ISPT Selecção de maquinaria

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DIVISÃO DE ENGENHARIA 
CURSO DE LINCENCIATURA EM ENGENHARIA DE PROCESSAMENTO MINERAL 
Disciplina: Selecção de maquinaria. 3° Ano 
 
 
 
 
Notas de aulas e exercícios resolvidos 
 
. 
 
 
 
Raúl Fernando Raúl 
 
 
 
 
 
 
 
Tete, 2021 
 
 
Índice 
1. TRANSFERÊNCIA DE MASSA ...................................................................................... 5 
1.1. Transportador de correia ............................................................................................. 5 
1.1.1. Dimensionamento e produtividade ...................................................................... 5 
1.2. Bombeamento de água e polpas .................................................................................. 6 
1.2.1. Tubulações e acessórios ....................................................................................... 6 
1.2.2. Etapas para a cálculo e escolha da bomba ........................................................... 8 
2. LEIS DE FRAGMENTAÇÃO ......................................................................................... 11 
2.1. Britagem e moagem .................................................................................................. 11 
2.1.1. Dimensionamento de britadores ........................................................................ 12 
2.2. Moagem ..................................................................................................................... 13 
2.2.1. Moagem convencional ....................................................................................... 13 
2.2.2. Potência vs grau de enchimento ......................................................................... 15 
2.2.3. Potência vs %Ncr ............................................................................................... 16 
3. CLASSIFICAÇÃO ........................................................................................................... 17 
3.1. Dimensionamento de peneira .................................................................................... 17 
3.2. Seleção e dimensionamento de Ciclone e Hidrociclone ........................................... 21 
3.3. Espessamento ............................................................................................................ 22 
3.3.1. Método de Coe & Clevenger ............................................................................. 24 
3.3.2. Método de Kynch ............................................................................................... 25 
3.3.3. Método de Roberts ............................................................................................. 25 
3.3.4. Método de Talmadge & Fitch ............................................................................ 25 
4. AGITAÇÃO E MISTURA ............................................................................................... 26 
4.1. Scale-up......................................................................................................................... 27 
5. VAMOS PRATICAR! ...................................................................................................... 29 
5.1. Banda transportadora................................................................................................. 29 
5.2. Bombas de água ............................................................................................................ 30 
 
 
5.2. Fórmula de Forcheimmer Bresse .............................................................................. 38 
5.3. Bombas de polpa ....................................................................................................... 46 
5.4. Britagem ........................................................................................................................ 52 
5.5. Moagem ......................................................................................................................... 56 
5.6. Agitação e mistura (Exercícios de Paiva) ..................................................................... 58 
5.7. Espessamento ................................................................................................................ 62 
5.8. Peneiramento ................................................................................................................. 63 
5.9. Lista de exercícios ......................................................................................................... 65 
5.10. Teste 2 (10/05/2019) ................................................................................................... 73 
5.11. Exame normal 2015 (agitação e mistura) .................................................................... 74 
5.12. Exame normal (22/05/2019)........................................................................................ 75 
5.13. Exame normal 2019 C/N ............................................................................................. 77 
6. FILTRAÇÃO .................................................................................................................... 78 
7. ACKNOWLEDGEMENTS.............................................................................................. 79 
8. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ............................................................................. 79 
 
Índice de figuras 
Figura 1: Acopolamento de tubos por Cachimbo (A) e Falnge (B) (CHAVES, 2002). ............ 7 
Figura 2: Pipe rack (CHAVES, 2002). ...................................................................................... 7 
Figura 3: Válvula de mangote (CHAVES, 2002). ..................................................................... 7 
Figura 4: Manómetro de polpas (CHAVES, 2002). .................................................................. 8 
Figura 5: Válvula de Taylor (CHAVES, 2002). ........................................................................ 8 
Figura 6: Potência consumida por um moinho em função do grau de enchimento (TAVARES. 
L, 2012). ................................................................................................................................... 16 
Figura 7: Efeito da velocidade de rotação na potência de moinhos (TAVARES. L, 2012). ... 16 
Figura 8: Classificador mecânico-helicoidal. .......................................................................... 21 
Figura 9: Acondicionador e impelidor para agitação e mistura (PAIVA. J, 2014). ................ 26 
Figura 10: Scale-up do acondicionador e impelidor (PAIVA. J, 2014). .................................. 28 
Figura 11: Esquema do bombeamento de água (1). ................................................................. 30 
Figura 12: Esquema do bombeamento de água (2). ................................................................. 32 
 
 
Figura 13: Esquema de bombeamento (3). .............................................................................. 34 
Figura 14: Diagrama de Mood para determinação do fator de atrito. ...................................... 35 
Figura 15: Esquema de bombeamento de água (4). ................................................................. 41 
Figura 16: Tabela de Comprimentos Equivalentes em conexões, para cálculos de Perdas 
Localizadas. ............................................................................................................................. 44 
Figura 17: Tabela de Perda de Carga em Tubulações de PVC, Galvanizado e Ferro Fundido 
(Para Cada 100 m de Tubos). ................................................................................................... 45 
Figura 18: Diagrama do fator C para britadores (CHAVES, 2002). ....................................... 54 
Figura 19: Diagrama do fator D para britadores (CHAVES, 2002). ....................................... 55 
Figura 20: Diagrama de 𝐾𝑆𝑃 e 𝐾𝑙 para moinhos (CHAVES, 2002). ..................................... 57 
Figura 21:Representação gráfica dos dados de sedimentação em proveta (Autor, 2019). ..... 70 
Figura 22: Distribuição granulométrica do exercício de britagem (JAIME. C, 2019). ........... 73 
Figura 23: Curvas de partição de uma amostra de Overflow de hidrociclone (JAIME. C, 2019).
.................................................................................................................................................. 76 
Índice de tabelas 
Tabela 1: Diferenças entre o bombeamento de água e polpa. .................................................... 9 
Tabela 2: Rugosidade de alguns materiais. .............................................................................. 10 
Tabela 3: Fator B x % material retido. ..................................................................................... 19 
Tabela 4: Fator C v eficiência da separação . .......................................................................... 19 
Tabela 5: Fator D x % material menor que a metade da tela. .................................................. 19 
Tabela 6: Fator E x malha da tela para materiais molhados (humidade superior a 10%). ....... 20 
Tabela 7: Fator F x deck de peneiramento. .............................................................................. 20 
Tabela 8: Comprimento equivalente. ....................................................................................... 36 
Tabela 9: Perdas de carga localizadas. ..................................................................................... 36 
Tabela 10: Valores para as variáveis K e velocidade da fórmula de Bresse. ........................... 39 
Tabela 11: Diâmetros de tubulações com conexões ................................................................ 42 
Tabela 12: Cálculo da compatibilidade do diâmetro a partir do Excel. ................................... 49 
Tabela 13: Distribuição granulométrica do exercício de britagem. ......................................... 53 
Tabela 14: Distribuição granulométrica do exercício de peneiramento. ................................. 63 
Tabela 15: Dados de sedimentação em proveta. ...................................................................... 70 
5 
Raúl F. Raúl, 2019 
1. TRANSFERÊNCIA DE MASSA 
1.1. Transportador de correia 
1.1.1. Dimensionamento e produtividade 
 
𝑄 = 3600 ∙ 𝐹𝑡𝑚 ∙ 𝐶 ∙ 𝑉 ∙ 𝛾 a velocidade é variável (1.1.1) 
C é o coeficiente da instalação 
 𝐹𝑡𝑚 =
𝑏 ∙ ℎ
2
=
𝐵1 ∙
𝐵1
2⁄ ∙ 𝑡𝑔𝜇
2
 (1.1.2) 
 
 𝑡𝑔𝜇 =
ℎ
𝐵1
2⁄
 (1.1.3) 
 
 𝐹𝑡𝑚 =
𝐵1
2
4
∙ 𝑡𝑔𝜇 (1.1.4) 
 
 𝐵1 = 0,9𝐵 − 0,05 𝑚 (1.1.5) 
 
 𝑄 = 3600 ∙
𝐵1
2
4
∙ 𝑡𝑔𝜇 ∙ 𝐶 ∙ 𝑉 ∙ 𝛾 (1.1.6) 
 
 𝑄 = 𝐾 ∙ 𝐵1
2 ∙ 𝐶 ∙ 𝑉 ∙ 𝛾 (1.1.7) 
 
𝐾 = 900 ∙ 𝑡𝑔𝜇 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑐𝑜𝑟𝑟𝑒𝑖𝑎𝑠 𝑝𝑙𝑎𝑛𝑎𝑠 
 Potência do motor 
 𝑁 =
𝑁0
𝜇𝑚
 [𝐾𝑊] (1.1.8) 
 
 Potência de tambor motriz ou árvore motor 
6 
Raúl F. Raúl, 2019 
 𝑁0 =
𝑊0 ∙ 𝑣
1000
 [𝐾𝑊] (1.1.9) 
 
𝑊0 é a força de tração 
V é a velocidade 
 𝑊0 = 𝐾0(𝑊𝑐 +𝑊𝑣) (1.1.10) 
𝐾0 = 1,20 − 1,50 
 No ramo de carga 
 𝑊𝑐 = (𝑞 + 𝑞𝑐) ∙ 𝑐𝑜𝑠𝛽 + 𝑞
′𝑟 ∙ 𝐿 ∙ 𝑤 ± (𝑞 + 𝑞𝑐) ∙ 𝐿 ∙ 𝑠𝑒𝑛𝛽 (1.1.11) 
 
Quando se trata de correia horizontal 
𝑐𝑜𝑠𝛽e 𝑠𝑒𝑛𝛽 = 0 
 No ramo de retorno 
 𝑊𝑐 = 𝑞𝑐 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝛽 + 𝑞
′𝑟 ∙ 𝐿 ∙ 𝑤 ± 𝑞𝑐 ∙ 𝐿 ∙ 𝑠𝑒𝑛𝛽 (1.1.12) 
 
1.2. Bombeamento de água e polpas 
1.2.1. Tubulações e acessórios 
As tubulações são de ferro fundido ou aço, flangeado ou com acoplamento rápido. outros 
materiais como fibra de vidros, polímeros de engenharia, cimento amianto, tubos revestidos 
internamente, etc. estão começando a ser utilizados. A boa prática aconselha instalar, dentro 
da usina, apenas tubulações horizontais e verticais. quando acontece a interrupção no 
bombeamento, cessando o escoamento, os sólidos sedimentam imediatamente. Nas 
tubulações horizontais fica livre a parte superior da secção do tubo, de modo que, retomado 
o escoamento, a turbulência se encarrega de colocar os sólidos sedimentados em suspensão. 
Nas tubulações verticais, os sólidos se depositam na extremidade inferior do tubo, sendo 
acessíveis através do flange do cachimbo. 
7 
Raúl F. Raúl, 2019 
 
Figura 1: Acopolamento de tubos por Cachimbo (A) e Falnge (B) (CHAVES, 2002). 
Como critério de projecto industrial, sempre que possível, vários tubos devem ser reunidos 
num feixe de tubos paralelos, com um suporte único e passando todos pelo mesmo percurso. 
isto facilita a identificação das tubulações, a sua manutenção e racionaliza o peojecto. o arranjo 
mostrado na figura 2 é chamado de pipe rack. 
 
Figura 2: Pipe rack (CHAVES, 2002). 
A figura 3 mostra uma válvula de mangote, de uso típico em bombeamento de polpas. É 
impossível utilizar válvulas com elementos metálicos em contacto com a polpa, o que exclui a 
maioria dos tipos utilizados para água. 
 
Figura 3: Válvula de mangote (CHAVES, 2002). 
Os manómetros utilizados em linhas de polpa são separados do contacto com a polpa por um 
diafragma flexível, que transmite as pressões e impede a passagem dos sólidos. 
(A) (B) 
8 
Raúl F. Raúl, 2019 
 
Figura 4: Manómetro de polpas (CHAVES, 2002). 
É muito comum a instalação de uma bomba de reserva, quando o bombeamento em questão 
seja crítico para a operação do circuito. a passagem rápida de uma bomba para a outra pode ser 
ajudada pela válvula de Taylor, mostrada na figura 5, que é autoexplicativa. 
 
Figura 5: Válvula de Taylor (CHAVES, 2002). 
1.2.2. Etapas para a cálculo e escolha da bomba 
i. Calcular a vazão requerida; 
ii. Calcular o diâmetro da tubulação; 
iii. Encontrar a altura da sucção; 
iv. Encontrara a altura do recalque; 
v. Encontrar o comprimento da sucção; 
vi. Encontrar o comprimento do recalque; 
vii. Encontrar o comprimento total da tubulação; 
viii. Encontrar a perda de carga por comprimento do tubo; 
ix. Encontrar a perda de carga nas conexões; 
x. Encontrar a perda de carga total no sistema da tubulação; 
xi. Encontrar a ATM (altura manométrica total). 
9 
Raúl F. Raúl, 2019 
A tabela 1 ilustra algumas diferenças no bombeamento dos dois fluídos diferentes. 
Tabela 1: Diferenças entre o bombeamento de água e polpa. 
Bombas de água Bombas de polpas 
Variedades de roletes Variedades de roletes 
Vazões elevadas Vazões elevadas 
Alta eficiência Baixa eficiência 
Cargas elevadas Cargas pequenas 
Fonte: Autor, 2019. 
Balanço de energia 
𝑃1
𝜌
+
1
2
𝛼𝑉1
2 + 𝑔 ∙ ℎ1 + 𝑤 =
𝑃2
𝜌
+
1
2
𝛼𝑉2
2 + 𝑔 ∙ ℎ2 + ∑𝐹 
 
1
2
𝛼𝑉1
2 + 𝑔 ∙ ℎ1 + 𝑤 =
1
2
𝛼𝑉2
2 + 𝑔 ∙ ℎ2 + ∫
𝑑𝑃
𝜌
𝑃2
𝑃1
+ ∑𝐹 
 ∑𝐹 = 𝐹𝑡𝑢𝑏𝑜 𝑟𝑒𝑐𝑡𝑜 + 𝐹𝑠𝑎𝑖𝑑𝑎 + 𝐹𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑎 + 𝐹𝑣á𝑙𝑣𝑢𝑙𝑎 (1.2.1) 
 
 𝐹 = 𝑓 ∙
𝐿
𝐷
∙
𝑣2
2𝑔
 (1.2.2) 
 
𝒇 𝑝𝑜𝑑𝑒 𝑠𝑒𝑟 𝑜𝑏𝑡𝑖𝑑𝑜 𝑎 𝑝𝑎𝑟𝑡𝑖𝑟 𝑑𝑒 {
𝐷𝑖𝑎𝑔𝑟𝑎𝑚𝑎 𝑑𝑒 𝑓𝑢𝑛𝑛𝑖𝑛𝑔 𝐹 = 4 ∙ 𝑓 ∙
𝐿
𝐷
∙
𝑣2
2
 
𝐷𝑖𝑎𝑔𝑟𝑎𝑚𝑎 𝑑𝑒 𝑀𝑜𝑜𝑑 𝐹 = 𝑓 ∙
𝐿
𝐷
∙
𝑣2
2𝑔
 
 
 𝑅 =
𝜌 ∙ 𝑣 ∙ 𝐷
𝜇
 (1.2.3) 
Escoamento laminar: 𝑅𝑒 < 2000 
 𝑅𝑒 =
16
𝑓
 (1.2.4) 
Escoamento turbulento: 𝑅𝑒 < 4000 
 
𝑓 =
0,25
[𝑙𝑜𝑔 (
𝜀
𝐷
3,7 +
5,74
𝑅𝑒0,9
)]
2 
(1.2.5) 
10 
Raúl F. Raúl, 2019 
 
A tabela 2 mostra o valor da rugosidade para determinados materiais 
Tabela 2: Rugosidade de alguns materiais. 
Material Rugosidade 𝜺 (𝒎𝒆𝒕𝒓𝒐𝒔) 
Plástico 3.0 × 10−7 
Aço 4.5 × 10−5 
Ferro galvanizado 1.5 × 10−4 
Concreto 1.2 × 10−4 
Fonte: CHAVES, 2002. 
 Velocidade de escoamento 
 𝑣 =
𝑄
𝐴
⟺ 𝑣 =
4𝑄
𝜋𝐷2
 (1.2.6) 
Onde: 
Q é a vazão do escoamento; 
D é o diâmetro. 
 Velocidade crítica (VL) 
 𝑉𝐿 = 𝐹𝐿√2𝑔𝐷
𝜌𝑠 − 𝜌𝑙
𝜌𝑙
 (1.2.7) 
 
𝐹𝐿 𝑑𝑒𝑝𝑒𝑛𝑑𝑒 𝑑𝑒 {
𝑑50
𝑇𝑖𝑝𝑜 𝑑𝑒 𝑚𝑎𝑡𝑒𝑟𝑖𝑎𝑙
𝐶𝑣𝑠 = %𝑠ó𝑙 (
𝑉
𝑉⁄ )
 
 𝑉 = 𝑉𝐿 + (0,3 𝑎 0,5) 𝑚/𝑠 (1.2.8) 
 
Se igualarmos a velocidade de escoamento com a velocidade limite, temos: 
𝑉 = 𝑉𝐿 
11 
Raúl F. Raúl, 2019 
 
4𝑄
𝜋𝐷2
= 𝐹𝐿√2𝑔𝐷
𝜌𝑠 − 𝜌𝑙
𝜌𝑙
 (1.2.9) 
 
 Perdas de carga 
 ẘ = 𝑔(ℎ2 − ℎ1) +∑𝐹 (1.2.10)𝑤 = 𝑄 ∙ 𝜌 (1.2.11) 
 
 Potência hidráulica 
 𝑃ℎ𝑖𝑑 = 𝑤 ∙ ẘ (1.2.12) 
 
