O USO DO GEOGEBRA NO ENSINO DE FUNÇÃO AFIM

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Versão On-line ISBN 978-85-8015-076-6
Cadernos PDE
OS DESAFIOS DA ESCOLA PÚBLICA PARANAENSE
NA PERSPECTIVA DO PROFESSOR PDE
Artigos
 
O USO DO GEOGEBRA NA FUNÇÃO AFIM 
 
Maria Isabel Sanches1 
Anália Maria Dias de Goes2 
Resumo 
Diante da falta de interesse dos alunos em aprender matemática e pela 
dificuldade que apresentam em tal disciplina, este trabalho vem propor aos 
professores o uso das tecnologias como ferramentas para a educação. É 
importante contemplar uma formação nos dois sentidos, ou seja, a matemática 
como ferramenta para entender a tecnologia e a tecnologia como ferramenta 
para entender a matemática. Assim, estamos procurando uma maneira de 
tornar as aulas de matemática menos estressantes e mais interessantes para 
os alunos. Como a tecnologia está cada vez mais presente na vida deles, 
porque não usá-la a favor da educação? Trabalhamos com um programa 
educativo, o Software Geogebra, com um breve tutorial contendo orientações 
básicas para que possam conhecer esse instrumento de aprendizagem e, 
assim, resolver e verificar de maneira dinâmica o comportamento da Função 
Afim. 
 
 
 
Palavras-chave: Tecnologia, Software Geogebra, Função Afim. 
 
 
Introdução 
 
Diante da falta de interesse dos alunos em aprender matemática e pela 
dificuldade que apresentam em tal disciplina, esta pesquisa vem propor aos 
professores o uso das tecnologias como ferramentas a favor da educação. 
Segundo as Orientações Curriculares para o Ensino Médio, não se 
pode negar o impacto provocado pela tecnologia da informação e comunicação 
 
