Estatística aplicada a ciências contábeis aula 2

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ESTATÍSTICA APLICADA ÀS 
ANÁLISES CONTÁBEIS 
AULA 2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Profª Aline Purcote 
 
 
 
2 
CONVERSA INICIAL 
Podemos apresentar os dados por meio de um valor único com a 
finalidade de descrever ou resumir um fenômeno. Assim surge a utilização de 
medidas como as Medidas de Posição, que são altamente aplicáveis nas 
organizações, pois proporcionam a compreensão e interpretação das 
informações que servirão como base para tomadas de decisão. 
CONTEXTUALIZANDO 
Constantemente utilizamos a média para realizar análises em casa ou 
dentro das organizações. Verificamos a média de consumo realizada por um 
automóvel para comparar modelos e até para tomar a decisão de comprar ou 
vender determinado veículo. Verificamos a média de consumo de energia, média 
de preço e média de vendas de um determinado produto. Logo, utilizamos a 
média em diversas situações. Mas como calcular essa medida? 
Além da média, temos outras medidas que podemos utilizar, como a 
mediana, a moda e as separatrizes. Nesta aula vamos estudar como calcular 
essas medidas e como interpretar os resultados obtidos. 
TEMA 1 – MEDIDAS DE POSIÇÃO 
Uma forma mais sintética de descrever um conjunto de dados pode ser 
feita por meio de um valor único, que representa em termos “médios” todo o 
conjunto. Esse valor tende a se localizar no centro do conjunto de dados, em 
torno do qual os dados tendem a se agrupar facilitando a interpretação e geração 
de informações em uma pesquisa. 
Segundo Pereira (2014), as medidas de posição são as medidas de 
tendência central e as separatrizes, as quais determinam o posicionamento dos 
valores em uma distribuição de frequência, que permitem analisar o fenômeno 
estudado com mais exatidão. As medidas de tendência central dividem-se em 
média, mediana e a moda. Já as separatrizes se dividem em quartis, decis e 
percentis. 
As medidas de posição podem ser aplicadas em três situações: dados 
não agrupados, distribuição de frequência e distribuição de frequência por classe 
ou intervalo. 
 
 
3 
Tabela 1 – Dados não agrupados 
15 13 10 14 15 15 14 14 12 13 
 
Saiba mais 
Significa que os dados não estão dispostos em uma distribuição de 
frequência. Observe que nem toda tabela é uma distribuição. A tabela 
apresentada não é uma distribuição de frequência, pois não possui a informação 
de frequência, e sim os meses e o valor em R$. 
Tabela 2 – Dados agrupados em uma distribuição de frequência 
 
Tabela 3 – Dados agrupados em uma distribuição de frequência por classe 
 
TEMA 2 – MÉDIA 
2.1 Média ou média aritmética 
De acordo com Pereira (2014), a média aritmética é uma medida 
estatística que representa o grau de concentração dos valores em uma 
distribuição, ou seja, é onde a maioria dos valores está posicionada. 
Veículos 
Negociados
Número de 
Vendedores
1 1
2 3
3 5
4 1
Total 10
Salário Nº Funcionários
1000|--- 2000 20
2000|--- 3000 18
3000|--- 4000 9
4000|--- 5000 3
 
 
4 
A média aritmética ou apenas média é a medida de centralidade mais 
comum e representada pelo símbolo X . É a soma dos resultados obtidos 
dividido pela quantidade de resultados, ou seja, somamos todos os valores e 
dividimos pela quantidade de dados que temos. 
Para calcular a média, em dados não agrupados, utilizamos a fórmula: 
N
X
X

 
em que, X são os dados, N a quantidade de observações, e o símbolo 
representa o somatório, ou seja, a soma de todos os valores. 
2.1.1 Exemplo 1 
Uma empresa apresentou durante o ano os seguintes volumes de vendas, 
em reais: 2.500; 2.600; 3.100; 15.100; 4.600; 4.000; 4.100; 3.700; 3.400; 3.600; 
3.900; 4.200. Qual a média anual de vendas dessa empresa? 
Para encontrar a média, precisamos somar os valores fornecidos e dividi-
los por 12, pois temos 12 valores apresentados. 
 