 Potência real 
 𝑃𝑟𝑒𝑎𝑙 =
𝑃ℎ𝑖𝑑
𝜂
 (1.2.13) 
 
2. LEIS DE FRAGMENTAÇÃO 
2.1. Britagem e moagem 
𝐶𝑜𝑚𝑝𝑜𝑟𝑡𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑚𝑒𝑐â𝑛𝑖𝑐𝑜 𝑑𝑎𝑠 𝑟𝑜𝑐ℎ𝑎𝑠 {
𝑅𝑜𝑐ℎ𝑎𝑠 𝑒𝑙á𝑠𝑡𝑖𝑐𝑎𝑠
𝑅𝑜𝑐ℎ𝑎𝑠 𝑖𝑛𝑒𝑙á𝑠𝑡𝑖𝑐𝑎𝑠 (𝑃𝑙á𝑠𝑡𝑖𝑐𝑎𝑠)
 
As rochas elásticas demandam menor energia; 
As inelásticas demandam maior energia; 
As visco-elásticos podem se comportar como elásticas dependendo da velocidade do impacto 
e a temperatura. 
Materiais plásticos têm maior tenacidade; 
Materiais elásticos têm maior dureza; 
A tenacidade e a dureza são inversamente proporcionais. 
As partículas finas demandam maior energia porque tem maior superfície de contacto. 
12 
Raúl F. Raúl, 2019 
Isso pode ser verificado nas seguintes relações entre potência e área de contacto: 
↓ 𝑃 =
𝐹
↑ 𝐴
 
Quanto maior for a área de contacto, menor será a potência e vice-versa. 
↓ 𝜎 =
𝐹
↑ 𝐴
 
O mesmo acontece com a tensão, quanto maior for a área de contacto, menor será a tensão e 
vice-versa. 
Na operação dos britadores, tem como parâmetro importante a controlar se que é a potência de 
operação. 
𝐶𝑟𝑖𝑡é𝑟𝑖𝑜 𝑑𝑒 𝑠𝑒𝑙𝑒𝑐çã𝑜 𝑑𝑒 𝑏𝑟𝑖𝑡𝑎𝑑𝑜𝑟𝑒𝑠 {
𝑅𝑒𝑐𝑒𝑝çã𝑜
𝐶𝑎𝑝𝑎𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒
 
2.1.1. Dimensionamento de britadores 
 𝑄 = 𝑄𝑡 ∙ 𝐴 ∙ 𝐵 ∙ 𝐶 ∙ 𝐷 (2.1.1) 
 
 𝐴 = 0,636 ∙ 𝜌𝑎𝑝𝑎𝑟𝑒𝑛𝑡𝑒 (2.1.2) 
 
 𝐵 = 1,56 ∙ 𝑒(−0,0306∙𝑊𝑖) (2.1.3) 
 
𝐹𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟 𝐶 𝑑𝑒𝑝𝑒𝑛𝑑𝑒 𝑑𝑒 
{
 
 𝑃 (
𝐴𝑃𝐴
2
) = 𝑥%
𝑇𝑏
𝐴𝐴
 
𝐴𝐴 =
𝑇𝑏
0,8
, 𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑇𝑏 𝑒ℎ 𝑜 𝑡𝑎𝑚𝑎𝑛ℎ𝑜 𝑑𝑜 𝑏𝑙𝑜𝑐𝑜 𝑒 𝐴𝐴 𝑒ℎ 𝑎 𝑎𝑏𝑒𝑟𝑡𝑢𝑟𝑎 𝑑𝑜 𝑏𝑟𝑖𝑡𝑎𝑑𝑜𝑟 
 𝐴𝑃𝐴 = 𝐴𝑃𝐹 +𝑀𝑄 (2.1.4) 
 
APA é a abertura na posição aberta 
APF é a abertura na posição fechada (𝐸𝑛𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎 𝑠𝑒 𝑛𝑜 𝑚𝑜𝑑𝑒𝑙𝑜 𝑒𝑠𝑐𝑜𝑙ℎ𝑖𝑑𝑜) 
MQ é o movimento do queixo (𝐸𝑛𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎 𝑠𝑒 𝑛𝑜 𝑚𝑜𝑑𝑒𝑙𝑜 𝑒𝑠𝑐𝑜𝑙ℎ𝑖𝑑𝑜) 
13 
Raúl F. Raúl, 2019 
𝐹𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟 𝐷 𝑑𝑒𝑝𝑒𝑛𝑑𝑒 𝑑𝑒 {
𝐴𝑃𝐹
𝑇𝑒𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑎𝑟𝑔𝑖𝑙𝑎
𝑇𝑒𝑜𝑟 𝑑𝑒 ℎ𝑢𝑚𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒
 
Vazão teórica 
𝑄𝑡 é encontrada na tabela depois de selecionar o britador e faz se a média dos dois valores. 
Vazão mássica 
 𝑤 = 𝑄 ∙ 𝜌𝑎𝑝𝑎𝑟𝑒𝑛𝑡𝑒 (2.1.5) 
 
Note: Quando a vazão mássica for menor que a quantidade alimentada quer dizer o britador 
selecionado não satisfaz a produção logo deve se mudar o britador ou por outro lado pode 
mudar o APF até conseguir satisfazer. 
2.2. Moagem 
2.2.1. Moagem convencional 
A ƞ de moagem é de 10 a 15% e a outra percentagem é de gasto de energia. 
𝑅𝑒𝑔𝑖𝑚𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑜𝑝𝑒𝑟𝑎çã𝑜 𝑑𝑒 𝑚𝑜𝑖𝑛ℎ𝑜𝑠 {
𝑐𝑎𝑠𝑐𝑎𝑡𝑎
𝑐𝑎𝑡𝑎𝑟𝑎𝑡𝑎 (𝑀𝑎𝑖𝑠 𝑟𝑖𝑔𝑜𝑟𝑜𝑠𝑜)
𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟𝑖𝑓𝑢𝑔𝑜 (𝐹𝑔 = 𝐹𝐶𝑒𝑛𝑡𝑟í𝑓𝑢𝑔𝑎)
 
 𝐹𝑔 = 𝑚𝑔 (2.2.1) 
 
 𝐹𝑐 = 𝑚 ∙ 𝑤
2 ∙ 𝑟 𝑟 =
𝑑
2
 (2.2.2) 
 
𝐹𝑐 = 𝑚 ∙ 𝑤
2 ∙
𝑑
2
 
𝑚𝑔 = 𝑚 ∙ 𝑤2 ∙ 𝑟 
Cortando massa com massa, temos: 
𝑔 = 𝑤2 ∙ 𝑟 
𝑤2 =
𝑔
𝑟
⟹
𝑔
𝑑
2
 
𝑤 = √
2𝑔
𝑑
𝑟𝑎𝑑
𝑠⁄ essa unidade deve ser convertida de 
𝑟𝑎𝑑
𝑠⁄ para 𝑟𝑝𝑚. 
14 
Raúl F. Raúl, 2019 
1 𝑟𝑜𝑡 → 2𝜋𝑟𝑎𝑑 𝑤 = √
2𝑔
𝑑
∙
1
2𝜋
𝑟𝑜𝑡
𝑠⁄ 
𝑦 = 1 𝑟𝑎𝑑 𝑤 = √
2∙0,81
𝑑
∙
1
2𝜋
𝑟𝑜𝑡
𝑠⁄ 
𝑦 =
1𝑟𝑜𝑡∙1 𝑟𝑎𝑑
2𝜋𝑟𝑎𝑑
 𝑤 =
0,70497
√𝑑
𝑟𝑜𝑡
𝑠⁄ ∙
60𝑠
𝑚𝑖𝑛⁄ 
𝑦 =
1
2𝜋
𝑟𝑜𝑡 𝑤 =
42,3
√𝑑
𝑟𝑜𝑡
𝑚𝑖𝑛⁄ 
 𝑁𝑐 =
42,3
√𝑑
 𝑟. 𝑝.𝑚 (𝑉𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑐𝑟í𝑡𝑖𝑐𝑎) (2.2.3) 
 
Note: Nos moinhos é recomendado a operação abaixo desta velocidade. (𝑠𝑒 𝑎 𝑜𝑝𝑒𝑟𝑎çã𝑜 
𝑒𝑠𝑡𝑖𝑣𝑒𝑟 𝑎𝑐𝑖𝑚𝑎 𝑑𝑒𝑠𝑡𝑎 𝑣𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎d𝑒, 𝑎𝑠 𝑏𝑜𝑙𝑎𝑠 𝑒𝑠𝑡𝑎𝑟ã𝑜 𝑛𝑎𝑠 𝑝𝑎𝑟𝑒𝑑𝑒𝑠). Para cada equipamento 
tem sua velocidade crítica onde nas bombas de polpa recomenda se a operação acima da sua 
velocidade crítica. 
 Potência do moinho 
 𝑃 = 8,44 ∙ 𝐷𝑚
2,5 ∙ 𝐿 ∙ 𝐾𝑚𝑡 ∙ 𝐾𝐿 ∙ 𝐾𝑆𝑃 (2.2.4) 
 
 𝑃 = 𝑇 ∙ 𝐸 (2.2.5) 
 
Onde: 
T é a raxa de alimentação (𝑡 ℎ⁄ ); 
E é a energia especifica (𝐾𝑊 ∙ ℎ 𝑡⁄ ); 
𝐷𝑚 é o diâmetro do moinho; 
L é o comprimento do moinho; 
𝐾𝑚𝑡 é factor de carregamento; 
𝐾𝑙 é o factor que depende do tipo de moinho; 
𝐾𝑠𝑝 é o factor de velocidade; 
15 
Raúl F. Raúl, 2019 
𝐾𝑚𝑡 = 1,0 para moinhos de bola a úmido com descarga por transborde. 
𝐾𝑚𝑡 = 1,3 para moinhos de bolas e de barras a úmido, com descarga de grade ou periférica. 
𝐾𝑚𝑡 = 1,25 para moinhos que operam a seco. 
Segundo o Bond, a energia especifica é dada por: 
 𝐸 = 10 ∙ 𝑊𝑖 (
1
√𝑃80
−
1
√𝐹80
) (2.2.6) 
 
√𝑃80 e √𝐹80 são os tamanhos representativos do produto e da alimentação do moinho, 
respetivamente, em micrómetros. 
𝑊𝑖 é a energia específica (energia por unidade de massa) necessária para cominuir um material 
de uma granulometria muito grosseira. 
 ↓ 𝑃 = 2𝜋𝑁 ∙ 𝑇𝑞 ↓ (2.2.7) 
 
 𝑇𝑞 = 𝐹𝑔 ∙ 𝑑 (2.2.8) 
 
Onde: 
N é o número de rotações; 
𝑇𝑞 é o torque. 
Podemos notar a relação entre o torque e a potência na equação acima, onde as duas grandezas 
são directamente proporcionais. 
2.2.2. Potência vs grau de enchimento 
O efeito do grau de enchimento essencialmente se deve ao deslocamento do centro de 
gravidade e da massa da carga. À medida que aumenta a carga, o centro de gravidade do 
moinho se desloca para o centro. A potência consumida é aproximadamente simétrica em torno 
do valor de 50% (Figura 6). 
16 
Raúl F. Raúl, 2019 
 
Figura 6: Potência consumida por um moinho em função do grau de enchimento (TAVARES. 
L, 2012). 
2.2.3. Potência vs %Ncr 
Na prática, observa-se que o expoente 2,5 de 𝐷𝑚 varia entre 2,3 ate 3. O efeito da variação da 
velocidade de rotação do moinho é mostrado graficamente na figura 7. O efeito da velocidade 
de rotação do moinho se da por dois efeitos: o valor de N e o deslocamento do centro de 
gravidade com a velocidade. O centro de gravidade inicialmente se desloca do eixo para a 
periferia do tubo com o aumento da velocidade, mas à medida que a velocidade crítica se 
aproxima, o centro de gravidade se move de volta na direção do centro do moinho, uma vez 
que uma proporção cada vez maior. 
 
Figura 7: Efeito da velocidade de rotação na potência de moinhos (TAVARES. L, 2012). 
17 
Raúl F. Raúl, 2019 
 Tamanho de bolas 
 Moinhos de D maior usam bolas menores; 
 Moinhos de D menor usam bolas maiores. 
 𝑑𝑚á𝑥 = 1,171𝐹80
1
2 (
𝑊𝑖 ∙ 𝜌𝑠
%𝑁𝑐 ∙ 𝐷𝑚
1
2
)
0,34
 (2.2.9) 
 
3. CLASSIFICAÇÃO 
𝑇𝑖𝑝𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑐𝑙𝑎𝑠𝑠𝑖𝑐𝑎𝑑𝑜𝑟𝑒𝑠 {
𝑃𝑛𝑒𝑢𝑚á𝑡𝑖𝑐𝑜𝑠
𝐻𝑖𝑑𝑟á𝑢𝑙𝑖𝑐𝑜𝑠
𝑀𝑒𝑐â𝑛𝑖𝑐𝑜𝑠
 
Adota se os classificadores pneumáticos dos hidráulicos porque a velocidade de sedimentação 
das partículas no ar é maior que na água. 
3.1. Dimensionamento de peneira 
As peneiras são peças vitais e críticas em qualquer usina de beneficiamento. Assim sendo, todo 
cuidado deve ser tomado na seleção de peneiras para que sejam de tamanho e tipo adequado. 
Os dados necessários para seleção e dimensionamento de equipamentos são: 
a) Características do material a ser peneirado, tais como: densidade e umidade; forma das 
partículas; tamanho máximo da alimentação; presença de materiais argilosos; 
distribuição granulométrica; densidade e umidade; temperatura, entre outros; 
b) Capacidade; 
c) Faixas de separação do produto; 
d) Eficiência desejada; 
e) Tipo de serviço; lavagem classificação final, classificação intermediária, etc. 
f) Limitação ou não de espaço e peso; 
g) Grau de conhecimento do material e do produto desejado. 
No dimensionamento das peneiras, existem várias fórmulas diferentes que são mencionados 
abaixo. Para este artigo, o autor não detalhou todas, mas sim levou em consideração uma delas 
que é a da Smith Engeneering Works. 
 Fórmula de bauman (empírica); 
 Fórmula de Westerfield; 
18 
Raúl F. Raúl, 2019 
 Fórmula da Smith Engineering Works; 
 Manual de faço. 
 Fórmula da Smith Engineering Works 
 𝐴𝑝 =
𝑃
𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹𝐺
 (3.1.1) 
 
𝐴𝑝 = Área de tela (𝑚
2) 
𝑃 = Quantidade de material passante na tela (𝑡ℎ⁄ ); 
𝐴 = Capacidade da tela [
(𝑡 ℎ⁄ )
𝑚2
⁄ ]; 
𝐵 = Fator relativo à % de material retido na tela; 
𝐶 = Fator relativo à eficiência desejada para o peneiramento; 
𝐷 = Fator relativo à % de material menor que a metade da malha; 
𝐸 = Fator relativo à umidade do material; 
𝐹 = Fator relativo ao deck em consideração. 
Esta formula é válida para peneiras inclinadas. o manual recomendava aumentar a capacidade 
unitária em 40% quando se desejasse usar peneiras horizontais. para grelhas vibratórias, a 
formula, segundo o manual, poderia ser aplicada se se considerasse um aumento de capacidade 
de cerca de 40% e uma perda de eficiência de 15% em relação à peneira vibratória. 
 Factor A 
 𝐴 = 12,13 ∙ ℎ𝑡0,32 − 10,3 para ℎ𝑡 < 51𝑚𝑚 (3.1.2) 
 
 𝐴 = 0,34ℎ𝑡 + 14,41 para ℎ𝑡 ≥ 51𝑚𝑚 (3.1.3) 
 
 ℎ𝑡 = (ℎ + 𝑑𝑤)𝑐𝑜𝑠𝜃 − 𝑑𝑤 (3.1.4) 
% da área aberta (𝐴𝐴) 
 𝐴𝐴 = 21,5 log10 ℎ + 37 (3.1.5) 
19 
Raúl F. Raúl, 2019 
ℎ é a abertura da malha (𝑚𝑚) 
 𝐴𝑛 = 12,13 ∙ ℎ𝑡0,32 − 10,3 (3.1.6) 
 Fator B 
 𝐵 = 1,6 − 1,2[1 − 𝑃(ℎ𝑡)] (3.1.7) 
 
Tabela 3: Fator B x % material retido. 
% 10 20 30 40 50 60 70 80 85 90 92 94 96 98 100 
B 1,05 1,01 0,98 0,95 0,90 0,86 0,80 0,70 0,64 0,55 0,50 0,44 0,34 0,30 - 
Fonte: CHAVES, 2002. 
 Fator C 
 𝐶 = 0,7 + 01,2 ∙ 𝑃 (
ℎ𝑡
2
) (3.1.8) 
 
Tabela 4: Fator C v eficiência da separação . 
Eficiência (%) 60 70 75 80 85 90 92 94 96 98 
C 2,1 1,7 1,55 1,40 1,25 1,10 1,05 1,00 0,95 0,90 
Fonte: CHAVES, 2002. 
 Fator D 
O fator D depende do fator E. 
𝑇 = 1,26 ∙ ℎ𝑡 → 𝐷 = 1,1 − 0,1 ∙ 𝐸 {
→⟶⟶ 𝑆𝑒𝑐𝑜 𝐸 = 0
𝐻𝑢𝑚𝑖𝑑𝑜 {
𝐸 = 1𝑃 𝑠𝑒 𝑇 ≤ 1
𝐸 = 1,5 + 0,25𝑇 𝑠𝑒 𝑇 ≤ 2
𝐸 = 2,5𝑝44 𝑠𝑒 𝑇 ≤ 6
 
