Livro Digital - AVALIAÇÃO DO TEMPO E RISCO2

Prévia do material em texto

01/03/2021 Livro Digital - AVALIAÇÃO DO TEMPO E RISCO
https://livrodigital.uniasselvi.com.br/pos/avaliacao_do_tempo_e_risco/conteudo.html?capitulo=2 1/52
RISCO E RETORNO
OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM
Entender a relação entre risco e retorno. 
Dominar os procedimentos estatísticos necessários para aferir e medir o
risco de um ativo ou carteira de ativos. 
Calcular o risco e o retorno. 
Compreender o modelo de formação de preços de ativos e sua relação com a
linha de mercado de títulos.
A partir da perspectiva do saber fazer, neste capítulo você terá os seguintes
objetivos de aprendizagem:
CONTEXTUALIZAÇÃO
No capítulo anterior foram apresentadas técnicas e conceitos relacionados ao
valor do dinheiro no tempo. Aquelas análises, as quais utilizaram o cálculo do valor
presente e futuro de uma quantia, desconsideram um aspecto muito importante
que existe no mercado �nanceiro: o risco do investimento. Em contrapartida, este
capítulo versará sobre a relação entre risco e retorno de um ativo, constatando
que deverá existir uma recompensa por correr risco, a qual é chamada de prêmio
pelo risco. De modo geral, a relação entre risco e retorno é positiva e direta, ou
Capítulo 2 
01/03/2021 Livro Digital - AVALIAÇÃO DO TEMPO E RISCO
https://livrodigital.uniasselvi.com.br/pos/avaliacao_do_tempo_e_risco/conteudo.html?capitulo=2 2/52
seja, quanto maior for o risco, maior deverá ser o retorno potencial exigido. Assim,
os novos conceitos tornam-se fundamentais para a escolha de qual a melhor
opção de investimento e devem ser estudados.
Antecipando brevemente o que será detalhado ao decorrer do capítulo, o risco
envolve tanto os ativos individuais quanto as carteiras com vários ativos. Ainda,
existem dois tipos de riscos, o sistemático e não sistemático. O risco sistemático
afeta todos os ativos da economia de alguma forma, por outro lado, o não
sistemático afeta, no máximo, um número pequeno de ativos. Para mitigar o risco
não sistemático, pode-se utilizar o princípio da diversi�cação através da
composição de uma carteira de ativos diferentes.
Este capítulo foi estruturado da seguinte forma: a primeira seção traz uma
introdução ao risco e ao retorno, a segunda apresenta as ferramentas de cálculo
necessárias para conseguir mensurar o risco e o retorno de um ativo individual, a
seguinte calcula o risco de uma carteira de ativos, a quarta descreve o modelo de
formação de preços de ativos (CAPM), a quinta analisa as linhas de mercado de
títulos (SML) e a última exibe algumas aplicações.
INTRODUÇÃO AO RISCO E AO RETORNO
De acordo com Gitman (2005), o risco e o retorno esperado de uma empresa
impactam profundamente sobre o preço de sua ação e os dois fatores em
conjunto são os principais determinantes do valor de uma empresa no mercado. O
gestor �nanceiro deverá avaliar minuciosamente todas decisões visando assegurar
que o retorno esperado faça jus ao nível de risco que foi assumido, pois decisões
corretas provocam um aumento no preço da ação da empresa, bene�ciando os
acionistas. Portanto, é fundamental que o pro�ssional saiba mensurar, avaliar e
comparar as relações entre risco e retorno para que suas decisões colaborem para
a criação de valor na empresa. Para começar a entender como determinadas
relações ocorrem, as próximas subseções descrevem os conceitos de risco e
retorno para que, na próxima seção, seja analisado como mensurar determinados
conceitos.
a) Risco
Em �nanças, o risco é a probabilidade de ocorrer uma perda �nanceira, conforme
destacou Gitman (2005). De forma alternativa, o autor a�rma que o risco é uma
incerteza originada pela variabilidade dos retornos de um ativo �nanceiro. Muitos
títulos públicos relacionados à dívida do governo praticamente não apresentam
riscos, pois remuneram uma quantia �xa garantida, diferentemente do mercado
Capítulo 2 
01/03/2021 Livro Digital - AVALIAÇÃO DO TEMPO E RISCO
https://livrodigital.uniasselvi.com.br/pos/avaliacao_do_tempo_e_risco/conteudo.html?capitulo=2 3/52
de ações, em que há uma grande variabilidade no preço da ação, além da
incerteza relacionada ao montante de dividendos a serem pagos pelas empresas
aos seus acionistas. Uma vez que os governos podem emitir dinheiro ou
aumentarem impostos para pagarem suas dívidas, as Letras do Tesouro, títulos
emitidos pelo governo com vencimento de curto e médio prazo, praticamente não
apresentam riscos de inadimplência e acabam sendo usados como referência no
mercado �nanceiro e nas comparações com as demais opções de investimento.
De acordo com Ross et al. (2013), o prêmio pelo risco é uma quantia excedente
dada pela diferença exigida pelo investidor entre a magnitude do retorno que um
ativo com risco proporciona e a quantia de retorno que um ativo sem risco pagará.
O conceito �cará mais claro no decorrer desta seção, logo, não se preocupe com
ele por enquanto.
  
A �gura a seguir apresenta um breve resumo das principais fontes do risco para
empresas e seus acionistas. Enquanto que o risco operacional e o �nanceiro são
especí�cos à empresa, os riscos associados à taxa de juros, à liquidez e ao
mercado são riscos exclusivos dos acionistas. Além dos demais riscos descritos na
�gura, há o risco moral. O risco moral surge quando a ação do Agente não é
observável pelo Principal ou, ainda, quando o Agente possui uma informação
privilegiada após o contrato ter sido �rmado.
Figura 5 – Fontes de risco
Capítulo 2 
01/03/2021 Livro Digital - AVALIAÇÃO DO TEMPO E RISCO
https://livrodigital.uniasselvi.com.br/pos/avaliacao_do_tempo_e_risco/conteudo.html?capitulo=2 4/52
Gitman (2005).
Em economia, a assimetria de informação é um tema de pesquisa que premiou
economistas com o Nobel da área. No problema de risco moral, os participantes
têm a mesma informação quando o contrato (transação econômica) é assinado,
porém o problema de informação assimétrica surge somente após o contrato ter
sido �rmado, mais especi�camente quando o Principal não consegue observar
e/ou monitorar perfeitamente as ações/esforço do Agente. Um exemplo prático de
como acontece na relação entre empregador e empregado é útil para entender o
conceito de risco moral. Podemos citar um caso do empregador (Principal)
contratar um empregado (Agente), e ambos assinaram um contrato de trabalho no
qual especi�ca um salário (equivalente à sua produtividade) e as funções a serem
exercidas pelo empregado. Ocorre que o empregador não consegue mensurar
diretamente o esforço, a conduta e a ética do empregado enquanto ele trabalha.
Assim, o empregador teria di�culdades de avaliar se a remuneração, previamente
Capítulo 2 
01/03/2021 Livro Digital - AVALIAÇÃO DO TEMPO E RISCO
https://livrodigital.uniasselvi.com.br/pos/avaliacao_do_tempo_e_risco/conteudo.html?capitulo=2 5/52
Preferências com relação ao risco
acordada, de fato, corresponde à produtividade exercida pelo empregado no
trabalho. Em outras palavras, uma vez que a remuneração foi previamente
estabelecida e garantida ao empregado, o empregado pode não disponibilizar
todo seu potencial de trabalho para a empresa e, mesmo assim, o empregador
não terá como visualizar com certeza.
No dia a dia e em diversos contextos, o ser humano enfrenta situações que
envolvem riscos. Entretanto, há algumas pessoas que não estão dispostas a
arriscar nada e outras, ao contrário, fazem questão de ter um
comportamento/escolha que envolva risco. Da mesma maneira, os
administradores �nanceiros apresentam diferentes comportamentos quando se
trata de assumir riscos. A �gura a seguir apresenta uma forma de entender como
os riscos funcionam no mercado de ações. O eixo das abscissas mede o risco,
enquanto o eixo das ordenadas mensura o retorno exigido.
Figura 6 – Preferências com relação ao risco
Gitman (2005).
Como pode ser observado na �gura anterior, o comportamento com relação ao
risco pode assumir três formas: avesso, indiferente e propenso. O administrador
avesso ao risco exige que o retorno aumente quando o risco se eleva. Ocorre
porque ele tem medo da perda �nanceira e, assim, exige uma contrapartida,no
caso, um retorno mais alto que compense o risco mais elevado que ele assumiu.
Capítulo 2 
01/03/2021 Livro Digital - AVALIAÇÃO DO TEMPO E RISCO
https://livrodigital.uniasselvi.com.br/pos/avaliacao_do_tempo_e_risco/conteudo.html?capitulo=2 6/52
Observe que, no grá�co, na medida em que o risco aumenta (de x para x ), o
retorno esperado para o administrador avesso ao risco também aumenta.
1 2
De forma contrária, o administrador propenso ao risco exige um retorno menor
quando o risco aumenta. Uma vez que ele gosta de correr riscos, ele está disposto
a abrir mão de parte do retorno para assumir maiores riscos. Por �m, como o
próprio nome já diz, o administrador indiferente ao risco não exige maiores ou
menores retornos quando o nível de risco varia para mais ou menos.
Obviamente, grande parte dos administradores �nanceiros são avessos ao risco,
exigindo sempre um retorno maior para enfrentarem maiores riscos. Uma vez
que, na grande maioria das vezes o administrador �nanceiro lida com recursos de
terceiros, ou seja, da empresa em que ele é responsável ou de um cliente, pessoa
física, em uma consultoria de investimentos em que ele atua, os administradores
tendem a ter uma postura conservadora. Como é o caso mais comum e factível, o
restante deste livro assume que o administrador �nanceiro é avesso ao risco.
b) Retorno
Durante a de�nição do conceito de risco, constatou-se que o risco é medido em
função da variabilidade do retorno de um ativo. É necessário de�nir o retorno e
apresentar como podemos calculá-lo. Para Ross et al. (2013), o retorno é o ganho
ou a perda proporcionada por um ativo em um determinado período de tempo.