1 Professora de matemática no Colégio Estadual Carolina Lupion – E. M. – PDE 2013, 
isabelsanches@seed.pr.gov.br 
 
2 Professora orientadora : analiamariadiasgoes@uenp.edu.br – UENP – CCHE/CJ 
 
mailto:isabelsanches@seed.pr.gov.br
mailto:analiamariadiasgoes@uenp.edu.br
na configuração da sociedade atual. Por um lado, tem-se a inserção dessa 
tecnologia no dia a dia da sociedade, a exigir indivíduos com capacitação para 
bem usá-la; por outro, tem-se nessa tecnologia um recurso que pode subsidiar 
o processo de aprendizagem da matemática. É importante contemplar uma 
formação escolar nesses dois sentidos, ou seja, a matemática como ferramenta 
para entender a tecnologia e a tecnologia como ferramenta para entender a 
matemática. 
Os conteúdos de Matemática parecem estar cada vez mais distantes 
do cotidiano do aluno, muitas vezes, eles questionam: “Para que serve este 
conteúdo?” “Em que vou usar na minha vida?” Isso faz com que aumente o 
desinteresse pela disciplina uma vez que o uso das tecnologias é mais atrativo 
para eles, o professor pode usá-las como recurso didático na intenção de 
aumentar o interesse dos alunos para a disciplina de matemática. 
A matemática não é a única disciplina em que os jovens se deparam 
com dificuldades, mas é a disciplina em que as dificuldades são maiores. Essa 
disciplina se consolida como fundamental componente da cultura geral do 
cidadão, que pode ser observada na linguagem corrente, na imprensa, nas leis, 
nas propagandas, nos jogos, nas brincadeiras e muitas outras situações do 
cotidiano. Como então aproximar os estudantes dessa ciência? 
Conforme diz as Diretrizes Curriculares da Educação Básica, o uso das 
mídias tem suscitado novas questões, sejam elas em relação ao currículo, à 
experimentação matemática, às possibilidades do surgimento de novos 
conceitos e de novas teorias matemáticas (BORBA, 1999). Atividades com 
lápis e papel ou quadro e giz, para construir gráficos, por exemplo, se forem 
feitas com o uso dos computadores, permitem ao estudante ampliar suas 
possibilidades de observação e investigação, porque algumas etapas formais 
do processo construtivo são sintetizadas (D”AMBRÓSIO & BARROS, 1988). 
Esse estudo vem auxiliar os professores na busca de novas 
possibilidades de mudança, tornando o ensino da matemática o mais 
interessante possível e, assim, deixar a mesma menos estressante para os 
jovens e adolescentes que estão sempre conectados a todo e qualquer tipo de 
tecnologia. Poderão os professores aproveitar essa tecnologia para trazer os 
alunos a um mundo educacional mais dinâmico, usando tudo que está 
disponível em softwares, mídias visuais, portátil, internet, entre outros. 
 Várias instituições brasileiras e estrangeiras medem a 
qualidade do Ensino Médio no Brasil, mas qualquer que seja a instituição ou o 
método, os resultados indicam que o jovem brasileiro o termina sem saber 
Matemática o suficiente para o dia a dia, quanto mais para a faculdade. Isso 
quando conclui o Ensino Médio. 
Segundo os organizadores do Pisa (um programa internacional de 
avaliação), por exemplo, estudantes brasileiros com 15 anos de idade ficaram 
em 47º lugar em 2009, comparados com estudantes de outros 65 países. 
Numa lista publicada pela Pearson em dezembro de 2012, o Brasil ficou em 
39º lugar, à frente apenas do último colocado, a Indonésia. 
Alguns alunos tem aversão à Matemática, não se interessam pela 
disciplina, uma vez que muitos não conseguem aprender, do modo como lhes 
são ensinado. 
Diante do baixo rendimento e da falta de interesse dos alunos, o que 
teremos que fazer para reverter tal situação? 
Com a tecnologia cada vez mais presente na vida do aluno, teremos 
algum benefício se a utilizarmos para aproximá-lo da Matemática? 
Utilizando alguns softwares livres, ficará mais fácil e prazeroso para os 
alunos de Ensino Médio, do 1º ano começarem a se interessarem pela 
Matemática e aprenderem função afim? 
O objetivo desse trabalho é utilizar-se das tecnologias a favor do 
aprendizado dos alunos, para que adquiram gosto pela Matemática de forma 
interessante e significativa. Levando o aluno a se interessar pela disciplina, 
num ambiente diferenciado como o laboratório de informática. Assim 
compreendendo que as funções estão presentes nas diversas áreas do 
conhecimento. Para tanto, apresentaremos o software Geogebra com a 
finalidade de auxiliar na construção e análise de gráficos da Função Afim. 
 
 
Fundamentação Teórica 
 
Muitos professores já usam as tecnologias da informação e da 
comunicação (TICs) existentes na educação, para deixar suas aulas mais 
interessantes para seus alunos, porém muitos ainda encontram dificuldades 
para lidar com essas tecnologias e continuam com o tradicional. 
Sempre que o professor encontrar possibilidades de trabalhar alguns 
conteúdos usando tecnologias, com certeza também encontrará alunos mais 
atentos e participativos, uma vez que estes vivem conectados a todo instante, 
tornando assim o aprendizado mais significativo. 
Para Borba e Penteado (2005) a relação entre Informática e Educação 
Matemática deve ser pensada como transformação da própria prática 
educativa. Destacam que atividades matemáticas usando os recursos 
tecnológicos enfatiza a experimentação matemática. 
De acordo com as Diretrizes Curriculares de Matemática para a 
Educação Básica do Estado do Paraná, em Mídias Tecnológicas (2008, p.66), 
a internet é um recurso que favorece a formação de comunidades virtuais que, 
relacionadas entre si, promovem trocas e ganhos de aprendizagem (TAJRA, 
2002). Muitas delas, no campo da matemática, envolvem professores, alunos e 
outros interessados na área. 
No Paraná a SEED disponibilizou o site3 da disciplina de matemática 
como uso de recurso tecnológico, tendo como foco principal formar e informar 
professores da Rede Estadual e implementar as tecnologias na prática 
pedagógica. 
As Diretrizes mencionadas ressaltam ainda o uso de softwares, 
televisão, calculadora, internet, e outros, tem favorecido as experimentações 
matemáticas e a resolução de problemas. 
São vários os softwares matemáticos que o professor pode usar em 
suas aulas, porém escolhemos para este trabalho o software Geogebra, por ser 
gratuito, versão em português, de fácil instalaçãoe por ser o mais adequado ao 
conteúdo que será trabalhado. 
O Geogebra teve início em 2001, é um software de Matemática 
dinâmica que reúne geometria, álgebra e cálculo, foi idealizado e criado por 
Markus Hohenwarter na Universidade de Salzburg, Áustria. 
Ferreira (2010, p.03) salienta tratar-se de um software de fácil 
aquisição, por ser livre e gratuito para baixar em qualquer microcomputador, 
 