Tabela 5: Fator D x % material menor que a metade da tela. 
% < 𝒎𝒆𝒊𝒂 𝒎𝒂𝒍𝒉𝒂 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 
D 0,55 0,75 0,80 1,0 1,2 1,4 1,8 2,2 3,0 
Fonte: CHAVES, 2002. 
20 
Raúl F. Raúl, 2019 
Tabela 6: Fator E x malha da tela para materiais molhados (humidade superior a 10%). 
Malha 
-
20# 
+20#-
1/𝟑𝟐" 
+1/32-
1/𝟏𝟔" 
+1/16-
5/𝟖" 
+1/8-
3/𝟏𝟔" 
+3/16-
5/𝟏𝟔" 
+5/16-
3/𝟖" 
+3/8-
1/𝟐" 
Malha 
(mm) 
 0,8 0,8-1,6 1,6-3,2 3,2-4,8 4,8-7,9 7,9-9,5 
9,5-
12,7 
E 1,0 1,25 1,50 1,75 1,90 2,10 2,25 2,5 
Fonte: CHAVES, 2002. 
 Fator F 
 𝐹 =
𝜌
1600
 (3.1.9) 
 
Tabela 7: Fator F x deck de peneiramento. 
Nível superior 𝟐° 𝟑° 𝟒° 
F 1,0 0,9 0,75 0,6 
Fonte: CHAVES, 2002. 
 Fator G 
 𝐺 = 0,975[1 − 𝑃(1,25ℎ𝑡) + 𝑃(0,75ℎ𝑡)]0,511 fator de meia size. (3.1.10) 
 
Variáveis operacionais do ciclone 
A variável principal no ciclone é a pressão. 
Vortex no ciclone 
É colocado para impedir que o material tenha um caminho curto ou o material pode sair logo 
no overflow. 
Variáveis operacionais 
↑𝑉𝑜𝑟𝑡𝑒𝑥 𝑓𝑖𝑛𝑑𝑒𝑟−−−−−↑𝑑50 
↑𝐴𝑝𝑒𝑥−−−−−−−−−↓𝑑50 
↑𝑃𝑟𝑒𝑠𝑠ã𝑜−−−−−−−−↓𝑑50 
↑𝑉𝑎𝑧ã𝑜−−−−−−−−−↓𝑑50 
21 
Raúl F. Raúl, 2019 
↑𝜌𝑠ó𝑙−−−−−−−−−−↓𝑑50 
↑%𝑠ó𝑙−−−−−−−−−↓𝑑50 
Separador/classificador helicoidal/espiral 
 
Figura 8: Classificador mecânico-helicoidal. 
Variáveis operacionais 
↑𝑄−−−↑𝑑50 
↑𝑁𝑐−−−↑𝑑50 
↑𝐴𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎 𝑑𝑜 𝑡𝑎𝑛𝑞𝑢𝑒−−−↓𝑑50 
↑𝐷𝑖𝑙𝑢𝑖çã𝑜 𝑑𝑎 𝑝𝑜𝑙𝑝𝑎−−−↑𝑑50 
Deve se: 
 Aumentar a vazão; 
 Aumentar a velocidade de rotação da espiral; 
 Aumentar a diluição da polpa e 
 Diminuir a altura do tanque. 
3.2. Seleção e dimensionamento de Ciclone e Hidrociclone 
Associação de ciclones 
22 
Raúl F. Raúl, 2019 
Note: Nunca se deve instalar um ciclone frente da alimentação porque a alimentação irá para 
o único ciclone consequentemente terá menor probabilidade de distribuição da alimentação. 
Número de hidrociclones 
 𝑁ℎ𝑖𝑑 =
𝑉
𝑄
 (3.2.1) 
Onde: 
Q = é dada na tabela pela pressão e diâmetro (𝑚
3
ℎ⁄ ) 
 𝑉 → 𝑉 =
𝑚
𝜌
 [𝑚
3
ℎ⁄ ] (3.2.2) 
 
Ciclone 
 𝑆 = 𝑆𝑏 ∙ 𝐶1 ∙ 𝐶2 ∙ 𝐶3 (3.2.3) 
 
A fórmula acima é valida apenas para um ciclone com uma bateria, no caso aparecer ligado 
mais de uma bateria a fórmula fica: 
 𝑆 = 𝑆𝑏 ∙ 𝐶1 ∙ 𝐶2 ∙ 𝐶3 ∙ 𝑁 (3.2.4) 
 
Onde: 
𝑆𝑏: separação básica achada pelo diâmetro do ciclone 
𝐶1: Factor correção pela densidade ou peso especifico em 
𝑔
𝑐𝑚2⁄ 
𝐶2: Factor correção pela pressão em Psi 
𝐶3: Factor correção pela concentração de sólidos em volume 
N: Número de bateria dos ciclones 
3.3. Espessamento 
𝑇𝑖𝑝𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑒𝑠𝑝𝑒𝑠𝑠𝑎𝑑𝑜𝑟𝑒𝑠 {
𝑙𝑎𝑚𝑖𝑛𝑎𝑟𝑒𝑠
𝐶𝑜𝑛𝑣𝑒𝑛𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑖𝑠 {
𝐶𝑜𝑙𝑢𝑛𝑎𝑠
𝑃𝑜𝑛𝑡𝑒𝑠
𝐶𝑎𝑖𝑥ã
 
23 
Raúl F. Raúl, 2019 
Arraste hidrodinâmico é quando o espessador opera em regime turbulento, por isso adota se 
o feedwell que reduz o fluxo da alimentação para que seja de regime laminar. 
Rack/Raspador gira numa velocidade necessária para não gerar turbulência que dificultará a 
sedimentação das partículas. 
 Zonas de alimentação e Clarificação 
Zona crítica- Os sólidos ocupam espaço e a água sobe. 
Zona de compressão- os sólidos se compactam. 
Para aumentar a velocidade de sedimentação das partículas usa se coagulantes ou floculantes. 
 Velocidades 
Regime laminar 
 𝑉𝑇 =
𝑔 ∙ 𝑑𝑃
2(𝜌𝑠 − 𝜌𝑙)
18𝜇
 (3.3.1) 
Regime turbulento 
 𝑉𝑇 = √
4𝑔 ∙ 𝑑𝑃(𝜌𝑠 − 𝜌𝑙)
3𝐶𝐷𝜌𝑙
 (3.3.2) 
 
Onde: 
𝑉𝑇 = velocidade terminal da partícula (
𝑚
𝑠⁄ ); 
𝜌𝑠ó𝑙= densidade do solido, (
𝑘𝑔
𝑚3
⁄ ); 
𝜌 = densidade do liquido, (
𝑘𝑔
𝑚3
⁄ ); 
𝑔 = aceleração da gravidade, (𝑚 𝑠2⁄ ); 
𝑑𝑝 = diâmetro da partícula, 𝑚. 
𝜇 = viscosidade cinemática (
𝑘𝑔
𝑚 ∙ 𝑠⁄ ) 
 Área 
24 
Raúl F. Raúl, 2019 
 𝑆𝑚𝑖𝑛 =
𝑄𝐴𝐶𝐴 (
1
𝐶𝐶
−
1
𝐶𝐸
)
𝜇
 
(3.3.3) 
 
 
 𝜇𝐶 =
𝑍𝑖𝑐 − 𝑍𝑐
𝑄
 (3.3.4) 
 
 𝐶𝐶 =
𝐶0 ∙ 𝑍0
𝜃
 (3.3.5) 
 
 Altura 
 𝐻 =
𝑉
𝑆
 ou 𝐻 =
𝑄𝐴𝐶𝐴
𝑆∙𝜌𝑠
(𝑇𝐸 − 𝑇𝐶)
𝜌𝑠−𝜌
𝜌𝑚−𝜌
 (3.3.6) 
 
 Volume do espessador 
 𝑉 =
𝑄𝐴𝐶𝐴
𝜌𝑠
(𝑇𝐸 − 𝑇𝐶)
𝜌𝑠 − 𝜌
𝜌𝑚 − 𝜌
 (3.3.7) 
 
 Volume do sólido 
 𝑉𝑠 =
𝑄𝐴𝐶𝐴
𝜌𝑠
(𝑇𝐸 − 𝑇𝐶) (3.3.8) 
 
3.3.1. Método de Coe & Clevenger 
 𝑆 =
𝑄𝐴𝐶𝐴 (
1
𝐶 −
1
𝐶𝐸
)
𝜇
 
(3.3.1.1) 
 
 𝜇 =
𝑄 − 𝑄𝐸
𝑆
 (3.3.1.2) 
 
25 
Raúl F. Raúl, 2019 
3.3.2. Método de Kynch 
 𝑆 =
𝑄𝐴𝐶𝐴 (
1
𝐶 −
1
𝐶𝐸
)
𝜇
 
(3.3.2.1) 
 
 𝜇 =
𝑍𝑖 − 𝑍
𝜃
 (3.3.2.2) 
 
3.3.3. Método de Roberts 
 𝑆𝑚𝑖𝑛 =
𝑄𝐴𝐶𝐴 (
1
𝐶𝐶
−
1
𝐶𝐸
)
𝜇𝐶
 
(3.3.3.1) 
 
 𝐶𝐶 =
𝐶0 ∙ 𝑍0
𝑍𝑖𝑐
 (3.3.3.2) 
 
 𝜇𝐶 =
𝑍𝑖𝑐 − 𝑍𝑐
𝜃𝑐
 (3.3.3.3) 
 
3.3.4. Método de Talmadge & Fitch 
 𝑆𝑚𝑖𝑛 =
𝑄𝐴𝐶𝐴 (
1
𝐶𝐶
−
1
𝐶𝐸
)
𝜇𝐶
 
(3.3.4.1) 
 
 𝐶𝐶 =
𝐶0 ∙ 𝑍0
𝑍𝑖𝑐
 (3.3.4.2) 
 
 𝜇𝐶 =
𝑍𝑖𝑐 − 𝑍𝑐
𝜃𝑐
 (3.3.4.3) 
 
Onde: 
Vazão mássica do sólido: 𝑄𝐴𝐶𝐴 (t/h); 
Vazão volumétrica do sólido: 𝑄𝐴𝐶𝐴/ 𝜌𝑠ó𝑙 
𝑚3
ℎ⁄ ; 
26 
Raúl F. Raúl, 2019 
Tempo de residência do sólido na zona de compressão: 𝑇𝐸 − 𝑇𝐶; 
𝑍𝐸 = 𝑍 = altura da interface (m); 
𝜃 = tempo; 
𝑍𝑖 = altura inicial da suspensão (m); 
𝐶𝐸= especificada para a lama espessada; 
𝐶0 = concentração inicial da suspensão (
𝑡
𝑚3⁄ ). 
 
4. AGITAÇÃO E MISTURA 
Os termos agitação e mistura são geralmente utilizados para operações nas quais um líquido é 
forçado mecanicamente ao escoamento em um tanque. 
A rigor, esta definição é a de agitação, sendo o conceito de mistura aplicado à operação de 
propiciar a mistura de duas ou mais fases diferentes: líquido-líquido, líquido-gás, líquido-
sólido e sólido-sólido. 
 
Figura 9: Acondicionador e impelidor para agitação e mistura (PAIVA. J, 2014). 
 
 
𝑍 = 𝑇 𝐷 = 𝐶 
27 
Raúl F. Raúl, 2019 
𝑇 = 3𝐷 𝑇 = 12𝐵 
 𝑅𝑒 =
𝜌𝑁𝐷2
𝜇
 (4.1) 
 
 𝑁𝑃𝑜 =
𝑃
𝜌𝑁3𝐷5
 (4.2) 
 
 Potência para completa dispersão 
 𝑃
𝑉⁄ = 0,092 ∙ 𝑔 ∙
𝑇
𝐷
∙ 𝑉𝜃 ∙ √(
1−𝜀
𝜀
) ∙ ∆𝜌 ∙ 𝑒5,3∙
𝐶
𝑇 [𝑊 𝑚3⁄ ] 
(4.3) 
 
Parâmetros 
𝑇
𝐷
=
𝑇
𝐶
= 3 
𝐶
𝑇
= 0,33 
𝑔 = 9,81𝑚 𝑠2⁄ 𝜀 = 1 −%𝑠ó𝑙 𝑒𝑚 𝑣𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒 
 𝑉𝜃 = √
4
3
𝑔𝑑50 ∙
∆𝜌
𝐶𝐷 ∙ 𝜌𝑙
 (4.4) 
 
 Volume do cilindro 
 𝑉 = 𝐴 × ℎ 𝐴 =
𝜋𝑑2
4
 𝑉 =
𝜋𝑑2
4
× ℎ (4.5) 
 
[𝑊 𝑚3⁄ × 𝑚
3] 
 𝑃 𝑉⁄ = [
𝑊𝑎𝑡𝑡𝑠
𝑚3
] → 𝑃 =𝑊 𝑚3⁄ × 𝑚
3 (4.6) 
 
4.1. Scale-up 
Consiste na ampliação da escala laboratorial para escala industrial. 
28 
Raúl F. Raúl, 2019 
 
Figura 10: Scale-up do acondicionador e impelidor (PAIVA. J, 2014). 
Tanque cilíndrico com Z = T 
Volumes dos tanques 𝑉1e 𝑉2 
 𝑅 =
𝑇2
𝑇1
= (
𝑉2
𝑉1
)
1
3
 (4.1.1) 
 
 
𝐷2 = 𝑅 ∙ 𝐷1 (4.1.2) 
 𝐶2 = 𝑅 ∙ 𝐶1 (4.1.3) 
 
 
𝑇2 = 𝑅 ∙ 𝑇1 (4.1.4) 
 
A razão (𝑅) pode ser obtida a partir do volume ou de diâmetro. 
Para diâmetro 
 𝐷 =
𝐷2
𝐷1
 (4.1.5) 
Para volume 
 𝑅 =
𝑉2
𝑉1
 𝑉2 = 3𝑉1 (4.1.6) 
29 
Raúl F. Raúl, 2019 
Rotação 
 
𝑁2
𝑁1
= (
1
𝑅
)
𝑛
= (
𝐷2
𝐷1
)
𝑛
 (4.1.7) 
𝒏 corresponde aos valores dados para materiais segundo os seus objetivos. 
 
5. VAMOS PRATICAR! 
Nesta parte de resolução de exercícios, é importante ter todas as tabelas e os diagramas de 
todos os equipamentos com conhecimentos básicos para as suas leituras (leitura dos valores 
tabelados) pois este artigo não contém todas as tabelas e os diagramas. 
5.1. Banda transportadora 
1. Determinar os parâmetros básicos de um transportador de correia, a carga a transportar é 
carvão mineral com densidade de 1.6 𝑡 𝑚3⁄ , produtividade de 240 𝑡/ℎ, comprimento do 
transportador 280𝑚, ângulo e inclinação da instalação 5 graus, talude dinâmico da carga 15 
grau, o peso unitário e de atrito dos roletes 1.2 e 0.03 respetivamente. Adoptar 𝑙′=1𝑚; 
𝑙′′=2.6𝑚 S = 20 graus, K = 470, 𝐺′𝑟=120 𝑘𝑔, 𝐺′′𝑟=50 𝑘𝑔, V =3.05 m/s e a eficiência do 
equipamento é de 70%. 
𝑄 =
𝐶
𝜌
→
240 𝑡/ℎ
1,6𝑡
𝑚3⁄
= 150𝑚
3
ℎ⁄ 
𝐵1 = √
150
470∙𝑡𝑔15∙1∙3∙5∙1,6
= 0,5 
𝐵 =
0,5+0,05
0,9
= 0,61𝑚 
𝑞 =
𝑔𝑄
3,6𝑉
=
9,81∙150
3,6∙3,05
= 133,87𝑁/𝑚 
𝑞′𝑟 =
𝑔𝐺′𝑟
𝑙′
=
9,81∙120
1
= 1176𝑁/𝑚 
𝑞′′𝑟 =
𝑔𝐺′′𝑟
𝑙′′
=
9,81∙50
2,6
= 188,48𝑁/𝑚 
𝑊𝑐 = (𝑞 + 𝑞𝑐) ∙ 𝑐𝑜𝑠𝛽 + 𝑞
′𝑟 ∙ 𝐿 ∙ 𝑤 ± (𝑞 + 𝑞𝑐) ∙ 𝐿 ∙ 𝑠𝑒𝑛𝛽 
𝑊𝑐 = (133,87 + 1,2) ∙ 𝑐𝑜𝑠5 + 11763 ∙ 280 ∙ 0,03 + (133,87) ∙ 280 ∙ 𝑠𝑒𝑛5 = 10172,48 
𝑊𝑐 = 𝑞𝑐 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝛽 + 𝑞
′𝑟 ∙ 𝐿 ∙ 𝑤 ± 𝑞𝑐 ∙ 𝐿 ∙ 𝑠𝑒𝑛𝛽 
30 
Raúl F. Raúl, 2019 
𝑊𝑐 = 1,2 ∙ 𝑐𝑜𝑠5 + 188,46 ∙ 280 ∙ 0,03 − 1,2 ∙ 280 ∙ 𝑠𝑒𝑛5 = 1563,82 
𝑁 =
𝑁0
𝜇𝑚
=
𝑁0
0,7
 
𝑁0 =
𝑊0∙𝑉
1000
=
𝑊0
500
 
𝑊0 = 𝑊0(𝑊𝑣 +𝑊𝑐) = 14083,56 
𝑁0 = 42,954858 𝐾𝑊 
5.2. Bombas de água 
1. Água a 20 graus celsius é bombeada de um tanque para outro em uma ponta superior de 
vazão de 5×10−3 𝑚
3
ℎ⁄ . a tubulação tem D = 4in, sendo de acho. A eficiência da bomba é de 
65%. 
Calcule a potência (KW), necessária para a primeira bomba (A) considere as perdas na entrada 
0.26𝐽/𝐾𝑔 e na saída 0.102, perda de carga na válvula = 0.20. 
 
