Aula 01 - Preferencias e Utilidade

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Microeconomia para a Anpec 
Theo Cotrim Martins 
E-mail: theocm@gmail.com 
mailto:theocm@gmail.com
Aula 01 
PREFERÊNCIAS E UTILIDADE 
N-Cap. 3; V-Caps. 2, 3 e 4 
Agenda 
• Axiomas da Escolha Racional e Utilidade 
• Curvas de Indiferença e TMS 
• Propriedades da Utilidade 
• Exemplos de Funções Utilidade 
• Preferências Homotéticas 
• Restrição Orçamentária 
• Questões Anpec 
Axiomas da Escolha Racional 
(1) Completitude: 
– Se A e B são duas situações diferentes, um indivíduo 
pode sempre especificar exatamente uma destas 
possibilidade: 
• A é preferível a B 
• B é preferível a A 
• A e B são igualmente atrativas 
Axiomas da Escolha Racional 
(2) Reflexividade: 
– Todas cestas são tão boas quanto elas mesmas. 
(3) Transitividade: 
– Se A é preferível a B, e B é preferível a C, então A é 
preferível a C. 
– Assume que as escolhas individuais são consistentes. 
(4) Continuidade: 
– Se A é preferível a B, então situações próximas a A 
também devem ser preferíveis a B. 
Utilidade 
• Dados os axiomas (1)+(2)+(3), é possível ordenar 
todas as situações, da menos desejável à mais 
desejável. 
• Este ranking é chamado de utilidade. 
– Se A é preferível a B, então a utilidade associada a A é 
maior que a utilidade associada a B. 
𝑈 𝐴 > 𝑈(𝐵) 
Utilidade 
• Rankings de utilidade são ordinais e não cardinais. 
– O que importa é a ordenação e não o valor específico 
de utilidade para cada situação. 
• Deste modo, medidas de utilidade não são únicas. 
• Também não é possível comparar valores de 
utilidades entre pessoas. 
Utilidade 
• O ordenamento de um rankings de utilidade se 
preserva caso apliquemos uma transformação order 
preserving sobre o mesmo. Uma transformação 
𝐹(𝑈) atende este critério caso 𝐹′ 𝑈 > 0. Exemplos 
de funções order preserving: 
– 𝐹 𝑈 = 𝑈2 
– 𝐹 𝑈 = ln⁡(𝑈) 
 
Utilidade 
• Suponha que um indivíduo tenha de escolher 
diferentes bens de consumo 𝑥1, 𝑥2 ⁡… . 𝑥𝑛 
• Sua função de utilidade pode ser representada da 
forma: 
𝑢𝑡𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 = 𝑈(𝑥1, 𝑥2 … 𝑥𝑛; outras⁡coisas) 
• Simplificando: 
𝑈(𝑥1, 𝑥2, … 𝑥𝑛) 
Utilidade 
• “mais é preferível a menos” (axioma 
monotonicidade) 
Quantidade de x 
Quantidade de y 
x* 
y* 
Preferível à cesta (x*, y*) 
? 
? Pior que 
a cesta 
(x*, y*) 
Curvas de Indiferença 
• Uma curva de indiferença mostra um conjunto de 
cestas entre as quais o indivíduo é indiferente. 
Quantidade de x 
Quantidade de y 
x1 
y1 
y2 
x2 
U1 
As cestas (x1, y1) e (x2, y2) 
geram o mesmo nível de utilidade 
Taxa Marginal de Substituição 
• A inclinação negativa de uma curva de indiferença 
em um determinado ponto mostra a taxa marginal 
de substituição (TMS) naquele ponto. 
Quantidade of x 
Quantidade de y 
x1 
y1 
y2 
x2 
U1 
1
 
