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Probabilidades
Experiências ou fenómenos em que os resultados não são essencialmente os mesmos que as condições de realização sejam as mesmas , nos quais os resultados dependem do acaso são chamados experimentos aleatórios. A teoria das probabilidades incide o estudo sobre este grupo de fenómenos.
Espaço amostral S de um experimento aleatório A, é o conjunto de todos os resultados possíveis desse experimento.
S= { x1, x2, x3,x4,…..xn} 
Probabilidades
Um subespaço amostral W de S
W= {x1, x2, x3…..,xk} com k< n.
Diz-se que um acontecimento A, (ou evento), ocorreu na realização de uma experiência aleatória, se A é um elemento do subespaço W, isto é um conjunto de resultados favoráveis do espaço amostral S.
Probabilidades (cont.)
Exemplo: Um dado foi lançado com todas as faces numeradas de 1 a 6, e observando o número que aparece na face de cima.
a) Qual será o espaço amostral desse experimento ?
b) Escreva o subespaço de S constituído de todos os números pares.
a) O espaço amostral consiste nos seis números possíveis: S= {1,2,3,4,5,6}
b) O subespaço amostral constituído pelo conjunto dos números pares é:
W={2,4,6)
Probabilidades(cont.)
Exemplo: Uma moeda foi lançada 3 vezes e foi observada a sequência de cara(K) e coroas (C) que apareceram.
a) Qual será o espaço amostral deste experimento?
b) Escreva o subespaço considerando a ocorrência de duas ou mais caras.
a) O espaço amostral consiste em 8 elementos. Para encontrar este número usemos o diagrama em árvore, que nos dará o número das possibilidades lógicas que teremos após 3 lançamentos da moeda.
Probabilidades(cont.)
O espaço amostral será: S= { KKK, KKC,KCK,KCC,CKK, CKC, CCK, CCC}
b) O subespaço procurado é : W={KKK, KKC,KCK,CKK}
Exemplo: Considere o lancamento de uma moeda e de um dado.
Escreva o espaco amostral desta experiencia.
O espaco amostral desta experiencia sera 2x6=12 possibilidades.
S={K1,K2,K3,K4,K5,K6,C1,C2,C3,C4,C5,C6}
b)Escreva o subespaco de S que consiste em sair uma cara e um numero par.
O subespaco procurado e : W= {K2,K4,K6} 
Probabilidades(cont.)
Acontecimentos e tipos de acontecimentos
Acontecimentos certos-sao aqueles que sempre se verificam.
Ex: a)No lancamento de uma moeda, “sair cara ou coroa’’.
b) No lancamento de um dado “sair um numero natural inferior a 7”.
Acontecimentos impossiveis- sao aqueles que nunca se verificam quando se realiza uma ou mais experiencias.
Ex: Sao acontecimentos impossiveis os seguintes:
a) No lancamento de uma moeda, ‘’sair cara e coroa’’.
b) No lancamento de um dado ‘’sair um numero par maior que 6”.
Probabilidades(cont.)
Acontecimentos aleatorios sao aqueles em que a sua verificacao depende do acaso ou sao aqueles em que e impossivel prever o seu resultado.
Ex: Sao acontecimentos aleatorios os seguintes:
a) Tendo-se comprado 3 bilhetes de lotaria entre os 15000 emitidos, ‘’ganhar um premio com os tres bilhetes comprados’’.
b) O primeiro filho duma senhora foi um menino, “obter um menino no segundo parto’’.
Probabilidades(cont.)
Os acontecimentos aleatorios podem ser:
Independentes- se a ocorrencia de um deles, nao depende do outro.
Dependentes- se a ocorrencia de um deles, depende da ocorrencia do outro.
Incompativeis ou mutuamente exclusivos- se a ocorrencia de um deles exclui a ocorrencia do outro.
Elementares- sao aqueles que sao formados por um so resultado (elemento) da experiencia.
Composto- sao aqueles que sao formados por dois ou mais resultados da experiencia.