Figura 11: Esquema do bombeamento de água (1). 
Dados 
𝑇 = 20 𝑔𝑟𝑎𝑢𝑠 𝑐𝑒𝑙𝑠𝑖𝑢𝑠 = 𝜇 = 1𝑐𝑝 = 0,001 𝑃𝑎 ∙ 𝑠 
𝑄 = 5 × 10−3𝑚
3
ℎ⁄ 
𝐷 = 4𝑖𝑛 = 0,102𝑚 
31 
Raúl F. Raúl, 2019 
Ƞ = 65% 
𝐹𝐸𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑎 = 0,26 𝐽/𝑘𝑔 
𝐹𝑆𝑎𝑖𝑑𝑎 = 0,102 𝐽/𝑘𝑔 
𝐹𝑉𝑎𝑙𝑣𝑢𝑙𝑎 = 0,20 
Cotovelos de 90 graus são 2 
Material de aço, logo a sua 𝜖 = 4,6 × 10−5 a rugosidade encontra se na tabela para cada 
material 
𝜌𝐻2𝑂 = 1000
𝑘𝑔
𝑚3
⁄ 
Para a resolução deste exercício assim como os outros da mesma natureza e necessário ter 
auxilio das tabelas de perdas de carga, de velocidades e de seleção de bombas. 
𝑄 = 𝐴 ∙ 𝑉 
𝑉 =
4∙5×10−3𝑚
3
ℎ⁄
𝜋∙0,1022𝑚
= 0,62𝑚/𝑠 
𝑅𝑒 =
1000∙0,62∙0,102
0,001
= 63240 ≈ 6,3 × 104 correspondente ao regime turbulento 
Rugosidade relativa 
𝜖
𝐷
=
4,6×10−5
0,102
= 4,4 × 10−4 ≈ 0,0005 𝑙𝑜𝑔𝑜 𝑓 = 0,005 
𝐹𝑐𝑜𝑡 = 4 ∙ 𝑓 ∙
𝐿
𝐷
∙
𝑣2
2
 
𝐿
𝐷
 𝑐𝑜𝑟𝑟𝑒𝑠𝑝𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑎𝑜 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 (𝐿𝑒) 𝑞𝑢𝑒 é 𝑒𝑛𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑜 𝑛𝑎 𝑡𝑎𝑏𝑒𝑙𝑎. 
𝐹𝑐𝑜𝑡 = 4 ∙ 0,005(2 ∙ 35)
0,622
2
= 0,27𝐽/𝑘𝑔 
𝐹𝑟𝑒𝑐𝑡𝑜 = 4 ∙ 𝑓 ∙
𝐿
𝐷
∙
𝑣2
2
 
Neste caso, o 𝐿 corresponde ao somatório de todas as distancias nas quais o fluído vai percorrer 
logo 𝛴𝐿 = 125𝑚 
𝐹𝑟𝑒𝑐𝑡𝑜 = 4 ∙ 0,005 ∙
125
0,102
∙
0,622
2
= 4,004 𝐽/𝑘𝑔 
32 
Raúl F. Raúl, 2019 
∑𝐹 = 𝐹𝑡𝑢𝑏𝑜 𝑟𝑒𝑐𝑡𝑜 + 𝐹𝑠𝑎𝑖𝑑𝑎 + 𝐹𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑎 + 𝐹𝑣𝑎𝑙𝑣𝑢𝑙𝑎 + 𝐹𝑐𝑜𝑡 
∑𝐹 = 4,004 + 0,102 + 0,26 + 0,20 + 0,27 = 4,73 
ẘ = 𝑔(ℎ2 − ℎ1) + ∑𝐹 
ẘ = 9,81(15 − 1,5) + 4,73 = 626,417 𝐽. 𝑘𝑔 
𝑤 = 𝑄 ∙ 𝜌 = 5 × 10−3 ∙ 1000 = 5𝑘𝑔/𝑠 
𝑃ℎ𝑖𝑑 = 𝑤 ∙ ẘ 
𝑃ℎ𝑖𝑑 =
5𝑘𝑔
𝑠
∙ 626,417 𝐽. 𝑘𝑔 = 3132,08 𝐽/𝑠 
𝑃𝑟𝑒𝑎𝑙 =
𝑃ℎ𝑖𝑑
𝜂
=
3132,08 𝐽/𝑠 
0,65
= 4818,59 𝑊𝑎𝑡𝑡𝑠 = 4,81859 𝐾𝑊𝑎𝑡𝑡𝑠 
Exercício 2 
 
Figura 12: Esquema do bombeamento de água (2). 
Dados 
𝑇 = 20 𝑔𝑟𝑎𝑢𝑠 𝑐𝑒𝑙𝑠𝑖𝑢𝑠 = 𝜇 = 1𝑐𝑝 = 0,001 𝑃𝑎 ∙ 𝑠 
𝑄 = 0,025𝑚
3
ℎ⁄ 
33 
Raúl F. Raúl, 2019 
𝐷 = 4𝑖𝑛 = 0,102𝑚 
Ƞ = 65% 
𝐹𝐸𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑎 = 0,26 𝐽/𝑘𝑔 
𝐹𝑆𝑎𝑖𝑑𝑎 = 0,102 𝐽/𝑘𝑔 
𝐹𝑉𝑎𝑙𝑣𝑢𝑙𝑎 = 0,20 
Cotovelos de 90 graus = 1 
Material de aço, logo a sua 𝜖 = 4,6 × 10−5 a rugosidade encontra se na tabela para cada 
material 
𝜌𝐻2𝑂 = 1000
𝑘𝑔
𝑚3
⁄ 
𝑄 = 𝐴 ∙ 𝑉 
𝑉 =
4∙0,025𝑚
3
ℎ⁄
𝜋∙0,1022𝑚
= 3,05𝑚/𝑠 
𝑅𝑒 =
1000∙3,05∙0,102
0,001
= 31110 ≈ 3,1 × 105 
𝜖
𝐷
=
4,6×10−5
0,102
= 4,4 × 10−4 ≈ 0,0005 𝑙𝑜𝑔𝑜 𝑓 = 0,005 
𝐹𝑐𝑜𝑡 = 4 ∙ 𝑓 ∙
𝐿
𝐷
∙
𝑣2
2
 
𝐿
𝐷
 𝑐𝑜𝑟𝑟𝑒𝑠𝑝𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑎𝑜 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 (𝐿𝑒) 𝑞𝑢𝑒 é 𝑒𝑛𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑜 𝑛𝑎 𝑡𝑎𝑏𝑒𝑙𝑎. 
𝐹𝑐𝑜𝑡 = 4 ∙ 0,005(17 + 35)
3,052
2
= 4,83𝐽/𝑘𝑔 
𝐹𝑟𝑒𝑐𝑡𝑜 = 4 ∙ 𝑓 ∙
𝐿
𝐷
∙
𝑣2
2
 
𝐹𝑟𝑒𝑐𝑡𝑜 = 4 ∙ 0,005 ∙
350
0,102
∙
3,052
2
= 319,20 𝐽/𝑘𝑔 
∑𝐹 = 𝐹𝑡𝑢𝑏𝑜 𝑟𝑒𝑐𝑡𝑜 + 𝐹𝑠𝑎𝑖𝑑𝑎 + 𝐹𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑎 + 𝐹𝑣𝑎𝑙𝑣𝑢𝑙𝑎 + 𝐹𝑐𝑜𝑡 
∑𝐹 = 319,20 + 0,102 + 0,26 + 0,20 + 4,83 = 324,59 𝐽/𝑘𝑔 
∆ℎ = 580 − 560 = 20 
ẘ = 9,81(20 + 5) + 324,59 = 569,84 𝑊𝑎𝑡𝑡𝑠 
34 
Raúl F. Raúl, 2019 
𝑤 = 𝑄 ∙ 𝜌 = 0,025 ∙ 1000 = 25𝑘𝑔/𝑠 
𝑃ℎ𝑖𝑑 = 𝑤 ∙ ẘ 
𝑃ℎ𝑖𝑑 =
25𝑘𝑔
𝑠
∙ 569,84 𝐽. 𝑘𝑔 = 14246 𝐽/𝑠 
𝑃𝑟𝑒𝑎𝑙
14246 𝐽/𝑠
0,65
= 21916,92 𝑊𝑎𝑡𝑡𝑠 = 21,91692 𝐾𝑊𝑎𝑡𝑡𝑠 
3. Exercício 
Considere o sistema baixo com um tubo de diâmetro nominal de 3 polegadas na área de sucção 
e uma vazão mássica de 56,19kg/s. a massa especifica do fluído newtoniano é de 0.891g/cm3 
e viscosidade de 59cP. Considerando as tubulações (com curvas), válvula gaveta aberta, 
determine a ATM da sucção e da descarga. Considerar a entrada do sistema (sistema do tanque) 
e a expansão na saída da tubulação. A região de descarga possui diâmetro nominal de 1 ½ 
polegadas. 
 
Figura 13: Esquema de bombeamento (3). 
Dados de todo sistema 
Joelhos de 90 graus rosqueados 
Válvula do tipo gaveta aberta 
Rugosidade das tubulações: 𝜀 = 0,04 𝑚𝑚 
𝐷 𝑛𝑜𝑚𝑖𝑛𝑎𝑙 {
1
1
2
′′
= 0,038 𝑚 (𝑒𝑥𝑡𝑒𝑟𝑛𝑜)𝑐𝑜𝑚 𝑒𝑠𝑝𝑒𝑠𝑠𝑢𝑟𝑎 𝑑𝑜 𝑡𝑢𝑏𝑜 = 1,5 𝑚𝑚
3′′ = 88,90 𝑚𝑚 𝑒 𝑒𝑠𝑝𝑒𝑠𝑠𝑢𝑟𝑎 = 4,05 𝑚𝑚
 
O exercício pede a determinação de ATM em partes (sucção e descarga). 
Determinação de perdas de carga por atrito na sucção 
Bombeamento de 
um fluído 
Newtoniano. 
35 
Raúl F. Raúl, 2019 
Dados gerais dados da sucção 
Fluído newtoniano 𝐷𝑁 = 3
′′ 
�̇� = 56,19 𝑘𝑔/𝑠 𝐷𝑒 = 88,9 × 10
−3𝑚 
𝜌 = 891𝑘𝑔/𝑚3 𝑒 = 4,05 × 10−3𝑚 
𝜇 == 59 × 10−3𝑃𝑎. 𝑠 𝐷𝑖 = 𝐷𝑒 − 2𝑒 = 80,8 × 10−3𝑚 
Cálculo da velocidade 
𝐴 =
𝜋𝐷𝑖2
4
=
𝜋×(80,8×10−3)
2
4
= 5,127 × 10−3 𝑚2 
𝑄 =
�̇�
𝜌
=
56,19
891
= 6,300 × 10−3𝑚3/𝑠 
𝑣 =
𝑄
𝐴
=
6,300×10−3
5,127×10−3
= 12,298 𝑚/𝑠 
𝑅𝑒 =
𝜌𝑣𝐷
𝜇
=
891∙12,298∙80,8×10−3
59×10−3
= 15007,33 ≈ 1,5 × 104 
𝜀
𝐷
=
0,04×10−3
80,8×10−3
= 0,0005 
Com este valor, vamos para o diagrama de Mood para achar o fator de atrito. 
 
Figura 14: Diagrama de Mood para determinação do fator de atrito. 
36 
Raúl F. Raúl, 2019 
Acessórios 
1 joelho de 90 graus rosqueado 
Válvula do tipo gaveta aberta 
Tabela 8: Comprimento equivalente. 
 
 
Tabela 9: Perdas de carga localizadas. 
 
𝐿 = 3 + 0,3 = 3,3𝑚 da tubulação da sucção. 
𝐿𝑒𝑞 = 2,83 + 0,457 + 3,3 = 6,587 𝑚 
Sabe se que 𝑓𝐹𝑎𝑛𝑛𝑖𝑛𝑔 =
𝑓𝐷𝑎𝑟𝑐𝑦
4
=
0,016
4
= 0,004 
∆𝑃
𝜌
2𝑓𝐹
𝐿𝑒𝑞
𝐷
∙ 𝑣2 = 2 ∙ 0,004∙
6,587
80,8×10−3
∙ (12,2989)2 = 98,63 𝑚2/𝑠2 
∆𝑃
𝜌
= 178,80 𝑚2/𝑠2 Vamos dividir pela gravidade para termos o valor em metros. 
ℎ𝑓𝑠 =
∆𝑃
𝜌𝑔
=
98,63 𝑚2/𝑠2
9,81 𝑚/𝑠2
= 10,054 𝑚 
37 
Raúl F. Raúl, 2019 
Na descarga vamos usar o método do coeficiente de perda de carga localizada (𝑘𝑓). 
ℎ = 𝑘𝑓
𝑣2
2𝑔
 
Sem nenhuma informação sobre a forma do tudo na saída, o 𝑘𝑓 = 0,5 Bordas retas. 
 
ℎ = 0,5
12,2982
2∙9,81
= 3,854 𝑚 
ℎ𝑓𝑠 = 10,054 + 3,854 = 13,9088 𝑚 
Considerando todas as parcelas de energia antes da bomba (balanço de energia). 
𝐻𝑠 =
𝑃𝑠
𝛾
+ 𝑧𝑠 − ℎ𝑓𝑠 𝑃 = 𝑝𝑟𝑒𝑠𝑠ã𝑜 𝑎𝑡𝑚𝑜𝑠𝑓é𝑟𝑖𝑐𝑎 𝑒𝑚 𝑝𝑎𝑠𝑐𝑎𝑙 
𝐻𝑠 =
101325𝑃𝑎
891∙9,81
+ 150 − 13,9088 = 147,683 𝑚 ATM da sucção 
ATM na descarga 
Dados gerais Dados da sucção 
Fluído newtoniano 𝐷𝑁 = 1
1
2
′′
 
�̇� = 56,19 𝑘𝑔/𝑠 𝐷𝑒 = 0,0381𝑚 
𝜌 = 891𝑘𝑔/𝑚3 𝑒 = 1,5 × 10−3𝑚 
𝜇 == 59 × 10−3𝑃𝑎. 𝑠 𝐷𝑖 = 𝐷𝑒 − 2𝑒 = 0,035𝑚 
𝑣 =
𝑄
𝐴
= 65 𝑚/𝑠 
𝑅𝑒 = 34507,35 ≈ 3,5 × 104 
38 
Raúl F. Raúl, 2019 
𝜀
𝐷
= 0,0011 
Vamos achar o fator de atrito no diagrama de Mood 𝑓𝐷 = 0,025 
Comprimento equivalente 
3 joelhos de 90 graus = 3,84 𝑚 
𝐿 = 28𝑚 
𝐿𝑒𝑞 = 32,34𝑚 Expansão na descarga 
∆𝑃
𝜌
= 48824,56 𝑚2/𝑠2 𝑘𝑓 = 1 
ℎ𝑓𝑑 = 4977,02𝑚 ℎ𝑓𝑑 = 216,49𝑚 
Balanço de energia 
ℎ𝐷 =
𝑃𝑠
𝛾
+ 𝑧𝑠 − ℎ𝑓𝑠 =
101325
891∙𝑔
+ (150 + 15 − 0,3) + 5193,5 
ℎ𝐷 = 5369,4 𝑚 
𝐴𝑇𝑀𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = ℎ𝐷 − ℎ𝑠 
𝐴𝑇𝑀𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 5369,4 − 147,683 = 5221,717 𝑚 
O nosso valor de ATM é muito elevado porque a nossa velocidade na descarga é grande. 
Sabemos que quando maior for a velocidade, maior também serão as perdas de cargas. A 
velocidade e as perdas de cargas são diretamente proporcionais. 
5.2. Fórmula de Forcheimmer Bresse 
O próximo exercício é um pouco diferente dos exercícios já resolvidos na sala pois ele traz 
nos uma novidade que é o uso da fórmula de Bresse para o cálculo do diâmetro da 
tubulação sem precisar fazer as iterações como nos exercícios anteriores e esta fórmula é 
usada quando o enunciado te dá o tempo do funcionamento seja por turno ou por horas 
diárias ou anuais. 
Antes de começar com a resolução do exercício, vamos abordar um pouco sobre a fórmula de 
Bresse só para sabermos onde e quando é que podemos usar. 
A fórmula de Bresse é expressa pela equação: 
𝐷 = 𝐾√𝑄 
39 
Raúl F. Raúl, 2019 
Onde: 
𝐷 =diâmetro económico (𝑚); 
𝐾 = coeficiente variável, função dos custos de investimento e de operação; 
𝑄 = vazão de bombeamento (𝑚3/𝑠). 
A fórmula de Bresse tem se mostrado de grande utilidade prática. O coeficiente 𝐾 tem sido 
objeto de vários estudos. O valor de 𝐾 depende de variáveis tais como: custo médio do 
conjunto elevatório, inclusive despesas de operação e manutenção, custo médio da tubulação, 
inclusive despesas de transporte, assentamento e conservação, peso específico do fluído, 
rendimento global do conjunto elevatório, etc. 
Cabe ao projetista eleger convenientemente o valor de 𝐾. Na realidade, escolher o valor de 𝐾 
equivale fixar a velocidade. Ao explicitar a variável 𝑄 da fórmula de Bresse e aplicando-se na 
equação da continuidade, tem-se que: 
𝑣 =
4
𝜋𝐾2
 
Através desta expressão organizou-se a tabela 10, que apresenta valores de K e de velocidade. 
Geralmente a velocidade média das instalações situa-se entre 0,6 𝑒 2,4 𝑚/𝑠. As maiores 
velocidades são utilizadas em instalações que funcionam apenas algumas horas por dia. 
Tabela 10: Valores para as variáveis K e velocidade da fórmula de Bresse. 
Valor de K Velocidade (m/s) Valor de K Velocidade (m/s) 
0,75 2,26 1,10 1,05 
0,80 1,99 1,20 0,88 
0,85 1,76 1,30 0,75 
0,90 1,57 1,40 0,65 
1,00 1,27 
 