12
4200390036003400370041004000460015100310026002500 
X
67,566.4
12
54800
X 
 Logo, a média anual de vendas dessa empresa é de R$ 4.566,67. 
2.1.2 Exemplo 2 
As exportações de determinado porto brasileiro registraram o seguinte 
movimento, em bilhões de reais, durante um ano. Qual foi a média mensal de 
exportações, em bilhões de reais? (Castanheira, 2010). 
 
 
5 
 
Para encontrar a média, precisamos somar os valores mensais de 
exportações – segunda coluna (R$) – e depois dividir por 12, pois temos 12 
meses. 
 
 
Desse modo, a média mensal de exportações é de 3 bilhões de reais. 
2.2 Média Aritmética Ponderada ou Média Ponderada 
Além da Média Aritmética, temos a Média Aritmética Ponderada ou 
apenas Média Ponderada, que é utilizada quando os dados estão agrupados em 
uma distribuição de frequências. Usamos a média dos valores ponderados pelas 
suas respectivas frequências, pois cada grandeza envolvida no cálculo tem 
diferente importância, ou seja, acontece um número diferente de vezes. Para 
calcular a média ponderada, utilizamos a fórmula a seguir e os seguintes passos. 
N
)f.X(
X

 , em que N = f 
1. Multiplica-se os dados (X) pela frequência (f) para cada um dos valores 
da distribuição, ou seja, para todas as linhas da tabela. 
2. Soma-se os valores obtidos na multiplicação X.f. 
3. Encontra-se o valor de N, que é o número de observações, somando a 
coluna de frequências. 
4. Divide-se o valor encontrado na soma de X.f pelo valor de N. 
3
12
36
X
 
 
6 
2.2.1 Exemplo 1 
Calcule a média das idades representadas na seguinte distribuição de 
frequências. 
 
1. Multiplica-se os dados (X) – nesse caso, X são as idades que estão 
representadas na primeira coluna – pela frequência (f), que estão 
representadas na segunda coluna para cada um dos valores da 
distribuição. 
 
2. Soma-se os valores obtidos na multiplicação X.f. 
 
3. Encontra-se o valor de N somando-se a coluna de frequências: N= 20. 
Idade Frequência x.f 
4 4 16 
5 6 30 
6 6 36 
7 4 28 
 20 110 
 
 
Idade Freqüência x.f
4 4 16
5 6 30
6 6 36
7 4 28
110
 
 
7 
4. Divide-se o valor encontrado na soma de x.f pelo valor de N. 
Idade Frequência x.f 
4 4 16 
5 6 30 
6 6 36 
7 4 28 
 20 110 
5,5
20
110
X 
A idade média desse grupo é de 5,5 anos. 
2.2.2 Exemplo 2 
Foram inspecionados 30 aparelhos fabricados por certa indústria, 
obtendo-se os seguintes números de defeitos por aparelhos: 
 
Qual o número médio de defeitos? 
Para calcular a média, vamos multiplicar X.f, somar os valores obtidos, 
encontrar o valor de N e por último realizar a divisão. 
 
Número de defeitos f X.f 
0 12 0 
1 8 8 
2 7 14 
3 1 3 
4 2 8 
 30 33 
1,1
30
33
X 
Em média, os aparelhos inspecionados apresentaram 1,1 defeitos. 
Número de 
defeitos
f
0 12
1 8
2 7
3 1
4 2
 
 
8 
2.3 Distribuição de frequências representada em intervalos ou classes em 
média ponderada 
Quando temos uma distribuição de frequências representada em 
intervalos ou classes, os valores de X, na fórmula da média ponderada, são 
representados pelos pontos médios (PM) desses intervalos. Assim: 
X = 
N
)f.PM(
 
Dessa forma, sempre que for necessário calcular a média em uma 
Distribuição de Frequência por classe, o primeiro passo será calcular o ponto 
médio de cada classe para, depois, seguir com os passos para calcular a média. 
1. Calcula-se o ponto médio de cada classe: 
2
LiLs
Pm

 . 
2. Multiplica-se o ponto médio (PM) pela frequência (f) para cada um dos 
valores da distribuição, ou seja, para todas as classes da tabela. 
3. Soma-se os valores obtidos na multiplicação PM.f. 
4. Encontra-se o valor de N somando-se a coluna de frequências. 
5. Divide-se o valor encontrado na soma de PM.f pelo valor de N. 
2.3.1 Exemplo 1 
Foram medidas as alturas dos funcionários de uma determinada empresa, 
obtendo os dados apresentados na tabela a seguir. Qual é a média das alturas? 
 
