Relatório de Pesquisa - Semelhança de Triângulos e suas Aplicações

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INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO, CIÊNCIA E TECNOLOGIA
SÃO PAULO – CÂMPUS ARARAQUARA
Licenciatura em Matemática
ALINE NEVES DE MELO
GUSTAVO DIAS DE SOUZA
KAIQUE AUGUSTO CARDOSO DE SOUZA
MARIANE MIGUEL DA SILVA
SABRINA CARVALHO DE SANTI
SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS E SUAS APLICAÇÕES
Relatório de pesquisa apresentado às disciplinas de Conjuntos e Noções de Lógica, Construções Geométricas, Geometria Plana, e Leitura, Interpretação e Produção de Textos, ministradas, respectivamente, pelos professores Leandro Jose Elias, Marcos Vinicius Ferreira Fernandes, Karla Barbosa de Freitas Spatti e Caroline Carnielli Biazolli.
Araraquara, Junho de 2018
RESUMO
O presente relatório aborda aspectos relacionados ao conceito e aplicações da semelhança de triângulos. Para tanto, são feitas demonstrações para comprovar a veracidade dos tópicos propostos. Nesse estudo foram utilizados conhecimentos prévios da matemática básica, além de proposições relacionadas à Geometria Euclidiana Plana, mais especificamente os teoremas e postulados de Euclides, com base em pesquisas os livros Geometria Euclidiana Plana de João Lucas Marques Barbosa e Geometria Euclidiana Plana e Construções Geométricas de Eliane Quelho Frota Rezende e Maria Lúcia Bontorim de Queiroz. As demonstrações apresentadas mostram como é importante o conhecimento do tema semelhança de triângulos nas resoluções de questões relacionadas à geometria e a existência de diferentes formas de utiliza-la em sala de aula. Por fim, esse estudo mostra a eficácia da pesquisa em grupo para chegar à conclusão dos tópicos que nos foram propostos, e as ligações do tema supracitado com outros conceitos na área da matemática.
Palavras-Chave: Semelhança de Triângulos. Demonstrações. Geometria Euclidiana Plana. Euclides. Postulados. Teoremas.
LISTA DE SÍMBOLOS 
· Ângulo: 
· Diferença: ≠
· Graus: º
· Implica: 
· Raiz: √
· Multiplicação: X ou .
· Segmento: 
· Semelhança: 
· Triângulo: 
SUMÁRIO
1 INTRODUÇÃO	5
2 FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA	6
3 METODOLOGIA	7
4 RESULTADOS E DISCUSÕES	8
4.1 DEMONSTRAÇÃO 1	8
4.2 DEMONSTRAÇÃO 2	9
4.3 DEMONSTRAÇÃO 3	10
4.4 DEMONSTRAÇÃO 4	12
4.5 DEMONSTRAÇÃO 5	13
5 SUGESTÕES E RECOMENDAÇÕES	14
6 CONCLUSÕES	15
7 REFERÊNCIAS	16
1 INTRODUÇÃO
Nesse relatório o tema abordado será a semelhança de triângulos, tendo como objetivo provar e demonstrar alguns dos variados tipos de semelhança, a partir de pesquisas realizadas com base em estudiosos na área da matemática e com o intuito de fazer com que o leitor compreenda melhor os tipos de resoluções que serão retratadas no decorrer desse trabalho. Apresentaremos então cinco demonstrações que comprovam a validade de alguns dos teoremas e proposições mais conhecidos no mundo da matemática, mostrando de fato que são resultados absolutos e frutos de estudos que já ultrapassam séculos. O trabalho foi iniciado com base nas explicações e demonstrações que vimos durante o período de aulas, e partindo desse ponto optamos por ir atrás de trabalhos de estudiosos que realizaram pesquisas sobre a semelhança de triângulos, utilizando também o banco de dados cedido pela biblioteca do campus, que nos proporcionou a leitura de diversas obras, a fim de obter um conhecimento mais aprofundado sobre o tema proposto.
Na seção a seguir apresentaremos a fundamentação teórica, que contém os pressupostos teóricos que nortearam nossa pesquisa. Após isso será apresentada a metodologia e as etapas utilizadas para obter os resultados finais desse processo, os quais serão discutidos na seção seguinte. Teremos uma seção especifica para avaliar o nosso próprio desempenho durante a realização desse trabalho e assim concluir se o método utilizado para as pesquisas foi eficaz. Nas seções finais do trabalho apresentaremos a conclusão com intenção de fechar as ideias apresentadas durante todo o desenvolvimento do relatório, além de auto avaliar o produto final dessa pesquisa, e por fim na seção de referências, citaremos todos os autores e obras que foram aplicadas para o estudo. 