No que diz respeito à forma de calculá-lo, devemos saber, antes de qualquer outra
coisa, que o retorno possui dois componentes: o componente referente à renda de
retorno do ativo (dividendo) e a variação ocorrida no preço do ativo (mudança no
preço do ativo). De modo geral, o cálculo da taxa de retorno de um ativo (k )
qualquer, na data t, envolve resolver a seguinte expressão:
t
Sendo:
k a taxa observada, esperada ou exigida de retorno durante o período t.t
C o �uxo de caixa recebido do investimento no ativo no período de t - 1  a t.t
P o preço (valor) do ativo no período t.t
P o preço (valor) do ativo no período t - 1.t-1
Observe que, quando t for de�nido em anos, k representa a taxa anual de
retorno. No entanto, a periodicidade não precisa ser necessariamente anual,
t
Capítulo 2 
01/03/2021 Livro Digital - AVALIAÇÃO DO TEMPO E RISCO
https://livrodigital.uniasselvi.com.br/pos/avaliacao_do_tempo_e_risco/conteudo.html?capitulo=2 7/52
podendo ser estabelecida em dias, meses ou décadas, por exemplo. Para facilitar a
ilustração, vamos considerar dois exemplos. Suponha que você tenha comprado
um imóvel no valor de R$ 100.000,00. Imediatamente após a compra, você colocou
o imóvel para alugar durante um ano e recebeu, em forma de aluguel, R$ 6.000,00
no �m do período. Ainda, no �m deste ano, o imóvel estava avaliado em R$
106.000,00. Qual é a taxa de retorno do investimento?
Inserindo os dados na equação, encontra-se:
Portanto, a taxa de retorno do investimento imobiliário é de 12% ao ano.
Suponha, desta vez, que você adquiriu na bolsa de valores 1.000 ações da Empresa
M&M cuja cotação, no início do ano, era de R$ 40,00 por ação. Após um ano, a
empresa pagou R$ 5,30 de dividendo por ação e, assim, você recebeu um total de
R$ 5.300,00 de dividendos. Ainda, o preço da ação subiu na bolsa de valores, após
um ano, para o valor de R$ 48,00 a unidade. Devemos nos perguntar: qual é a taxa
de retorno do investimento? Primeiramente, podemos analisar a compra de ações
da Empresa M&M como está apresentada na �gura a seguir:
Figura 7 – Retorno total
Capítulo 2 
01/03/2021 Livro Digital - AVALIAÇÃO DO TEMPO E RISCO
https://livrodigital.uniasselvi.com.br/pos/avaliacao_do_tempo_e_risco/conteudo.html?capitulo=2 8/52
O autor.
Note que o valor bruto total do retorno é de R$ 53.300,00, o que inclui a
valorização do preço das ações e os dividendos pagos por ela. Para calcular a taxa
de retorno, basta inserir os valores na fórmula da seguinte maneira:
O resultado sugere que a taxa de retorno das ações da Empresa M&M, após um
ano, foi de 33%. Nos exemplos �cou evidente que o mercado de ações
proporcionou uma maior taxa de retorno em comparação ao investimento
imobiliário. Embora tenha sido apenas um exercício �ctício para facilitar o
entendimento do cálculo de retorno, o fato é que constantemente o administrador
�nanceiro se depara com diversas opções de investimento, e as opções, por sua
vez, oferecem diferentes taxas de retorno e diferentes riscos.
Deixando de lado o mundo �ctício, de modo a ter uma ideia real de como os
investimentos apresentam diferentes rendimentos ao longo da história recente,
será utilizada a excelente análise feita por Ross et al. (2002), a qual demonstra a
Capítulo 2 
01/03/2021 Livro Digital - AVALIAÇÃO DO TEMPO E RISCO
https://livrodigital.uniasselvi.com.br/pos/avaliacao_do_tempo_e_risco/conteudo.html?capitulo=2 9/52
evolução das taxas históricas de retorno, ano após ano, para quatro opções
distintas de investimento muito utilizadas no mercado �nanceiro americano. As
opções analisadas pelos autores são as seguintes:
i. Ações de grandes empresas: trata-se de uma carteira de ações ordinárias
formada pelas 500 maiores empresas americanas (medidas pelo valor total
de mercado das ações em circulação).
ii. Ações de pequenas empresas: carteira constituída por ações de pequenas
empresas que correspondem apenas a 20% do valor do mercado das ações
em circulação na Bolsa de Valores de Nova York.
iii. Títulos de longo prazo do Tesouro: composto por uma carteira de títulos
da dívida emitidos pelo governo dos Estados Unidos nos quais o prazo de
vencimento é de 20 anos.
iv. Letras do Tesouro: carteira relacionada às Letras do Tesouro dos Estados
Unidos com prazo de três meses.
O grá�co a seguir apresenta a evolução histórica, para o período de 1925 a 2000,
das quatro opções de investimento supracitadas, além da in�ação americana
medida pelo índice de preços ao consumidor (IPC). Obter informações sobre a
in�ação é importante porque, a partir delas, é possível calcular taxas de retorno
reais. Ademais, as séries de tempo �nanceiras, geralmente, são apresentadas
dimensionando o eixo vertical de tal forma que distâncias iguais medem iguais
variações percentuais em valor.  Não obstante, o eixo vertical registra o índice de
preço das opções de investimento, ano base 1925, e o eixo horizontal os anos.
Grá�co 3 – Investimento de $ 1,00 em diferentes tipos de carteiras: 1925-2000
Capítulo 2 
01/03/2021 Livro Digital - AVALIAÇÃO DO TEMPO E RISCO
https://livrodigital.uniasselvi.com.br/pos/avaliacao_do_tempo_e_risco/conteudo.html?capitulo=2 10/52
Nota: Modi�cações na escala foram feitas para apresentar as cinco séries juntas.
Fonte: Adaptado de Ross et al. (2002).
Perceba que foi indicado, ao �nal de cada série de tempo, o valor que a carteira
atingiu no ano 2000, demonstrando, facilmente, o tamanho do crescimento
vivenciado em cada uma das opções de investimento ao longo do período de 75
anos (1925-2000). De imediato, �ca evidente que a melhor opção de investimento,
para o período analisado, foi a carteira de ações de pequenas empresas, pois cada
dólar investido em 1925 tornou-se US$ 6.402,23 em 2000. A segunda melhor
opção foi o portfólio constituído com ações de grandes empresas que apresentou
um desempenho ligeiramente menor que o das pequenas empresas. A cada um
dólar investido nas ações das grandes empresas em 1925 valeria US$ 2.586,52 no
ano 2000.
Por outro lado, cada dólar gasto em 1925, comprando títulos de longo prazo do
governo americano, passaria a valer US$ 48,86 em 2000, um desempenho muito
Capítulo 2 
01/03/2021 Livro Digital - AVALIAÇÃO DO TEMPO E RISCO
https://livrodigital.uniasselvi.com.br/pos/avaliacao_do_tempo_e_risco/conteudo.html?capitulo=2 11/52
inferior se comparado às opções relacionadas com o mercadode ações. Com um
desempenho apenas levemente superior à in�ação do período, cada US$ 1,00
investido em letras do tesouro americano em 1925 passaria a valer US$ 16,56 em
2000. Perceba que o aumento no nível de preços foi tal que, no ano de 2000,
apenas US$ 9,71 eram necessários para substituir o US$ 1,00 de 1925.
Dado o histórico dos retornos sobre as opções de investimento em análise, a
questão que surge é: por que alguém deixaria de comprar ações de pequenas
empresas, visto que são elas as que apresentaram os maiores retornos no período
considerado? Um indicativo da resposta pode ser obtido com uma análise mais
atenta ao próprio grá�co anterior.
Embora as carteiras compostas por Letras do Tesouro e as formadas por Títulos de
longo prazo do governo americano cresceram mais lentamente que as carteiras
constituídas por ações de empresas que atuam na bolsa de valores, percebe-se
que o crescimento das Letras do Tesouro e dos Títulos do governo foi mais
constante no período analisado. De forma contrária, as ações das pequenas
empresas, aquelas que apresentaram o maior retorno, cresceram de forma mais
instável. Note que as ações das pequenas empresas foram as que tiveram menor
retorno durante os primeiros dez anos. Ainda, a valorização das ações das
pequenas empresas vivenciou um retorno menor que os Títulos do governo de
longo prazo por quase 15 anos, conforme destacaram Ross et al. (2002).
Uma vez que a variabilidade dos retornos das ações é maior que o retorno das
opções relacionadas aos Títulos do governo, conservadores, portanto, os
investidores mais avessos ao risco podem optar por um retorno menor no qual
ofereça um menor risco. Isso explica porque há compra de títulos do governo
mesmo quando eles oferecem um retorno menor que as demais alternativas de
investimento. 
Analisando de forma criteriosa a situação, podemos analisar a variabilidade de
diferentes investimentos construindo grá�cos, como serão apresentados nos
Grá�cos 2 e 3 que foram retirados de Ross et al. (2002). Estruturalmente, o grá�co
estabelece que o eixo vertical aponta as taxas de retorno (em percentual) e, no
eixo horizontal, mensura os anos. Assim, podemos construir barras verticais,
desenhadas a partir do eixo horizontal, nas quais sua altura informa a taxa de
retorno para o ano em questão. Por exemplo, ao observar o Grá�co 4,
perceberemos que as Letras do Tesouro não apresentaram nenhuma taxa de
retorno negativa em todo período, sendo que a taxa de retorno máxima foi de
15,21%, em 1981, e mínima de 0%, em 1939 e 1949.
Capítulo 2 
01/03/2021 Livro Digital - AVALIAÇÃO DO TEMPO E RISCO
https://livrodigital.uniasselvi.com.br/pos/avaliacao_do_tempo_e_risco/conteudo.html?capitulo=2 12/52
Gráfico 4 – Taxa de retorno das Letras do Tesouro Americano
Adaptado de Ross et al. (2002).
Uma análise comparativa dos Grá�cos 4 e 5 tornará evidente a diferença de escala
do eixo vertical de cada uma delas, sugerindo que a variabilidade na taxa de
retorno das duas opções de investimento é bem desigual. As Ações de Pequenas
Empresas apresentaram, em alguns anos, retornos negativos, por outro lado, há
uma taxa de retorno que quase chegou a 150% no ano de 1933. Entretanto, apesar
de ser muito interessante a análise possível feita através dos dois grá�cos, é difícil
de comparar as duas opções somente através dos grá�cos. Para tornar a análise
mais clara, é útil calcular a taxa média de retorno de cada uma das opções de
investimento ou, ainda, tabular os dados.
Gráfico 5 – Taxas de retorno das ações de Pequenas Empresas
Capítulo 2 
01/03/2021 Livro Digital - AVALIAÇÃO DO TEMPO E RISCO
https://livrodigital.uniasselvi.com.br/pos/avaliacao_do_tempo_e_risco/conteudo.html?capitulo=2 13/52
Adaptado de Ross et al. (2002).
A Tabela 18 demonstrará a taxa média de retorno e o prêmio de risco de cada uma
das opções de investimento analisadas. A taxa de retorno média (k) pode ser
encontrada simplesmente tomando a média aritmética das taxas do período em
análise, ou seja, basta somar o retorno ocorrido em cada período t, sendo t =
1,2,...,T,  e, após, dividir pelo número total de períodos (T), que, neste caso, é 75.
