Relatório II: Momento de Inércia e Pêndulo de Torção

Prévia do material em texto

INSTITUTO FEDERAL DO NORTE DE MINAS GERAIS 
BACHARELADO EM ENGENHARIA DE ALIMENTOS 
 
 
 
 
 
VICTOR GABRIEL SILVA SILVEIRA 
 
 
 
 
 
 
RELATÓRIO II: MOMENTO DE INCÉRCIA E PÊNDULO DE TORÇÃO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
SALINAS 
MINAS GERAIS - BRASIL 
2021 
VICTOR GABRIEL SILVA SILVEIRA 
 
 
 
 
 
 
 
RELATÓRIO II: MOMENTO DE INCÉRCIA E PÊNDULO DE TORÇÃO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
SALINAS 
MINAS GERAIS – BRASIL 
2021 
Trabalho apresentado a Alisson Marques 
Miranda, regente da disciplina de Física 
Experimental, como requisito avaliativo do 6º 
período do curso de Bacharelado em Engenharia 
de Alimentos. 
Relatório sobre Momento de Inércia e Pêndulo de Torção 
Objetivo Geral ∙ 
O relatório em questão tem como objetivo contextualizar o momento de inércia e um 
pêndulo de torção, afim de realizar uma análise e construção de um gráfico a partir dos 
resultados obtidos durante a aula prática, sendo possível a determinação da constante de torção 
do pêndulo e verificar a precisão do teorema dos eixos paralelos. 
Fundamentação Teórica 
MOMENTO DE INÉRCIA 
O conceito de momento de inércia está ligado ao movimento de rotação de um corpo 
em torno de um eixo. Esta grandeza mede a inércia (resistência a sair do estado de repouso) de 
um sistema parado quando nele é aplicado um torque que vai colocá-lo em rotação. Esta 
resistência também é sentida quando se quer alterar a sua rotação, o que é decorrente do 
princípio de inércia de Galileu. Para distribuições discreta ou contínua de massa o momento de 
inércia é expresso por: I= ∑ mi ri
2. Em ambas as expressões acima, r indica a distância da massa 
mi ou do elemento de volume dv até o eixo considerado. 
PÊNDULO DE TORÇÃO 
No pêndulo de torção montado no laboratório, usa-se como elemento elástico uma vareta de 
óleo (de cárter de automóvel) na forma de haste delgada flexível. O referido pêndulo descreve 
oscilações harmônicas cuja frequência angular obedece à equação T = 2π * √I 
 K 
onde I é o momento de inércia do pêndulo e K a constante de torção do fio 
variando com as características da haste: material de que é feito, sua seção transversal e seu 
comprimento, que no nosso caso é a única grandeza associada à haste a sofrer variação e T é o 
período de oscilação do sistema. 
Metodologia 
Material 
• Pêndulo de torção; 
• Vareta metálica; 
• Cilindros metálicos; 
• Cronômetro; 
• Balança; 
• Paquímetro; 
• Régua. 
Procedimento 
 Primeiramente foi encontrado a massa mv da vareta, (0,05134 ± 0,00001) kg; 
Posteriormente o diâmetro e o comprimento da vareta foram medidos três vezes, afim de se 
obter um resultado mais preciso, obtendo-se os valores de comprimento hv igual a (0,1995 ± 
0,0005) m, diâmetro igual a (0,00645 ± 0,00005) m e um valor de (0,00323 ± 0,00003) m para 
o raio Rv da vareta, tornando possível o cálculo do momento de inércia da vareta; Logo após a 
vareta foi posicionada horizontalmente ao sistema de forma que seu centro estivesse no mesmo 
local que o fio do pêndulo; Após o posicionamento da vareta, a mesma foi deslocada em no 
máximo 45° e solta, nesse momento o tempo para dez oscilações efetuadas pela vareta foi 
observado, obtendo um valor de T10 igual a (11,14 ± 0,01) s, fazendo uma média desse valor 
foi possível obter o valor do período de oscilações desse objeto, tendo um valor Tv de (1,114 ± 
0,001) s e ao se obter o valor do momento de inércia da vareta e o seu período de oscilação se 
torna possível determinar o valor da constante de torção K do fio utilizado no sistema; Em 
seguida foram pesados e medidos os dois cilindros que seriam utilizados no sistema, obtendo 
pesos de (0,05585 ± 0,00001) kg para os dois cilindros e portanto um valor de mc igual a 
(0,027925 ± 0,000005) kg e medidas iguais a: 
Diâmetro 
externo 
médio (m) 
Diâmetro 
interno 
Médio (m) 
Comprimento 
médio 
hc (m) 
Raio 
externo 
médio 
Rc (m) 
Raio 
interno 
médio 
rc (m) 
0,01583 ± 
0,00003 
0,00625 ± 
0,00003 
0,02008 ± 0,00003 0,00791 ± 
0,00001 
0,00313 ± 
0,00002 
 Após as medidas realizadas, os dois cilindros foram fixados no sistema, a uma distância 
x entre o cilindro e o cordão, igual para ambos, somando o valor da distancia d, entre o fio e o 
inicio do cilindro, mais a metade da distancia hc do cilindro. Após posicionados o sistema foi 
oscilado e o tempo de dez oscilações foi anotado para cada medida x. 
Resultados e Discussão 
 Para realização dos cálculos das medidas da vareta e do cilindro foram usadas equações 
básicas de média e posteriormente uma equação de propagação de erro para cada uma, sendo 
elas: 
 O período de oscilação da vareta foi calculado dividindo o valor do tempo de 10 
oscilações por 10 e em seguida uma equação de propagação de erro: 
Tv = T10 Tv = 11,14 = 1,114 s 
 10 10 
STv = 1,114* √ (0,01)2 = 0,001 Tv = (1,114 ± 0,001) s 
 11,14 
 Para se obter o peso de apenas um cilindro, o valor do peso dos dois cilindros juntos foi 
divido por dois e posteriormente uma equação de propagação de erro utilizada: 
mc = 2mc mc = 0,05585 = 0,027925 kg 
 2 2 
Smc = 0,027925* √ (0,00001)2 = 0,000005 mc = (0,027925 ± 0,000005) kg 
 0,05585 
 Para os valores de comprimento, diâmetro e raio do cilindro foram utilizadas equações 
de média e propagação de erro: 
 