2 FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA
Para desenvolver as atividades propostas, foi preciso nos basearmos em dois principais livros didáticos. O livro Geometria Euclidiana Plana de João Lucas Marques Barbosa e o livro Geometria Euclidiana Plana e Construções Geométricas de Eliane Quelho Frota Rezende e Maria Lúcia Bontorim de Queiroz.
Fundamentados nesses dois livros, primeiramente definimos o conceito de semelhança de triângulos, que consiste no estabelecimento de uma correspondência biunívoca entre os vértices de dois triângulos, de modo que seus ângulos correspondentes sejam iguais e os lados correspondentes sejam proporcionais. A partir dessa definição, também podemos citar a razão de proporcionalidade entre os lados que resultará na constante K.
Além disso, retiramos desses materiais, os principais casos de semelhança, que nos ajudaram a demonstrar a validade das relações métricas no triângulo retângulo, comprovando assim o Teorema de Pitágoras.
· A.A. (ângulo-ângulo) – Ocorre quando dois ângulos de um triângulo são respectivamente congruentes a dois ângulos de outro, o terceiro ângulo também será congruente. 
· L.A.L (lado-ângulo-lado) – Ocorre quando dois triângulos possuem um ângulo congruente compreendido entre lados proporcionais.
· L.L.L. (lado-lado-lado) – Ocorre quando todos os lados de um triângulo são proporcionais aos lados de outro.
Com o auxílio extra de vídeo-aulas de professores e também o livro Tópicos de Matemática Elementar de Antônio Caminha Muniz Neto, o grupo finalizou a obtenção dos conhecimentos necessários além de adquirir um maior suporte teórico e prático para a resolução e apresentação das demonstrações.
3 METODOLOGIA
Os métodos de construção do seminário se iniciaram nas pesquisas individuais de conteúdo por parte dos integrantes do grupo com o objetivo de adquirir melhor embasamento teórico para as resoluções das demonstrações a seguir. Feito isso, se iniciaram as reuniões para a discussão e o estudo das informações coletadas, assim como um planejamento prévio da apresentação.
Reunindo as informações coletadas, se mostrou necessário um conhecimento prévio de determinados assuntos da matemática básica para as demonstrações propostas, por isso houve a necessidade de retomar alguns pontos importantes relacionados às definições da geometria plana e às propriedades dos triângulos. Essa revisão foi feita de maneira geral, durante as reuniões do grupo, além de também contarmos com o amparo de vídeo-aulas e auxílio de nossos docentes.
Prontas as demonstrações, se deu início à construção do relatório e à preparação da apresentação oral, onde, além do trabalho coletivo do grupo, foram utilizadas mídias digitais como o programa GeoGebra para complementar nossa escrita com ilustrações, assim como a apresentação de slides para melhor compreensão do público na apresentação.
4 RESULTADOS E DISCUSÕES
4.1 DEMONSTRAÇÃO 1
I. Mostre que se dois triângulos são semelhantes à razão K, então a razão entre suas áreas é K².
- Hipótese: dois triângulos são semelhantes à razão K.
- Tese: a razão entre as áreas desses triângulos é K².
Suponhamos os triângulos ABC e DEF semelhantes à razão K.
Para calcular a razão entre suas áreas, consideremos: 
Para calcular as áreas desses triângulos, consideremos: 
Traçando a altura em relação ao vértice A, sendo o ponto M a interseção com o segmento BC, temos o segmento AM como altura (h) do triângulo ABC. Analogamente, traçando a altura em relação ao vértice D, sendo o ponto N a interseção com o segmento EF, temos o segmento DN como altura (h2) do triângulo DEF.
Pelos triângulos ABC e DEF serem semelhantes pelo caso A.A. (Ângulo-ângulo), temos que . E , pois são formados pelas alturas h e h2. Disso, temos que: e isso torna h (segmento AM) proporcional à h2 (segmento DN).
Logo, 
Utilizando o conceito de semelhança de triângulos (∆ ABC ~ ∆DEF e à razão K), temos: 
Substituindo valores, temos: 
Portanto, se dois triângulos são semelhantes à razão K, a razão entresuas áreas é K².
4.2 DEMONSTRAÇÃO 2
II. (Teorema de Menelau) – Sejam um triângulo 𝐴𝐵𝐶 e uma reta 𝑟 que intercepta o lado 𝐴𝐵 no ponto 𝑍, o lado 𝐴𝐶 no lado 𝑌 e a reta 𝐵𝐶 no ponto 𝑋. Prove que .
