MA11 - Exercícios Resolvidos - 43 52

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A Matemática do Ensino Médio Diego Oliveira - Vitória da Conquista / BA
12. Seguindo as ideias de E.W., construa uma régua para medir números de sapatos.
Solução
A cargo do leitor.
13. Estuda-se a implementação da chamada fórmula 95. Por essa fórmula os trabalhadores
teriam direito à aposentadoria quando a soma de suas idades e tempo de serviço chegasse a 95.
Adotando essa fórmula, quem começasse a trabalhar com 25 anos, com que idade se aposentaria?
Solução
A equação é a seguinte:
Idade + Tempo de serviço = 95.
No entanto para cada ano de serviço é somado um ano a idade atual, portanto:
Idade = Idade atual + Tempo de serviço.
Portanto:
Idade atual + 2 Tempo de serviço = 95·
se a idade atual do individuo é de 25 anos então:
Tempo de serviço = 35.
14. Em uma escola há duas provas mensais, a primeira com peso 2 e a segunda com peso 3.
Se o aluno não alcançar média 7 nessas provas, fará prova final. Sua média final será então a
média entre a nota da prova final, com peso 2 e a media das provas mensais, com peso 3. João
obteve 4 e 6 mas provas mensais. Se a media final para aprovação é 5, quanto ele precisa obter
na prova final para ser aprovado?
Solução
A média antes da prova é:
4(2) + 6(3)
5
= 5 2,
Assim a nota que ele precisa tirar é:
5.2(3) + 2n
5
≥ 5
n ≥ 47
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15. Arnaldo da a Beatriz tantos reais quanto Beatriz possui e da a Carlos tantos reais quanto
Carlos possui. Em seguida, Beatriz dá a Arnaldo e a Carlos tantos reais quanto cada um possui.
Finalmente, Carlos faz o mesmo. Terminam todos com 16,00 R$ cada. Quanto cada um possúıa
no inicio?
Solução
Suponha que de inicio Bia tenha x reais, Carlos y reais e Arnaldo z reais.
Arnaldo da a Beatriz tantos reais quanto Beatriz possui e da a Carlos tantos reais quanto
Carlos p ossui.
Bia = 2x
Carlos = 2y
Arnaldo = )z − (x+ y
Em seguida, Beatriz dá a Arnaldo e a Carlos tantos reais quanto cada um possui.
Bia = 3x− y − z
Carlos = 4y
Arnaldo = 2z − 2x− 2y
Finalmente, Carlos faz o mesmo.
Bia = (3x− y − z) + (3x− y − z) = 6x− 2y − 2z
Carlos = 4y − [(3 2 2 ( 3x− y − z) + (2z − x− y)] = 4y − x− y + z) = 7y − x− z
Arnaldo = (2z − 2 2 2x− y) + (2z − 2x− y) = 4z − 4x− 4y
Terminam todos com 16,00 R$ cada.
Bia = 6x− 2 2y − z = 16
Carlos = 7y − x− z = 16
Arnaldo = 4z − 4x− 4y = 16
Resolvendo o sistema de equações chega-se à: x = 14, = 8 e = 26.y z
Assim Bia tinha 14 reais, Carlos possúıa 8 reais e Arnaldo 26 reais.
16. Um carro sai de A para B e outro de B para A, simultaneamente, em linha reta, com
velocidade constante e se cruzam em um ponto situado a 720m do ponto de partida mais próximo.
Completada a viagem, cada um deles para por 10 min e regressa, com a mesma velocidade de ida.
Na volta, cruzam-se em um ponto situado a 40m do outro ponto de partida. Qual a distância de
A até B.
Solução :3
Seja va a velocidade do carro que sai de A e a velocidade do carro que sai de B então,vb
suponha que após um tempo de viagem eles se encontram a 720m de A.t
3 Solução retirada da página da UFPR. Dispońıvel em: http://www.mat.ufpr.br/ensinomedio/paginas/solucao.html
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Nesse caso podemos dizer que = 720 e, chamando de a distância entre A e B, temosvat d
vbt = d− 720.
Fazendo a razão entre as igualdades:
vat
vbt
=
720
d− 720
va
vb
=
720
d− 720
Seja t0 o tempo decorrido desde o ińıcio do percurso até o segundo encontro dos carros.
Levando em conta os 10 minutos em que cada carro esteve parado, temos:
va(t
0 − 10) = d+ 400
e
vb(t
0 − 10) = 2d− 400