3 Disponível em: http://matemática.seed.pr.gov.br do Portal Dia-a-Dia Educação 
http://www.diaadiaeducacao.pr.gov.br 
http://matemática.seed.pr.gov.br/
http://www.diaadiaeducacao.pr.gov.br/
desde que tenha instalação da linguagem Java, e por se encontrar instalado 
nos laboratórios de informática das escolas do estado do Paraná. 
Segundo (NÓBRIGA, et al, 2012) “o Geogebra é atualmente um dos 
softwares educativos de matemática mais utilizados no mundo”. 
É um programa dinâmico de geometria que permite construir pontos, 
retas, segmentos de retas, vetores, arcos, círculos, mediatriz, bissetriz, traçar 
paralelas, perpendiculares, inserir imagens, inserir textos, construir gráficos e 
muito mais. Essas construções virtuais no Geogebra não permanecem 
estáticas, elas podem ser movimentadas. 
Rêgo (2000, p.76), observa: 
As principais vantagens dos recursos tecnológicos, em particular o 
uso de computadores, para o desenvolvimento do conceito de 
funções seriam, além do impacto positivo, sua eficiência como 
ferramenta de manipulação simbólica, no traçado de gráficos e como 
instrumento facilitador nas tarefas de resolução de problemas. 
Para vários pesquisadores, é unânime a importância do professor na 
condição de mediador entre os alunos e o conhecimento. 
A presença das tecnologias, principalmente do computador, requer 
das instituições de ensino e do professor, novas posturas frente aos 
processos de ensino e aprendizagem. Acreditamos que a educação 
necessita de um professor mediador do processo de interação 
tecnologia/aprendizagem, que desafie constantemente seus 
estudantes com atividades inovadoras, tanto presenciais como a 
distância. (DULLIUS, et al, 2010, p.145). 
Os professores devem estar preparados, saber escolher e usar 
softwares com reflexão, para preparar suas aulas, e que saibam que seu papel 
mudou, não é mais o detentor do saber e sim o de mediador entre tecnologia e 
aprendizagem. É importante ressaltar que sem o professor, o software sozinho 
não ensina ninguém, o professor sempre será o mediador na criação de 
situações de utilização desses softwares que levem os alunos à aprendizagem. 
Como os adolescentes têm intimidade com as tecnologias, tanto em 
seu lazer, quanto no seu dia a dia, com certeza terão mais facilidade em 
trabalhar com computadores como um instrumento motivador para as aulas de 
Matemática. 
O software Geogebra possui cinco áreas de trabalho, que 
apresentamos a seguir: 
 
a) Menu principal; 
b) Barra de ferramentas; 
c) Janela de álgebra; 
d) Janela de visualização; 
e) Campo de entrada. 
Como podemos verificar a figura abaixo mostra a tela principal do 
Geogebra: 
 
 FIGURA 01: Tela do GeoGebra mostrando as áreas de trabalho. 
 Fonte: Software GeoGebra 2010. 
 No universo da Matemática há vários conteúdos de difícil 
compreensão pelos alunos, e um deles é a função. O conceito de função é 
essencial ao estudo de Matemática, pois está presente no cotidiano de todos. 
Quando se trata de duas grandezas, uma dependendo da outra, por 
exemplo: na compra de alimentos (quanto mais gramas, mais se paga), ao 
abastecer o carro (o consumo de combustível, depende da quilometragem 
percorrida), o pagamento de uma conta de água depende do consumo, entre 
tantos outros exemplos, visto que os alunos têm dificuldade em entender esse 
conteúdo, principalmente na construção e análise de gráficos, resolvemos 
procurar uma maneira diferente para trabalhar. 
 