Mais formalmente, a fórmula para a taxa de retorno médio de um período é:
Executando para a série história das taxas de retorno das opções de investimento
analisadas, encontram-se as taxas médias de retorno. Novamente, �ca claro que
as ações apresentaram uma taxa de retorno muito superior aos Títulos do
Governo e às Letras do Tesouro no período entre 1925-2000. Vale destacar, ainda,
que as médias calculadas são nominais, pois não levam em conta a in�ação do
período. Considerando a perda de poder de compra do dinheiro, a taxa de retorno
real das Letras do Tesouro, dos Títulos de longo prazo do Governo, da carteira de
ações de grandes empresas e do portfólio de ações de pequenas empresas é de
aproximadamente 0,7%, 2,5%, 9,8% e 14,1% ao ano, respectivamente. Neste caso,
Capítulo 2 
01/03/2021 Livro Digital - AVALIAÇÃO DO TEMPO E RISCO
https://livrodigital.uniasselvi.com.br/pos/avaliacao_do_tempo_e_risco/conteudo.html?capitulo=2 14/52
a taxa de retorno real dos investimentos foi facilmente obtida diminuindo, da taxa
nominal média de retorno, a in�ação média do período.
Tabela 18 – Taxas anuais médias e prêmios de risco: 1926-2000
Investimentos / In�ação
Taxa média de
Retorno
Prêmio pelo
risco
Ações de Pequenas Empresas 17,3% 13,4%
Ações de Grandes Empresas 13,0% 9,1%
Títulos de longo prazo do
Governo
5,7% 1,8%
Letras do Tesouro 3,9% 0,0%
In�ação 3,2% -
Fonte: Adaptado de Ross et al. (2002).
O prêmio pelo risco, também apresentado na Tabela 18, pode ser calculado
através da diferença entre a taxa de retorno nominal de uma determinada opção
de investimento e a taxa nominal de retorno das Letras do Tesouro. As
comparações são realizadas sempre estabelecendo como referência as Letras do
Tesouro porque elas são consideradas uma opção de investimento sem risco,
dado que o governo pode imprimir mais dinheiro, ou ainda, aumentar os impostos
para liquidá-las sempre que precisar. É exatamente determinada a diferença entre
a taxa de retorno de um investimento com risco e a taxa de retorno de um ativo
sem risco que é chamada de prêmio pelo risco. Analisando os resultados,
podemos a�rmar que as ações, tanto das pequenas como das grandes empresas,
apresentaram um prêmio pelo risco muito superior aos Títulos de longo prazo do
Governo no período 1925-2000.
Capítulo 2 
01/03/2021 Livro Digital - AVALIAÇÃO DO TEMPO E RISCO
https://livrodigital.uniasselvi.com.br/pos/avaliacao_do_tempo_e_risco/conteudo.html?capitulo=2 15/52
Por �m, esta seção deixa três grandes aprendizados: deve-se �car atento ao
histórico da taxa média de retorno e ao desvio-padrão das opções de
investimento, além do prêmio pelo risco. Determinados conceitos podem ser
fundamentais na tomada de decisão de qual investimento, dada a preferência com
relação ao risco de cada investidor.
MENSURAÇÃO DO RISCO E DO RETORNO
Na seção anterior foi apresentado o histórico das taxas de retorno médio de
algumas opções de investimento. Entretanto, quando é necessário fazer previsões
sobre o retorno de determinados investimentos, os cálculos se alteram porque
qualquer previsão envolve incerteza, de modo que os retornos esperados de cada
ativo possuam probabilidades diferentes de ocorrerem e, assim, eles apresentam
diferentes níveis de risco ao administrador �nanceiro.
Ainda, em diversos momentos do capítulo anterior foi comentada sobre a
variabilidade da taxa de retorno histórica sem que fosse feito qualquer tipo de
apresentação mais formal sobre o tema ou como se pode mensurá-la. No mercado
�nanceiro, determinada variabilidade é comumente chamada de volatilidade do
ativo, sendo ela um ponto fundamental a ser estudado na administração
�nanceira. Assim, este capítulo apresentará, de uma maneira formal, que a
variabilidade de um ativo pode ser obtida por meio de cálculos estatísticos, mais
especi�camente, através da variância/ desvio-padrão e do coe�ciente de variaçãoda taxa de retorno de um ativo. 
a) Valor esperado, desvio-padrão e correlação
Quando é necessário fazer previsões acerca dos retornos futuros de um
investimento, deve-se, primeiramente, ter em mente que os ativos apresentam
riscos e devem ser bem avaliados antes da tomada de decisão. A�rmar que existe
risco em um ativo signi�ca dizer que ele, no futuro, pode assumir várias taxas de
retornos e que as taxas estão associadas a probabilidades de elas efetivamente
ocorrerem. O cálculo para obter a taxa média de retorno, anteriormente
apresentado, deve ser modi�cado, e mais especi�camente, é necessário utilizar
um conceito estatístico conhecido como esperança matemática ou também
chamado de valor esperado. 
Algumas de�nições importantes devem ser feitas, como segue:
Capítulo 2 
01/03/2021 Livro Digital - AVALIAÇÃO DO TEMPO E RISCO
https://livrodigital.uniasselvi.com.br/pos/avaliacao_do_tempo_e_risco/conteudo.html?capitulo=2 16/52
Uma variável aleatória é uma função que de�ne um valor numérico
real a cada resultado de um experimento aleatório, sendo que elas
podem ser classi�cadas, fundamentalmente, em discretas ou
contínuas.
Um experimento é um processo que gera resultados de�nidos.
Ainda, um experimento aleatório pode ser repetido inúmeras vezes e,
considerando as mesmas condições, podem apresentar resultados
diferentes. Cada um dos resultados possíveis é chamado de ponto
amostral.
O espaço amostral é um conjunto constituído por todos os
resultados possíveis de um experimento aleatório.
Um evento é qualquer subconjunto de um espaço amostral.
O valor esperado, ou a média de uma variável aleatória, é uma medida de posição
central da variável. Neste capítulo, a variável aleatória analisada é a taxa de
retorno de um ativo. Considerando que todos resultados e probabilidades são
conhecidas, sendo determinadas probabilidades desiguais, o valor esperado da
taxa de retorno de um ativo pode ser calculado da seguinte forma:
Sendo:
 o valor esperado da taxa de retorno do ativo.
k a taxa de retorno esperada para a ocorrência j.j
Pr a probabilidade de ocorrência j.j
Perceba que o cálculo do valor esperado é muito simples, basta, primeiramente,
ponderar cada retorno esperado de acordo com a sua probabilidade de ocorrência
e, após, somar os retornos ponderados. Salientamos que, se as probabilidades
forem desconhecidas e estiver disponível uma amostra histórica de taxas de
retorno, então obter o valor esperado ( ) é igual a calcular a média aritmética
( ), ou seja, o cálculo torna-se simplesmente . Ainda, o subscrito j
Capítulo 2 
01/03/2021 Livro Digital - AVALIAÇÃO DO TEMPO E RISCO
https://livrodigital.uniasselvi.com.br/pos/avaliacao_do_tempo_e_risco/conteudo.html?capitulo=2 17/52
pode se referir tanto a um cenário especí�co (neste caso, um determinado estado
da economia) como a uma observação da amostra (ou seja, se for utilizada uma
série de tempo, então j é a observação ocorrida no período j), dependendo do
contexto da análise. Destaca-se, ainda, que j = 1,2,...,n, sendo n o total de
cenários/observações da amostra.
Com relação à variabilidade do retorno de um ativo e, consequentemente, ao risco
que ele tem, podemos utilizar o desvio-padrão da taxa de retorno como uma
variável proxy para o risco.  O desvio-padrão é uma medida de variabilidade
baseada nos desvios dos valores observados com relação a sua média, lembrando
que o desvio-padrão é a raiz quadrada da variância.
De modo geral, quanto maior for o desvio-padrão de um ativo, maior será o seu
risco. Ainda, sem fazer qualquer tipo de inferência com relação ao futuro, o desvio-
padrão (DP) da taxa de retorno pode ser calculado da seguinte forma:
As notações seguem as mesmas anteriores, exceto o novo termo introduzido DP,
que representa o desvio-padrão da taxa de retorno.
Uma aplicação possível para a fórmula mais recentemente apresentada é para
calcular o desvio-padrão histórico da taxa de retorno das diferentes opções de
investimento analisadas na anteriormente. Entretanto, quando o cálculo envolver
o desvio-padrão previsto e as probabilidades forem conhecidas, será necessário
modi�car ligeiramente a fórmula anterior, inserindo as probabilidades de
ocorrência de cada retorno. A expressão de cálculo para o desvio-padrão do
retorno esperado ( ) pode ser descrita da seguinte forma:
Concluindo, as notações seguem as mesmas anteriores. 
Embora a principal forma de mensurar o risco de um ativo seja através do seu
desvio-padrão, muitas vezes é útil utilizar coe�ciente de variação, especialmente
para comparar dois diferentes ativos. O coe�ciente de variação (CV) é uma medida
de variabilidade relativa na qual aponta o quão grande é o desvio-padrão com
relação a sua média. A fórmula para calcular o coe�ciente de variação esperado é
dada por:
Capítulo 2 
01/03/2021 Livro Digital - AVALIAÇÃO DO TEMPO E RISCO
https://livrodigital.uniasselvi.com.br/pos/avaliacao_do_tempo_e_risco/conteudo.html?capitulo=2 18/52
Apenas como análise descritiva dos dados históricos, pode ser expressa como:
Apresentadas as estatísticas que fornecem uma boa medida de risco do ativo, a
seguir é abordado o conceito de distribuição de probabilidades. Podemos a�rmar,
desde já, que as distribuições de probabilidades são uma forma alternativa muito
útil para avaliar o risco de um ativo, principalmente porque nem sempre é possível
conhecer todas as probabilidades associadas aos diversos retornos possíveis.
b) Distribuição de probabilidades
As distribuições de probabilidades proporcionam uma boa estimativa do risco de
um determinado ativo. Quando se fala em probabilidade, uma das primeiras
coisas que vêm à cabeça é a probabilidade de algo ocorrer. Sendo um pouco mais
formal, a probabilidade é um número que representa a chance que um
determinado evento possui de ocorrer. Usualmente, são atribuídos números reais
no intervalo entre 0 e 1 para a probabilidade, sendo que os resultados mais
próximos de 1 são aqueles que têm mais chances de ocorrer e, os mais próximos
de 0, o contrário. Ainda, a probabilidade também pode ser apresentada na forma
percentual.