Dividindo membro a membro estas duas igualdades resulta
va
vb
=
d+ 400
2d− 400 .
Comparando, obtemos
720
d− 720 =
d+ 400
2d− 400 . Segue-se imediatamente que d = 1760.
17. Em uma ferrovia, as estações A e B distam entre si 3 km e a cada 3 min parte um trem
de cada uma delas em direção à outra. Um pedestre parte de A para B, no exato momento em
que um trem parte de A para B e outro chega a A vindo de B. Ele chega a B no exato momento
em que um trem parte de B para A e outro trem chega a B vindo de A. Em seu caminho, o
pedestre encontrou 17 trens que iam no mesmo sentido que ele e com 23 trens que iam no sentido
oposto ao seu, áı inclúıdos os 4 trens já citados anteriormente. As velocidades dos trens são
iguais. Calcule as velocidades dos trens e do pedestre.
Solução4
Seja t minutos o tempo gasto pelo pedestre para ir de A a B. Até chegar a B, ele foi ultra-
passado por 16 trens (contando com o ultimo, que chegou junto com ele). Este ultimo trem saiu
de A 16 3 = 48 minutos apos o pedestre, logo levou 48 minutos para ir de A a B. Seja a× t− v
velocidade do pedestre e w a dos trens. Então w(t− 48) = v t = 3 .k m
Por outro lado, o primeiro trem que cruzou com o pedestre (na direção contrária) saiu de
B 22 × 3 = 66 minutos antes do trem que estava saindo de B no momento em que chegava o
pedestre. Logo, o tempo que aquele primeiro trem gastou para ir de B até A foi 66− t minutos.
(Saiu há 66 minutos mas já chegou há t minutos.) Então w(66 − t) = v t = 3km.
Assim, t − 48 = 66 = 57 minutos e 48 = 9 minutos. Como 48) = 3 ,− t, donde t t − w(t − k
segue-se que w = 1K m/3min = 20km/h. A velocidade dos trens é, portanto, 20km por hora. A
velo cidade do p edestre é v = 3 = 3/t /57km por minuto, ou seja 180/57 km/h = 60/19 Km/h.
4Solução retirada da página da UFPR: http://www.mat.ufpr.br/ensinomedio/paginas/solucao.html
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18. Dado o gráfico abaixo, obtenha, em cada caso, o gráfico da função tal que:g
O
f
y
x
a) g(x)=f(x)-1
b) g(x)=f(x-1)
c) g(x)=f(-x)
d) g(x)=2(f(x))
e) g(x)=f(2x)
f ) g(x)=|f(x)|
g) g(x)=f( )|x|
h) g(x)=max{f( ) 0x , }
Solução
a) O gráfico é deslocado uma unidade para baixo.
b) O gráfico é deslocado uma unidade a direita.
c) A imagem do gráfico é refletida em torno do eixo y.
d) Duas semi retas com origem no ponto (1 2). Uma passa pelo ponto (0,2) e a,−
outra (2,0) (UFPR).
e) Duas semi retas com origem no ponto (0 1). Uma passa pelo ponto (0,1) e a.5,−
outra (1,0) (UFPR).
f) A parte da função abaixo do eixo x é refletida para cima formando um W.
g) A parte do gráfico que tem 0 mais a reflexão dessa mesma parte em torno dox > 
eixo Y (UFPR).
h) O gráfico de , com a parte que tem 0 substitúıda pelo intervalo [0 2] dof y < .5,
eixo X (UFPR).
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19. Determine os valores reais de x que satisfazem:
a) 2x+ 3 + 1− (x− 1) < x 
b) 2x+ 3 + 5− (x− 1) < x 
c) min{x+ 1; 5− x} > 2 3x−
d) min{x+ 1; 5− x} < 2x
e) min{2x− 1; 6− x} = x
f ) 2|x+ 1| − |1− x| ≤ x+ 2
g) (2x+ 3)(1 + 3)( 2)− x) = (2x x−
h) |x+ 1 − |x− 1|| ≤ 2 1x−
Solução:
a) 2x+ 3 + 1− (x− 1) < x 
2x+ 3 + 1 + 1− x < x 
x+ 4 < x + 1
4 < 1
Como a condiçãonão é verdadeira para nenhum x então a inequação não têm solução.
b) 2x+ 3 + 5− (x− 1) < x 
2x+ 3 + 1 + 5− x < x 
x+ 4 < x + 5
4 < 5
Ou seja, a inequação se satisfaz para qualquer valor de x.
c) min{x+ 1; 5− x} > 2 3x−
min{x+ 1; 5− x} > 2x− 3
x x+ 1 > 2 − 3⇒ x < 4
5− x > 2x− 3⇒ x < 8
3
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Como 
8
3
< 4 então a solução será x <
8
3
.
d) min{x+ 1; 5− x} < 2x
Análogo ao anterior.
e) min{2x− 1; 6− x} = x
x x= 1 ou = 3
f ) 2|x+ 1| − |1− x| ≤ x+ 2
2|x+ 1| − |1− x| ≤ x+ 2 =