Die = 0,01585 + 0,01580 = 0,015825 m 
 2 
SDie = 0,015825* √ (0,00005)2 = 0,000025 Die = (0,01583 ± 0,00003) m 
 0,03165 
Dii = 0,00640 + 0,00610 = 0,00625 m 
 2 
SDii = 0,00625* √ (0,00005)2 = 0,000025 Dii = (0,00625 ± 0,00003) m 
 0,0125 
hc = 0,02005 + 0,02010 = 0,020075 m 
 2 
Shc = 0,020075* √ (0,00005)2 = 0,000025 hc = (0,02008 ± 0,00003) m 
 0,04015 
 Para se obter os valores das medidas de raio interno e externo apenas foi dividido o valor 
dos diâmetros por dois e realizado uma equação de propagação de erros: 
 Rc = 0,01583 = 0,007915 m 
 2 
SRc=0,007915* √ (0,00003)2 = 0,0000125 Rc = (0,00791 ± 0,00001) m 
 0,01583 
rc = 0,00625 = 0,003125 m 
 2 
Src = 0,003125* √ (0,00003)2 = 0,000015 rc = (0,00313 ± 0,00002) m 
 0,00625 
 A partir de todos esses dados se torna possível o calculo do momento de inércia da vareta 
e dos cilindros: 
Vareta- 
Iv = mv * (Rv2 + hv2) Iv = 0,05134 * (0,003232 + 0,19952) 
 4 12 4 12 
 
Iv = 0,0001704 kg.m2 
SIv = 0,0001704* √( (0,00001)2 + (2*0,00003)2 + (2*0,0005)2 = 0,000002318 
 0,05134 0,00323 0,1995 
Iv = (0,000170 ± 0,000002) kg.m2 
Cilindros- 
Ic = mc * ((Rc2 + rc2) + hc2) Ic = 0,027925 * ((0,007912 + 0,003132) + 0,020082) 
 4 12 4 12 
 