 
Metodologia 
 
Esta proposta de trabalho foi realizada no primeiro ano A, matutino do 
Colégio Estadual Carolina Lupion – Ensino Médio no município de Carlópolis – 
Paraná. 
No primeiro dia de aula foi explicado para os alunos que fariam parte 
de um trabalho do PDE, então foi elaborado umas questões sobre o 
conhecimento prévio dos educando em relação à função afim e à softwares 
matemáticos. 
 
ALUNO:_____________________________1º A 
ATIVIDADES SOBRE CONHECIMENTOS PRÉVIOS 
1) Você conhece algum software matemático? Qual? 
 
2) O que você sabe sobre o Geogebra? 
 
3) Marque os pares ordenados em um plano cartesiano: 
A (1, 2) 
B ( -2, 4) 
C ( -1, -2) 
D (0, 3) 
E (2, 0) 
 
4) Construa o gráfico da função y= x + 1. 
 
Foram 35 alunos que fizeram essa atividade, onde: 
 
 Questão 1: 3 alunos deixaram em branco; 5 alunos disseram 
conhecer algum software matemático e 27 alunos não conheciam nenhum. 
 Questão 2: 1 aluno disse o que achava que era; 4 alunos 
deixaram em branco e 30 alunos dissera que não sabiam. 
 Questão 3: 3 alunos acertaram; 13 alunos erraram e 19 deixaram 
em branco. 
 Questão 4: 27 alunos deixaram em branco e 8 alunos fizeram 
errado. 
Após as atividades sobre o conhecimento prévio dos alunos, foi 
apresentado o projeto de intervenção pedagógica na escola, através do data 
show (slides). Com o decorrer do bimestre foi trabalhado de forma tradicional 
os conteúdos: conceitos de plano cartesiano, função afim e resolvido alguns 
exercícios com os alunos em sala de aula, usando o método tradicional, 
quadro, giz, caderno e lápis. 
 Através do data show foi apresentado a eles o software Geogebra, tela 
principal, barra de ferramentas, janela de álgebra, janela de gráficos e o campo 
de entrada de comando. Numa aula seguinte todos foram ao laboratório de 
informática para que pudessem ter contato direto com o programa e assim o 
conhecimento básico sobre o Geogebra, manipulando todas as suas áreas. 
Na barra de ferramentas, passar pelas caixas ali existentes, clicar em 
cada uma para que pudessem conhecer as funções que contém. 
 
 
Fonte: Software Geogebra 2013. 
 
Após tomarem conhecimentos de cada área, seguiram uma sequência 
de atividades, para se familiarizarem melhor com o software Geogebra. 
Numa outra aula foram novamente ao laboratório de informática, cada 
alunos recebeu uma apostila com o passo a passo sobre algumas atividades 
com o Geogebra. Usaram os computadores do Paraná Digital que já possuem 
o programa instalado, e os outros computadores do Proinfo que não tinham o 
software, então tiveram que usar o Geogebra online, encontrando dificuldades 
pois a internet estava lenta e travando todo momento, mas, apesar de algumas 
dificuldades a aula foi satisfatória. 
 
 
 
 
 
 
Atividades de ambientação com o Geogebra 
 
 
1-Na tela do Geogebra, clique em eixo, para exibir e esconder eixo, na 
malha faça o mesmo. 
 
 
2- Na caixa ponto, clique novo ponto e marque na malha quantos 
pontos quiser, verifique que na janela de álgebra aparecem os pares 
ordenados. 
 
 
3- Clique na seta no canto superior e desfaça os pontos. 
 
4- Marque dois pontos após clicar em novo ponto que fica na segunda 
caixa, na terceira caixa clique em reta definida por dois pontos e trace, clicando 
no ponto A e B, clique com botão direito do mouse em cada um desses pontos 
e renomeie. 
 