2(x+ 1) − |1− x| ≤ x+ 2
−2(x+ 1) − |1− x| ≤ x+ 2
2(x+ 1) + 2 =− |1− x| ≤ x

2(x+ 1) 1 + + 2 (1)− x ≤ x
2(x+ 1) + 1 + 2 (2)− x ≤ x
−2(x+ 1) − |1− x| ≤ x+ 2 =

−2(x+ 1) 1 + + 2 (3)− x ≤ x
−2(x+ 1) + 1 − x ≤ x+ 2 (4)
De (1) têm-se:
2x+ 2 1 + + 2− x ≤ x
3x+ 1 + 2≤ x
2x ≤ 1⇒ x ≤ 1
2
A inequação (2) não têm solução.
A inequação (3) têm solução para todo valor de x ≥ − 5
2
.
A inequação (4) têm solução apenas para x ≥ − 3
4
.
Assim a solução da inequação será: x ∈

−3
4
,
1
2

g) x = ±3
2
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h) Análogo aos anteriores.
20. Resolva a inequação.
1
2x+ 1
<
1
1− x
Solução:
1
2x+ 1
1
1− x < 0
(1 − x)− (2x+ 1)
(1 − x)(2x+ 1) < 0
− 3x
−2x2 + x+ 1 < 0
Ou seja, resolver a inequação inicial é o equivalente a resolver:
3x
−2x2 + x+ 1 > 0
Cuja solução ocorre para x ∈ (−∞,−0 [0 1)..5) ∪ ,
21. Determine a imagem da função tal que f(x) = maxf : R→ R {x− 1 2 ., 10 − x}
Solução:
A imagem é o intervalo 

8
3
,∞

. Para visualizar essa imagem é necessário esboçar o gráfico
da função.
22. Faça os gráficos de:
a) f(x) = min{4− x;x+ 1}
b) f(x) = |x+ 1| − |x− 1|
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Solução :5
a) O angulo reto com vértice no ponto (3/2, 5/2) e lados passando pelos pontos ( 0) e−1,
(4 0).,
b)As semi-retas horizontais , juntamente comS = {(x, −2); 2); x ≤ −1} e S0 = {(x, x ≥ 1}
o segmento de reta que liga os pontos 2), os quais são as origens dessasA = ( = (1−1,−2) a B ,
semi-retas.
23. Identifique o conjunto dos pontos (x,y) tais que:
| |x|+ y| = 1
|x− y| = 1
Solução:
a) (x,y) = {(1 1 1), 0); (0 1); (, − , 0); (0,− }
b) |x− y| = 1 ⇒ x− y = 1 ou y − x = 1. Nesse caso a solução seria ambas as possibilidades,
a saber: a reta y = x+ 1 e 1.y = x−
24. Um supermercado está fazendo uma promoção na venda de alcatra: um desconto de 10%
é dado nas compras de três quilos ou mais. Sabendo que o preço do quilo de alcatra é de R$ 4.00
p ede-se:
a) O gráfio do total pago em função da quantidade comprada.
b) O gráfico do preço médio por quilo em função da quantidade comprada.
c) A determinação de quais consumidores poderiam ter comprado mais alcatra pelo
mesmo preço.
Solução:
a) f(x) = 