Ic = 0,0000014435 kg.m2 
SIc = 0,0000014435* √( (0,000005)2 + (2*0,00001)2+ (2*0,00002)2 + (2*0,00003)2 
 0,027925 0,00791 0,00313 0,02008 
SIc = 0,00000001364 Ic = (0,00000144 ± 0,00000001) kg.m2 
 A partir desses valores, agora se torna possível encontrar o valor da constante de torção 
K do fio, através da equação: 
T = 2π * √I K = (2π * Iv0,5)0,5 
 K Tv 
K = (2π * 0,000170,5)0,5 K = 0,2711812 kgm2/s2 
 1,114 
SK = 0,2711812* √( (0,000002)2 + (0,5*0,001)2 = 0,00319 K = (0,271 ± 0,003) kgm2/s2 
 0,00017 1,114 
 Seguindo as instruções do roteiro temos tabelados os valores obtidos durante o 
experimento, para que seja possível a construção e análise dos dados. 
d (m) x (m) T10 (s) T (s) T2 (s2) x2 (m2) 
0,00710 ± 0,00005 0,01714 ± 0,00005 11,88 ± 0,01 1,188 ± 0,001 1,411 ± 0,001 0,0002938 ± 
0,0000009 
0,01845 ± 0,00005 0,02849 ± 0,00005 12,75 ± 0,01 1,275 ± 0,001 1,626 ± 0,001 0,0008117 ± 
0,0000001 
0,03470 ± 0,00005 0,04474 ± 0,00005 14,38 ± 0,01 1,438 ± 0,001 2,068 ± 0,001 0,002002 ± 
0,000002 
0,04785 ± 0,00005 0,05789 ± 0,00005 16,42 ± 0,01 1,642 ± 0,001 2,696 ± 0,002 0,003351 ± 
0,000003 
0,07685 ± 0,00005 0,08689 ± 0,00005 20,94 ± 0,01 2,094 ± 0,001 4,385 ± 0,002 0,007550 ± 
0,000004 
 
Sx’ = 0,01004* √(0,00003)2 = 0,00002 -------- Sx’’ = √(0,000052) + (0,000022) = 0,00005 
 0,02008 
x = d + h ---- x1 = 0,00710 + 0,02008 = 0,01714 m; x2 = 0,01845 + 0,01004 = 0,02849 m; 
 2 2 
x3 = 0,03470 + 0,01004 = 0,04474 m; x4 = 0,04785 + 0,01004 = 0,05789 m; 
x5 = 0,07685 + 0,01004 = 0,08689 m. 
 
ST= 1,188* √ (0,01)2 = 0,001 --- o valor da incerteza 0,001 se aplica a todos os outros tempos 
 11,88 
T1 = 11,88 = 1,188 s ---- todos os outros valores do tempo também serão divididos por 10 
 10 
1ST2 = 1,411344* √ (0,001)2 = 0,001 / 2ST2 = 1,625625* √ (0,001)2 = 0,001 / 
 1,188 1,275 
3ST2 = 2,067844* √ (0,001)2 = 0,001 / 4ST2 = 2,696164* √ (0,001)2 = 0,002 / 
 1,438 1,642 
 
5ST2 = 4,384836* √ (0,001)2 = 0,002 
 2,094 
1Sx2 = 0,0002937796* √ (0,00005)2 = 0,00000085 
 0,01714 
2Sx2 = 0,0008116801* √ (0,00005)2 = 0,00000014 
 0,02849 
3Sx2 = 0,0020016676* √ (0,00005)2 = 0,0000022 
 0,04474 
4Sx2 = 0,0033512521* √ (0,00005)2 = 0,0000028 
 0,05789 
5Sx2 = 4,384836* √ (0,001)2 = 0,002 
 2,094 
 
 
A partir do gráfico e da equação da sua reta podemos obter de forma experimental os 
valores de a e b, que seriam o coeficiente linear e angular respectivamente. Temos que a = 
√1,285 = 1,134 e b = √411,24 = 20,279. 
Utilizando as equações para descobrir os valores de a e b temos que: 
b = 8π2 * mc ---- b = 8π2 * 0,027925 = 8,1361 
 k 0,271 
a = 4π2 * (Iv + 2Ic) ---- a = 4π2 * (0,00017 + 2*0,00000144) = 0,0252 
 k 0,271 
Bibliografia 
Halliday D; Resnick R.; Kenneth S. Krane. Fundamentos de Física v1. Nova Iorque: John 
Wiley & Sons, 2001. 
PÊNDULO de Torção – UnB – Universidade de Brasília. 2014. Disponível em 
<http://www.fis.unb.br/gefis/index.php?option=com_content&view=article&id=126&Itemid=
239&lang=pt> Data de acesso: 21 do 06 de 2021.