Uma vez que a distribuição de probabilidade descreve a maneira como as
probabilidades estão distribuídas sobre os valores de uma variável aleatória,
conhecer e utilizar determinadas distribuições para analisar o risco de um ativo é
um desa�o interessante e importante para o administrador �nanceiro, porque ao
analisar um ativo �nanceiro e sua distribuição de probabilidades, será possível
associar as diversas taxas de retornos esperadas às probabilidades delas
efetivamente se concretizarem.
No entanto, para estudar as distribuições de probabilidades é necessário
apresentar, primeiro, alguns conceitos estatísticos que fornecerão as bases para o
entendimento do assunto. Muitas vezes, a análise grá�ca de uma série histórica de
retornos não permite, ou ainda, não é su�ciente para extrair informações
relevantes sobre o investimento que está sendo avaliado. Nesses casos, é mais
fácil sintetizar os dados históricos das taxas de retorno através da sua distribuição
de frequências, seja ela absoluta, relativa ou cumulativa.
Capítulo 2 
01/03/2021 Livro Digital - AVALIAÇÃO DO TEMPO E RISCO
https://livrodigital.uniasselvi.com.br/pos/avaliacao_do_tempo_e_risco/conteudo.html?capitulo=2 19/52
A distribuição de frequência é uma síntese tabular dos dados que
demonstra o número/fração em cada um dos diferentes intervalos não
sobrepostos. Quando números forem tabulados, ela se chama distribuição
de frequência absoluta e, se a tabulação for pela fração, então denomina-se
distribuição de frequência relativa.
Os intervalos, também conhecidos como números de classes da
distribuição, servem para agrupar os dados, sendo recomendado utilizar
entre 5 e 20 classes em uma distribuição de frequência. Com relação à
amplitude do intervalo, pode ser determinada por uma divisão, na qual o
numerador é estabelecido pelo maior valor observado nos dados, subtraído
do menor valor observado na amostra, e o denominador é o número de
classesde�nido. Por �m, devemos ter o cuidado ao estabelecer os limites
dos intervalos para que cada valor observado nos dados pertença a somente
uma classe.
Ao construir uma distribuição de frequência absoluta dos dados históricos das
taxas de retorno das ações de grandes empresas americanas, obteremos uma
tabela, tal como a Tabela 19.  Ela será arquitetada, primeiramente, estabelecendo
17 intervalos com amplitude de 10% de taxa de retorno cada, e, após, contado o
número de anos em que se observou retornos anuais em cada um dos intervalos
de�nidos. Por exemplo, no intervalo abrangendo retornos de 11% a 20% foram
encontrados 13 anos nos quais a taxa de retorno anual da carteira de ações de
grandes empresas encontra-se dentro do intervalo. Complementando, 13 anos
dos 75 retornos anuais disponíveis na amostra estão no intervalo, de modo que,
considerando uma distribuição de frequência relativa, é possível a�rmar que
17,33% dos anos analisados forneceram retornos entre 11% a 20% aos seus
acionistas.
Tabela 19 – Distribuição de frequência dos retornos das ações de grandes
empresas
Intervalo do Retorno Frequência Absoluta Frequência Relativa
-89 a -80 0 0,00
Capítulo 2 
01/03/2021 Livro Digital - AVALIAÇÃO DO TEMPO E RISCO
https://livrodigital.uniasselvi.com.br/pos/avaliacao_do_tempo_e_risco/conteudo.html?capitulo=2 20/52
-79 a -70 0 0,00
-69 a -60 0 0,00
-59 a -50 0 0,00
-49 a -40 1 0,01
-39 a -30 1 0,01
-29 a -20 2 0,03
-19 a -10 4 0,05
-9 a 0 13 0,17
1 a 10 11 0,15
11 a 20 13 0,17
21 a 30 12 0,16
31 a 40 13 0,17
Capítulo 2 
01/03/2021 Livro Digital - AVALIAÇÃO DO TEMPO E RISCO
https://livrodigital.uniasselvi.com.br/pos/avaliacao_do_tempo_e_risco/conteudo.html?capitulo=2 21/52
41 a 50 3 0,04
51 a 60 2 0,03
61 a 70 0 0,00
71 a 80 0 0,00
Fonte: Adaptado de Ross et al. (2002).
Entretanto, uma apresentação grá�ca mais útil pode ser feita com base nas
informações contidas na tabela anterior, de modo a complementar a análise dos
dados históricos e facilitar a interpretação. O grá�co supracitado é denominado
histograma. O histograma fornece informações relevantes a respeito do formato
que a distribuição de probabilidades de um determinado conjunto de dados
assume, além de sinalizar como os dados observados estão dispersos. Lembrando
que para um ativo, a dispersão de seus retornos é sinônimo de volatilidade. Assim,
quanto mais dispersos estiverem os dados, maiores são os riscos que o investidor
assume. O histograma das taxas de retorno da carteira composta por ações de
grandes empresas, para o período de 1926-2000, é apresentado no grá�co a
seguir.
O histograma é uma síntese de dados, previamente tabulados e divididos
em classes uniformes (não uniforme), feita através de um grá�co de barras
no qual estabelece, no eixo vertical, a frequência absoluta ou relativa de cada
classe e, no eixo horizontal, os diferentes intervalos de classe da variável de
interesse. Assim, as barras de um histograma são retângulos que têm como
base os limites de cada classe e, como altura, sua frequência
correspondente, seja ela absoluta ou relativa. Entretanto, para classes não
uniformes, a altura de cada barra do histograma representa a densidade de
frequência com que o valor da classe aparece no conjunto de dados.
Capítulo 2 
01/03/2021 Livro Digital - AVALIAÇÃO DO TEMPO E RISCO
https://livrodigital.uniasselvi.com.br/pos/avaliacao_do_tempo_e_risco/conteudo.html?capitulo=2 22/52
Gráfico 6 – Histograma das ações de grandes empresas
Adaptado de Ross et al. (2002).
Entretanto, uma vez que o objetivo não é somente avaliar estatísticas históricas
dos ativos, mas sim, fazer inferências sobre os retornos futuros, a probabilidade
de obter os retornos esperados deve ser considerada quando os investimentos
forem avaliados. Neste momento, um leitor mais atento deve estar se
perguntando o motivo que fez o autor deste livro descrever não somente o
conceito, mas também construir um histograma, já que, até o presente momento,
o histograma não foi relacionado com nenhuma probabilidade ou distribuição de
probabilidades.
Existem vários argumentos que explicam determinado questionamento. Primeiro,
o histograma é apresentado por meio de um grá�co de barras/colunas, e esse tipo
de apresentação é o mesmo para uma distribuição de probabilidades de uma
variável aleatória discreta, de modo que entender como o histograma é construído
auxiliará o estudo das distribuições de probabilidade. Considerando uma variável
aleatória, um segundo motivo é que a frequência relativa de uma distribuição de
frequências, observada a partir de uma amostra, é uma estimativa da
probabilidade, enquanto que o seu histograma é uma estimativa da distribuição
de probabilidades da variável em questão.
Por �m, dispondo de uma grande amostra de retornos anuais de um ativo, poder-
se-ia montar uma distribuição de frequência indicando quantas vezes cada retorno
Capítulo 2 
01/03/2021 Livro Digital - AVALIAÇÃO DO TEMPO E RISCO
https://livrodigital.uniasselvi.com.br/pos/avaliacao_do_tempo_e_risco/conteudo.html?capitulo=2 23/52
aconteceu em determinados intervalos para o período analisado e, após, converter
esses dados em uma distribuição de probabilidades. Contudo, fazer determinada
ação vai além dos objetivos deste livro. A alternativa mais frequente utilizada em
�nanças é assumir que a distribuição de probabilidades dos ativos segue uma
distribuição normal, o que, como será visto mais em frente, é uma suposição
muito factível e útil para avaliar retornos esperados.
Em termos conceituais, a distribuição de probabilidades fornece uma descrição
dos prováveis resultados de uma variável aleatória partindo de uma amostra da
variável. Determinada característica a torna muito útil para avaliar opções de
investimento. Por exemplo, uma vez que atualmente há uma divulgação
abundante de dados �nanceiros, uma amostra pode ser facilmente obtida
buscando as taxas de retorno de um ativo em um certo período de tempo, como
foi feito para a carteira de ações de grandes empresas apresentada anteriormente.
Fazendo apenas mais algumas suposições e utilizando determinada amostra,
podemos fazer inferência sobre o retorno esperado e seu risco, atribuindo um
determinado nível de probabilidade.
Entretanto, para fazer as inferências será necessário conhecer a média e o desvio-
padrão populacional da taxa de retorno das alternativas de investimento, algo que
na maioria dos casos não é conhecido. Quando a média e o desvio-padrão de uma
variável aleatória são desconhecidos, determinados valores podem ser estimados
a partir da amostra histórica coletada. Determinada estimação pode ser feita por
meio de cálculos estatísticos, mais especi�camente utilizando a esperança
matemática e o desvio-padrão. A fórmula para determinados estimadores varia de
acordo com a distribuição de probabilidades escolhida, mas, neste momento,
ainda não se preocupe com os cálculos.
As distribuições de probabilidade são divididas em discretas e contínuas. As
principais distribuições discretas de probabilidade são: a binomial, a de Poisson, a
geométrica, a hipergeométrica, a multinomial e binomial negativa. Cada uma das
distribuições de probabilidade discretas é de�nida por uma função de
probabilidade especí�ca que fornece uma probabilidade de ocorrência para cada
valor que a variável aleatória pode assumir.
Por outro lado, existe um número maior de distribuições de probabilidade
contínuas que discretas, sendo que as principais contínuas são: uniforme, normal,
qui-quadrado, t de Student, Fisher (F), cauchy, gama, beta, exponencial,
exponencial dupla e weibull. A função densidade de probabilidade é uma função
que descreve a probabilidade de uma variável aleatória estar em um determinado
intervalo e implica na probabilidade de uma variável contínua assumir qualquer
valor em particular é zero.
Capítulo 2 
01/03/2021 Livro Digital - AVALIAÇÃO DO TEMPO E RISCO
https://livrodigital.uniasselvi.com.br/pos/avaliacao_do_tempo_e_risco/conteudo.html?capitulo=2 24/52
Distribuição normal
Assim,a principal diferença entre as distribuições de probabilidade discretas e
contínuas é que a discreta fornece, por meio de sua função de probabilidade, a
probabilidade de uma variável aleatória assumir um valor especí�co, enquanto
que a contínua, através da função densidade de probabilidade, não produz uma
probabilidade diretamente, mas sim, indica a probabilidade da variável aleatória
assumir qualquer valor em um determinado intervalo.