Para calcular a média, vamos seguir os passos apresentados. 
1. Calcula-se o ponto médio de cada classe. 
Primeira classe: 
152
2
304
2150154
2





LiLs
PM 
Seguindo o cálculo para todas as classes, temos: 
 
 
9 
 
2. Multiplica-se o ponto médio (PM) pela frequência (f) para todas as classes. 
 
3. Soma-se os valores obtidos na multiplicação PM.f. 
 
4. Encontra-se o valor de N somando-se a coluna de frequências. 
 
5. Divide-se o valor encontrado na soma de PM.f pelo valor de N. 
 
161
40
6440
X 
 
 
10 
Em média, os funcionários dessa empresa possuem alturas iguais a 
161 cm. 
2.3.2 Exemplo 2 
Considere a seguinte tabela, que representa o salário (R$) de uma 
amostra de 50 funcionários de uma determinada empresa. Qual o salário médio 
desses funcionários? 
 
Para encontrar a média, calculamos o ponto médio, depois multiplicamos 
o ponto médio pela frequência, somamos os resultados obtidos na multiplicação 
e, por último, dividimos por N. 
 
400.2
50
120000
X 
Portanto, o salário médio é R$ 2.400. 
TEMA 3 – MEDIANA 
A mediana é representada por Md e seu valor indica o elemento que 
ocupa a posição central, dividindo a distribuição em 50%, ou seja, é o valor que 
divide o conjunto de dados em duas partes iguais, sendo que 50% dos valores 
ficam abaixo e 50% ficam acima da mediana. 
Figura 1 – Mediana 
 
A mediana para dados não agrupados é o valor que divide a série 
ordenada em dois conjuntos com o mesmo número de valores. Segundo 
Salário Nº Funcionários
1000|--- 2000 20
2000|--- 3000 18
3000|--- 4000 9
4000|--- 5000 3
Salário Nº Funcionários PM PM . F
1000|--- 2000 20 1.500 30.000 
2000|--- 3000 18 2.500 45.000 
3000|--- 4000 9 3.500 31.500 
4000|--- 5000 3 4.500 13.500 
50 120.000 
 
 
11 
Castanheira (2010), é necessário observar que a quantidade de dados pode ser 
par ou ímpar. Sendo ímpar, o valor da mediana é o valor que está no centro da 
série; sendo par, a mediana será a média aritmética dos dois valores que estão 
no centro da série. 
Para dados não agrupados, os passos para o cálculo da mediana são os 
seguintes. 
1. Ordena-se a série. 
2. Encontra-se a quantidade de dados N que é igual ao número de 
observações. 
3. Verifica-se se N é ímpar ou par. 
4. Calcula-se a posição da mediana. Posição = 
2
N
. 
6. Calcula-se a mediana: ímpar = valor central; par = Média dos valores 
centrais. 
3.1 Exemplo 1 
Considere a série 2,5,6,8,10,13,15,16,18 e calcule a mediana. 
1. Ordena-se a série (neste exemplo, a série já está ordenada). 
2. Encontra-se o número de observações (N), isto é, conta-se quantos dados 
temos na série. Nesse caso, N = 9. 
3. Verifica-se se N é ímpar ou par. N = 9 é ímpar. 
4. Calcula-se a Posição. 
Posição = 55,4
2
9
2

N
 
Sempre que a posição apresentar número com vírgula, arredonda-se para 
o inteiro mais próximo. 
5. Calcula-se a mediana. Como o N é ímpar, vamos procurar na série 
ordenada o número que está na posição 5. Para isso, contamos as 
posições, ou seja, o número 2 está na primeira posição, o número 5 na 
segunda. Seguindo esse processo, temos o número 10 na quinta posição. 
 
