenta o relatório no que tange as restrições, em particular a quantidade de pessoas disponíveis por dia:
Figura5-Relat. da anál. da sensibilidade 
Pode-se observar que no item 1 da Figura 5, foram utilizadas todas as 18 pessoas disponíveis para fabricar lotes de moletons e lotes de camisetas. Isso pode ser observado na coluna Valor Final. A quantidade de pessoas disponíveis para produzirem os brinquedos pode ser observada na coluna Restrição Lateral R. H. Já a coluna Preço Sombra nos diz que se contratássemos mais uma pessoa para trabalhar haveria um incremento na Função Objetivo de R$ 50,00.
No item 2 da Figura 5 temos outras duas colunas (permitido aumentar e permitido reduzir). Essas colunas nos dizem o quanto podemos aumentar ou reduzir da quantidade de recursos que temos na restrição. Nesse caso, estamos falando da quantidade de pessoas disponíveis para fabricar moletons ou camisetas. Contudo, a interpretação é um pouco distinta. Essas colunas informam o quanto pode-se incrementar ou reduzir os recursos e a priorização das variáveis na solução ótima não seria alterada. Por exemplo, se fosse reduzido a quantidade de pessoas de 18 para 14 pessoas, ainda assim a prioridade seria produzir lotes de camisetas em relação a lotes de moletons. Contudo, se reduzíssemos de 18 para 13 pessoas haveria uma alteração de prioridade.
Conclusão
Toda essa análise foi realizada através de um estudo de caso hipotético, onde se identificou a necessidade de otimizar a divisão/proporção de lotes, gerando o maior lucro possível. Conclui-se que o melhor cenário, para maximizar o lucro, é o seguinte:
• 1 lote de moletom,
• 2 lotes de camisetas,
• 18 pessoas/colaboradores,
Essas quantidades representam um lucro de R$ 780,00 (setecentos e oitenta reais). De forma geral, percebe-se que com o conhecimento de Pesquisa Operacional, e solução por programação linear, os empresários terão uma grande ferramenta gerencial em suas mãos para tomada de decisão.
Referências 
PIDD, Michael. Modelagem Empresarial: ferramentas para a tomada de decisão. Porto Alegre: Artes Médicas, 1998. 
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