Probabilidades(cont.)
Ex: Seja U={1,2,3,4,5,6}, o universo amostral associado ao lancamento de um dado. Considere os seguintes subconjuntos de U e indique o tipo de acontecimento associado ao subconjunto.
A={1,3,5) sair uma face ímpar.
B={2,4,6) sair uma face par.
C={3,6} sair uma face múltipla de 3.
D=(4) sair uma face múltipla de 4.
E={1,2,3,4,5,6} sair uma face inferior a sete.
F={} sair uma face 8.
Probabilidade de um acontecimento
A teoria das probabilidades surgiu com a constante necessidade de resolver problemas levantados nos jogos de azar.
Ela estuda as leis de ocorrência de acontecimentos aleatórios, procurando prever como estes acontecimentos vão ocorrer e possivelmente o tipo de resultados.
É uma ferramenta para argumentação nas situações de tomada de decisão
Serve de ponte entre a estatística descritiva e a inferencial
Definição frequencista de probabilidade
Em geral não é possível prever o resultado de uma experiência aleatória qualquer mas podemos estudar quando a experiência se repete muitas vezes.
	No lanca mento	20	30	40	50	60	70	80	90	100
	No vezes -frente	14	12	25	19	30	39	48	42	49
	Freq. relativa	0,7	0,4	0,63	0,38	0,5	0,56	0,6	0,47	0,49
Definição frequencista de probabilidade(cont.)
Pode-se observar que à medida que aumenta o número de lançamentos, as frequências relativas do acontecimento “sair a face frente” estabiliza-se à volta do valor 0,5.
O número à volta do qual se estabiliza a frequência relativa de um acontecimento, quando o número de experiências cresce consideravelmente chama-se probabilidade do acontecimento. Assim 0,5 é a probabilidade de obtermos a face frente quando lançarmos uma moeda não viciada ao ar.
 Probabilidades(cont.)
Para calcular a probabilidade de um acontecimento, pela definição anterior, teriamos que repetir a experiência em um grande número de vezes.Por esse procedimento nunca se obteria um valor exacto. Para evitar este inconveniente, Laplace enunciou a seguinte definição de probabilidade.
Definição clássica de probabilidade
Lei de Laplace
A probabilidade de um acontecimento A é igual ao quociente entre o número de casos favoráveis ao acontecimento e o número de casos possíveis.
P(A)= número de casos favoráveis ao acont A/número de casos possíveis
Definição clássica de probabilidade
Ex: De uma caixa contend 3 bolas vermelhas, 2 brancas e 5 azuis, retira-se uma bola da caixa. Qual é a probabilidade de sair uma bola:
a)Vermelha;
b)Branca;
c)Azul.
Resolução: m 1 (v)=3; m 2(b)=2; m 3(a) =5 n=10
a) P(V)= m 1/n=3/10=0,3
b)P(B)= m 2 /n= 2/10=0,2
c)P(A) = m 3 /n= 5/10=0,5
Probabilidades(cont.)
K acontecimentos m1 , m2,…..m4, formam um grupo completo, quando a soma das suas probabilidades é igual a unidade.Logo os acontecimentos V, B e A formam um grupo completo pois 0.3+0.2+0.5=1
Ex:No lançamento de um dado, calcular as probabilidades de ocorrência dos seguintes acontecimentos.
a)Sair um número par.
b)Sair um número ímpar.
Probabilidades(cont.)
S= {1,2,3,4,5,6} n= 6
a) Par: w1 = {2,4,6}; m 1= 3 P(p)= m 1/n=3/6=0.5
b)Ímpar: w 2 = {1,3,5}; m 2= 3 P(imp) = m2/n=3/6=0,5
K acontecimentos m 1, m 2,…..m4, são igualmente possíveis , se a probabilidade de ocorrência de cada um dos k acontecimentos que formam um grupo completo for a mesma. Portanto os acontecimentos sair par e sair ímpar no lançamento do dado são acontecimentos igualmente possíveis. P (p)= P(imp)=0,5
Probabilidades(cont.)