2,5,6,8,10,13,15,16,18 
 
 
12 
A mediana é igual a 10, pois abaixo de 10 temos 4 números (2,5,6,8) e 
acima de 10 também 4 (13, 15, 16, 18). 
3.2 Exemplo 2 
Considere a série 1,6,3,10,9,8 e calcule a mediana. 
1. Ordena-se a série. 
1, 3, 6, 8, 9, 10 
2. Encontra-se o número de observações (N), isto é, conta-se quantos dados 
temos na série. Assim, N = 6. 
3. Verifica-se se N é ímpar ou par. N = 6 é par. 
4. Calcula-se a Posição. 
3
2
6
2
N 
5. Calcula-se a mediana. Como o N é par, precisamos encontrar os dois 
valores que estão no meio da série. Assim, vamos procurar na série 
ordenada o número que está na posição 3; a próxima posição que é a 
posição 4. 
1,3,6,8,9,10 
Na posição 3, temos o número 6, e na posição 4, o número 8. Dessa 
forma, devemos encontrar a média entre os dois valores, ou seja, somar e dividir 
por 2. Logo, a mediana será: 
Md = 7
2
14
2
86


 
Podemos também calcular a mediana em uma distribuição de frequências 
realizando os seguintes passos. 
1. Encontra-se o valor de N, que é igual à soma das frequências. 
2. Determina-se se N é par ou ímpar. 
3. Calcula-se a Frequência Acumulada (fa). 
4. Calcula-se a Posição = 
𝑁
2
. 
5. Identifica-se na Frequência Acumulada a posição calculada no passo 4. 
Sempre buscar um valor igual ou maior que a posição calculada. 
6. Calcula-se a mediana. 
 
 
13 
Ímpar = valor central 
Par = Média dos valores centrais 
3.3 Exemplo 3 
Foram inspecionados 30 aparelhos fabricados por certa indústria, 
obtendo-se os seguintes números de defeitos por aparelhos. 
 
Qual a mediana dessa distribuição? 
Para determinar a mediana, seguimos os passos indicados anteriormente. 
1. Encontra-se o valor de N. Para encontrá-lo, somamos as frequências; 
temos N = 30. 
 
2. Determina-se se N é par ou ímpar. Nesse caso, N = 30, então N é par. 
3. Calcula-se a Frequência Acumulada. Para calcular a Frequência 
Acumulada, repetimos a primeira frequência e a somamos com a 
frequência seguinte. 
Número de defeitos f fa 
0 12 12 
1 8 20 
2 7 27 
3 1 28 
4 2 30 
4. Calcula-se a Posição. 
 
 
14 
Posição = 15
2
30
2

N
 
5. Identifica-se, por meio da Frequência Acumulada, a posição. Como N é 
par, precisamos de dois valores centrais, assim consideramos o valor que 
está na posição 15 e posição 16. Procuramos na coluna da Frequência 
Acumulada valor igual ou maior a 15 e 16. Esse número está na 
Frequência Acumulada igual a 20 que possui dado igual a 1. 
 
 
Posição 15 = 1 
Posição 16 = 1 
6. Calcula-se a mediana. Soma-se os dados encontrados nas posições. 
Md = 1
2
2
2
11


 
Logo, a mediana dessa distribuição é igual a 1, ou seja 50% dos aparelhos 
verificamos possuem até 1 defeito. 
3.4 Exemplo 4 
Uma pesquisa foi realizada para avaliar o preço de determinado produto 
em diferentes supermercados, obtendo a seguinte distribuição. Com base nos 
dados coletados, calcule a mediana. 
 