𝐷𝑟 = 𝐾√𝑁𝑈
4
∙ √𝑄 (Forcheimmer Bresse) 
𝐷𝑟 = 0,9𝑄0,45 (EUA) 
𝐷𝑟 = 𝐾 (
𝑁𝑈∙𝑒
𝑓
)
0,54
𝑄0,46 (França) 
40 
Raúl F. Raúl, 2019 
𝐷𝑟 = 1,3 ∙ (𝑁𝑈)
1
4√𝑄 (Para pouco funcionamento) 
𝐷𝑟 = 1,46𝑋0,25√𝑄 (Forcheimmer Bresse) 
𝐷𝑟 = 1,3𝑇0,25√𝑄 (ABNT) 
𝑵𝑼 = 𝑻 é o numero de horas de trabalho de instalação por dia dividido por 24; 
X é o numero de horas de trabalho de instalação por ano dividido por 8760; 
𝒆 é o custo de energia elétrica; 
𝒇 é o custo do material do conduto em Kg; 
K é o coeficiente (1,55 para 24h e 1,35 para 10h). 
Exercício 4 
Uma empresa de transporte possui uma lavação de camiões (car wash) e filtra água do rio 
que fica próximo da empresa, armazenando em um reservatório de 120 mil litros de água 
filtrada. Para este processo, precisa se comprar uma bomba que seja acionada as 09:30min e 
desligada as 14:45min com o reservatório cheio. Este processo acontecerá a cada três dias e 
será considerada a instalação de tubos de aço comercial. Você é o engenheiro contratado da 
empresa para este dimensionamento, verifique qual modelo da bomba é o mais adequado para 
esta linha de bombeamento. 
41 
Raúl F. Raúl, 2019 
 
Figura 15: Esquema de bombeamento de água (4). 
Dados 
∆𝑉 = 120 000 𝑙 = 120 𝑚3 
42 
Raúl F. Raúl, 2019 
∆𝑡 = 14: 45 − 09: 30 = 05: 15𝑚𝑖𝑛 = 5,25ℎ 
Logo para a equação de Bresse, o 𝑋 = 𝑁𝑈 é igual a 5,25ℎ 
Material metálico-aço comercial 
Primeiro passo: Calcular a vazão requerida. 
𝑄𝑟 =
∆𝑉
∆𝑡
=
120
5,25
= 22,857
𝑚3
ℎ
= 0,00635𝑚3/𝑠 
Segundo passo: Calcular diâmetro da tubulação. 
Dados 
𝑁𝑈 = 5,25ℎ 
𝑄𝑟 = 0,00635𝑚3/𝑠 
𝐷𝑟 = 1,3(𝑁𝑈)
1
4√𝑄𝑟 
𝐷𝑟 = 1,3 (
5,25
24
)
1
4
√0,00635 
𝐷𝑟 = 0,070842 𝑚 = 70,842 𝑚𝑚 
Com este diâmetro calculado, vamos para a tabela dos diâmetros de tubulações com conexões 
disponíveis no mercado. 
Tabela 11: Diâmetros de tubulações com conexões 
𝒊𝒏 3 4′′⁄
 1′′ 11 4′′⁄
 11
2′′⁄
 2′′ 21 2′′⁄
 3′′ 4′′ 5′′ 
𝒎𝒎 19,05 25,4 31,75 38,1 50,8 63,5 76,2 101,6 127 
 
Na tabela 11, vamos escolher o diâmetro maior ou igual ao diâmetro calculado e nesse caso 
temos diâmetro de 3′′ correspondendo 76,2 𝑚𝑚. 
Terceiro passo: Encontrar a altura da sucção. 
Sabemos que a altura da sucção é a diferença de altura entre o nível dinâmico da captação e o 
bocal de sucção da bomba. Na altura de sucção não é levado em consideração a altura abaixo 
do nível do fluído. 
43 
Raúl F. Raúl, 2019 
ℎ𝑠 = 6,25 + 1,17 − 1,33 + 0,55 
ℎ𝑠 = 6,64 𝑚. 𝑐. 𝑎 
Quarto passo: Encontrar a altura de recalque 
A altura de recalque é a diferença de altura entre o bocal da sucção da bomba e o ponto de 
maior elevação do fluído até o destino final da instalação. 
ℎ𝑟 = 0,15 + 5,63 + 2,80 + 13,85 + 2,15 
ℎ𝑟 = 24,58 𝑚. 𝑐. 𝑎 
Quinto passo: Encontrar o comprimento da sucção. 
É a extensão linear em metros de tubo utilizados na instalação desde o injector ate o bocal de 
entrada da bomba. 
𝐿𝑠 = 1,15 + 6,25 + 1,90 + 1,20 + 1,33 + 1,41 + 0,70 + 2,85 
𝐿𝑠 = 16,79 𝑚 
Sexto passo: Encontrar o comprimento de recalque. 
É a extensão linear em metros de tubo utilizados na instalação, desde a saída da bomba até o 
ponto final da instalação. 
𝐿𝑟 = 5,63 + 4,63 + 7,23 + 13,85 + 3,55 + 3,70 + 1,66 + 1,85 + 1,75 
𝐿𝑟 = 43,58 𝑚 
Sétimo passo: Encontrar o comprimento total da tubulação. 
= ∑𝐿𝑠 𝑒 𝐿𝑟 
𝐿𝑡 = 16,79 + 43,58 = 60,37𝑚 
Oitavo passo: perda de carga por comprimento do tudo. 
Esta perda de carga por comprimento do tubo é igual ao comprimento total da tubulação. 
𝐽𝐿 = 60,37 𝑚 
Nono passo: Encontrar a perda de carga nas conexões. 
É o atrito exercido na parede interna das conexões. 
44 
Raúl F. Raúl, 2019 
Esta perda de carga é achada na tabela de perda de carga por conexões. 
 
Figura 16: Tabela de Comprimentos Equivalentes em conexões, para cálculos de Perdas 
Localizadas. 
Válvula de pé com crivo 1 × 22 𝑚 = 22 𝑚 
Válvula de retenção 1 × 8 𝑚 = 8 𝑚 
Registro de gaveta 1 × 0,5 𝑚 = 0,5 𝑚 
Luva de redução 3 × 0,78 𝑚 = 2,34 𝑚 
União 7 × 0,02 𝑚 = 0,14 𝑚 
Curva de 45 graus 10 × 0,6 𝑚 = 6 𝑚 
Curva de 90 graus 4 × 1,3 𝑚 = 5,2 𝑚 
∑22 + 8 + 0,5 + 2,34 + 0,14 + 6 + 5,2 = 44,18 𝑚 
Décimo passo:Encontrar a perda de carga total no sistema de tubulação. 
Para esta etapa, vamos usar a tabela de perda de carga percentual onde precisaremos de 
diâmetro, vazão e tipo de material. Em casos de não encontrar a vazão igual à vazão calculada, 
recomenda se a escolha do valor maior. Se a tabela a seguir não estiver bem visível, sugiro que 
baixe uma com visibilidade melhor. 
45 
Raúl F. Raúl, 2019 
 
Figura 17: Tabela de Perda de Carga em Tubulações de PVC, Galvanizado e Ferro Fundido 
(Para Cada 100 m de Tubos). 
𝑓𝐽 = 3% = 0,03 
𝐽𝑇 = (𝐽𝐶𝑜𝑛𝑒𝑥𝑜𝑒𝑠 + 𝐽𝑇𝑢𝑏𝑢𝑙𝑎𝑐𝑎𝑜)𝑓𝐽 
𝐽𝑇 = (44,18 + 60,37)0,03 
𝐽𝑇 = 3,1365 𝑚. 𝑐. 𝑎 
Por último: Encontrar a altura manométrica 
𝐴𝑇𝑀 = ℎ𝑠 + ℎ𝑟 + 𝐽𝑇 
𝐴𝑇𝑀 = 6,64 + 24,58 + 3,1365 
𝐴𝑇𝑀 = 34,3565 𝑚. 𝑐. 𝑎 
Conhecendo a ATM e a vazão, podemos ir para os ábacos disponíveis e escolhermos a bomba 
qualificada para esta linha de bombeamento. 
46 
Raúl F. Raúl, 2019 
5.3. Bombas de polpa 
Exercício 1. 
Dados 
𝑑50 = 0,3𝑚𝑚 
𝑚𝑠ó𝑙 = 13,2 𝑡/ℎ 
%𝑠ó𝑙 = 9,4 
𝜌𝑠ó𝑙 = 3𝑡/𝑚
3 
Para a resolução dos exercícios sobre bombeamento de popas, temos os seguintes passos por 
seguir: 
Primeiro passo: Características da polpa 
%𝑠ó𝑙 =
𝑚𝑠ó𝑙
𝑚𝑝𝑜𝑙𝑝𝑎
× 100% 
𝑚𝑝𝑜𝑙𝑝𝑎 =
𝑚𝑠ó𝑙
%𝑠ó𝑙
=
13,2
9,4
= 140,42 𝑡/ℎ 
𝑃𝑜𝑙𝑝𝑎 = 𝑠ó𝑙𝑖𝑑𝑜 + á𝑔𝑢𝑎 → á𝑔𝑢𝑎 = 𝑝𝑜𝑙𝑝𝑎 − 𝑠ó𝑙𝑖𝑑𝑜 → 𝐻2𝑂 = 140,42 − 13,2 = 127,2 𝑡/ℎ 
𝑄𝑃 = 𝑄𝑠ó𝑙 + 𝑄𝐻2𝑂 {
𝐻2𝑂 =
𝑚𝐻2𝑂
𝜌𝐻2𝑂
=
127,2
1
= 127,2 𝑚3/ℎ
𝑄𝑠ó𝑙 =
𝑚𝑠ó𝑙
𝜌𝑠ó𝑙
=
13,2
3
= 4,4 𝑚3/ℎ
 
𝑄𝑃 = 𝑄𝑠ó𝑙 + 𝑄𝐻2𝑂 = 127,2 + 4,4 = 131,6 𝑚
3/ℎ 
𝐶𝑣𝑠 = %𝑠ó𝑙(
𝑉
𝑉⁄ ) =
𝑄𝑠ó𝑙
𝑄𝑃
× 100% =
4,4 𝑚3/ℎ
131,6 𝑚3/ℎ
= 3,34% 
𝜌𝑝𝑜𝑙𝑝𝑎 =
𝑚𝑝𝑜𝑙𝑝𝑎
𝑄𝑃
=
140,42 𝑡/ℎ 
131,6 𝑚3/ℎ
= 1,06 𝑡 ∙ (𝑚3)−1 
Segundo passo: cálculo de velocidades 
𝑉𝐿 = 𝐹𝐿 ∙ √2𝑔𝑑
∆𝜌
𝜌𝑙
 
Nas velocidades, nem sempre nos dão o diâmetro exato nos enunciados, nesse caso obriga-nos 
a fazer iterações até encontrar o diâmetro equivalente. Mas existe uma forma de encontrar o 
diâmetro máximo em que, em alguns casos pode ser exatamente o diâmetro equivalente ou 
47 
Raúl F. Raúl, 2019 
pode não ser. Ao verificar se que esse diâmetro encontrado pela expressão do Eng. Jean não é 
equivalente, fará se as iterações, mas diminuindo o diâmetro encontrado pela a expressão que 
o Eng propôs. Ele igualou as duas velocidades V = VL e insolou o diâmetro. 
4𝑄
𝜋𝐷2
= 𝐹𝐿 ∙ √2𝑔𝑑
∆𝜌
𝜌𝑙
 
4𝑄
𝜋𝐷2∙𝐹𝐿
= √2𝑔𝑑
∆𝜌
𝜌𝑙
 
(
4𝑄
𝜋𝐷2∙𝐹𝐿
)
2
= (√2𝑔𝑑
∆𝜌
𝜌𝑙
)
2
 
(
4𝑄
𝜋𝐷2∙𝐹𝐿
)
2
= √2𝑔𝑑
∆𝜌
𝜌𝑙
 
𝐷 = √
4𝑄2𝜌𝑙
𝜋2𝐷2∙𝐹𝐿2𝑔(𝜌𝑠−𝜌𝑙)
5
 
E é importante lembrar ou saber que a velocidade de bombeamento de uma polpa heterogénea 
deve atender duas exigências diferentes e independentes: 
 Ela deve ser suficiente grande para produzir a turbulência necessária para manter os 
sólidos em suspensão. 
 Ela deve ser menor possível para produzir o atrito com as paredes do tubo e 
consequentemente, reduzir a perda de carga. 
𝐹𝐿 𝑑𝑒𝑝𝑒𝑛𝑑𝑒 𝑑𝑒 {
𝑑50
𝑇𝑖𝑝𝑜 𝑑𝑒 𝑢𝑛𝑖𝑓𝑜𝑟𝑚𝑒
𝐶𝑣𝑠 = %𝑠ó𝑙(
𝑉
𝑉⁄ )
 
𝐹𝐿 𝑑𝑒𝑝𝑒𝑛𝑑𝑒 𝑑𝑒 {
𝑑50 = 0,3𝑚𝑚
𝑀𝑎𝑡𝑒𝑟𝑖𝑎𝑙 𝑢𝑛𝑖𝑓𝑜𝑟𝑚𝑒 = 1,1 𝑛𝑎 𝑡𝑎𝑏𝑒𝑙𝑎
𝐶𝑣𝑠 = %𝑠ó𝑙(
𝑉
𝑉⁄ ) = 3,34%
 
𝑉𝐿 = 1,1 ∙ √2 ∙ 9,81𝐷
3−1,06
1,06
 
A partir da substituição feita na equação acima, é recomendável que se reduza a expressão para 
facilitar nas iterações. 
𝑉𝐿 = 6,6 ∙ √𝐷 expressão reduzida 
48 
Raúl F. Raúl, 2019 
As iterações no Excel são mais fáceis e rápidas, mas é pena que o docente não ira permitir o 
uso de qualquer dispositivo eletrónico com exceção da maquina calculadora durante a 
realização dos testes. Para este caso, o autor irá mostrar as duas formas: calculando 
manualmente e com Excel. 
𝟏𝒂𝒊𝒕𝒆𝒓𝒂çã𝒐 
𝐷 = 4𝑖𝑛 = 102𝑚𝑚 = 0,102𝑚 
𝑉𝐿 = 6,6 ∙ √0,102 = 2,1 𝑚/𝑠 
𝑉𝑟 = 𝑉𝐿 + (0,3 𝑎 0,5) 
𝑉𝑟 = 2,1 + (0,3 𝑎 0,5) 
𝑉𝑟 = 2,4 𝑎 2,6 m/s 
𝑄𝑝𝑜𝑙𝑝𝑎 = 131,6
𝑚3
ℎ
×
1000𝑙
3600𝑠
= 36,6 𝑙/𝑠 
𝑉𝑒𝑠𝑐𝑜𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 =
1273∙𝑄
(𝑙 𝑠⁄ )
𝑑(𝑚𝑚)
2 
𝑉𝑒𝑠𝑐𝑜𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 =
1273∙36,6
1022
= 4,5 𝑚/𝑠 
Note: A velocidade de escoamento não está no intervalo da velocidade crítica, em outras 
palavras, o diâmetro escolhido não é equivalente. 
𝟐𝒂𝒊𝒕𝒆𝒓𝒂çã𝒐 
𝐷 = 5𝑖𝑛 = 127𝑚𝑚 = 0,127𝑚 
𝑉𝐿 = 6,6 ∙ √0,127 = 2,4 𝑚/𝑠 
𝑉𝑟 = 2,4 + (0,3 𝑎 0,5) 
𝑉𝑟 = 2,7 𝑎 2,9 m/s 
𝑉𝑒𝑠𝑐𝑜𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 =
1273∙36,6
1272
= 2,9 𝑚/𝑠 
Verifica se que com este diâmetro, a velocidade de escoamento satisfaz a meta do projeto ou a 
velocidade de escoamento é compatível com a velocidade crítica. 
 Iterações a partir do Excel 
49 
Raúl F. Raúl, 2019 
Na construção da tabela 12, baseou-se nas fórmulas já conhecidas para cálculos de 
velocidades para bombeamento de polpa. Na tabela 12 temos diâmetro em metros, milímetros 
e polegadas, colocou se essas todas unidades para facilitar nos cálculos, visto que no cálculo 
da velocidade limite usamos diâmetro em metros e no cálculo da velocidade de escoamento 
usamos diâmetro em milímetros. Na mesma tabela temos dois resultados isso porque a lógica 
matemática (a velocidade de escoamento é compatível se ela estiver dentro do intervalo da 
velocidade crítica “0,3 𝑎 0,5”) da velocidade de escoamento estava dando erros durante as 
operações no Excel, foi por isso que temos dois resultados em que a primeira baseia-se na 
velocidade crítica abaixo (a sua lógica é: se a velocidade de escoamento for maior ou igual a 
velocidade crítica abaixo, o diâmetro é compatível e se não for, é incompatível) e o outro 
resultado baseia-se na velocidade crítica acima (a sua lógica é: se a velocidade de escoamento 
for menor ou igual a velocidade crítica acima, o diâmetro é compatível e se não, é 
incompatível). A partir desses dois resultados fez se o cruzamento para achar onde é que 
temos “compatível”, “compatível” e temos o nosso resultado que corresponde ao diâmetro 
de 5 𝑖𝑛. 
Tabela 12: Cálculo da compatibilidade do diâmetro a partir do Excel. 
D(in) D(mm) D(m) VL Vabaixo Vacima Vescoamento Resultado Resultado 
1.00 25.40 0.03 1.05 1.35 1.65 72.13 Incompantível Compatível 
2.00 50.80 0.05 1.49 1.79 2.09 18.03 Incompantível Compatível 
3.00 76.20 0.08 1.82 2.12 2.42 8.01 Incompantível Compatível 
4.00 101.60 0.10 2.10 2.40 2.70 4.51 Incompantível Compatível 
5.00 127.00 0.13 2.35 2.65 2.95 2.89 Compatível Compatível 
6.00 152.40 0.15 2.57 2.87 3.17 2.00 Compatível Incompantível 
7.00 177.80 0.18 2.78 3.08 3.38 1.47 Compatível Incompantível 
8.00 203.20 0.20 2.97 3.27 3.57 1.13 Compatível Incompantível 
9.00 228.60 0.23 3.15 3.45 3.75 0.89 Compatível Incompantível 
10.00 254.00 0.25 3.32 3.62 3.92 0.72 Compatível Incompantível 
Fonte: Autor, 2021 
D 𝑖𝑛 diâmetro em polegadas; 
D 𝑚𝑚 diâmetro em milímetros; 
D 𝑚 diâmetro em metros; 
VL velocidade limite; 
𝑉𝐴𝑏𝑎𝑖𝑥𝑜 velocidade critica (𝑉𝐿 + 0,3); 
50 
Raúl F. Raúl, 2019 
𝑉𝐴𝑐𝑖𝑚𝑎 velocidade critica (𝑉𝐿 + 0,5). 
Terceiro passo: cálculo das perdas de carga 
Carga geométrica 
−1,5 + 11,5 − 2 = 8 𝑚𝑐𝑝 
Carga distribuída 
𝐸𝑠𝑡𝑎 𝑑𝑒𝑝𝑒𝑛𝑑𝑒 𝑑𝑒 {
Velocidade de escoamento
Diâmetro
 