Hipótese: um triângulo ABC e uma reta r que intercepta o lado AB no ponto Z, o lado AC no ponto Y e a reta BC no ponto X.
Tese: 
1. Traçamos as alturas dos triângulos XCY e AYZ, denominando-as h1 e h2 respectivamente.
2. Traçamos uma reta perpendicular à reta r, que intercepta o ponto B.
3. PYC QYA, pelo caso de semelhança A.A.
CY = AY
PC = AQ (Ângulos opostos pelo vértice).
4. PXC RXB, pelo caso de semelhança A.A.
XB = XC
RB é comum aos dois triângulos.
5. QAZ RZB, pelo caso de semelhança A.A.
AZ = ZB
AQ = RB (Ângulos opostos pelo vértice).
 
6. Logo, o produto: .
Portanto, .
4.3 DEMONSTRAÇÃO 3
III. Demonstre a validade das relações métricas dos triângulos retângulos. (Proposição 5). 
Hipótese: Os triângulos ABC, ADC e ADB são triângulos retângulos.
Tese: ADC e ADB são semelhantes a ABC e também entre si.
Relações métricas: 
· 
· 
· 
· 
· 
Assumindo o triângulo retângulo ABC e traçando a altura (h) em relação ao vértice A, sendo o ponto D a interseção com o segmento BC, temos os novos triângulos ADB, de lados c, h e m, e ADC, de lados b, h e n. Disso, temos que: 
- m é a projeção do cateto c sobre a hipotenusa;
- n é a projeção do cateto b sobre a hipotenusa;
- Segmento AD é perpendicular ao segmento BC, logo os triângulos ADB e ADC são triângulos retângulos;
- ;
- ;
- .
Das três últimas informações, temos que: e . Logo, os triângulos ADB E ADC são semelhantes entre si e também semelhantes ao triângulo ABC. 
Em consequência da semelhança dos triângulos ADB e ADC, temos , resultando em .
Da semelhança dos triângulos ABC e ADB temos que . Disso temos as seguintes relações: e .
Em decorrência da semelhança dos triângulos ABC e ADC, temos que: .
O teorema de Pitágoras se prova através das semelhanças dos triângulos ADB, ADC e ABC.
Sabendo que: , temos e da semelhança , temos , sendo assim , como , então .
Portanto, ao provar as semelhanças entre os triângulos ABC, ADB e ADC, demonstramos a validade das relações métricas dos triângulos retângulos e também o Teorema de Pitágoras.
4.4 DEMONSTRAÇÃO 4
IV. Demonstre a recíproca do Teorema de Pitágoras.
Proposição 5.9 (Recíproca do Teorema de Pitágoras): Se o quadrado da medida de um lado de um triângulo é igual à soma dos quadrados dos outros dois lados, então o triângulo é retângulo, tendo o ângulo reto oposto ao primeiro lado.
Hipótese: O quadrado da medida de um lado de um triângulo é igual a soma dos quadrados dos outros dois lados.
Tese: O triângulo é retângulo, tendo o ângulo reto oposto ao primeiro lado.
Demonstração: Dado um triângulo ABC cuja seus lados medem a, b e c. Construa um triângulo retângulo A’B’C’, com ângulo reto em A’ e sua hipotenusa medindo d= sendo a≠d.
No triângulo ABC: .
No triângulo A’B’C’: .
Pela proposição, no triângulo ABC temos que , portanto . No triângulo A’B’C’, como o ângulo A’ é reto, (por definição) sua hipotenusa é o lado B’C’ com medida d, e os lados A’C’ e A’B’ têm medida b e c, respectivamente. Aplicando o Teorema de Pitágoras neste triângulo, temos que , mais objetivamente Entretanto, havíamos demonstrado que era a medida do segmento BC. Logo , portanto pelo critério de congruência de triângulos L.L.L. os triângulos ABC e A’B’C’ são congruentes, pois . Como A’ é ângulo de 90°, o ângulo A também será de 90°. Portanto, o triângulo ABC é retângulo, com ângulo reto em A.
4.5 DEMONSTRAÇÃO 5
V. Dado um triângulo 𝐴𝐵𝐶, construir um triângulo 𝐴′𝐵′𝐷 semelhante à 𝐴𝐵𝐶 à razão 𝑘 = 3⁄2. Justifique os passos de construção e o resultado obtido.
Com o uso de uma régua construa um ∆ABC qualquer. Em seguida trace uma reta r e faça o transporte desse triangulo para a reta, colocando a ponta seca do compasso em A com abertura até o ponto B e traçando na reta. Faça o transporte dos segmentos AC com ponta seca em A e BC com ponta seca em B. 