1. Encontra-se o valor de N. Soma-se as frequências. 
Preço Frequência
73 2
75 10
77 12
79 5
81 2
Número de defeitos f fa 
0 12 12 
1 8 20 
2 7 27 
3 1 28 
4 2 30 
 
 
15 
 
2. Determina-se se N é par ou ímpar. N = 31, então N é ímpar. 
3. Calcula-se a Frequência Acumulada. 
 
4. Calcula-se a Posição. 
Posição = 165,15
2
31
2
N 
5. Identifica-se, por meio da Frequência Acumulada, a posição. Procuramos 
na coluna da Frequência Acumulada valor igual ou maior que 16. Esse 
número está na Frequência Acumulada igual a 24 que possui dado igual 
a 77. 
6. Calcula-se a mediana: como N é um número ímpar, a mediana é o valor 
encontrado na posição 16, ou seja, a mediana é igual a 77. 
Logo, a mediana dessa distribuição é igual a 77, ou seja, 50% dos locais 
comercializam o produto por até R$ 77. 
Para calcular a mediana em uma distribuição de frequências com os 
dados agrupados por classes, seguimos os seguintes passos. 
1. Encontra-se o valor de N, que é igual à soma das frequências. 
2. Calcula-se a Posição = 
2
N
. 
3. Calcula-se a Frequência Acumulada (fa). 
4. Identifica-se na Frequência Acumulada a posição calculada no passo 2 
(sempre buscar um valor igual ou maior que a posição calculada). 
5. Calcula-se a mediana, utilizando a fórmula: 
Preço Frequência
73 2
75 10
77 12
79 5
81 2
31
Preço Frequência fa
73 2 2
75 10 12
77 12 24
79 5 29
81 2 31
31
 
 
16 
Md = Li + 
A
f
fN
Md
ant .
)2/(  
Em que: 
 Li = limite inferior da classe que contém a mediana. 
 N = número de observações, ou seja, soma das frequências. 
  antf = soma das frequências anteriores à classe que contém a mediana. 
 A = amplitude das classes: A = Ls – Li. 
 Mdf = frequência da classe que contém a mediana. 
3.5 Exemplo 5 
A tabela a seguir representa as notas obtidas por um grupo de 58 alunos 
matriculados em uma determinada disciplina. Calcule a mediana (adaptado de 
Shiguti; Shiguti, 2006). 
 
Paracalcular a mediana, seguimos os passos mencionados 
anteriormente. 
1. Encontra-se o valor de N que é igual à soma das frequências. 
 
2. Calcula-se a Posição 
Posição = 29
2
58
2

N
 
3. Calcula-se a Frequência Acumulada (fa). 
 
 
17 
 antf
 
4. Identifica-se na Frequência Acumulada a posição calculada no passo 2. 
Posição = 29, identificada na terceira classe. 
 
5. Calcula-se a mediana, utilizando a fórmula: 
Md = Li + 
A
f
fN
Md
ant .
)2/(  
Como a posição foi identificada na terceira classe, essa classe será 
utilizada como base para os cálculos, em que: 
Li = 55 
29
2
58
2

N
 
  antf = soma das frequências anteriores à classe que contém a mediana 
= 17. 
 Mdf = frequência da classe que contém a mediana = 18. 
 
 
 
18 
A = Ls – Li = 65 – 55 = 10 
Conhecido todos os valores, aplicamos a fórmula e encontramos a 
mediana. 
 
A mediana é igual a 61,67, ou seja, 50% dos alunos obtiveram nota até 
61,67 pontos. 
TEMA 4 – MODA 
A moda (Mo) é representada pelo valor que ocorre o maior número de 
vezes, ou seja, que mais se repete em uma série de dados, que possui a maior 
frequência. A moda pode ter três diferentes situações: 
1. Distribuição modal: quando temos apenas um valor para moda; 
2. Distribuição bimodal: quando temos dois ou mais valores para moda; 
3. Distribuição amodal: quando não existe moda, ou seja, não há repetição 
de valores. 
Nos dados não agrupados, obtemos a moda pela observação da série, ou 
seja, verificamos o valor que mais se repete. 
4.1 Distribuição modal 
4.1.1 Exemplo 
Na série 7, 10, 9, 8, 12, 10, 11, 10, a moda é igual a 10, pois o número 10 
aparece 3 vezes. 
4.2 Distribuição bimodal 
4.2.1 Exemplo 
A série 4, 3, 2, 4, 5, 7, 6, 4, 7, 9, 8, 7 apresenta duas modas: 4 e 7, logo a 
série é bimodal. Tanto o número 4 como 7 aparecem 3 vezes na série. 
 