Na tabela, o valor encontrado é dividido por 100, isto é, a cada 100𝑚 há perda de carga. 
𝐶𝑜𝑚 𝑒𝑠𝑡𝑎 𝑣𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑒 𝑑𝑖𝑎𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜, 𝑜 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑑𝑒 ƻ = 8 𝑚. 𝑐. 𝑎 {
𝑣 = 2,9𝑚/𝑠
𝐷 = 127𝑚𝑚
 
ƻ =
8 𝑚𝑐𝑎
100
 
Carga distribuída 
𝑍 = 𝐿 ∙ ƻ 𝐿 = 11,5 + 80 + 2 = 93,5 𝑚 
𝑍 = 93,5 𝑚 ∙
8 𝑚𝑐𝑎
100
= 7,5 𝑚𝑐𝑎 
Carga localizada 
Perdas de carga nas pequenas partes como nas válvulas que depende do diâmetro. 
No enunciado temos uma válvula de mangote e duas de cotovelos 4d, com esta informação 
podemos buscar os valores correspondentes na tabela. 
𝐷 {
uma válvula de mangote → 1 × 2,9 m equivalente = 2,9
𝐷𝑢𝑎𝑠 válvulas de cotovelos 4d → 2 × 1,9 m equivalente = 3,8
 
(𝐶𝑜𝑚𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑒𝑞𝑢𝑖𝑣𝑎𝑙𝑒𝑛𝑡𝑒)Le = 2,9 + 3,8 = 6,7 m equivalente 
Z′ = 𝐿𝑒 × ƻ Z′ = 6,7𝑚 ×
8 𝑚𝑐𝑎
100
= 0,5 𝑚𝑐𝑎 
Carga total 
É o somatório de todas as cargas 
𝐶𝑎𝑟𝑔𝑎 𝑔𝑒𝑜𝑚é𝑡𝑟𝑖𝑐𝑎 + 𝑐𝑎𝑟𝑔𝑎 𝑑𝑖𝑠𝑡𝑟𝑖𝑏𝑢í𝑑𝑎 + 𝑐𝑎𝑟𝑔𝑎 𝑙𝑜𝑐𝑎𝑙𝑖𝑧𝑎𝑑𝑎 
8 𝑚𝑐𝑝 + 7,5 𝑚𝑐𝑎 + 0,5 𝑚𝑐𝑎 =? 
51 
Raúl F. Raúl, 2019 
Perceba que não se pode somar (𝑚. 𝑐. 𝑝) metros coluna de polpa com (𝑚. 𝑐. 𝑎 )metros coluna 
de água. Então recorre se para o diagrama de cave para converter 𝑚. 𝑐. 𝑝 em 𝑚. 𝑐. 𝑎. 
𝐻𝑅 = 𝐸𝑅 =
𝐴𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎 𝑚.𝑐.𝑝
𝐴𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎 𝑚.𝑐.𝑎
 𝐸𝑅𝑜𝑢 𝐻𝑅 𝑑𝑒𝑝𝑒𝑛𝑑𝑒 𝑑𝑒 {
𝑑50
%𝑠ó𝑙 𝑒𝑚 𝑝𝑒𝑠𝑜
𝜌𝑠ó𝑙
 
𝐴𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎 𝑚. 𝑐. 𝑎 =
𝐴𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎 𝑚.𝑐.𝑝
𝐸𝑅
=
8
0,95
= 8,4 𝑚𝑐𝑎 
Agora pode se efetuar a soma das cargas. 
𝐶𝑎𝑟𝑔𝑎𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 𝐶𝑔𝑒𝑜𝑚é𝑡𝑟𝑖𝑐𝑎 + 𝐶𝑑𝑖𝑠𝑡𝑟𝑖𝑏𝑢í𝑑𝑎 + 𝐶𝑙𝑜𝑐𝑎𝑙𝑖𝑧𝑎𝑑𝑎 
𝐶𝑎𝑟𝑔𝑎𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 8,4 + 7,5 + 0,5 = 16,4 𝑚𝑐𝑎 
𝐴𝑇𝑀 =
𝑤
𝑔
→ 𝑤 = 𝑔(∆ℎ) + ∑𝐹 
𝐴𝑇𝑀 = ∑𝐹 
𝐴𝑇𝑀 =
16,4 𝑚×1 𝑓𝑡
0,3048 𝑚
= 53,80 𝑓𝑡 
𝑃𝑎𝑟𝑎 𝑠𝑒𝑙𝑒𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑟 𝑜𝑢 𝑒𝑠𝑐𝑜𝑙ℎ𝑒𝑟 𝑎 𝑏𝑜𝑚𝑏𝑎, 𝑡𝑒𝑚𝑜 𝑞𝑢𝑒 𝑡𝑒𝑟 {
𝐴𝑇𝑀 (𝑓𝑡)
𝑉𝑎𝑧ã𝑜 (
𝐺𝑎𝑙õ𝑒𝑠
𝑚𝑖𝑛
) 
 
Para ter esses dois parâmetros nas respetivas unidades, faremos as conversões. 
1𝑓𝑡 = 0,3048 𝑚 1𝑚
3
ℎ⁄ = 4,4 Galões/min 
𝑦 = 3,17 𝑚 131,6𝑚
3
ℎ⁄ = 𝑦 
𝑦 = 10,40𝑓𝑡 𝑦 = 579,04Galões/min 
3. Exercício 
Um tanque de 4𝑓𝑡 de altura e 3𝑓𝑡 de diâmetro está completo com água e aberto para atmosfera. 
O tanque é esvaziado por um orifício em sua base de 0.5𝑖𝑛 e a sua velocidade de jacto obedece 
𝑉 = √2𝑔ℎ. 
Determine o tempo necessário para que o tanque esvazie. 
𝑉 = √2𝑔ℎ 
52 
Raúl F. Raúl, 2019 
𝑑𝑣
𝑑𝑡
= −𝑣𝑎 
𝐴𝑑𝑣
𝑑𝑡
= −𝑣𝑎 
𝐴𝑑𝑣
𝑑𝑡
= −𝑎√2𝑔ℎ 
𝐴
𝑎
𝑑ℎ
√2𝑔ℎ
= −𝑑𝑡 
𝐴
𝑎
∫
𝑑ℎ
√2𝑔ℎ
= −∫𝑑𝑡 
𝐴
𝑎√2𝑔ℎ
∫
𝑑ℎ
√ℎ
= −∫𝑑𝑡 
𝐴
𝑎√2𝑔ℎ
∫
𝑑ℎ
√ℎ
ℎ1
ℎ2
= −∫ 𝑡
𝑡1
𝑡2
 
A partir da tabela das propriedades de integrais, teremos: 
𝐴
𝑎√2𝑔ℎ
[(2√ℎ1) − (2√ℎ2)] = −(𝑡1 − 𝑡2) 
𝐴
𝑎√2𝑔ℎ
2(√ℎ1) = 𝑡2 
𝐴
𝑎
√
2ℎ
𝑔
= 𝑡 Note que: 𝑎 =
𝜋𝐷𝑎
2
4
 
𝐴
𝑎
=
𝜋𝐷𝑇
2
4
 
𝜋𝐷𝑎
2
4
 𝐴 =
𝜋𝐷𝑇
2
4
 
𝐴
𝑎
=
𝐷𝑇
2
𝐷𝑎
2 
𝐷𝑇
2
𝐷𝑎
2√
2ℎ
𝑔
= 𝑡 
5.4. Britagem 
1. Escolha o britador de mandíbulas necessário para realizar a britagem primária de 650 𝑡/ℎ 
de minério de cobre (de densidade aparente de 2,3 𝑡/𝑚3), com a distribuição granulométrica 
dada por: 
53 
Raúl F. Raúl, 2019 
Tabela 13: Distribuição granulométrica do exercício de britagem. 
Peneira 
(cm) 
50 35 25 17,5 12,5 10 7,5 5 3,5 
Passante 
(%) 
100 98,2 89,9 71,6 53,6 38,2 28,7 22,4 18,1 
Fonte: JAIME. C, 2019. 
O índice de trabalho do minério é 14 𝑘𝑊 − ℎ𝑟/𝑡𝑜𝑛, e o teor de argila é 6%, sendo que a 
umidade é aproximadamente 8%. 
𝑄 = 𝑄𝑡 ∙ 𝐴 ∙ 𝐵 ∙ 𝐶 ∙ 𝐷 
𝐴 = 0,636 ∙ 2,3 = 1,41 
𝐵 = 1,56 ∙ 𝑒(−0,0306∙14) = 1.02 
𝐴𝐴 =
𝑇𝑏
0,8
, 𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑇𝑏 𝑒ℎ 𝑜 𝑡𝑎𝑚𝑎𝑛ℎ𝑜 𝑑𝑜 𝑏𝑙𝑜𝑐𝑜 𝑒 𝐴𝐴 𝑒ℎ 𝑎 𝑎𝑏𝑒𝑟𝑡𝑢𝑟𝑎 𝑑𝑜 𝑏𝑟𝑖𝑡𝑎𝑑𝑜𝑟 
𝐴𝐴 =
𝑇𝑏
0,8
= 62,5𝑐𝑚 com este valor encontrado podemos selecionar um britador que tenha uma 
abertura igual ou acima deste valor na tabela. Na tabela, o primeiro valor (100) representa 
largura e o segundo (80𝐶) representa a abertura. 
Modelo 10080C 
𝐴𝑃𝐴 = 𝐴𝑃𝐹 +𝑀𝑄 = 4 + 1 = 5𝑖𝑛 = 12,7𝑐𝑚 
𝐹𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟 𝐶 𝑑𝑒𝑝𝑒𝑛𝑑𝑒 𝑑𝑒 {
𝑃 (
12,7
2
) = 6,35𝑐𝑚
50
80
× 100% = 62,5%
 
Agora precisamos encontrar a percentagem que corresponde a 6.35 𝑐𝑚 na tabela. De uma 
forma, é possível achar se construir um gráfico em função da distribuição dada, mas como 
sendo candidato para engenharia evite dar muitas voltas e faça logo interpolação dos dados da 
distribuição e encontre os valores. 
5𝑐𝑚 −− − − −−22,4% 
6,35𝑐𝑚 − − − −− 𝑦 
7,5𝑐𝑚 − − − −− 28,7% 
54 
Raúl F. Raúl, 2019 
6,35𝑐𝑚 − 5𝑐𝑚
7,5𝑐𝑚 − 5
=
𝑦 − 22,4%
28,7𝑐𝑚 − 22,7%
→ 𝑦 = 25,55% 
Com estes valores 𝐶 = (62.5% 𝑒 25.55%) vamos para tabela de fator C e achar o valor. 
No diagrama abaixo, entra se com a percentagem de alimentação no eixo das abcissas e faz se 
uma recta de baixo para cima ate intercetar as curvas das percentagens da relação entre tamanho 
de bloco máximo de material e a abertura de entrada do britador e depois de intercetar, no 
mesmo ponto de interceção vai fazer uma reta (de direita para esquerda) paralela ao eixo das 
abcissas até intercetar o eixo vertical onde fará a litura do valor de C. 
 
 
Figura 18: Diagrama do fator C para britadores (CHAVES, 2002). 
𝐶 = (62.5% 𝑒 25.55%) = 1.3 
𝐹𝑎𝑡𝑜𝑟 𝐷 𝑑𝑒𝑝𝑒𝑛𝑑𝑒 𝑑𝑒 {
𝐴𝑃𝐹 = 4
𝑇𝑒𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑎𝑟𝑔𝑖𝑙𝑎 = 6% (𝑣𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑢𝑠𝑎𝑟 𝑜 𝑔𝑟á𝑓𝑖𝑐𝑜 𝐵)
𝑇𝑒𝑜𝑟 𝑑𝑒 ℎ𝑢𝑚𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 ≈ 8%
 
55 
Raúl F. Raúl, 2019 
 
Figura 19: Diagrama do fator D para britadores (CHAVES, 2002). 
Para leitura do valor de D, os procedimentos são os mesmos aplicados para o valor de C, mas 
aqui tem que tomar muita atenção pois temos dois grupos de curvas de humidade que são A e 
B. 
Vazão teórica 
𝑄𝑡 =
90+140
2
= 115 𝑚3/ℎ 
𝑄 = 115
𝑚3
ℎ
∙ 1,41 ∙ 1.02 ∙ 1,3 ∙ 0,83 = 178,45 𝑚3/ℎ 
𝑄 = 178,45
𝑚3
ℎ
× 2,3
𝑡
𝑚3
= 410,45 𝑡/ℎ 
Note: Com 𝐴𝑃𝐹 = 4𝑖𝑛, o resultado não é satisfatória para a produção recomendada, neste 
caso, devemos tentar com ostros APFs e se não deu certo, vamos trocar o modelo. 
Vamos tentar com 𝐴𝑃𝐹 = 6𝑖𝑛 
𝑄 = 𝑄𝑡 ∙ 𝐴 ∙ 𝐵 ∙ 𝐶 ∙ 𝐷 
𝐴 = 0,636 ∙ 2,3 = 1,41 
𝐵 = 1,56 ∙ 𝑒(−0,0306∙14) = 1.02 
𝐴𝑃𝐴 = 𝐴𝑃𝐹 +𝑀𝑄 = 6 + 1 = 5𝑖𝑛 = 17,78𝑐𝑚 
𝐹𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟 𝐶 𝑑𝑒𝑝𝑒𝑛𝑑𝑒 𝑑𝑒 {
𝑃 (
17,77
2
) = 8,89𝑐𝑚 𝑛𝑎 𝑡𝑎𝑏𝑒𝑙𝑎 𝑐𝑜𝑟𝑟𝑒𝑠𝑝𝑜𝑛𝑑𝑒𝑚 34%
50
80
× 100% = 62,5%
 
Logo o 𝐶 = 1,38 
56 
Raúl F. Raúl, 2019 
𝐹𝑎𝑡𝑜𝑟 𝐷 𝑑𝑒𝑝𝑒𝑛𝑑𝑒 𝑑𝑒 {
𝐴𝑃𝐹 = 6
𝑇𝑒𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑎𝑟𝑔𝑖𝑙𝑎 = 6% (𝑣𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑢𝑠𝑎𝑟 𝑜 𝑔𝑟á𝑓𝑖𝑐𝑜 𝐵)
𝑇𝑒𝑜𝑟 𝑑𝑒 ℎ𝑢𝑚𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 ≈ 8%
 
Logo o 𝐷 = 0,9 
𝑄𝑡 =
140+200
2
= 170 𝑚3/ℎ 
𝑄 = 170
𝑚3
ℎ
∙ 1,41 ∙ 1.02 ∙ 1,38 ∙ 0,9 = 314,42 𝑚3/ℎ 
𝑄 = 314,42
𝑚3
ℎ
× 2,3
𝑡
𝑚3
= 723,18 𝑡/ℎ 
Note: Com 𝐴𝑃𝐹 = 6𝑖𝑛, o resultado é satisfatório. E só é satisfatória se a vazão calculada for 
maior ou igual a vazão desejada. 
5.5. Moagem 
1. Escolha o diâmetro do moinho necessário para a moagem de um minério com 𝑊𝑖 =
 17,0 𝑘𝑊ℎ/𝑡, a uma taxa de alimentação nova de 320 𝑡/ℎ em circuito fechado em um moinho 
com descarga por transborde que opera a úmido. O grau de enchimento a ser usado é de 30% 
e a o moinho opera a 75% da velocidade crítica. A alimentação tem 80% passante em 6,7 𝑚𝑚 e 
o produto final deverá ter 80% passante em 120 micrómetros. A princípio, considere um 
moinho com comprimento igual ao diâmetro. 
Dados 
𝑊𝑖 = 17,0 𝑘𝑊ℎ/𝑡 
𝑇 = 320𝑡/ℎ 
Descarga por transbordo 
%𝑁 = 75% 
𝐽 = 30% 
𝐹80 = 6,7𝑚𝑚 = 6700𝜇𝑚 
𝑃80 = 120𝜇𝑚 
L=𝐷𝑚 
𝐾𝑚𝑡 = 1 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑚𝑜𝑖𝑛ℎ𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑏𝑜𝑙𝑎𝑠 𝑎 ú𝑚𝑖𝑑𝑜 𝑐𝑜𝑚 𝑑𝑒𝑠𝑐𝑎𝑟𝑔𝑎 𝑝𝑜𝑟 𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑏𝑜𝑟𝑑𝑜 
57 
Raúl F. Raúl, 2019 
 