5- Agora vão até a quinta caixa, polígono, faça um triângulo, com o 
botão direito do mouse clique em propriedades, cor e mude para a cor 
preferida, assim você altera a cor da linha e em transparência preenche o 
polígono, ainda nessa mesma caixa vá para polígono regular, clique 
em dois pontos na malha e aparecerá uma caixa de diálogo, digitando o 
número de vértices você terá o polígono desejado, então faça um polígono 
regular de 4 lados, 5 lados, 8 lados, com o botão direito do mouse, 
propriedades, cor, altere a cor de cada um. 
 
6- Clique na sexta caixa, em círculo e umde seus pontos, e construa-o 
clicando no ponto e arrastando, formando assim o círculo, com o botão direito 
do mouse, propriedades, você poderá explorar estilo, preenchimento, 
tracejado. 
 
7- Vá para a primeira caixa e clique em mover, mova os polígonos que 
construiu, clicando e movimentando os pontos azuis. 
 
8- Em arquivo novo, você esconde eixo e malha, vai para sexta caixa e 
faz um círculo com centro e raio, aparecerá uma nova caixa e você digitará a 
medida do raio. 
 
9- Faça um polígono regular de quantos lados quiser, vai até a oitava 
caixa, clique em distância, comprimento ou perímetro, em seguida 
clique em cima dos lados, assim você terá a medida lateral do polígono e 
também o perímetro, se clicar em área e depois dentro do polígono você obterá 
a medida da área. 
 
10- Construa um hexágono (polígono de seis lados), clicando na quinta 
caixa em polígono regular, agora vá até a oitava caixa, clique em ângulo 
e em seguida nos lados anti-horário, assim você obterá a medida do 
ângulo externo, se fizer o contrário, sentido horário terá a medida do ângulo 
interno. 
11- Função afim: f(x) = a x + b 
a) Insira dois seletores (coeficientes), caixa onze, controle 
deslizante , a e b; 
b) No campo de entrada , defina a função a*x + 
b (enter); 
c) Será construído o gráfico da função, movimente os 
seletores e observe o que acontece com o gráfico; 
 Analise as principais modificações ocorridas em função da 
modificação dos valores e responda: 
a) Quando é que a reta ficará paralela ao eixo x? 
 
 
 
 
 
b) O que indica o coeficiente b? E o coeficiente a? 
 
 
 
 
 
 
 
RESP: a) quando coeficiente a = 0. 
RESP: b) Coeficiente b, indica onde a 
reta corta o eixo y. 
Movendo o coeficiente a, alteramos 
a raiz, que é onde a reta intercepta o 
eixo x; 
 
c) Insira um texto (caixa 10) escreva se a função é 
crescente (a > 0), decrescente (a < 0), ok. 
 
 12- Arquivo, novo , na caixa entrada , digitar 
f(x)=2*x+1 e enter, surgirá o gráfico na área de trabalho e a função na janela de 
álgebra, mude a cor da reta ( botão direito do mouse, propriedades, escolhe a 
cor e enter). 
13- Arquivo, novo, ative eixo e malha para facilitar a localização dos 
pontos e marque os pontos: A (2, 3); B (-2, 4); C (-1, -3); D (3, -2);E (0, 3); F ( 0, 
-2); G (2, 0); H (-3, 0); I (0, 0). 
Observe as coordenadas dos pontos marcados e responda: 
 
 Qual o valor de x no ponto B? -2 
 Em que quadrante está o ponto D? 4º quadrante 
 Qual o ponto está na origem? O ponto I 
 Que pontos pertencem ao eixo das abscissas (x)? H e G 
 Que pontos pertencem ao eixo das ordenadas (y)? E e F 
 Qual o valor de y no ponto C? 3 
 Qual ponto está no 3º quadrante? O ponto C 
 
 
Promover uma discussão: (Para refletir) 
 