 
19 
4.3 Distribuição amodal 
4.3.1 Exemplo 
A série 3, 5, 8, 10, 12 não apresenta moda, isto é, a série é amodal. 
4.4 Distribuição de frequência sem o agrupamento em intervalos ou 
classes 
Na distribuição de frequência sem o agrupamento em intervalos ou 
classes, a moda é o valor que possui a maior frequência. Verificamos na coluna 
de frequência o maior valor e a moda será o valor de X que está na primeira 
coluna. 
4.4.1 Exemplo 
Encontre a moda da seguinte distribuição. 
Verificando a coluna de frequência, a maior frequência é 12. Assim, a 
moda é identificada pelo dado da primeira coluna, ou seja, a moda é igual à zero 
(Mo = 0). 
Número de defeitos F 
0 12 
1 8 
2 7 
3 1 
4 2 
4.5 Distribuição de frequência com dados agrupados em classes 
Quando temos uma distribuição de frequências com dados agrupados em 
classes, precisamos dos seguintes passos para calcular a moda. 
1. Identifica-se em que classe se encontra a moda, ou seja, a classe que 
apresenta a maior frequência. 
2. Determina-se o valor da moda utilizando a fórmula: 
Mo = Li + 
postant
post
ff
A.f

 
 
 
 
20 
Em que: 
 Li = limite inferior da classe que contém a moda. 
 postf = frequência da classe posterior à classe que contém a moda. 
 antf = frequência da classe anterior à classe que contém a moda. 
 A = amplitude das classes: A = Ls – Li. 
4.5.1 Exemplo 
A tabela a seguir representa as notas obtidas por um grupo de 58 alunos 
matriculados em uma determinada disciplina. Calcule a moda. (Adaptação: 
Shiguti, Wanderley Akira; Shiguti, Valéria da S. C. Apostila De Estatística) 
 
Passos para determinação da moda: 
1. Identifica-se em que classe se encontra a moda, ou seja, a classe que 
apresenta a maior frequência de ocorrência. A maior frequência é 18, 
assim, a moda está localizada na classe: 55|---- 65. 
2. Determina-se o valor da moda utilizando a fórmula: 
Li = 55 
Em que: 
 postf = frequência da classe posterior à classe que contém a moda = 14. 
 antf = frequência da classe anterior à classe que contém a moda = 12. 
 
 
post
f
 
ant
f
 
 
21 
A = Ls – Li = 65 – 55 = 10 
1412
10.14
55

Mo
 
26
140
55Mo
 
38,6038,555 Mo 
A moda é igual a 60,38, ou seja, a nota que aparece com mais frequência 
ou que mais se repete é 60,38. 
TEMA 5 – SEPARATRIZES 
As separatrizes são números que dividem uma distribuição em partes 
iguais e determinam o posicionamento de certo valor na distribuição. Podemos 
determinar qual o valor que separa a distribuição em 4, 10 ou 100 partes iguais, 
ao qual chamamos de quartis, decis e percentis, respectivamente. 
Os quartis permitem dividir a distribuição em quatro partes iguais e são 
representados por Qi, em que i representa a ordem do quartil. No diagrama 
abaixo, o 1.º quartil representa 25% dos dados, o 2.º quartil representa 50% e o 
terceiro representa 75% dos dados. Isso ocorre porque dividimos 100% dos 
dados por 4, obtendo 25%. Assim, a cada quartil acumulamos 25%. 
Figura 2 – Quartis 
 
