ProfMat - Apresentação - Conjuntos (Reunião e Interseção)

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MA11 
Números e Funções Reais 
 
Aula 1: 
Conjuntos: Reunião e Interseção 
A ∪ B = 𝒙 𝒙 ∈ 𝑨 𝒐𝒖 𝒙 ∈ 𝑩 
U 
 
 
A ∩ B = 𝒙 𝒙 ∈ 𝑨 𝒆 𝒙 ∈ 𝑩 
U 
• A é o conjunto dos elemento que possuem a propriedade P. 
 
• B é o conjunto dos elemento que possuem a propriedade Q. 
 
Então os conjuntos A ∪ B e A ∩ B estão definidos, 
respectivamente, pelas propriedades: 
"P ou Q" e "P e Q". 
• O conjunto dos números que possuem a propriedade P é {3, 4}. 
 
• O conjunto dos números que possuem a propriedade Q é {4, 5}. 
 
Assim, a afirmação: 
P ou Q é equivalente a 𝒙 ∈ A ∪ B = 𝟑, 𝟒, 𝟓 ; 
P e Q é equivalente a 𝒙 ∈ A ∩ B = 𝟒 . 
• O conectivo “OU” tem, em matemática, um significado 
diferente daquele que lhe é atribuído na linguagem do dia-a-
dia. Na linguagem comum “OU” normalmente é usado em 
afirmações incompatíveis, por exemplo, na frase “vamos de 
ônibus ou de trem?” 
 Em matemática a afirmação “P ou Q” significa que 
pelo menos uma das alternativas “P ou Q” é verdadeira, 
podendo ser ambas. Por exemplo, é correta a afirmação 
“todo número inteiro é maior do que 10 ou menor do 
que 20”. 
𝑨 ∪ 𝑩 = 𝑩 ∪ 𝑨 e 𝑨 ∩ 𝑩 = 𝑩 ∩ 𝑨 
𝑨 ∪ 𝑩 ∪ 𝑪 = 𝑨 ∪ (𝑩 ∪ 𝑪) 
e 
𝑨 ∩ 𝑩 ∩ = 𝑨 ∩ (𝑩 ∩ 𝑪) 
 
i) 𝑨 ∩ (𝑩 ∪ 𝑪) = 𝑨 ∩ 𝑩 ∪ 𝑨 ∩ 𝑪 
e 
𝒊𝒊) 𝑨 ∪ 𝑩 ∩ 𝑪 = 𝑨 ∪ 𝑩 ∩ 𝑨 ∪ 𝑪 
 Estas igualdades vistas, que podem ser 
verificadas mediante a consideração dos casos 
possíveis, constituem, na realidade, regras que 
regem o uso combinado dos conectivos lógicos “OU” 
e “E”. 
𝐴⋃𝐵 = 𝐵 ⇔ 𝐴 ⊂ 𝐵 ⇔ 𝐴⋂𝐵 = 𝐴 
𝑨 ⊂ 𝑩 ⇒ 𝑨 ∪ 𝑪 ⊂ 𝑩 ∪ 𝑪 
e 
𝑨 ∩ 𝑪 ⊂ 𝑩 ∩ 𝑪 
Sejam A e B subconjuntos do universo U. Então, 
 
i) (𝑨 ∪ 𝑩)𝑪= 𝑨𝑪⋂𝑩𝑪 
e 
 ii) (𝑨 ∩ 𝑩)𝑪= 𝑨𝑪 ∪ 𝑩𝑪 
Sejam A e B subconjuntos do universo U. Então, 
 
i) (𝑨 ∪ 𝑩)𝑪= 𝑨𝑪⋂𝑩𝑪 
e 
 ii) (𝑨 ∩ 𝑩)𝑪= 𝑨𝑪 ∪ 𝑩𝑪 
Sejam A e B subconjuntos do universo U. Então, 
 
i) (𝑨 ∪ 𝑩)𝑪= 𝑨𝑪⋂𝑩𝑪 
e 
 ii) (𝑨 ∩ 𝑩)𝑪= 𝑨𝑪 ∪ 𝑩𝑪 
Sejam A e B subconjuntos do universo U. Então, 
 
i) (𝑨 ∪ 𝑩)𝑪= 𝑨𝑪 ∩ 𝑩𝑪 
e 
 ii) (𝑨 ∩ 𝑩)𝑪= 𝑨𝑪 ∪ 𝑩𝑪 
• A é o conjunto dos elemento que possuem a propriedade P. 
 