Usualmente, as distribuições de probabilidade são apresentadas através de
grá�cos que estabelecem, no eixo vertical, a função densidade de probabilidade e,
no horizontal, os valores que a variável aleatória x pode assumir. Através do
cálculo da área situada entre a função densidade de probabilidade e o eixo
correspondente à variável x, em seu plano cartesiano, encontramos a
probabilidade da variável aleatória estar em um intervalo especí�co. Embora as
mensurações solicitem o conhecimento do cálculo integral, determinada técnica
não será necessária para os objetivos do capítulo.
A seguir, será apresentada a principal distribuição de probabilidades usada em
diversas áreas do conhecimento humano, inclusive em �nanças: a distribuição
normal.
Muitos eventos aleatórios apresentam uma distribuição normal de probabilidades.
A distribuição normal é muito útil de ser estudada porque ela pode ser
completamente descrita apenas por sua esperança matemática (µ) e por seu
desvio-padrão (σ) e, devido a isso, torna-se muito fácil obter a probabilidade de
uma variável aleatória estar em um certo intervalo. Na distribuição normal, 68,3%
dos resultados prováveis ocorrem entre o intervalo de mais ou menos um desvio-
padrão da média (). Considerando dois desvios-padrão com relação à media (),
tem-se que 95,4% dos resultados estarão cobertos no intervalo, enquanto que,
para três desvios-padrão, 99,7% dos resultados possíveis encontram-se no
intervalo .
A �gura a seguir apresenta uma distribuição normal de probabilidades que
também é usualmente conhecida como gaussiana. Várias características relevantes
pertencentes deste tipo de distribuição de probabilidades contínua devem ser
observadas. Primeiro, trata-se de uma distribuição simétrica e que tem uma forma
que lembra um sino. A�rmar que uma distribuição é simétrica implica em dizer
que metade da probabilidade está associada a valores à esquerda do seu centro
(ponto mais alto que a função densidade atinge, ou seja, sua média) e, a outra
metade, à direita de sua média.
Capítulo 2 
01/03/2021 Livro Digital - AVALIAÇÃO DO TEMPO E RISCO
https://livrodigital.uniasselvi.com.br/pos/avaliacao_do_tempo_e_risco/conteudo.html?capitulo=2 25/52
Figura 8 – Distribuição normal de probabil idades
O autor.
Ainda, a média da distribuição pode assumir qualquer valor numérico, ou seja, é
possível que ela seja positiva, zero ou negativa. Não obstante, embora a �gura
anterior não demonstre, as caudas (os extremos) da função densidade de
probabilidade da normal tendem ao in�nito em ambos lados e, teoricamente,
nunca encostam no eixo horizontal. Ademais, a curva pode ser mais achatada ou
alongada que a representação feita pela �gura anterior, de�nida pela magnitude
do desvio-padrão. Considerando duas curvas normais com uma mesma média,
mas desvios-padrão diferentes, a que apresentar o maior desvio será a mais
achatada. Trazendo a questão para as taxas de retorno dos ativos, quer dizer que
ativos com uma mesma média e desvios-padrão diferentes apresentam riscos
diferentes, sendo o ativo mais arriscado, neste caso, o que apresentar maior
desvio-padrão.   
A área sob a função de densidade de probabilidade, de�nida por f (x),  mensura a
probabilidade da variável aleatória. Portanto, para encontrar a probabilidade de
uma variável aleatória estar contida em um certo intervalo, devemos calcular a
área correspondente ao intervalo escolhido utilizando a função densidade de
probabilidade normal. Apesar de que ela não será utilizada para calcular as
probabilidades neste livro, é relevante apresentar, formalmente, a função
densidade de probabilidade normal. A função densidade de probabilidade normal
pode ser expressa da seguinte forma:
Capítulo 2 
01/03/2021 Livro Digital - AVALIAÇÃO DO TEMPO E RISCO
https://livrodigital.uniasselvi.com.br/pos/avaliacao_do_tempo_e_risco/conteudo.html?capitulo=2 26/52
Sendo, de notação nova, o π, que é o número pi ( ) e o e, que é a
função exponencial natural ( ). Ainda, por de�nição 
que, em palavras, signi�ca dizer que a área total sob a curva normal é considerada
como 100%, ou seja, ela equivale à soma das probabilidades de todos os valores
que a variável aleatória pode assumir. Ainda, quando os parâmetros populacionais
forem desconhecidos, podemos estimá-los através da esperança matemática e do
desvio-padrão da seguinte forma:
De forma comparativa, a �gura a seguir apresenta uma distribuição normal e o
histograma da taxa de retorno da carteira de ações de grandes empresas. Embora
a curva normal seja mais simétrica, mesmo com uma amostra de apenas 75
observações, percebemos que a frequência relativa dos retornos das grandes
empresas também se parece com um sino, lembrando o formato da curva
normal.  Ainda, se o número de observações fosse aumentado, tendendo ao
in�nito, então o teorema do limite central garante que as diferenças entre a forma
de ambas seriam amenizadas, de modo que a distribuição de probabilidades das
taxas de retorno convergiria para uma distribuição normal.
Figura 9 – Distribuição normal vs histograma ações de grandes empresas
Capítulo 2 
01/03/2021 Livro Digital - AVALIAÇÃO DO TEMPO E RISCO
https://livrodigital.uniasselvi.com.br/pos/avaliacao_do_tempo_e_risco/conteudo.html?capitulo=2 27/52
O autor.
Por �m, para os propósitos deste livro, basta ter em mente que os retornos das
opções de investimento são distribuídos, no mínimo, de forma muito próxima à
distribuição normal. Determinada suposição facilitará muitos cálculos que serão
realizados adiante. 
c) Risco de um ativo individual e seu retorno esperado
Uma vez que foram expostos o conceito e a forma de cálculo do desvio-padrão,
agora podemos calculá-lo utilizando as séries históricas já conhecidas,
considerando diferentes opções de investimento. A tabela a seguir demonstra, não
somente a taxa média de retorno, mas também o desvio-padrão histórico da
carteira de ações composta por empresas pequenas, do portfólio de ações de
grandes empresas, dos títulos de longo prazo do governo e das letras do tesouro
americano, além da in�ação no período (1926-2000).
Tabela 20 – Retornos históricos e desvio-padrão: 1926-2000
Investimentos / In�ação Retorno médio Desvio-padrão
Ações de Pequenas Empresas 17,3% 33,4%
Capítulo 2 
01/03/2021 Livro Digital - AVALIAÇÃO DO TEMPO E RISCO
https://livrodigital.uniasselvi.com.br/pos/avaliacao_do_tempo_e_risco/conteudo.html?capitulo=2 28/52
Ações de Grandes Empresas 13,0% 20,2%
Títulos de longo prazo 5,7% 9,4%
Letras do Tesouro 3,9% 3,2%
In�ação 3,2% 4,4%
Fonte: Adaptado de Ross et al. (2002).
Ao analisar as estatísticas descritivas das diferentes opções de investimento,
percebemos a existência de uma relação positiva e direta entre o retorno médio e
o desvio-padrão dos ativos. Como esperado, na medida em que o retorno
aumenta, o risco, medido pelo desvio-padrão também aumenta, e a situação
re�ete que os investidores são avessos ao risco. Ainda, os investidores com menor
aversão ao risco, no período de 1926-2000, investiram em ações e, por elas
apresentarem maiores riscos, foram recompensados com retornos maiores.
Contudo, esses cálculos utilizaram os dados históricos e, neste momento, é
necessário começar a analisar os retornos e sua variância quando as informações
disponíveis se referem a retornos futuros e suas probabilidades.
Iniciando pelo caso em que as probabilidades são diferentes e conhecidas,
considere o exemplo a seguir que é bastante simpli�cado, mas que é útil para o
entendimento dos cálculos.
Um especialista realizou uma análise da conjuntura econômica do país e atribuiu a
existênciade três possibilidades em relação à performance da economia no
curto/médio prazo: recessão, taxa natural de crescimento e aceleração do
crescimento. Neste caso, há três estados da economia, sendo os únicos cenários
possíveis. Cada um dos cenários possui uma probabilidade de ocorrer, sendo que
a recessão é de 25%, a taxa natural de crescimento 50% e a aceleração do
crescimento em 25%.
Dado que o desempenho da economia pode afetar a rentabilidade dos
investimentos, a tabela a seguir demonstra como o retorno esperado das opções
de investimento A e B são afetados pelos estados da economia. Antes mesmo de
Capítulo 2 
01/03/2021 Livro Digital - AVALIAÇÃO DO TEMPO E RISCO
https://livrodigital.uniasselvi.com.br/pos/avaliacao_do_tempo_e_risco/conteudo.html?capitulo=2 29/52
realizar qualquer cálculo, é possível observar que o retorno do ativo B pode ser
maior se comparado ao ativo A, mas a amplitude de seu retorno (40%-4%=36%) é
maior, o que implica em maiores riscos. No entanto, devemos calcular o valor
esperado do retorno médio e do desvio-padrão para tirar conclusões mais
robustas.
Tabela 21 – Retornos esperados das opções A e B de investimento
Estados da Economia Probabilidade Retorno - A Retorno - B
Recessão 0,25 15% 04%
Tx. Natural de Crescimento 0,50 20% 23%
Aceleração do Crescimento 0,25 35% 40%
Fonte: O autor.
Iniciando pela taxa de retorno esperada do ativo A e sabendo que há três estados
possíveis para o futuro da economia, logo n = 3, encontramos:
Portanto, o valor esperado do retorno do ativo A é de 22,5%. Da mesma forma,
podemos calcular o valor esperado do retorno do ativo B, como segue:
Capítulo 2 
01/03/2021 Livro Digital - AVALIAÇÃO DO TEMPO E RISCO
https://livrodigital.uniasselvi.com.br/pos/avaliacao_do_tempo_e_risco/conteudo.html?capitulo=2 30/52
Após os cálculos, os resultados sugerem que os ativos A e B possuem uma mesma
taxa de retorno esperada, estimada em 22,5%. Então, devemos calcular o desvio-
padrão para encontrar o risco de cada um dos ativos, visando saber qual possui
menor risco, lembrando que o desvio-padrão do retorno esperado pode ser obtido
a partir da seguinte fórmula:
Aplicando para o ativo A:
Para o ativo B:
Logo, o desvio-padrão do ativo B é maior que o do ativo A, o que implica que ele
apresenta um maior risco. Podemos também calcular uma outra medida de
variabilidade para determinados ativos, mais especi�camente o coefviciente de
variação, que pode ser obtido como segue:
Aplicando para o ativo A:
Capítulo 2 
01/03/2021 Livro Digital - AVALIAÇÃO DO TEMPO E RISCO
https://livrodigital.uniasselvi.com.br/pos/avaliacao_do_tempo_e_risco/conteudo.html?capitulo=2 31/52
Analisando o ativo B:
Efetuados os cálculos, observamos que o coe�ciente de variação é menor para o
ativo A e ele apresenta menor risco que o ativo B, resultado que corrobora com a
análise do desvio-padrão feita anteriormente. Contudo, o coe�ciente de variação é
mais útil nos casos em que o comparativo é feito entre ativos com diferentes
rentabilidades e desvios-padrão. Para compreender, acompanhe o novo exemplo
sintetizado na tabela a seguir.