Quando temos dados não agrupados, encontramos o quartil colocando os 
dados em ordem e depois aplicando regra de três, que indicará o posicionamento 
do elemento no conjunto de dados. Considerando o seguinte conjunto de dados, 
vamos determinar o primeiro quartil: 
6, 47, 49, 15, 42, 41, 7, 39, 43, 40, 36 
Primeiramente precisamos ordenar o conjunto de dados: 
6, 7, 15, 36, 39, 40, 41, 42, 43, 47, 49 
Sabemos que o primeiro quartil corresponde a 25% dos dados e, no total, 
(100%) temos 11 dados. Assim, montamos a regra de três: 
100% --------> 11 
25% ---------> X 
 
 
22 
Multiplicando cruzado, temos: 
100% X = 25% . 11 
100X = 275 
X = 275 / 100 
X = 2,75 
O valor encontrado é a posição do primeiro quartil. Como temos um 
número decimal, arredondamos para o imediatamente superior, ou seja, vamos 
procurar o número da série ordenada que ocupe a posição 3: 
6, 7, 15, 36, 39, 40, 41, 42, 43, 47, 49 
 
Logo, o primeiro quartil é o número 15, que representa 25% do conjunto 
de dados. Se aplicarmos a mesma lógica para encontrar o segundo e terceiro 
quartil, precisamos alterar o 25% por 50% ou 75%, dependendo do quartil a ser 
calculado, e encontramos Q2 = 40 e Q3 = 43. 
Para uma distribuição de frequência por classe e intervalos, o cálculo é 
muito próximo ao realizado na mediana por classe. A diferença está no cálculo 
da posição, que dividimos por 4, e precisamos indicar o quartil a ser calculado 
conforme passos a seguir. 
1. Encontra-se o valor de N que é igual a soma das frequências. 
2. Calcula-se a Posição = i
N
.
4
, em que i representa o quartil a ser calculado, 
assim, i = 1, 2 ou 3. 
3. Calcula-se Frequência Acumulada (fa). 
4. Identifica-se na Frequência Acumulada a posição calculada no passo 2 
(sempre buscar um valor igual ou maior que a posição calculada). 
5. Calcula-se o quartil, utilizando a fórmula: 
A
f
fi
N
LiQi
Di
ant
.
).
4
( 
 
5.1 Exemplo 1 
Uma empresa realizou um levantamento para conhecer a distribuição dos 
salários de um determinado departamento e obteve a distribuição de frequência 
relativa ao salário mínimo indicada na tabela a seguir. Calcule o primeiro quartil. 
 
 
23 
 
Vamos somar as frequências para encontrar N. Calcula-se a posição 
considerando-se i=1, pois queremos o 1.º quartil, e calcula-se a Frequência 
Acumulada. 
N = 101 
Posição = i
N
.
4
= 25,251.
4
101
 
Salários f fa 
0|---- 2 8 8 
2|---- 4 12 20 
4|---- 6 22 42 
6|---- 8 26 68 
8|---- 10 18 86 
10|----12 15 101 
 101 
Agora, precisamos identificar na Frequência Acumulada a posição 25,25, 
que está na classe 4|---- 6, e aplicamos a fórmula. 
A
f
fi
N
LiQi
Di
ant
.
).
4
( 
 
2.
22
)2025,25(
41

Q 
48,448,042.
22
)25,5(
41 Q 
Observa-se que 25% dos funcionários desse departamento recebem até 
4,48 salários mínimos. 
Os decis permitem dividir a distribuição em dez partes iguais e são 
representados por Di, em que i representa a ordem do decil (1, 2, 3, ..., 9). No 
diagrama a seguir, verificamos que cada decil correspondea 10% do conjunto 
de dados, pois dividimos 100% dos dados por 10, obtendo 10%. Assim, a cada 
decil, acumulamos 10%. 
Salários f
0|---- 2 8
2|---- 4 12
4|---- 6 22
6|---- 8 26
8|---- 10 18
10|---- 12 15
 
 
24 
 
Já os percentis permitem dividir a distribuição em cem partes iguais e são 
representados por Pi, em que i representa a ordem do percentil (1, 2, 3,...., 99). 
No diagrama a seguir, verificamos que cada percentil corresponde a 1% do 
conjunto de dados, pois dividimos 100% dos dados por 100. Assim, a cada 
percentil, acumulamos 1%. 
 