Figura 20: Diagrama de 𝐾𝑆𝑃 e 𝐾𝑙 para moinhos (CHAVES, 2002). 
𝐾𝑙 = {
𝑇𝑖𝑝𝑜 𝑑𝑒 𝑚𝑜𝑖𝑛ℎ𝑜 (𝑀𝑜𝑖𝑛ℎ𝑜 𝑑𝑒 𝑏𝑜𝑙𝑎𝑠)
𝐺𝑟𝑎𝑢 𝑑𝑒 𝑒𝑛𝑐ℎ𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 (𝐽 = 30%)
= 4,44 
𝐾𝑆𝑃 = {
𝑇𝑖𝑝𝑜 𝑑𝑒 𝑚𝑜𝑖𝑛ℎ𝑜 (𝑀𝑜𝑖𝑛ℎ𝑜 𝑑𝑒 𝑏𝑜𝑙𝑎𝑠)
%𝑛𝐶𝑅 = 75% 
= 0,198 
𝐸 = 10 ∙ 𝑊𝑖 (
1
√𝑃80
−
1
√𝐹80
) 
𝐸 = 10 ∙ 17 (
1
√120
−
1
√6700
) = 13,44𝐾 𝑊 
𝑃 = 𝐸 × 𝑇 = 13,44 ∙ 320 = 4301,42 𝐾𝑊 
 𝑃 = 8,44 ∙ 𝐷𝑚
2,5 ∙ 𝐿 ∙ 𝐾𝑚𝑡 ∙ 𝐾𝐿 ∙ 𝐾𝑆𝑃 
No exercício diz se que o diâmetro (D) do moinho é igual ao comprimento (L) do moinho. 
𝐷 = √
𝑃
8,44∙𝐾𝑚𝑡∙𝐾𝐿∙𝐾𝑆𝑃 
3,5
→ 𝐷 = √
𝑃
8,44∙𝐾𝑚𝑡∙𝐾𝐿∙𝐾𝑆𝑃 
3,5
= 6,17𝑚𝑚 
Pela ordem da organização deste artigo, era suposto seguir o capitulo de ciclones e 
hidrociclones nesta parte, mas veremos a resolução dos exercícios sobre esse tema na ficha de 
exercício no final do artigo. 
58 
Raúl F. Raúl, 2019 
5.6. Agitação e mistura (Exercícios de Paiva) 
1. Um tanque de 1,83 m de diâmetro contendo 4 chicanasé mantido sob agitação. O agitador 
é do tipo “flat six-blade turbine” com diâmetro 0,61 m e rotação de 90 rpm. A largura da 
chicana é de 0,15 m e T = Z. Propriedades do fluído: μ = 10 cP e 𝜌 = 929 kg/m3. 
a) calcule o número de potência e a potência. 
b) a potência, no caso de um líquido com viscosidade de 100.000 cP. 
c) compare os resultados. 
Dados 
Z = 1,83 
O agitador é do tipo “flat six-blade turbine” 
D = 0.61 m 
N = 90 rpm 
B = 0.15 m 
T = Z 
μ = 10 cP 1cp (𝐶𝑒𝑛𝑡𝑖𝑝𝑜𝑖𝑠𝑒 = 0,001𝑘𝑔/𝑚/𝑠) 
𝜌 = 929 kg/m3 
a) Cálculo de número de potência e a potência. 
𝑅𝑒 =
𝜌𝑁𝐷2
𝜇
 → 𝑅𝑒 =
929×90 60⁄ 𝑟𝑎𝑑/𝑠×0,61
2
0,01𝑘𝑔
𝑚
/𝑠
= 5,2 × 104 
𝑁𝑃𝑜 {
𝑅𝑒
𝑇𝑖𝑝𝑜 𝑑𝑒 𝑎𝑔𝑖𝑡𝑎𝑑𝑜𝑟
 
Para acharmos o número de potência, vamos recorrer ao diagrama abaixo, mas também é 
possível calcular usando a sua formula. Mas como não temos a potência, teremos que usar o 
diagrama. Os procedimentos para fazer a leitura no diagrama, são os mesmos usados na leitura 
dos parâmetros da seleção dos britadores. 
𝑁𝑃𝑜 {
𝑅𝑒 = 5,2 × 104
𝑇𝑖𝑝𝑜 𝑑𝑒 𝑎𝑔𝑖𝑡𝑎𝑑𝑜𝑟 (𝑓𝑙𝑎𝑡 𝑠𝑖𝑥 − 𝑏𝑙𝑎𝑑𝑒 𝑡𝑢𝑟𝑏𝑖𝑛𝑒) 𝑁𝑢𝑚𝑒𝑟𝑜 1 𝑛𝑜 𝑑𝑖𝑎𝑔𝑟𝑎𝑚𝑎
= 4,8 ≈ 5 
59 
Raúl F. Raúl, 2019 
𝑊 =
𝜕𝑤
𝜕𝑡
= 𝑃 = 𝑁𝑃𝑜 ∙ 𝑁
3 ∙ 𝐷5 ∙ 𝜌 
𝑃 = 5 ∙ (
90
60
𝑟𝑎𝑑
𝑠
)
3
∙ 0,615 ∙ 929 = 1324,1 𝑊𝑎𝑡𝑡𝑠 
b) A potência no caso da mudança de viscosidade 
𝑅𝑒 =
𝜌𝑁𝐷2
𝜇
 → 𝑅𝑒 =
929×90 60⁄ 𝑟𝑎𝑑/𝑠×0,61
2
100𝑘𝑔
𝑚
/𝑠
= 5,18 ≈ 5,2 
Com este valor de Reinhold, O número de potência é igual a 15 na tabela. 
Logo, 𝑃 = 3 𝑣𝑒𝑧𝑒𝑠 𝑎 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑖𝑟𝑎 𝑝𝑜𝑡ê𝑛𝑐𝑖𝑎 = 3972.3 𝑊𝑎𝑡𝑡𝑠 
2. Considere o mesmo sistema e agitador do exercício anterior. Deseja-se fazer o “scale-up” 
desse sistema para um com volume três vezes maior, segundo dois critérios: a) mantendo a 
mesma condição de transporte de massa; b) mantendo a mesma condição de escoamento. 
a) mantendo a mesma condição de transporte de massa, isto significa manter a mesma relação 
𝑃
𝑉⁄ . 
𝑁2
𝑁1
= (
1
𝑅
)
𝑛
= (
𝐷2
𝐷1
)
𝑛
𝑛 =
2
3
 
𝑉1 = 𝐴 ∙ ℎ =
𝜋𝑑2
4
∙ ℎ 𝑠𝑎𝑏𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑞𝑢𝑒 𝑇 = 𝑍 𝑙𝑜𝑔𝑜 𝑑 = ℎ → 𝑑2 = 𝑑 → 𝑑2 ∙ 𝑑 = 0 → 𝑑3 = 0 
𝑉1 =
𝜋
4
∙ 𝑑3 =
𝜋
4
∙ 1,833 = 4,8 𝑚3 
𝑆𝑎𝑏𝑒 𝑠𝑒 𝑞𝑢𝑒 𝑉2 = 3 ∙ 𝑉1 = 3 ∙ 4,8 
𝑅 =
𝑉2
𝑉1
=
3∙4,8 
4,8
= 3 
𝑁2
𝑁1
= (
1
𝑅
)
𝑛
=
𝑁2
90𝑟𝑝𝑚
= (
1
3
)
2
3
= 𝑁2 = 43,26 𝑟𝑝𝑚 
b) mantendo a mesma condição de escoamento 𝑛 = 1 
𝑁2
𝑁1
= (
1
𝑅
)
𝑛
=
𝑁2
90𝑟𝑝𝑚
= (
1
3
)
1
= 𝑁2 = 30 𝑟𝑝𝑚 
3. O “overflow“ de um hidrociclone deve ser condicionado em um tanque. O tanque tem 
diâmetro de 3 m, chicanas, e profundidade de 3 m. O impelidor é do tipo “pitched blade, de 90 
60 
Raúl F. Raúl, 2019 
cm de diâmetro, 45 cm acima do fundo. Qual é a potência requerida? 𝜌 = 3,145𝑔/𝑐𝑚3 ,𝐶𝑣 = 
15,3 %,𝑑 = 150 𝜇𝑚. 
Dados 
T = 3 m 
C = 45 cm = 0.45 m 
D = 90 cm = 0.90 m 
𝜌 = 3,145 𝑔/𝑐𝑚3 
𝐶𝑣 = 15,3 
𝑑 = 150 𝜇𝑚 
1 − 𝜀 = 0.153 → 𝜀 = 0.847 
𝑇/𝐷 = 30/9 = 3.3333333333333333 
𝐶/𝑇 = 0.45/3 = 0.15 
𝑉𝜃 = √4/3𝑔𝑑50
∆𝜌
𝐶𝐷𝜌𝑙
= 𝑉𝜃 = √4/3 ∙ 9,81 ∙ 0,000150
2145
0,44∙1000
= 0,0977𝑚/𝑠 
𝑃
𝑉⁄ = 0,092 ∙ 𝑔 ∙ 𝑇/𝐷 ∙ 𝑉𝜃 ∙ √(
1−𝜖
𝜖
) ∙ ∆𝜌 ∙ 𝑒5,3∙
𝐶
𝑇 
𝑃
𝑉⁄ = 0,092 ∙ 9,81 ∙ 3,33 ∙ 0,0977 ∙ √(
0,153
0,847
) ∙ 2145 ∙ 𝑒5,3∙0,15 = 592,17 𝑊 𝑚3⁄ 
𝑉 =
𝜋
4
∙ 𝑑3 =
𝜋
4
∙ 33 = 21,20 𝑚3 
[𝑊 𝑚3⁄ × 𝑚
3] 
𝑃 = 592,17 𝑊 𝑚3⁄ × 21,20 𝑚
3 = 12557,40 𝑊𝑎𝑡𝑡𝑠 = 12,55740 𝐾𝑊 
4. Um sistema de agitação de laboratório (volume = 10 litros) opera a 150 rpm (agitador 
turbina) e com potência de agitação de 100 W. O tempo adequado para a mistura é de 30 
minutos. Deseja-se fazer o “scale-up” para um tanque de 100 litros, com geometria similar, e, 
obviamente, com mistura adequada. Avalie as seguintes situações: a) Mantendo-se a mesma 
relação potência/volume, que a do laboratório, qual o tempo necessário e a rotação N; b) 
61 
Raúl F. Raúl, 2019 
Mantendo-se o tempo em 30 minutos, qual a rotação N e a relação Potência/volume. Considere 
a condição de regime turbulento. 
Dados 
𝑉1 = 10𝑙 𝑒 𝑉2 = 100𝑙 
𝑁1 = 150 𝑟𝑝𝑚 
𝑃 = 100𝑊 
𝑡1 = 30 𝑚𝑖𝑛 
a) Mantendo-se a mesma relação potência/volume, que a do laboratório, qual o tempo 
necessário e a rotação N. 
𝑛 =
2
3
 
𝑡2
𝑡1
= (
𝐷2
𝐷1
)
11
18
 
Sem nenhuma informação sobre Z, então assume se que Z=T 
1𝑙 = 10−3𝑚3 
𝑉1 = 0,01 𝑚
3 
𝑉2 = 0,01 𝑚
3 
𝑉1 = 𝐴 ∙ ℎ =
𝜋𝑑2
4
∙ ℎ = 𝑉 =
𝜋
4
𝑑3 
𝑑 = √
𝑉4
𝜋
3
{
 
 𝑑1 = √
𝑉4
𝜋
3
= 0,23𝑚
𝑑2 = √
𝑉4
𝜋
3
= 0,50𝑚
 
𝑅 =
𝑉2
𝑉1
=
0,1
0,01
= 10 
Tempo 
𝑡2
𝑡1
= (
𝐷2
𝐷1
)
11
18
=
𝑡2
30
= (
0,50
0,23
)
11
18
= 𝑡2 = 48,21 𝑚𝑖𝑛 ≈ 49 𝑚𝑖𝑛 
Rotação 
62 
Raúl F. Raúl, 2019 
 
𝑁2
𝑁1
= (
1
𝑅
)
𝑛
=
𝑁2
90𝑟𝑝𝑚
= (
1
10
)
2
3
= 𝑁2 = 32,31 𝑟𝑝𝑚 
Mantendo-se o tempo em 30 minutos, qual a rotação N e a relação Potência/volume. Considere 
a condição de regime turbulento. 
𝑃2
𝑉2
𝑃1
𝑉1
= (
𝐷2
𝐷1
)
11
4
 
5.7. Espessamento 
1. O overflow de um hidrociclone deve ser espessado em um sedimentador contínuo. 
𝑄𝐴=1017𝑚
3/ℎ, 
𝐶𝐴=236𝑘𝑔/𝑚
3 
𝐶=265𝑘𝑔/𝑚3, 𝐶𝑒 = 550 
𝑑𝑖𝑎𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜 𝑑𝑎 𝑝𝑎𝑟𝑡í𝑐𝑢𝑙𝑎 100𝜇𝑚.𝐷𝑒𝑛𝑠𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑑𝑜 𝑠𝑜𝑙𝑖𝑑𝑜 é 𝑑𝑒 1.8 𝑔/𝑚3 
Tempo de residência na zona de compressão 1.25h. viscosidade da polpa a 25 graus celsius é 
de 1cp. 
Determine: 
a) A área mínima do espessador. 
b) Diâmetro do espessador. 
c) Profundidade do espessador. 
Para a resolução deste exercício vamos usar o método de Roberts. 
Dados 
𝑄𝐴=1017𝑚
3/ℎ, 
𝐶𝐴=236𝑘𝑔/𝑚
3 
𝐶=265𝑘𝑔/𝑚3, 𝐶𝑒 = 550 
𝜌𝑠 = 1,8 𝑔/𝑚
3 
𝑡 = 1,25ℎ 
𝜇 = 1𝑐𝑝 = 0,001 
63 
Raúl F. Raúl, 2019 
𝑉𝑡 =
𝑔∙𝑑𝑝
2(𝜌𝑠−𝜌𝑙)
18𝜇
=
9,81∙0,00012(1800−1000)
18∙0,001
= 4,3 × 10−3 𝑚/ℎ 
𝑆𝑚𝑖𝑛 =
𝑄𝐴𝐶𝐴(
1
𝐶𝐶
−
1
𝐶𝐸
)
𝜇𝐶
=
1017∙236(
1
265
−
1
550
)
4,3×10−3
= 1836,15𝑚2 
𝐷 = √
4𝐴
𝜋
= √
4∙1836,15
𝜋
= 48 𝑚 
𝐻 = 𝑄𝐴(𝑡𝑢 − 𝑡𝑐)
𝐶𝐴
𝑆∙𝜌𝑠
= 1017 ∙ 1,25
236
1836,15∙1800
= 0,09 𝑚 
𝐻2 = 0,072 ∙ 𝐷 = 0,072 ∙ 48 = 3,4 𝑚 
𝐻3 = 0,5 𝑚 
𝐻𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 4,04 𝑚 
5.8. Peneiramento 
1. Você deseja dimensionar uma peneira vibratória industrial para ser alimentada com 280 t/h 
de minério com distribuição granulométrica dada por: 
Tabela 14: Distribuição granulométrica do exercício de peneiramento. 
Abertura de 
peneira 
(mm) 
12,5 9,5 6,3 4,75 2,38 
Passante 
(%) 
100,0 82,5 45,3 12,9 7,2 
Fonte: JAIME. C, 2019. 
A peneira industrial tem abertura de 4,75 mm e irá operar a uma inclinação de 20 graus em 
relação à horizontal. O diâmetro de fio (de aço) é 2 mm. A peneira irá operar com aspersão de 
água. A massa específica aparente do minério é de 1650 kg/m3. 
a) Qual a abertura efetiva da peneira? 
b) Qual a percentagem de área aberta da peneira? 
c) Qual a área da peneira que deverá ser usada? 
Dados 
ℎ = 4,75𝑚𝑚 
64 
Raúl F. Raúl, 2019 
𝜃 = 20° 
𝑑𝑤 = 2𝑚𝑚 
𝑇 = 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹𝐺 ∙ 𝐴𝑃 
𝐴 = 12,13 ∙ ℎ𝑡0,32 − 10,3 para ℎ𝑡 < 51𝑚𝑚 
𝐴 = 0,34ℎ𝑡 + 14,41 para ℎ𝑡 ≥ 51𝑚𝑚 
ℎ𝑡 = (4,75 + 2)𝑐𝑜𝑠20 − 2 = 4,341𝑚𝑚 
𝐴 = 0,34 ∙ 4,342 + 14,41 = 14,88 para ℎ𝑡 ≥ 51𝑚𝑚 
% da área aberta (𝐴𝐴) 
𝐴𝐴 = 21,5 log10 4,75 + 37 = 34,033 
𝐵 = 1,6 − 1,2[1 − 0,11] = 0,532 
𝐶 = 0,7 + 01,2 ∙ 0,07 = 0,784 
𝑇 = 1,26 ∙ ℎ𝑡 → 𝐷 = 1,1 − 0,1 ∙ 𝐸 {
→⟶⟶ 𝑆𝑒𝑐𝑜 𝐸 = 0
𝐻𝑢𝑚𝑖𝑑𝑜 {
𝐸 = 1𝑃 𝑠𝑒 𝑇 ≤ 1
𝐸 = 1,5 + 0,25𝑇 𝑠𝑒 𝑇 ≤ 2
𝐸 = 2,5𝑝44 𝑠𝑒 𝑇 ≤ 6
 