• B é o conjunto dos elemento que possuem a propriedade Q. 
𝒊) (𝑨 ∪ 𝑩)𝑪 = 𝑨𝑪 ∩ 𝑩𝑪 
Claramente se verifica para A = ∅. Suponhamos, então, A e B não 
vazios. 
Provaremos que: 
𝒂) (𝑨 ∪ 𝑩)𝑪 ⊂ 𝑨𝑪 ∩ 𝑩𝑪 
Se 𝒙 ∈ (𝑨 ∪ 𝑩)𝑪, então, 𝒙 ∉ (𝑨 ∪ 𝑩). 
Portanto, 𝒙 ∉ 𝑨 e 𝒙 ∉ 𝑩. 
Logo, 𝒙 ∈ 𝑨𝑪 𝒆 𝒙 ∈ 𝑩𝑪. Concluímos que, 𝒙 ∈ (𝑨𝑪 ∩ 𝑩𝑪). 
⇒ (𝑨 ∪ 𝑩)𝑪⊂ 𝑨𝑪 ∩ 𝑩𝑪 
𝒃) 𝑨𝑪⋂ 𝑩𝑪 ⊂ (𝑨 ∪ 𝑩)𝑪 
Se 𝒙 ∈ 𝑨𝑪 ∩ 𝑩𝑪 , então, 𝒙 ∈ 𝑨𝑪 𝒆 𝒙 ∈ 𝑩𝑪. 
Portanto, 𝒙 ∉ 𝑨 e 𝒙 ∉ 𝑩. 
Logo, 𝒙 ∉ (𝑨 ∪ 𝑩). 
Concluímos que, 𝒙 ∈ (𝑨 ∪ 𝑩)𝑪. 
⇒ 𝑨𝑪∩ 𝑩𝑪 ⊂ (𝑨 ∪ 𝑩)𝑪 
 
De (a) e (b), provamos que: 
 (𝑨 ∪ 𝑩)𝑪= 𝑨𝑪 ∩ 𝑩𝑪 
Sejam A, B e C conjuntos. Determine uma condição 
necessária e suficiente para que se tenha: 
𝑨 ∪ 𝑩 ∩ 𝑪 = (𝑨 ∪ 𝑩) ∩ 𝑪 
𝑨 ∪ 𝑩 ∩ 𝑪 = 𝑨 ∪ 𝑩 ∩ 𝑪⟺ 𝑨 ⊂ 𝑪 
Vamos mostrar primeiro que: 
𝑨 ∪ 𝑩 ∩ 𝑪 = 𝑨 ∪ 𝑩 ∩ 𝑪 ⇒ 𝑨 ⊂ 𝑪 
 
Por hipótese 𝑨 ∪ 𝑩 ∩ 𝑪 = 𝑨 ∪ 𝑩 ∩ 𝑪. 
𝐱 ∈ 𝑨 ∪ 𝑩 ∩ 𝑪 ⇒ 𝒙 ∈ 𝑨 ∪ 𝑩 ∩ 𝑪 
 
Se 𝐱 ∈ 𝑨, então, x ∈ 𝑨 ∪ 𝑩 ∩ 𝑪 ⇒ 𝐱 ∈ 𝑨 ∪ 𝑩 ∩ 𝑪 
Logo, 𝐱 ∈ 𝑪. Portanto 𝑨 ⊂ 𝑪 
 
Segundo, vamos mostrar que: 
 𝑨 ⊂ 𝑪 ⇒ 𝑨 ∪ 𝑩 ∩ 𝑪 = 𝑨 ∪ 𝑩 ∩ 𝑪 
 
𝒊) 𝑨 ∪ 𝑩 ∩ 𝑪 ⊂ 𝑨 ∪ 𝑩 ∩ 𝑪 
Tome 𝐱 ∈ 𝑨 ∪ 𝑩 ∩ 𝑪 , 𝑒𝑛𝑡ã𝑜, 𝑝𝑒𝑙𝑎 𝑝𝑟𝑜𝑝𝑟𝑖𝑒𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑑𝑖𝑠𝑡𝑟𝑖𝑏𝑢𝑡𝑖𝑣𝑎, 
𝒙 ∈ (𝑨 ∪ 𝑩) ∩ (𝐀 ∪ 𝑪). 
Por hipótese, 𝑨 ⊂ 𝑪, então 𝑨⋃𝑪 = 𝑪. Logo, 𝐱 ∈ 𝑨 ∪ 𝑩 ∩ 𝑪. 
⇒ 𝑨 ∪ 𝑩 ∩ 𝑪 ⊂ 𝑨 ∪ 𝑩 ∩ 𝑪 
 
𝒊𝒊) 𝑨 ∪ 𝑩 ∩ 𝑪 ⊂ 𝑨 ∪ 𝑩 ∩ 𝑪 
Por Hipótese, temos 𝐀 ⊂ 𝑪 ⇔ 𝑨⋃𝑪 = 𝑪. 
Se 𝒙 ∈ 𝑨 ∪ 𝑩 ∩ 𝑪, então, 𝐱 ∈ 𝑨 ∪ 𝑩 ∩ 𝑨 ∪ 𝑪 . 
Logo, 𝒙 ∈ 𝑨 ∪ 𝑩 ∩ 𝐂 . 
⇒ 𝑨 ∪ 𝑩 ∩ 𝑪 ⊂ 𝑨 ∪ 𝑩 ∩ 𝑪 
 
De (i) e (ii), temos que: 𝑨 ∪ 𝑩 ∩ 𝑪 = 𝑨 ∪ 𝑩 ∩ 𝑪