Tabela 22 – Coe�ciente de variação
Estatísticas Notação Ativo C Ativo D
Taxa de retorno esperada 0,10 0,18
Desvio-padrão esperado 0,07 0,09
Fonte: O autor.
Assuma que foram calculados os retornos esperados e desvios-padrão dos ativos
C e D e os resultados foram apresentados na tabela anterior. Primeiramente, o
ativo D apresenta uma maior taxa de retorno (18%), porém seu desvio-padrão
(0,09) também é maior, o que sugere que ele possui maior risco. Entretanto,
dividindo o desvio-padrão pela taxa de retorno esperada com o objetivo de
calcular o coe�ciente de variação, percebemos que o coe�ciente de variação do
ativo D é menor que o do ativo C, o que traz uma aparente dúvida sobre
determinar qual ativo que possui menor risco. Não há, porém, nenhuma dúvida ou
contradição nos resultados, uma vez que em comparações de ativos deve-se levar
em conta a magnitude relativa do retorno, como é feito no coe�ciente de variação
e, assim, pode-se a�rmar que o ativo D possui um menor risco. 
Capítulo 2 
01/03/2021 Livro Digital - AVALIAÇÃO DO TEMPO E RISCO
https://livrodigital.uniasselvi.com.br/pos/avaliacao_do_tempo_e_risco/conteudo.html?capitulo=2 32/52
Supondo agora que as probabilidades sejam desconhecidas e assumindo que as
distribuições de probabilidade dos investimentos seguem uma distribuição
normal, podemos utilizar a curva normal para calcular a probabilidade da taxa de
retorno esperada de um ativo estar em um certo intervalo. Com base na amostra
histórica retratada na seção anterior, foi possível calcular o valor esperado da taxa
retorno bem como seu o desvio-padrão considerando a carteira de ações de
grandes empresas, o portfólio de ações de pequenas empresas, os títulos de longo
prazo do governo, as letras de tesouro e a in�ação. Os resultados dos cálculos
serão apresentados na tabela a seguir.
Tabela 23 – Probabilidades e intervalos
Investimentos / In�ação Probabilidades Intervalos
Ações de Pequenas
Empresas
17,3% 33,4%
68,3%
-16,1% a
50,7%
95,4%
-49,5% a
81,1%
99,7%
-82,9% a
117,5%
Ações de Grandes
Empresas
13,0% 20,2%
68,3%
-7,2% a
33,2%
95,4%
-27,4% a
53,4%
99,7% -47,6% a
73,6%
Capítulo 2 
01/03/2021 Livro Digital - AVALIAÇÃO DO TEMPO E RISCO
https://livrodigital.uniasselvi.com.br/pos/avaliacao_do_tempo_e_risco/conteudo.html?capitulo=2 33/52
Títulos de longo prazo 5,7% 9,4%
68,3%
-3,7% a
15,1%
95,4%
-13,1% a
24,5%
99,7%
-22,5% a
33,9%
Letras do Tesouro 3,9% 3,2%
68,3% 0,7% a 7,1%
95,4%
-2,5% a
10,3%
99,7%
-5,7% a
13,5%
In�ação 3,2% 4,4%
68,3% -1,2% a 7,6%
95,4%
-5,6% a
12,0%
99,7%
-10,0% a
16,4%
Fonte: Adaptado de Ross et al. (2002).
Capítulo 2 
01/03/2021 Livro Digital - AVALIAÇÃO DO TEMPO E RISCO
https://livrodigital.uniasselvi.com.br/pos/avaliacao_do_tempo_e_risco/conteudo.html?capitulo=2 34/52
Sabendo que a distribuição normal tem a propriedade de 68,3%, 95,4% 99,7% dos
resultados possíveis de uma variável aleatória estão, respectivamente, entre ±1, ±2
e ±3 desvios-padrão do seu valor esperado foi possível calcular os intervalos para
os retornos esperados considerando as quatro opções de investimento, além da
in�ação. Embora seja trivial, um exemplo do cálculo realizado para obter
determinados intervalos é apresentado. Considerando 95,4% de probabilidade e
analisando as ações das pequenas empresas, a taxa de retorno esperada em um
determinado ano estará no seguinte intervalo: [17,3%–(33,4% x 2)] a [17,3%+(33,4%
x 2)].
Fica evidente que, entre as opções avaliadas, aquelas relacionadas com o mercado
de ações são as mais arriscadas, pois a magnitude dos intervalos para a taxa de
retorno esperada, em cada nível de con�ança, é maior que a estimada para os
títulos do governo. Interpretando determinados intervalos para as ações de
grandes empresas, a probabilidade de que seu retorno, em determinado ano,
esteja no intervalo entre -7,2% e 33,2%, é de aproximadamente de 2/3. Dito de
uma outra maneira, existem aproximadamente duas chances em três de que a
taxa de retorno �que fora do intervalo.
Por �m, os cálculos desta seção consideraram apenas um ativo especí�co.
Entretanto, muitas vezes os investidores utilizam uma carteira de ativos, ou seja,
eles possuem mais de um ativo simultaneamente. Como se trata de uma
característica comum no mercado �nanceiro, a próxima seção demonstra como
podemos calcular o retorno e o risco de uma carteira.
RISCO E RETORNO DE UMA CARTEIRA DE ATIVOS
Um administrador �nanceiro, em seu dia a dia, não avalia o risco de um ativo
individual de maneira independentemente das outras opções de investimento
disponíveis no mercado. Conforme destacou Gitman (2005), muitas vezes criar
uma carteira de ativos é útil para maximizar o retorno do montante investido dado
um nível de risco ou, de maneira análoga, para minimizar o risco dado a um
determinado nível de retorno. Assim, é necessário apresentar como é possível
medir o retorno e o risco de uma carteira de ativos.Intuitivamente, o cálculo do
retorno de uma carteira de ativos é uma simples média ponderada dos retornos
individuais dos ativos que compõem a carteira.
Existem várias maneiras de realizar a ponderação dentro de uma carteira. A mais
comum é utilizar o percentual correspondente que cada ativo tem sobre o valor
total da carteira. Nesse caso, chamamos determinadas porcentagens de pesos da
carteira, conforme destacaram Ross et al. (2013). Considere uma carteira
Capítulo 2 
01/03/2021 Livro Digital - AVALIAÇÃO DO TEMPO E RISCO
https://livrodigital.uniasselvi.com.br/pos/avaliacao_do_tempo_e_risco/conteudo.html?capitulo=2 35/52
composta pelos ativos A e B na qual foi investido $ 300 e $ 700, respectivamente,
totalizando o valor da carteira em $ 1000. A ponderação dos ativos da carteira
pode ser feita utilizando os pesos da carteira denotado por W , que são 0,3
(300/1000) para o ativo A e 0,7 (700/1000) para o ativo B. Obviamente, , ou seja,
todos os ativos da carteira devem estar incluídos na ponderação, de modo que ,
sendo n o número de ativos da carteira.
j
Assim, o retorno esperado da carteira p pode ser calculado utilizando a seguinte
fórmula:
Sendo:
 o retorno esperado da carteira p.
 a proporção do valor total da carteira aplicada no ativo j.
 é o retorno esperado do ativo j.
Para ilustrar como se pode utilizar a fórmula para calcular o retorno esperado de
uma carteira de ativos, suponha que você recebeu probabilidades para os estados
futuros da economia. A economia poderá entrar em uma expansão ou em uma
recessão, além da rentabilidade das ações A, B e C associadas aos estados. A
tabela a seguir sintetiza determinadas informações.
Tabela 24 – Retornos das ações e estados
Estado da Economia Probabilidade Ação A Ação B Ação C
Expansão 0,70 13% 16% 25%
Recessão 0,30 8% 6% -5%
Fonte: O autor.
Capítulo 2 
01/03/2021 Livro Digital - AVALIAÇÃO DO TEMPO E RISCO
https://livrodigital.uniasselvi.com.br/pos/avaliacao_do_tempo_e_risco/conteudo.html?capitulo=2 36/52
Assuma, ainda, que você investiu 60% do seu dinheiro na Ação C e o restante, 40%,
foi dividido igualmente entre as Ações A e B. Assim, a questão iminente é
encontrar o retorno esperado da carteira. No entanto, antes de calculá-lo,
devemos obter individualmente os retornos esperados de cada uma das ações,
como segue:
Portanto, as ações A, B e C possuem um retorno esperado de, respectivamente,
11,5%, 13% e 16%. Utilizando a fórmula do retorno esperado de uma carteira e os
valores recentemente calculados dos retornos esperados de cada uma das ações,
além das ponderações assumidas, encontramos:
Logo, o retorno esperado da carteira é de 14,5%. No entanto, o cálculo do desvio-
padrão de uma carteira não é uma simples ponderação direta dos desvios-padrão
dos ativos individualmente como foi feito para o retorno esperado da carteira.
Capítulo 2 
01/03/2021 Livro Digital - AVALIAÇÃO DO TEMPO E RISCO
https://livrodigital.uniasselvi.com.br/pos/avaliacao_do_tempo_e_risco/conteudo.html?capitulo=2 37/52
Para encontrar o desvio-padrão de uma carteira, é necessário calcular o retorno da
carteira, os estados da economia (k ), além do retorno esperado da carteira que já
foi calculado (k = 14,5%).  A expressão analítica para o cálculo do desvio-padrão de
uma carteira é praticamente a mesma anteriormente apresentada, a diferença é
que s é o estado da economia, sendo ela expressa da seguinte forma:
s
p
Como não há o retorno da carteira para o período de expansão (e) ou recessão (r)
da economia, é necessário calculá-los, como segue:
Assim, o desvio-padrão da carteira é de:
Logo, o desvio-padrão da carteira é de 9%.
Infelizmente, mesmo calculando o retorno esperado de um ativo ou de uma
carteira, não há garantias de que o retorno esperado será igual ao retorno real. A
próxima seção abordará justamente o porquê de determinados desvios
acontecerem.
