ProfMat - Reunião e Interseção de Conjuntos

Prévia do material em texto

MA11 
Números e Funções Reais
Aula 1:
Conjuntos: Reunião e Interseção
Beto Rober Bautista Saavedra
PROFMAT - SBM
Ewando José de Sousa
Reunião
Definição:
Sejam A e B subconjuntos do conjunto Universo U, definimos a reunião A B como sendo o conjunto formado pelos elemento de A juntamente com os elementos de B.
A B = 
U
Então: 
2
Interseção
Definição:
Sejam A e B subconjuntos do conjunto Universo U, definimos a interseção A B como sendo o conjunto formado pelos elementos que são simultaneamente de A e de B.
Então: 
A B = 
U
Observe que as operações AB e AB representam o equivalente matemático dos conectivos lógicos "ou" e "e".
Assim, quando:
A é o conjunto dos elemento que possuem a propriedade P.
B é o conjunto dos elemento que possuem a propriedade Q.
Então os conjuntos A B e A B estão definidos, respectivamente, pelas propriedades:
"P ou Q" e "P e Q".
Linguagem da lógica matemática: 
Exemplo: 
Consideremos as propriedades abaixo:
(P) x satisfaz a igualdade 7x + 12 = 0;
(Q) x satisfaz a igualdade x + 20 = 0.
O conjunto dos números que possuem a propriedade P é {3, 4}.
O conjunto dos números que possuem a propriedade Q é {4, 5}.
Assim, a afirmação:
P ou Q é equivalente a 
P e Q é equivalente a 
Conectivo OU
O conectivo “OU” tem, em matemática, um significado diferente daquele que lhe é atribuído na linguagem do dia-a-dia. Na linguagem comum “OU” normalmente é usado em afirmações incompatíveis, por exemplo, na frase “vamos de ônibus ou de trem?”
	
	Em matemática a afirmação “P ou Q” significa que pelo menos uma das alternativas “P ou Q” é verdadeira, podendo ser ambas. Por exemplo, é correta a afirmação “todo número inteiro é maior do que 10 ou menor do que 20”.
7
Propriedades da reunião e da interseção 
(i) Comutatividade da união e da interseção:
 e 
(ii) Associatividade da união e da intersecção:
 
e 
(iii) Distributividade, de cada uma em relação a outra:
i) e
	Estas igualdades vistas, que podem ser verificadas mediante a consideração dos casos possíveis, constituem, na realidade, regras que regem o uso combinado dos conectivos lógicos “OU” e “E”.
Conexão entre as operações e a relação: 
Além disso:
e
10
Relações de De Morgan:
Sejam A e B subconjuntos do universo U. Então,
i) 
e 
 ii) 
Sejam A e B subconjuntos do universo U. Então,
i) 
e 
 ii) 
Sejam A e B subconjuntos do universo U. Então,
i) 
e 
 ii) 
Relações de De Morgan:
Sejam A e B subconjuntos do universo U. Então,
i) 
e 
 ii) 
A é o conjunto dos elemento que possuem a propriedade P.
B é o conjunto dos elemento que possuem a propriedade Q.
Linguagem da lógica matemática: 
Demonstração das Relações de De Morgan:
Claramente se verifica para A = Suponhamos, então, A e B não vazios.
Provaremos que:
Se , então, .
Portanto, e 
Logo, . Concluímos que, .
⇒ 
Se então, .
Portanto, e 
Logo, .
Concluímos que, .
⇒ 
De (a) e (b), provamos que:
Exemplo:
Sejam A, B e C conjuntos. Determine uma condição necessária e suficiente para que se tenha:
 
Vamos mostrar primeiro que:
 
Por hipótese .
Se , então, 
Logo, . Portanto 
Segundo, vamos mostrar que:
 
Tome 
.
Por hipótese, , então Logo, .
⇒ 
Por Hipótese, temos .
Se então, 
Logo, 
⇒
De (i) e (ii), temos que: 
17