[Cálculo] Coordenadas Polares

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COORDENADAS POLARES 
 
 Volume de um sólido obtido pela rotação 
• Em torno do eixo 𝒙. 
 
 𝑉𝑥 = 𝜋 ∫ [𝑓(𝑥)]
2𝑑𝑥
𝑏
𝑎
 
 
 
 
• Em torno do eixo 𝒚. 
𝑉𝑦 = 2𝜋∫ 𝑥𝑓(𝑥) 𝑑𝑥
𝑏
𝑎
 
Método dos invólucros cilíndricos 
𝑉𝑦 = 𝜋∫ [𝑔(𝑦)]
2𝑑𝑥
𝑑
𝑐
 Área de uma superfície de revolução 
• Em torno do eixo 𝒙. 
 
𝐴𝑥 = 2𝜋∫ 𝑓(𝑥)√1 + [𝑓
′(𝑥)]2 𝑑𝑥
𝑏
𝑎
 
• Em torno do eixo 𝒚. 
 
𝐴𝑦 = 2𝜋∫ 𝑥√1 + [𝑓
′(𝑥)]2𝑑 𝑑𝑥
𝑏
𝑎
 
 
 Comprimento 
• Gráfico de uma função 
 
𝐶𝑔 = ∫ √1 + [𝑓
′(𝑥)]2 𝑑𝑥
𝑏
𝑎
 
 
• Curva na forma paramétrica 
 
𝐶𝑐 = ∫ √[
𝑑𝑥
𝑑𝑡
]
2
+ [
𝑑𝑦
𝑑𝑡
]
2
 𝑑𝑡
𝑏
𝑎
 
 Coordenadas polares 
 
• Área 
𝑥 = 𝑟 ∙ 𝑐𝑜𝑠 𝜃
𝑦 = 𝑟 ∙ 𝑠𝑒𝑠 𝜃 ⇔
{
 
 
 
 𝑟
2 = 𝑥2 + 𝑦2
𝑐𝑜𝑠𝜃 =
𝑥
√𝑥2+𝑦2
𝑠𝑒𝑠 𝜃 =
𝑦
√𝑥2+𝑦2
 
 
 Á𝑟𝑒𝑎 =
1
2
∫ [𝜌(𝜃)]2 𝑑𝜃
𝛽
𝛼
 
 
• Comprimento de uma curva 
 
 𝐶𝑐 = ∫ √𝜌
2 + [
𝑑𝜌
𝑑𝜃
]
2
 𝑑𝜃
𝛽
𝛼
 
 
 
 
• Centro de massa 
 
Def.: Dado um sistema de “massas pontuais” 𝑚1, 𝑚2,… ,𝑚𝑛 localizadas nos pontos 
(𝑥1, 𝑦1), (𝑥2, 𝑦2),… , (𝑥𝑛 , 𝑦𝑛). O centro de massa do sistema é o ponto (𝑥𝑐 , 𝑦𝑐), no qual, 
 
𝑥𝑐 =
𝑚1𝑥1 +𝑚2𝑥2 + …+𝑚𝑛𝑥𝑛
𝑚1 +𝑚2 + …+𝑚𝑛
=
∑ 𝑚𝑖𝑥𝑖
𝑛
𝑖
∑ 𝑚𝑖
𝑛
𝑖
 𝑦𝑐 =
𝑚1𝑦1 +𝑚2𝑦2 + …+𝑚𝑛𝑦𝑛
𝑚1 +𝑚2 + …+𝑚𝑛
=
∑ 𝑚𝑖𝑦𝑖
𝑛
𝑖
∑ 𝑚𝑖
𝑛
𝑖
 
• Centro de massa do gráfico
𝑥𝑐 = 
∫ 𝑥√1 + [𝑓′(𝑥)]2𝑑 𝑑𝑥
𝑏
𝑎
∫ √1 + [𝑓′(𝑥)]2𝑑 𝑑𝑥
𝑏
𝑎
 𝑦𝑐 =
∫ 𝑓(𝑥)√1 + [𝑓′(𝑥)]2 𝑑𝑥
𝑏
𝑎
∫ 𝑓(𝑥)√1 + [𝑓′(𝑥)]2 𝑑𝑥
𝑏
𝑎
 
 
Obs.: O centro de massa de conjunto do plano não tem obrigação de pertencer a este conjunto.