MODELO DE FORMAÇÃO DE PREÇOS DE ATIVOS (CAPM)
Capítulo 2 
01/03/2021 Livro Digital - AVALIAÇÃO DO TEMPO E RISCO
https://livrodigital.uniasselvi.com.br/pos/avaliacao_do_tempo_e_risco/conteudo.html?capitulo=2 38/52
De modo geral, o retorno real (efetivo) de qualquer ação comercializada nos
mercados é constituído por duas partes: o retorno esperado e o inesperado. De
acordo com Ross et al. (2013), o retorno esperado, que também é chamado de
normal, é aquele que o mercado prevê e que é baseado nas informações que os
acionistas têm sobre a ação e na compreensão do atual mercado acerca dos
fatores que condicionarão a ação no futuro. Por outro lado, o retorno inesperado é
o componente incerto que surge após a expectativa de retorno ter sido criada.
Determinada parte arriscada deriva de várias fontes, tais como: pelo governo, ao
divulgar dados surpreendentes sobre a economia (PIB, taxa de juros, câmbio), por
novas regulamentações sobre o setor que a empresa atua, pelo desenvolvimento e
pela divulgação de novas tecnologias, entre tantos outros determinantes.
Expressando matematicamente, o retorno real é dado por:
Sendo: R é o retorno real, é o retorno esperado e I é o retorno inesperado.
Assim, o retorno real será diferente do esperado sempre que o retorno inesperado
for diferente de zero, explicando, assim, porque existe a diferença entre o retorno
real e esperado. Observe que, se o retorno esperado é maior do que o retorno
real, então o retorno inesperado é negativo. De maneira análoga, o retorno real é
maior que o retorno esperado quando o retorno inesperado for positivo.
Entretanto, na média, o retorno inesperado é zero, fazendo com que o retorno real
seja igual ao retorno esperado, na média.
Aprofundando a análise do retorno inesperado, percebemos que ele está
associado à divulgação de uma nova informação que in�uenciará o retorno da
ação através de uma notícia ou de um anúncio. Entretanto, não é qualquer tipo de
informação que terá impacto sobre a ação e, para compreender, é necessário
saber que qualquer anúncio/notícia possui dois componentes: a parte prevista e a
parte surpresa, sendo que apenas um deles afeta o retorno.
O elemento previsto é aquela informação que o mercado já utilizou para estimar a
expectativa de retorno da ação porque se considera que o mercado de capitais é
e�ciente. Diferentemente, a parte surpresa não havia sido prevista e, assim, ela
impacta diretamente no retorno inesperado da ação. Por exemplo: se havia uma
previsão de crescimento do PIB de 8% e a divulgação do resultado, através de uma
notícia, con�rmou o crescimento, então não há impacto sobre o preço da ação,
pois o mercado já havia “preci�cado” o anúncio. No entanto, se a divulgação
apresentasse um crescimento de 4% do PIB, então a notícia realmente seria uma
novidade, impactando no retorno inesperado.
Capítulo 2 
01/03/2021 Livro Digital - AVALIAÇÃO DO TEMPO E RISCO
https://livrodigital.uniasselvi.com.br/pos/avaliacao_do_tempo_e_risco/conteudo.html?capitulo=2 39/52
Um mercado de capitais e�ciente é um mercado em que seus preços correntes
re�etem totalmente as informações disponíveis. Ainda, nos mercados e�cientes os
preços se ajustam imediatamente à divulgação ou ao anúncio de novas
informações, fazendo com que o Valor Presente Líquido (VPL) de todos os
investimentos disponíveis seja igual a zero.
Assim, o determinante do risco de um ativo se encontra em seu retorno
inesperado, que, por sua vez, é resultante do surgimento de surpresas no
mercado. As surpresas são classi�cadas em dois tipos: risco sistemático e não
sistemático. De acordo com Ross et al. (2013), o risco sistemático, também
chamado de risco não diversi�cável ou risco de mercado, é o risco relacionado a
fatores de mercado que impactam em um grande número de ativos, sendo em
cada um deles de maneira distinta. Já o risco não sistemático, também conhecido
por risco diversi�cável, está associado a causas aleatórias que in�uenciam, no
máximo, um número pequeno de ativos.
Alguns exemplos de riscos podem ser apresentados para �car mais evidente a
diferença entre ambos. Para o risco sistemático, guerras, PIB, taxa de juros,
incidentesinternacionais e ações governamentais são alguns exemplos. Greves,
ações judiciais, decisões de agências reguladoras e perda de um cliente relevante
são situações relacionadas ao risco não sistemático.
Agora que se sabe que o retorno inesperado é determinado pela surpresa de
mercado e determinada surpresa possui uma parte sistemática (m) e não
sistemática (e), a fórmula do retorno real pode ser alternativamente expressa
como:
Ao separar a surpresa em seus dois componentes, �cou fácil de identi�car que o
risco não sistemático (e) é, de certa forma, exclusivo a uma empresa, logo, o
retorno da maioria dos outros ativos do mercado não são afetados pelo risco.
Signi�ca que apenas o risco não sistemático pode ser mitigado através do
processo de diversi�cação da carteira de ativos.
Gitman (2005) utilizou um grá�co para auxiliar a compreensão dos riscos
diversi�cável e não diversi�cável. A abordagem do autor também foi utilizada
neste livro e pode ser observada na Figura 6. Nela, é possível observar o que
acontece com o risco de uma carteira na medida em que são adicionados,
aleatoriamente da população, novos ativos. Assim, um grá�co é construído, no
qual o eixo vertical mensura o risco total da carteira através do desvio-padrão do
retorno, e o eixo horizontal apresenta o número de ativos da carteira.   
Capítulo 2 
01/03/2021 Livro Digital - AVALIAÇÃO DO TEMPO E RISCO
https://livrodigital.uniasselvi.com.br/pos/avaliacao_do_tempo_e_risco/conteudo.html?capitulo=2 40/52
Observe que, na medida em que se adicionam novos artigos na carteira, o risco vai
diminuindo somente até um determinado ponto, após, o risco não se reduz mais.
Assim, conclui-se que parte do risco associado aos ativos individuais pode ser
eliminado pela formação de uma carteira, entretanto a parte complementar não
pode ser eliminada. A estratégia de distribuir um montante em vários artigos,
estabelecendo uma carteira, é chamado de diversi�cação, sendo que a
diversi�cação é capaz de eliminar do risco.
Através do grá�co, a diversi�cação elimina a área entre a curva e a reta. Assim,
dado um número de ativos na carteira, a distância entre o risco (desvio)
estabelecido pela curva e o determinado pela reta, mensura o risco diversi�cável
(não sistemático). Por outro lado, a distância entre o eixo vertical e a reta
estabelece o risco não diversi�cável (sistemático). O risco não diversi�cável, por
de�nição, afeta todos artigos e, assim, não pode ser eliminado pela diversi�cação,
independentemente de quantos ativos forem adicionados na carteira. 
Figura 10 – Diversif icação e r isco de uma carteira
Capítulo 2 
01/03/2021 Livro Digital - AVALIAÇÃO DO TEMPO E RISCO
https://livrodigital.uniasselvi.com.br/pos/avaliacao_do_tempo_e_risco/conteudo.html?capitulo=2 41/52
Adaptado de Ross et al. (2002).
Resumidamente, conclui-se que o risco total de um investimento, mensurado pelo
desvio-padrão de sua taxa de retorno, pode ser dividido como segue:
Risco total = Risco sistemático + Risco não sistemático
Visto que o risco não sistemático pode ser praticamente todo eliminado pela
diversi�cação, devemos concentrar os esforços para entender melhor o risco
sistemático e saber como mensurá-lo.
O princípio do risco sistemático estabelece que a taxa de retorno esperada de um
ativo com risco está condicionada apenas ao risco sistemático do ativo. A lógica da
Capítulo 2 
01/03/2021 Livro Digital - AVALIAÇÃO DO TEMPO E RISCO
https://livrodigital.uniasselvi.com.br/pos/avaliacao_do_tempo_e_risco/conteudo.html?capitulo=2 42/52
a�rmação é porque o risco não sistemático pode ser eliminado sem custos, não
havendo uma contrapartida �nanceira por assumir o risco. Conforme salientam
Ross et al. (2013), os riscos desnecessários, como o risco não sistemático, não são
premiados pelo mercado.
Usualmente, o coe�ciente beta (β ) é o método utilizado para medir o risco
sistemático de diferentes ativos. O coe�ciente beta avalia o quanto de risco
sistemático um ativo com risco tem em relação a um ativo com risco médio. O
ativo com risco médio, por de�nição, é aquele que apresenta um beta no valor de
1. Assim, ativos com beta igual a 0,25 tem um quarto do risco sistemático de um
ativo médio, enquanto que um ativo com beta igual a 4 tem quatro vezes mais
risco que o ativo médio.
j
  
O coe�ciente beta pode ser mensurado empiricamente através de diferentes
métodos e modelos, o mais usual é através de um modelo de regressão. Assim,
será necessário coletar os dados históricos dos retornos do ativo em análise e os
dados do retorno histórico do mercado que estão amplamente disponíveis na
internet para obter uma amostra. Após a coleta, podemos construir uma regressão
e estimar o coe�ciente beta. Infelizmente, o processo, além de requerer um
conhecimento mais avançado de estatística, vai além dos objetivos deste livro,
entretanto, uma breve síntese de como é estimado o coe�ciente beta será
apresentada.
Um modelo de regressão padrão, para a estimação do coe�ciente beta, utiliza o
estimador de Mínimos Quadrados Ordinários (MQO) e pode ser representado da
seguinte forma:
Sendo:
k o retorno do ativo j.j 
k o retorno exigido da carteira de mercado na qual utiliza-se o Standard & Poor’s
500 Stock Composite Index como variável proxy.
m
e o termo de erro aleatório  que re�ete o risco diversi�cável ou não sistemático do
ativo j, sendo .
j
α e β os coe�cientes de interesse, sendo o primeiro o coe�ciente linear
(intercepto) e, o segundo, o coe�ciente angular.
j j
Capítulo 2 
01/03/2021 Livro Digital - AVALIAÇÃO DO TEMPO E RISCO
https://livrodigital.uniasselvi.com.br/pos/avaliacao_do_tempo_e_risco/conteudo.html?capitulo=2 43/52
Tendo uma ideia de como podem ser obtidos, o mais importante é saber
interpretar e representar em um grá�co os betas, além de conhecer como aplicá-
los a carteiras. A tabela a seguir, retirada de Ross et al. (2013), demonstra alguns
coe�cientes beta estimados para ações de um grupo de empresas americanas. De
modo geral, os betas são positivos e estão no intervalo entre 0,5 e 2,0, embora eles
possam estar fora do intervalo e até mesmo assumir números negativos. O beta
das ações do Google é de 2,6, demonstrando que a ação tende a apresentar uma
variação de 2,6% em seu retorno para cada ponto percentual de variação do
retorno da carteira de mercado. Vale destacar que os valores apresentados na
tabela a seguir não são uma verdade absoluta, pois eles dependem do método de
estimação, da periodicidade e da frequência dos dados utilizados. Quer dizer que,
conforme as escolhas do analista, ele poderá encontrar um valor muito diferente
daqueles contidos na tabela para as mesmas empresas.