A estrutura de cálculo para os decis e percentis é exatamente igual à dos 
quartis, porém temos uma modificação no cálculo da posição, pois estamos 
falando de 10 partes ou 100 partes iguais. 
 Decis: Posição = i
N
.
10
, em que i representa o decil a ser calculado. Assim, 
i = 1, 2,..., 9. 
A
f
fi
N
LiDi
Di
ant
.
).
10
( 
 
 Percentis: Posição = i
N
.
100
, em que i representa o percentil a ser 
calculado. Assim, i = 1, 2,..., 99. 
A
f
fi
N
LiPi
Pi
ant
.
).
100
( 
 
Voltando ao exercício 1, vamos utilizar a distribuição de frequência para 
calcular o 8.º decil e o percentil 90. 
Salários f Fa 
0|---- 2 8 8 
2|---- 4 12 20 
4|---- 6 22 42 
6|---- 8 26 68 
8|---- 10 18 86 
10|----12 15 101 
 101 
 
 
25 
 8º decil: Posição = i
N
.
10
= 80,808.
10
101
 
Classe: 8|---- 10 
2.
18
)6880,80(
88

D 
42,942,188 D 
Ou seja, 80% dos funcionários desse departamento recebem até 9,42 
salários mínimos. 
 Percentil 90: Posição = i
N
.
100
= 90,9090.
100
101
 
Classe: 10|----12 
2.
15
)8690,90(
1090

P 
65,1065,01090 P 
Ou seja, 90% dos funcionários desse departamento recebem até 10,65 
salários mínimos. 
TROCANDO IDEIAS 
Aqui estudamos as principais medidas de posição: média, mediana, moda 
e separatrizes. Verificamos que essas medidas estão presentes em diversas 
situações do nosso cotidiano. 
Você já utilizou algumas das medidas citadas em seu dia a dia, em casa 
ou dentro de uma empresa? Como foi essa utilização? Essa medida foi utilizada 
para tomadas de decisão? 
NA PRÁTICA 
Frequentemente utilizamos as medidas para auxiliar na tomada de 
decisão. Verificamos o preço médio de um produto, o consumo médio, o tempo 
médio de entrega e, assim, geramos informações úteis no nosso cotidiano dentro 
e fora das organizações. 
As medidas podem ser utilizadas dentro das organizações nas pesquisas. 
Por exemplo, uma loja está interessada em conhecer o perfil de seus clientes, 
assim coleta as idades de uma amostra de consumidores para estimar qual é a 
 
 
26 
idade média desse grupo. Com essa informação, a empresa pode embasar os 
seus anúncios adequando-os para a faixa etária do seu público, ou ainda, 
adequando o layout da loja, garantindo assim mais assertividade e conquistando 
o seu público principal. Podemos também observar os custos para produção de 
certo item chegar a um valor que indica o custo médio de produção para realizar 
controle de custos ou comparar com os concorrentes. 
Se observarmos, as medidas são utilizadas em diversas áreas, sempre 
auxiliando nas análises e decisões. Por meio dessas medidas, podemos também 
verificar o número de investimentos que ocorrem em determinada instituição, 
qual é o investimento mais procurado, quanto, em média, é investido em cada 
situação e conhecer o perfil de investidores em determinada instituição 
financeira. 
FINALIZANDO 
Nesta aula apresentamos as principais Medidas de Posição, seus 
cálculos, aplicações e interpretações dos resultados obtidos. Definimos e 
calculamos média, mediana, moda, quartil, decil e percentil. 
 
 
 
27 
REFERÊNCIAS 
CASTANHEIRA, N. P. Estatística aplicada a todos os níveis. Curitiba: 
InterSaberes, 2012. 
PEREIRA, A. T. Métodos quantitativos aplicados à contabilidade. Curitiba: 
InterSaberes, 2014. 
SHIGUTI, W. A.; SHIGUTI, V. da S. C. Apostila de estatística. Brasília, 2006. 
Disponível em: <http://www.inf.ufsc.br/~paulo.s.borges/Download/Apostila5 
_INE5102_Quimica.pdf>. Acesso em: 22 set. 2019.