 Par ordenado (x, y), x é chamada de abscissa e y de ordenada; 
 As coordenadas são os pares ordenados; 
 Sistema ortogonal (eixo x perpendicular ao eixo y, dando origem 
aos quadrantes); 
 Mostrar a origem, que é o ponto de encontro dos eixos x e y (0,0); 
 Pontos pertencentes a um dos eixos, quando uma das 
coordenadas for nula (zero); 
 
14- Fazer o gráfico das seguintes funções do 1º grau ou função afim: 
a) f(x) = 2x +2 
Insira no campo entrada a função f(x) = 2*x+2; Observe o gráfico e 
responda: 
 Em que ponto a reta corta o eixo y? 
 A função é crescente ou decrescente? 
 Qual é a raiz ou zero da função? 
b) f(x) = -3x + 6 
 
No campo de entrada digite a função f(x) = -3*x+6; Observe o gráfico e 
responda: 
 Em que ponto a reta corta o eixo y? 
 A função é crescente ou decrescente? 
 Qual é a raiz ou zero da função? 
 
 
Conclusão Final 
 
No primeiro dia de aula no laboratório de informática foi um pouco 
tenso, alguns alunos não tinham prática com computadores e todos não tinham 
conhecimento sobre o software Geogebra. Receberam uma pequena apostila 
impressa contendo as atividades de familiarização com o programa. As 
atividades no laboratório de informática foram realizadas no decorrer das aulas 
seguintes, foram bem proveitosas, com alunos mais interessados, 
concentrados, aprenderam a utilizar o software Geogebra e muitos baixaram 
em seus computadores pessoais, em casa. Mas ainda observou-se alunos com 
dificuldades com o programa, necessitando assim de um acompanhamento 
maior do professor. 
Analisando o comportamento dos alunos, quanto ao interesse nas 
aulas do laboratório, e com depoimentos posteriores, serviram de indicativos de 
que as mídias tecnológicas fazem efeito positivo na aprendizagem dos 
mesmos. 
As TICs fazem parte da vida dos educandos diariamente, então 
usando-a a favor da educação, será uma forma de aproximar alunos e 
professores, além de ser útil na exploração de vários conteúdos, de forma 
interativa tornando as aulas mais atraente, participativa e eficiente. 
Os professores devem estar sempre atentos e se aperfeiçoando 
sempre em relação as tecnologias, pois o grande desafio para o professor, nos 
dias atuais, além de ter o conhecimento em sua área específica, é o de 
despertar no educando o interesse pelos estudos, o querer aprender, despertar 
a curiosidade e a criatividade de cada um. 
A tecnologia por si só, não irá aproximar o educando da matemática, 
mas poderá ajudá-lo a entender melhor e dar significados ao aprendizado. É 
uma tentativa para melhorar, sendo uma facilitadora da aprendizagem. 
Encontrarão dificuldades como: sala de aula numerosa, equipamentos 
com problemas, mas vale a pena, pois estarão investindo em novos métodos, 
tornando a aprendizagem mais significativa, com certeza teremos educandos 
com mais conhecimentos tecnológicos do que muitos professores, e isso 
poderá auxiliá-los nas atividades com outros colegas. 
Integrar o aluno a qualquer realidade de ensino fora do tradicional, 
papel e caneta, exige muito empenho e dedicação, assim como nivelar os 
alunos com maiores conhecimentos em informática com os que têm pouca 
habilidade com as TICs. 
Conforme observado a maioria dos alunos conseguiram realizar as 
atividades com sucesso explorando o software Geogebra com facilidade e 
resolvendo todas as atividades propostas de maneira prazerosa e foram 
capazes de compreender o conteúdo trabalhado. 
Foi muito importante a participação dos professores no grupo de 
trabalho em rede (GTR), no fórum de discussões enviando sugestões e 
trocando ideias, onde muitos relataram as mesmas dificuldades, com alunos 
indisciplinados e desinteressados, mas que alguns já utilizam das tecnologias 
em suas aulas conseguindo êxito em seu trabalho, isso mostra a preocupação 
constante dos professores em inserir as mídias tecnológicas em suas aulas. 
Esperamos que com este relato possamos encorajá-los cada vez mais. 
 
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