Propriedades das probabilidades
A probabilidade de qualquer acontecimento aleatório é maior ou igual a zero e menor ou igual a unidade. 0≤ P(A) ≤ 1
A probabilidade de um acontecimento certo é igual a unidade 
 P (S) =1
A probabilidade de um acontecimento impossivel é zero. P(A)=0
A probabilidade de um acontecimento contrário A é : P( )= 1-P(A) 
Se A e B são acontecimentos complementares, então P(A)+P(B) =1
Probabilidades(cont.)
Ex: Em uma urna há 30 bolas: 10 vermelhas, 5 azuis e 15 brancas. Tirando uma bola deste conjunto ao acaso, achar a probabilidade de que:
a)A bola seja branca;
b)a bola seja vermelha;
c)A bola não seja branca.
Resolução: m 1(v)= 10; m 2(a)=5; m 3(b)= 15 n=30
a)P(B) = m 1/n= 15/30=0,5 c) P( ) = 1- P(B) = 1-0.5=0,5
b) P(V)= m2/n= 10/30=0,33
Probabilidades(cont)
Operações com probabilidades
Teorema de soma
A probabilidade da soma de dois acontecimentos A e B, é igual à soma das probabilidades destes acontecimentos.
a) P(AUB) = P(A) + P(B); A e B são acontecimentos incompatíveis
b) P(AUB) = P(A) + P(B) – P(AΩ B); A e B são acontecimentos compatíveis.
Ex: De 100 estudantes, 30 estão a estudar matemática, 20estão a estudar música e 10 estudam tanto matemática como música. Se um 
Probabilidades (cont.)
Estudante é seleccionado ao acaso, achar a probabilidade p de que ele esteja a estudar matemática ou música.
Resolução: n= 100; Mat= 30 Mus= 20 e Mat Ω Mus=10
P(mat) =30/100=3/10;
P(mus)=20/100=2/10
P(mat Ω mus) = 10/100=1/10;
P(mat U mus) = P(mat)+P(mus)-P(mat Ω mus) = 3/10+2/10-1/10=2/5
Probabilidades(cont.)
Teorema de produto
A probabilidade de ocorrência simultânea de dois acontecimento A e B, é igual ao produto das probabilidades destes acontecimentos.
a) P(A Ω B) = P(A) * P(B), acontecimentos independentes.
b) P(A Ω B) = P (A)* P(B\A), acontecimentos dependentes.
Probabilidades(cont.)
Probabilidade condicional
Chama-se probabilidade condicional de um acontecimento B, a probabilidade de ocorrência deste acontecimento nas condições em que já ocorreu o acontecimento A, e escreve-se P(B\A).
P(B\A) = P (AΩ B)/P(A) , os acontecimentos A e B são dependents.
Probabilidades(cont.)
Numa certa cidade 40% das pessoas têm cabelos castanhos, 25% têm olhos castanhos e 15% têm tanto cabelos como olhos castanhos. Uma pessoa é seleccionada ao acaso na cidade.
a) Se ela tem cabelos castanhos, qual é a probabilidade de que também tenha olhos castanhos.
b) Se ela tem olhos castanhos, qual é a probabilidade de que ela não tenha cabelos castanhos.
c) Qual é a probabilidade de que a pessoa escolhida não tenha nem cabelos nem olhos castanhos
Probabilidades(cont.)
Resolução: P(CC) = 0.40; P(OC)= 0.25; P(CC Ω OC) = 0,15
a) P(OC\CC) = P(OC Ω CC)/P(CC) = 0,15/0,40=3/8
b) P( \OC) = 1 – P(CC\OC) = 1- [P(CC Ω OC)/P(OC)] = 1- (0.15/0.25)=2/5
c)P( U )= 1-P(CC U OC)= 1- [P(CC)+ P(OC)-P(OC Ω CC]
= 1-(0,40+0,25-0,15)= 0,5
A
A
B
CC
CC
OC
OC