E para húmido 
𝐸 = 2,5𝑝44 𝑠𝑒 𝑇 ≤ 6 
12,9 − − − − −−4,75 
44 − − − − −−− 𝑦 
45,3 − − − − −−6,3 
𝑦 =
31,1×1,55
32,4
+ 4,78 = 6,21 
𝐸 = 2,5 × 6,21 𝑠𝑒 𝑇 ≤ 6 
𝐷 = 1,1 − 0,1 ∙ 2,5 ∙ 6,21 = 0,45 
𝐹 =
𝜌
1600
=
1650
1600
= 1,03 
𝐺 = 0,975[1 − 𝑃(1,25ℎ𝑡) + 𝑃(0,75ℎ𝑡)]0,511 
65 
Raúl F. Raúl, 2019 
𝑃(1,25ℎ𝑡) = 𝑃(5,42) = 0,054 
𝑃(0,75ℎ𝑡) = 𝑃(3,25) = 0,032 
𝐺 = 0,975[(1 − 0,054) + 0,032]0,511 = 0,976 
𝐴𝑃 =
280
15,88×0,532×0,784×0,85×2,5×1,03×0,978= 19,78𝑚2 
5.9. Lista de exercícios 
1. Uma bateria de 20 ciclones, de 10 polegadas opera a pressão de 3,5bar; com sólidos de 
densidade 3500𝑘𝑔/𝑚3 e com uma polpa de 70% de a água em volume, na alimentação. 
a) Especificar o tamanho de separação. 
b) A taxa de produção da polpa por turno. Considere duração do turno de 8h. 
c) A taxa de produção de sólidos por turno. 
d) Consumo de água por turno. 
Dados 
D = 10in 
P = 3.5 bar 
𝜌𝑠 = 3500𝑘𝑔/𝑚3 = 3.5 𝑡/𝑚3 
𝐶𝑝 = 70% 𝑑𝑒 á𝑔𝑢𝑎 𝑒𝑚 𝑣𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒 (30% 𝑑𝑒 𝑠ó𝑙𝑖𝑑𝑜𝑠) 
Tamanho de separação 
𝑆 = 𝑆𝑏 ∙ 𝐶1 ∙ 𝐶2 ∙ 𝐶3 
𝑆𝑏 = 10𝑖𝑛 𝑛𝑎 𝑡𝑎𝑏𝑒𝑙𝑎 = 52𝜇𝑚 
𝐶1 (𝑝𝑒𝑠𝑜 𝑒𝑠𝑝𝑒𝑐𝑖𝑓𝑖𝑐𝑜) = 0,8 
𝐶2(𝑃𝑟𝑒𝑠𝑠𝑎𝑜) = 0,62 
𝐶3 (% de sólidos em volume) = 6,5 
𝑆 = 𝑆𝑏52 ∙ 0,8 ∙ 0,62 ∙ 6,5 = 167,64𝜇𝑚 
Taxa de produção de polpa/turno 
66 
Raúl F. Raúl, 2019 
1 𝑡𝑢𝑟𝑛𝑜 = 8ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠 
𝑇𝑎𝑥𝑎 𝑑𝑒 𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢çã𝑜 {
𝑃𝑟𝑒𝑠𝑠ã𝑜
𝐷𝑖â𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜
= 450𝐺𝑃𝑀 
450𝐺𝑃𝑀 = 102,27 𝑚3/ℎ 
102,27
𝑚3
ℎ
× 8ℎ 𝑡𝑢𝑟𝑛𝑜⁄ × 20 𝑐𝑖𝑐𝑙𝑜𝑛𝑒𝑠 = 16363,63
𝑚3
𝑡𝑢𝑟𝑛𝑜
 
Taxa de produção de sólidos por turno 
Taxa de polpa vezes a % sólidos 
16363,63
𝑚3
𝑡𝑢𝑟𝑛𝑜
× 0,3 = 4909,09
𝑚3
𝑡𝑢𝑟𝑛𝑜
 
4909,09
𝑚3
𝑡𝑢𝑟𝑛𝑜
×
3,5𝑡
𝑚3
= 17181,81𝑡/𝑡𝑢𝑟𝑛𝑜 
Consumo de água 
Taxa de polpa vezes a % de água 
16363,63
𝑚3
𝑡𝑢𝑟𝑛𝑜
× 0,7 = 11454,54
𝑚3
𝑡𝑢𝑟𝑛𝑜
 
2. Estime o número mínimo de hidrociclones que você usaria em uma bateria de classificação 
para separar produto grosso do fino a um tamanho de corte na faixa de 80 a 100 micrómetros. 
A percentagem de sólidos (em peso) da alimentação é de 25% e a taxa alimentação de sólidos 
que devera ser processada é de 1200𝑡/ℎ, a massa especifica de minério é de 2800𝑘𝑔/𝑚3e 
considere que os hidrociclones operariam aproximadamente 10psi. 
a) Especifique a potência de cada hidrociclone. 
Dados Primeiro passo: achar a média do diâmetro da partícula. 
𝑑𝑝 = 80 𝑎 100𝜇𝑚 𝑑50 =
80+100
2
= 90𝜇𝑚 
%
𝑆𝑤
𝐶𝑠𝑤
= 25% Segundo passo: selecionar um ciclone que está dentro da média de 
diâmetro da partícula calculada. 
𝑇 = 1200𝑡/ℎ Com média do diâmetro da partícula igual a 90𝜇𝑚 temos 𝐷20 =
60 𝑎 120𝜇𝑚 
67 
Raúl F. Raúl, 2019 
𝜌𝑚𝑖𝑛 = 2800𝑘𝑔/𝑚
3 Terceiro passo: No mesmo ciclone selecionado, 
achar a vazão que depende de diâmetro da partícula e pressão. 
𝑃 = 10𝑝𝑠𝑖 vazão = {
𝑑50 = 90𝜇𝑚
pressão = 10psi
= 600𝐺𝑃𝑀 
𝑃𝑜𝑡 =? 
 
600𝐺𝑃𝑀 =
136,36𝑚3
ℎ
𝐶𝑜𝑟𝑟𝑒𝑠𝑝𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑎 𝑣𝑎𝑧ã𝑜 𝑚á𝑠𝑠𝑖𝑐𝑎 
𝑁ℎ𝑖𝑑 =? 𝜌 =
𝑚
𝑉
= 𝑉 =
𝑚
𝜌
=
1200𝑡/ℎ
2,8𝑡/𝑚3
= 428,6
𝑚3
ℎ
𝐶𝑜𝑟𝑟𝑒𝑠𝑝𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑎 𝑣𝑎𝑧ã𝑜 𝑣𝑜𝑙𝑢𝑚é𝑡𝑟𝑖𝑐𝑎 
Quarto passo: achar o número de hidrociclones. 
𝑁ℎ𝑖𝑑 =
𝑉
𝑄
=
428,6
136,36
= 3,2 para o número de hidrociclones, admite se um número inteiro que para 
este caso pode ser 3 ou 4 hidrociclones. 
𝐷𝑖â𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜 = 20 𝑃 =
𝑃(𝐾𝑃𝑎)∙𝑄(𝑣𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒)
3600
=
68,94∙428,6
3600
= 8,20 𝐾𝑃𝑎 
3. Estime a potência demandada, usando a equação de Bond, na moagem de 250𝑡/ℎ de minério 
considerando que o índice de trabalho de 15,5𝑘𝑤ℎ/𝑡 𝑒 80% da alimentação é passante em 
5𝑚𝑚, e que se deseja atingir uma granulometria de 80% passante em 150 micrómetro. 
Dados 
𝑇 = 250𝑡/ℎ 
𝑊𝑖 = 15,5𝑘𝑤ℎ/𝑡 
𝑃80 = 150𝜇𝑚 
𝐹80 = 5𝑚𝑚 = 5000𝜇𝑚 
Usando a equação de Bond. 
𝐸 = 10 ∙ 𝑊𝑖 (
1
√𝑃80
−
1
√𝐹80
) 
𝐸 = 10 ∙ 15,5 (
1
√150
−
1
√5000
) 
𝐸 = 10,46𝐾𝑊 
68 
Raúl F. Raúl, 2019 
4. Uma célula de flotação mecânica é utilizada para a flotação de silicatos em polpa de calcário 
e apresenta volume total de 42,5𝑚3. O rotor tipo estrela apresenta diâmetro de 990mm e opera 
a N =130rpm. A velocidade de ar medida na entrada do duto de admissão (D =10in) foi de 
5,15 𝑚/𝑠. Determine os números adimensionais de bombeamento do ar, Potência, Reynolds e 
Froude, dados: 𝑔 = 9.81𝑚/𝑠2; 𝜇𝑝𝑜𝑙𝑝𝑎 = 0,0035𝑃𝑎. 𝑠; 𝜌𝑝𝑜𝑙𝑝𝑎 = 1530 𝑘𝑔/
𝑚3, 𝑐𝑜𝑟𝑟𝑒𝑛𝑡𝑒 = 224𝐴; 𝑡𝑒𝑛𝑠ã𝑜 = 332𝑉, 𝑒𝑓𝑖𝑐𝑖ê𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑑𝑜 𝑚𝑜𝑡𝑜𝑟 =
0,77 𝑒 𝑓𝑎𝑡𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑝𝑜𝑡ê𝑛𝑐𝑖𝑎 = 0,9 
Dados 
𝑉𝑡 = 42,5𝑚3 𝑔 = 9.81𝑚/𝑠2 
Rotor tipo estrela com 𝐷 = 990 𝑚𝑚 𝜇𝑝𝑜𝑙𝑝𝑎 = 0,0035𝑃𝑎. 𝑠 
N =130rpm 𝜌𝑝𝑜𝑙𝑝𝑎 = 1530 𝑘𝑔/𝑚
3 
𝐷𝑡𝑢𝑏𝑜 = 10𝑖𝑛 = 0,254𝑚 𝐼 = 224𝐴 
𝑣 = 5,15 𝑚/𝑠 𝑈 = 332𝑉 
ƞ = 77% 𝐹𝑃 = 0,9 
Primeiro passo 
𝐷𝑡𝑢𝑏𝑜 = 10𝑖𝑛 = 0,254𝑚 𝑄𝑔 = 𝐴𝑣 𝐴 =
𝜋𝐷2
4
 
𝑣 = 5,15 𝑚/𝑠 𝑄𝑔 =
𝜋𝐷2
4
𝑣 =
𝜋(0,254)2
4
∙ 5,15 = 0,26𝑚3/𝑠 
Segundo passo 
𝑄𝑔 = 0,26𝑚3/𝑠 𝑁𝑄 =
𝑄𝑔
𝑁𝐷3
=
0,26𝑚3/𝑠
(
130
60
)𝑟𝑝𝑚∙0,993
=0,122 
N=130rpm 
𝐷 = 990𝑚𝑚 = 0,99𝑚 
Terceiro passo 
Para achar o número de potência, primeiro devemos calcular a potência ativa. 
𝑈 = 332𝑉 𝑃 = √3 ∙ 𝑈 ∙ 𝐼 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝜃 ou 𝑃 = √3 ∙ 𝑈 ∙ 𝐼 ∙ ƞ ∙ 𝐹𝑃 
69 
Raúl F. Raúl, 2019 
𝐼 = 224𝐴 𝑃 = √3 ∙ 332 ∙ 224 ∙ 0,77 ∙ 0,9 
𝐹𝑃 = 0,9 𝑝 = 89264,744 𝑊𝑎𝑡𝑡𝑠 
ƞ = 77% 
Com a potência ativa calculada, podemos achar o número de potência. 
𝐷 = 990𝑚𝑚 = 0,99𝑚 𝑁𝑝 =
𝑃
𝑁3∙𝐷5∙𝜌
 
𝜌𝑝𝑜𝑙𝑝𝑎 = 1530
𝑘𝑔
𝑚3
 𝑁𝑝 =
89264,744 𝑊𝑎𝑡𝑡𝑠
(
130
60
)
3
∙0,995∙1530
 
N =130rpm 𝑁𝑝 = 6,03 
Quarto passo 
N =130rpm 𝑅𝑒 =
𝑁∙𝐷2∙𝜌
𝜇
 
𝜌𝑝𝑜𝑙𝑝𝑎 = 1530
𝑘𝑔
𝑚3
 𝑅𝑒 =
(
130
60
)∙0,992∙1530
0,0035
 
𝐷 = 990𝑚𝑚 = 0,99𝑚 𝑅𝑒 = 928294,7143 
𝜇𝑝𝑜𝑙𝑝𝑎 = 0,0035𝑃𝑎. 𝑠 
Quinto passo 
𝑔 = 9.81𝑚/𝑠2 𝐹𝑟 =
𝑁2∙𝐷
𝑔
 
 𝐷 = 990𝑚𝑚 = 0,99𝑚 𝐹𝑟 =
(
130
60
)
2
∙0,99
9,81
= 0,4737 
𝑁 = 130𝑟𝑝𝑚 
5. Estime o diâmetro e altura de um espessador contínuo industrial a partir dos dados de 
sedimentação em proveta abaixo, dados: 𝑄𝐴 = 80𝑚
3/ℎ; 𝐶𝐴 = 313𝑔/𝑙; 𝐶𝑂𝐹 = 141,5𝑔/𝑙; 
𝐶𝑈𝐹 = 784,1𝑔/𝑙; 𝐶𝑚 = 44% e se 𝐶𝐴 = 𝐶𝑂. 
Para a resolução deste exercício, primeiro deve se construir o gráfico de altura (cm) em função 
do tempo (min) a partir dos dados de sedimentação em proveta. 
70 
Raúl F. Raúl, 2019 
Tabela 15: Dados de sedimentação em proveta. 
Altura (cm) Tempo (min) 
40 0 
35 7,73 
30 16,3 
25 22,68 
20 29,13 
15 36,25 
10 44,0 
5 (Zc) 61,27 (tc) 
2 120,0 
1,8 240,0 
Fonte: JAIME. C, 2019. 
 
Figura 21: Representação gráfica dos dados de sedimentação em proveta (Autor, 2019). 
A partir do gráfico temos: 
Zic=12 cm 
Zc=5 cm 
71 
Raúl F. Raúl, 2019 
Tc=61,27 min 
Tu=103 min 
Segundo passo: calcular a área do espessador 
𝜇𝐶 =
𝑍𝑖𝑐−𝑍𝑐
𝜃𝑐
 𝐶𝐶 =
𝐶0∙𝑍0
𝑍𝑖𝑐
 
𝜇𝐶 =
12−5
61,27
= 0,116
𝑐𝑚
𝑚𝑖𝑛
= 0,06 𝑐𝑚/ℎ 𝐶𝐶 =
40∙313
12
= 1043,33 𝑔/𝑙 
𝑆𝑚𝑖𝑛 =
𝑄𝐴𝐶𝐴(
1
𝐶𝐶
−
1
𝐶𝐸
)
𝜇𝐶
=
80∙313(
1
1043,3
−
1
784,1
)
0,06
= 132,23𝑚2 
Diâmetro do espessador 
𝐷 = √
4𝐴
𝜋
= √
4∙132,23
𝜋
= 12,97 𝑚 
Altura do espessador 
𝐻𝑐 =
𝑄𝐴
𝐴∙𝐶𝑚
(𝑡𝑢 − 𝑡𝑐)
1
60
= 𝐻𝑐 =
80
132,23∙0,44
(103 − 61,27)
1
60
= 0,95 𝑚 
𝐻2 = 0,073𝐷 = 0,073 ∙ 12,97 = 0,94 𝑚 
𝐻3 = 0,5 𝑚 𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑝𝑎𝑑𝑟𝑜𝑛𝑖𝑧𝑎𝑑𝑜 
𝐻𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 𝐻𝑐 + 𝐻2 + 𝐻3 
𝐻𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 0,95 = 0,94 + 0,5 = 2,39 𝑚 
𝐻𝑃𝑎𝑟𝑡𝑒 𝑐𝑖𝑙𝑖𝑛𝑑𝑟𝑖𝑐𝑎 = 2,39 − 0,5 = 1,89 𝑚 
Note: Se a altura da parte cilíndrica for superior a 1,5 𝑚, adota se maior área para diminuir a 
altura do espessador. 
6. Estime a potência do motor necessário para girar um moinho de bolas que opera a seco com 
descarga por transborde, medindo 4,1 m de diâmetro (interno) por 6 m de comprimento. O 
moinho opera a uma velocidade de 16 RPM e com 32% de enchimento. 
Dados 
Moinho de bolas 
Opera a seco com descarga por transbordo 
72 
Raúl F. Raúl, 2019 
D = 4.1 m Primeiro passo: achar a %Ncr 
L = 6 m 𝑁𝑐𝑟 =
42,3
√𝐷
=
42,3
√4,1
= 20,89 
N=16 rpm %𝑁𝑐𝑟 =
𝑁
𝑁𝑐𝑟
× 100% 
J = 32% %𝑁𝑐𝑟 =
16𝑟𝑝𝑚
20,89
× 100% = 76,58% 
A seguir vamos para a tabela para acharmos os valores dos parâmetros 𝐾𝑠𝑝 e 𝐾𝑙. 
𝐾𝑠𝑝 {
%𝑁𝑐𝑟 = 76,58%
𝑀𝑜𝑖𝑛ℎ𝑜 𝑑𝑒 𝑏𝑜𝑙𝑎𝑠
= 0,188 
𝐾𝑙 {
𝐽 = 32%
𝑀𝑜𝑖𝑛ℎ𝑜 𝑑𝑒