Terminado o transporte do ∆ABC para a reta r, trace a mediatriz do segmento AB, colocando a ponta seca em um dos vértices com abertura maior que a metade do segmento e trace um arco de cada lado do segmento, repita o mesmo processo mantendo a abertura do compasso, fazendo com que a intersecção desses arcos sejam os pontos X e Y. Trace uma reta que passe nos pontos X e Y gerando um ponto M que divide o segmento em medidas iguais.
Para a construção do triângulo semelhante com razão k=3/2, pegue a medida de e acrescente ao vértice B, com ponta seca em B trace o arco cortando a reta r, o novo ponto será intitulado de B’. Prolongue o segmento AC e depois transfira o ângulo do ∆ABC para o ponto B’, colocando a ponta seca no vértice B com abertura qualquer e traçando um arco que corte e nos pontos P e Q, em seguida com ponta seca em B’ trace com a mesma abertura do compasso o arco que corte a reta r em P’, pegue a medida de P até Q, com ponta seca em P’ trace um arco que intercepte o anterior no ponto Q’.
Para terminar a construção trace uma reta a partir do vértice B’ passando por Q’ até a reta do segmento AC, determinando o ponto D.
Fica assim demonstrado a construção do ∆A’B’D semelhante ao ∆ABC com k=3/2.
5 SUGESTÕES E RECOMENDAÇÕES
O método utilizado pelo grupo para realizar as pesquisas que serviram de apoio para a solução dos problemas se mostrou eficaz, pois ao nos basearmos principalmente em livros didáticos com dados realmente comprovados, nossas fontes se tornaram mais confiáveis. Porém, por também termos visto vídeo-aulas na internet, onde os professores explicavam o conteúdo de forma mais simples, fugindo um pouco do método tradicional dos livros, o entendimento do assunto pelo grupo fluiu de modo mais agradável, e assim o desenvolvimento dos exercícios discorreu naturalmente durante os estudos que foram realizados em grupo.
Também houve vários momentos em que o grupo se reuniu e discutiu o desenvolvimento das demonstrações, onde cada integrante apresentou os resultados que adquiriram em suas pesquisas individuais, e as ideias sobre a elaboração do relatório e apresentação, de forma que os leitores e ouvintes compreendessem as informações passadas pelo grupo. Esses momentos foram de grande importância, pois conseguimos trabalhar em grupo e ter a experiência de colaborar com o colega para a conclusão de nosso trabalho.
Com essas considerações, terminamos recomendado os métodos utilizados para a realização do trabalho.
6 CONCLUSÕES
Com base nas pesquisas realizadas pelo grupo e com o aprendizado que foi adquirido ao longo de todo o processo do trabalho, concluímos que a semelhança de triângulos possui diversos teoremas, proposições entre outras verdades que compõem o mundo da matemática, além de provarmos a validade de um dos teoremas mais conhecido do mundo, o famoso Teorema de Pitágoras, a partir de estudos históricos e contemporâneos realizados por estudiosos da área. Vimos também como a Geometria Plana auxilia no desenvolvimento de descobertas em variadas áreas do conhecimento, assim como é base para o plano de ensino de diversos cursos superiores onde a matemática entra como um dos principais requisitos para seguir a graduação.
O método de pesquisa a partir de obras e livros didáticos, que foram publicados por pesquisadores renomados, utilizado pelo grupo para resolver as questões propostas se mostrou eficaz, pois a partir dele e da ajuda concedida por nossos docentes, conseguimos alcançar os objetivos propostos para a atividade.
Por fim, o trabalho foi de grande importância para o grupo, pois nos proporcionou conhecimento mais detalhado sobre o assunto, além de nos conceder maior familiarização com a pesquisa, que é um dos, se não o principal, quesitos para se tornar um bom docente, com reconhecimento de seu trabalho.
7 REFERÊNCIAS
BARBOSA, J. L. M.. Geometria euclidiana plana. 11.ed. Rio de Janeiro: SBM, 2012.
MUNIZ NETO, A. C.. Tópicos de matemática elementar: geometria euclidiana plana. 2 ed. Rio de Janeiro: SBM, 2013.QUEIROZ, M. L. B. de; REZENDE, E. Q. F.. Geometria euclidiana plana e construções geométricas. 2.ed. Campinas, SP: Editora da Unicamp, 2008.
TEOREMA de Menelau. Direção: Colégio Naval. Vídeo-aula, 63’27’’. Disponível em: <https://www.youtube.com/watch?v=N82ob61MdaE>. Acesso em: junho de 2018.