Tabela 8 – Coe�cientes beta de algumas ações de empresas americanas
Ações Coe�ciente beta (β )j
The Gap 0,48
Coca-Cola 0,52
3M 0,64
ExxonMobil 1,14
Abercrombie & Fitch 1,28
eBay 2,13
Capítulo 2 
01/03/2021 Livro Digital - AVALIAÇÃO DO TEMPO E RISCO
https://livrodigital.uniasselvi.com.br/pos/avaliacao_do_tempo_e_risco/conteudo.html?capitulo=2 44/52
G l 2 60
Fonte: Ross et al. (2013).
A �gura a seguir demonstra a relação entre o retorno do ativo e o retorno de
mercado para os ativos S e R. O eixo vertical mensura o retorno do ativo e o
horizontal mede o retorno de mercado. Os pontos representam os pares, retorno
do ativo e retorno de mercado para cada ano do período de 1996 a 2003, do ativo
S. Não foram marcados os pontos para o ativo R, pois ele foi inserido na análise
como base de comparação. A linha do Ativo S explica a relação entre retorno do
ativo e de mercado, e ela pode ser estimada justamente pelo modelo de regressão
supracitado. Ademais, o coe�ciente (β ) estimado pela regressão mede justamente
a inclinação da reta. No caso do ativo S, a inclinação (coe�ciente beta) da curva é
de 1,3, enquanto que para o ativo R a inclinação da curva é de 0,8. Comparando,
percebemos que o coe�ciente beta do ativo S é mais alto ou, em outras palavras,
ele possui uma curva mais inclinada, indicando que seu retorno é mais sensível a
variações dosretornos de mercado. Logo, podemos a�rmar que o ativo R possui
um menor risco que o ativo S.
j
Figura 11 – Representação gráfica do coeficiente beta
Gitman (2005).
Capítulo 2 
01/03/2021 Livro Digital - AVALIAÇÃO DO TEMPO E RISCO
https://livrodigital.uniasselvi.com.br/pos/avaliacao_do_tempo_e_risco/conteudo.html?capitulo=2 45/52
Dispondo dos coe�cientes betas que o compõem, é muito fácil obter o coe�ciente
beta de uma carteira de ativos. Novamente, a intuição do cálculo é ponderar os
pesos que cada ativo tem sobre a carteira e multiplicar por seus respectivos betas.
O somatório das multiplicações será o beta da carteira. A fórmula para encontrar o
coe�ciente beta da carteira p é representada por:
Sendo:
β o coe�ciente beta da carteira p.p
w a proporção do valor total da carteira aplicada no ativo j.j
β o beta do ativo j.j
Para ilustrar, suponha que tenha uma carteira composta pelas ações das
empresas The Gap, Coca-Cola, 3M, eBay e Google e que a proporção do valor total
da carteira aplicada em cada um dos ativos é a mesma. Utilizando os coe�cientes
betas apresentados na tabela anterior, é possível obter o coe�ciente beta da
carteira da seguinte forma:
O beta de uma carteira pode ser interpretado da mesma maneira que um ativo
individual, ou seja, eles indicam a sensibilidade do retorno da carteira frente a
variações do retorno da carteira de mercado. Para o beta obtido anteriormente (β
= 1,274), quando o retorno de mercado diminui 10%, o retorno da carteira reduz
em 12,74%. Obviamente, uma carteira com um percentual alto de coe�cientes
betas maiores que 1 tenderá a ter um beta elevado.
p
A utilidade do coe�ciente beta já �cou evidente, no entanto, ele ainda será útil para
estudar uma teoria básica que é amplamente aceita na administração �nanceira.
Trata-se do modelo de formação de preços de ativos (Capital Asset Pricing Model -
CAPM), o qual associa o risco sistemático ao retorno de todos ativos. O modelo
Capítulo 2 
01/03/2021 Livro Digital - AVALIAÇÃO DO TEMPO E RISCO
https://livrodigital.uniasselvi.com.br/pos/avaliacao_do_tempo_e_risco/conteudo.html?capitulo=2 46/52
A taxa de retorno livre de risco (R ) é o valor do dinheiro no tempo, ou seja, é
a taxa de juros livre de risco.
O prêmio pelo risco de mercado, dado por ( ), representa o
prêmio que o investidor deve receber por assumir um risco sistemático
médio associado a ter a propriedade da carteira.
CAPM visa a encontrar o retorno esperado de um ativo e ele pode ser
representado da seguinte forma:
Sendo:
 o retorno esperado do ativo j.
R a taxa de retorno livre de risco que, frequentemente, utiliza uma Letra do
Tesouro dos Estados Unidos como variável proxy.
F
β o coe�ciente beta.j
 o retorno de mercado esperado.
Um olhar mais atento à equação do modelo CAPM sugere duas coisas:
F
Ainda, o modelo CAPM pode ser utilizado em ativos individuais e em carteiras de
ativos. Não obstante, no modelo CAPM quanto maior for o beta ceteris paribus,
maior será o retorno exigido.
Como exemplo, suponha que você deseja descobrir o retorno esperado exigido da
ação H. Considere que você sabe que o coe�ciente beta associado à ação H é de
1,8, que a taxa de juros livre de risco é de 10% e que o retorno da carteira de
mercado é de 12%. Logo, R = 10% e . Aplicando os valores no modelo
CAPM, obtemos:
F 
Capítulo 2 
01/03/2021 Livro Digital - AVALIAÇÃO DO TEMPO E RISCO
https://livrodigital.uniasselvi.com.br/pos/avaliacao_do_tempo_e_risco/conteudo.html?capitulo=2 47/52
Com o desenvolvimento do cálculo foram encontrados vários valores
interessantes. Um deles é que o prêmio de mercado é de 2% ( ).
Quando ele for ajustado pelo indicador de risco do ativo, ,
obtemos o prêmio de risco do ativo que é de 3,6%. Somando o prêmio de risco
com a taxa de juros livre de risco, encontramos o retorno exigido para ação H, que
é de 13,6%.
LINHA DE MERCADO DE TÍTULOS (SML)
A linha de mercado de títulos (SML) nada mais é que a representação grá�ca do
modelo CAPM. A SML, como será visto, é uma linha reta que re�ete o retorno
exigido no mercado para diferentes níveis de risco sistemático (coe�ciente beta).
Em seu grá�co, o eixo vertical mede o retorno esperado exigido e, o eixo
horizontal, o risco sistemático. A �gura a seguir demonstra a linha de mercado de
títulos para o exemplo mais recente, aquele que analisou a ação H.
Na �gura a seguir foi destacado o tamanho do prêmio de risco de mercado, que é
de 2,0% (12,0 – 10,0), além da magnitude do prêmio de risco do ativo H, que é de
3,6% (13,6 -10,0). Determinados valores já haviam sido calculados anteriormente,
mas o importante agora é visualizá-los no grá�co. Não obstante, a inclinação da
reta SML, assim como qualquer outra reta, é dada pelo seu coe�ciente angular.
Para o caso da reta SML, a sua inclinação pode ser encontrada através da razão
entre o prêmio e o risco.
Figura 12 – Linha de mercado de t ítulos (SML)
Capítulo 2 
01/03/2021 Livro Digital - AVALIAÇÃO DO TEMPO E RISCO
https://livrodigital.uniasselvi.com.br/pos/avaliacao_do_tempo_e_risco/conteudo.html?capitulo=2 48/52
O autor.
Formalmente, a inclinação da reta SML é dada por:
Aplicando os valores na fórmula, encontramos:
Portanto, a inclinação da reta SML é igual a 2. Em outras palavras, a ação H tem
uma recompensa de 2% por cada “unidade” de risco não diversi�cável. Vale
destacar também que a reta SML pode ser traçada utilizando poucas informações.
Primeiro, podemos marcar o coe�ciente linear dela, que é o local onde a reta cruza
o eixo vertical. Para a reta SML, o coe�ciente linear é a taxa de juros livre de risco
(R ) que, para a ação H, é de 10%. Após, podemos marcar o ponto referente à
coordenada que representa o prêmio de risco de mercado, sendo (12 e 1), em que
o primeiro elemento da coordenada é o retorno exigido e o segundo o coe�ciente
F
Capítulo 2 
01/03/2021 Livro Digital - AVALIAÇÃO DO TEMPO E RISCO
https://livrodigital.uniasselvi.com.br/pos/avaliacao_do_tempo_e_risco/conteudo.html?capitulo=2 49/52
beta. Por de�nição, o prêmio de risco de mercado sempre é igual a 1. Assim, ele
não foi informado nem calculado. As duas marcações já são su�cientes para traçar
a reta SML, entretanto, pode-se demarcar ainda a coordenada que representa o
prêmio por risco da ação H, dada por (13,6 e 1,8), desejando visualizar no grá�co o
prêmio por risco da ação H.
No entanto, a reta SML não é estática. Ela pode sofrer deslocamentos com o
passar do tempo, em decorrência de mudanças nas expectativas in�acionárias ou
no grau de aversão ao risco dos investidores, por exemplo. Determinadas
mudanças podem deslocar paralelamente a curva SML ou alterar a inclinação da
reta, dependendo do que provocou a alteração.
Por �m, conforme destacaram Ross et al. (2013), a razão entre retorno e risco deve
ser igual para todos os ativos disponíveis no mercado, ou seja, todos os ativos
devem ter a mesma reta SML. É verdade porque, em mercados e�cientes, uma
eventual diferença entre duas linhas SML faria com que os investidores fossem
atraídos para o ativo mais rentável entre eles. Contudo, faria com que o preço do
ativo mais rentável subisse, o que, por sua vez, diminuiria seu retorno esperado. O
ativo que era menos rentável sofreria o processo inverso. O ajuste ocorreria até
que os dois ativos apresentassem a mesma linha SML. Formalmente, para dois
ativos denotados por z e v, temos:
Reforçando, determinada relação é válida não somente para os ativos z e v, mas
também para todos os outros ofertados no mercado, implicando que a razão entre
retorno e risco sempre é a mesma, independentemente do ativo ofertado. De
forma alternativa, se um ativo tem o triplo do risco sistemático que um outro ativo,
então seu prêmio de risco será três vezes maior.
Muitos novos conceitos foram apresentados neste capítulo. Agora, foi elaborada a
seguinte atividade de estudo para reforçar e testar a aprendizagem.
ATIVIDADE DE ESTUDOS:
1) Considerando as estratégias competitivas genéricas, leia cuidadosamente
cada uma das a�rmações a seguir e assinale