4 (0 3)x para x ∈ ,
3 6 [3 ). x para x ∈ ,∞
b) 
f( )x
x
=

4 par a x ∈ (0 3),
3 [3 ).6 par a x ∈ ,∞
5Solução retirada da página da UFPR: http://www.mat.ufpr.br/ensinomedio/paginas/solucao.html
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c) (Solução retirada da página da UFPR6)
Se 2.7 < x < 3 então, p ondo x0 =
4
3.6
x, temos x0 > x e f(x0) = 3. x6x0 (p ois 0 > 3), p ortanto
f(x0) = 4x = f(x).
25. Um supermercado está fazendo uma promoção na venda de alcatra: um desconto de 10%
é dado nos quilos que excederem a 3. Sabendo que o preço do quilo de alcatra é de R$ 4.00
p ede-se:
a) O gráfico do total pago em função da quantidade comprada.
b) O gráfico do preço médio por quilo em função da quantidade comprada.
c) A determinação de quantos quilos foram compradas por um consumidor que pagou
R$.
Solução:
a) f(x) = 

4 (0 3]x para x ∈ ,
12 + 3.6( (3 )x− 3) par a x ∈ ,∞
A equação 12 + 3 3) foi deduzida através da tabela a seguir:.6(x−
Quantidade Valor
4 12+3.6 1·
5 12+3.6 2·
6 12+3.6 3·
7 12+3.6 4·
No entanto, perceba que o valor pode ser expresso em termos de quantidade de alcatra (seja
lá o que isso for), comprada.
Quantidade Valor
4 12+3.6 (4-3)·
5 12+3.6 (5-3)·
6 12+3.6 (6-3)·
7 12+3.6 (7-3)·
x 12+3.6 (x-3)·
b) 
f( )x
x
=
(
4 par a x ∈ (0 3],
3.6 +
1.2
x
par a x ∈ (3 ),∞
6http://www.mat.ufpr.br/ensinomedio/paginas/solucao.html
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c) O consumidor que pagou R$ 15,00 levou 3.83Kg.
12 + 3.6( 83x− 3) = 15 = 3⇒ x . K g
26. Os novos valores de IR-fonte:
Base de cálculo Aĺıquota Parcela a deduzir
Até R$ 900 Isento 0
De R$ 900 a R$ 1800 15% R% 135%
Acima de R$ 1800 25% R% 315%
Baseado na tabela acima, construa o gráfico do imposto a pagar em função do rendimento.
Solução:
Para resolver esta questão assumi as condições do problema 27. Isto é: supondo que a renda
liquida é calculada através de uma expressão da fora seria a aĺıquota e ay = ax − p, onde a p
parcela a se deduzir.
f(x) = 



0 par a x ∈ [0 900],
0.15 (900 1800]x− 135 par a x ∈ ,
0.25 (1800 )x− 315 par a x ∈ ,∞
27. O imposto de renda pago por uma pessoa que, em 1995, teve uma renda ĺıquida y y
calculado através de uma expressão da forma , onde a aĺıquota e a parcela a deduziry = ax − p a
p dependem da renda x e são dadas por uma tabela, parcialmente fornecida a seguir:
Renda (em R$) Aĺıquota ( ) Parcela a Deduzir ( )a p
Até 8800 0% 0
De 8800 a 17.160 15%
De 17.160 a 158.450 26%
Mais de 158.450 35%
(a) Complete a tabela, de modo que o imposto a pagar varie continuamente com a renda (isto
é, não haja saltos ao se passar de uma faixa de renda para outra).
(b) Se uma pessoa está na terceira faixa e sua renda aumenta de R$ 5 000,00, qual será seu
imposto adicional (supondo que este acréscimo não acarrete uma mudança de faixa)?
(c) E comum encontrar pessoas que lamentam estar no ińıcio de uma faixa de taxação (“que
azar ter recebido este dinheiro a mais!”). Este tipo de reclamação é procedente?
(d) A tabela de taxação é, as vezes, dada de uma outra forma, para permitir o cálculo do
imposto através de uma expressão da forma ) (isto é, primeiro se deduz a parcela ey = b(x− q q
depois se aplica a aĺıquota). Converta a tabela acima para este formato (isto é, calcule os valores
de b e q para cada faixa de renda).
(e) Qual a renda para a qual o imposto é igual a R$ 20.000,00?
51