Noção de probabilidade

Prévia do material em texto

Noção de probabilidade: axiomas e teoremas. 
 
 O nosso objetivo é encontrar um meio de obter o tal número, sem recorrer à experiência. E a 
característica que lhe exigimos e que tenha o valor que encontraríamos se realizássemos a 
experiência em causa um grande número de vezes. Este aspecto está na base de uma outra teoria 
a Teoria Frequencista das Probabilidades. Esta surgiu no início do séc. XX e segundo ela a 
probabilidade de um acontecimento pode ser determinada observando a frequência relativa 
desse acontecimento numa sucessão numerosa de experiências aleatórias. 
 
 No início do séc. XX começou a sentir-se a necessidade de uma axiomatização da teoria de 
probabilidades que foi feita em 1933 pelo matemático russo A. N. Kolmogorov. 
 
Andrey Kolmogorov (1903-1987) 
 
 
 Axiomática das Probabilidades 
 Sob um ponto de vista puramente matemático, suporemos que para cada acontecimento A, 
pertencente ao conjunto de todos os acontecimentos possíveis, existe um número, que 
designaremos por P(A), satisfazendo: 
 A1: 1AP0  )( ; 
 A2: 1P )( em que  é o acontecimento certo; 
 A3: Se ji AA  com ji  então  
n
1i i
n
1i i APAP )()( . 
 
 Com estes três axiomas podemos calcular P(A) sabemos já as suas características, com as 
quais se demonstram todas as propriedades seguintes. Note que pode-se recorrer, apenas para 
melhor visualização, a Diagramas de Venn. 
 
 Propriedades: 
 P1: “Se  for o conjunto vazio então 0P )( ”. 
 P2: “Se A é o acontecimento complementar de A então )()( AP1AP  ”. 
 P3:“Se A é um acontecimento qualquer então 1AP )( ”. 
 P4:“Se A e B forem acontecimentos quaisquer então )()()()( BAPBPAPBAP  ”. 
 P5:“Se A, B e C forem acontecimentos quaisquer então 
)()()()()()()()( CBAPCBPCAPBAPCPBPAPCBAP  ”. 
 P6: “Se )()( BPAPBA  ”. 
 
 
1) Em uma pesquisa realizada com 10.000 consumidores sobre a preferência da marca de 
sabão em pó, verificou-se que: 6500 utilizam a marca X; 5500 utilizam a marca Y; 2000 
utilizam as duas marcas. Foi sorteada uma pessoa desse grupo e verificou-se que ela utiliza a 
marca X. Qual a probabilidade dessa pessoa ser também usuária da marca Y? 
2) Em uma escola de idiomas com 2000 alunos, 500 alunos fazem o curso de inglês, 300 
fazem o curso de espanhol e 200 cursam ambos os cursos. Selecionando-se um estudante do 
curso de inglês, qual a probabilidade dele também estar cursando o curso de espanhol? 
 
 
 
1) Considerando o lançamento de uma moeda e um dado construa: 
 
a) O espaço amostral. 
 
b) Se o evento A = {cara com número ímpar} e evento B = {coroa com um número par}, exiba o evento 
B e o evento onde A e B ocorrem. 
2) Em determinado experimento constatou-se que 
2
1
)( AP e 
4
1
)( BP , onde A e B são 
mutuamente exclusivos. De acordo com essas informações, calcule: 
 
a) )(AP b) )(BP c) )( BAP  d) )(AUBP e) )(AUBP 
 
3) Um experimento constatou que 
2
1
)( AP , 
3
1
)( BP e 
4
1
)(  BAP . Calcule: 
4) Um número inteiro é escolhido aleatoriamente entre 1, 2, 3, ..., 50. Qual a probabilidade de ser: 
 
a) Múltiplo de 5 b) Divisível por 6 ou 8 c) Número primo 
 
5) As probabilidades de três jogadores acertarem um pênalti são respectivamente 
3
2
, 
6
4
 e 
10
7
. Se cada 
um chutar uma única vez, qual a probabilidade de: 
 
6) Uma urna contém 12 bolas: 5 brancas, 4vermelhas, e 3 pretas. Outra contém 18 bolas: 5 brancas, 6 
vermelhas e 7 pretas. Uma bola é retirada de cada urna. Qual a probabilidade de que as duas bolas sejam 
da mesma cor? 
 
 
7) A probabilidade de uma mulher estar viva daqui a 30 anos é 
4
3
e de seu marido é 
5
3
. Calcular a 
probabilidade de: 
 
8) Numa certa população 15% das pessoas têm sangue tipo A, 88% não têm sangue tipo B e 96% não têm 
sangue tipo AB. Escolhida ao acaso uma pessoa desta população, determine as probabilidades de: 
 
 
a) Não possuir sangue do tipo A 
b) Possuir sangue tipo B 
c) Possuir sangue tipo AB 
d) Possuir sangue tipo A ou B ou AB 
e) Possuir sangue tipo O 
 
9) Um grupo de 50 moças é classificado de acordo com a cor dos cabelos, e dos olhos de cada moça, 
segundo a tabela: 
 Azuis Castanhos 
Loira 17 9 
Morena 4 14 
Negra 3 3 
 
 
a) Se você marca um encontro com uma dessas garotas, escolhida ao acaso, qual a probabilidade dela ser: 
 
 a-1) morena de olhos azuis a-2) morena ou ter olhos azuis? 
 
b) Está chovendo quando você encontra a garota. Seus cabelos estão cobertos, mas você percebe que ela 
tem olhos castanhos. Qual a probabilidade de que ela seja morena? 
 
 
14) Um dado é viciado de modo que um número par é duas vezes mais provável que um número ímpar. 
Encontre a probabilidade de que ocorra: 
 
a) Um número par? b) Um número primo? c) Um número primo par? 
 
16) A probabilidade de que João resolve esse problema é de 
3
1
, e a de que José o resolva é de 
4
1
. Se 
ambos tentarem independentemente resolver, qual a probabilidade de que o problema seja resolvido? 
 
 
 
 
Em uma caixa há 4 bolas verdes, 4 azuis, 4 vermelhas e 4 brancas. Se tirarmos sem reposição 4 bolas 
desta caixa, uma a uma, qual a probabilidade de tirarmos nesta ordem bolas nas cores verde, azul, 
vermelha e branca?