UUdx
dy
TMS


Taxa Marginal de Substituição 
• TMS muda quando 𝑥 e 𝑦 mudam. 
– reflete o desejo individual de trocar 𝑦 por 𝑥. 
Quantidade de x 
Quantidade de y 
x1 
y1 
y2 
x2 
U1 
Em (x1, y1), a curva de indiferença é mais inclinada. 
O indivíduo estaria disposto a abrir mão de uma quantidade 
maior de y para receber uma unidade adicional de x. 
Em (x2, y2), a curva de indiferença é 
menos inclinada. O indivíduo estaria 
disposto a abrir mão de uma 
quantidade menor de y para receber 
uma unidade adicional de x. 
Taxa Marginal de Substituição 
– se a TMS é decrescente, então as curvas de indiferenças 
são estritamente convexas. 
Quantidade de x 
Quantidade de y 
U1 
A 
B 
Mapa de Curvas de Indiferença 
• O quadrante 𝑥, 𝑦 é totalmente preenchível com curvas de 
indiferença, cada uma correspondendo a um nível de 
utilidade. 
Quantidade de x 
Quantidade de y 
U1 < U2 < U3 
U1 
U2 
U3 
Aumento de utilidade 
Transitividade 
• Curvas de indiferença podem se cruzar? 
Quantidade de x 
Quantidade de y 
U1 
U2 
A 
B C 
• O indivíduo é indiferente entre A e C. 
• O indivíduo é indiferente entre B e C. 
• Transitividade sugere que este indivíduo seja 
indiferente entre A e B. 
Entretanto, B é preferível a A 
pois B tem mais x e mais y que A. 
Convexidade 
• Um conjunto de pontos é convexo se dois pontos podem 
ser ligados por uma reta que está inserida nesse conjunto 
(axioma da convexidade). 
Quantidade de x 
Quantidade de y 
U1 
A hipótese de TMS decrescente é 
equivalente à hipótese de que todas as 
combinações de x e y que são preferíveis 
a x* e y* formam um conjunto convexo. 
x* 
y* 
Convexidade 
Quantidade de x 
Quantidade de y 
U1 
x2 
y1 
y2 
x1 
Isto implica que cestas balanceadas sejam 
preferíveis a cestas não balanceadas. 
(x1 + x2)/2 
(y1 + y2)/2 
• Se a curva de indiferença é convexa, então a cesta (𝑡 ∙ 𝑥1 +
1 − 𝑡 ∙ 𝑥2; 𝑡 ∙ 𝑦1 + 1 − 𝑡 ∙ 𝑦2) é preferível às cestas (𝑥1, 𝑦1) e 
𝑥2, 𝑦2 , ∀𝑡 ∈ (0,1). Em particular, se 𝑡 =
1
2
: 
Utilidade e a TMS 
• Suponha que as preferências de um indivíduo por 
hambúrguer (y) e refrigerante (x) possa ser representada 
por: 
𝑈 = 𝑥 ∙ 𝑦 
• Calcule a TMS: 
𝑈 = 10 
 
100 = 𝑥𝑦 → 𝑦 =
100
𝑥
→ 𝑇𝑀𝑆 = −
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
100
𝑥2
 
 
Utilidade e a TMS 
𝑇𝑀𝑆 = −
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
100
𝑥2
 
Note que a medida que o x aumenta, a TMS diminui. 
– quando x = 5, TMS = 4 
– quando x = 20, TMS = 0.25 
 
 
Alternativa para calcular a TMS 
• Suponha que um indivíduo tenha a seguinte função 
utilidade: 
𝑢𝑡𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 = 𝑈(𝑥, 𝑦) 
• A utilidade marginal de x é dada por: 
𝑀𝑈𝑥 =
𝜕𝑈
𝜕𝑥
 
• A diferenciação total de U é: 
𝑑𝑈 =
𝜕𝑈
𝜕𝑥
∙ 𝑑𝑥 +
𝜕𝑈
𝜕𝑦
∙ 𝑑𝑦 
 
 
 
Alternativa para calcular a TMS 
• Ao longo de qualquer curva de indiferença, a utilidade é 
constante (dU = 0). 
• Então: 
𝑇𝑀𝑆 = −
𝑑𝑦
𝑑𝑥
 
𝑈=𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒
=
𝜕𝑈
𝜕𝑥
𝜕𝑈
𝜕𝑦
 
• TMS é igual à razão entre a utilidade marginal de 𝑥 e a 
utilidade marginal de 𝑦. 
Teorema da Função Implícita 
• Nem sempre é possível transformar 𝑓(𝑥, 𝑦) em 
𝑦 = 𝑔(𝑥). Nestes casos, use o Teorema de Função 
Implícita: 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= −
𝜕𝑓
𝜕𝑥
𝜕𝑓
𝜕𝑦
 
Exemplos de Funções Utilidade 
• Cobb-Douglas: 
𝑢𝑡𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 = 𝑈(𝑥, 𝑦) = 𝑥𝑦 
 onde  e  são constantes positivas. 
– O tamanho relativo de  e  indica a importância 
relativa entre os bens. 
Exemplos de Funções Utilidade 
• Substitutos Perfeitos: 
𝑢𝑡𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 = 𝑈(𝑥, 𝑦) =  ∙ 𝑥 +  ∙ 𝑦 
Quantidade de x 
Quantidade de y 
U1 
U2 
U3 
As curvas de indiferença serão lineares. 
A TMS será constante ao longo de toda 
a curva de indiferença. 
Exemplos de Funções Utilidade 
• Complementos Perfeitos: 
𝑢𝑡𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 = 𝑈(𝑥, 𝑦) = min⁡( ∙ 𝑥; ⁡ ∙ 𝑦) 
Quantidade de x 
Quantidade de y 
As curvas de indiferença 
terão formato de “L”. 
Somente aumentando a 
quantidade dos dois bens é 
que a utilidade aumenta. 
U1 
U2 
U3 
Exemplos de Funções Utilidade 
• CES (Elasticidade Substituição Constante): 
utilidade = U(x,y) = x/ + y/ 
 quando   0; Ou: 
utilidade = U(x,y) = ln x + ln y 
 quando  = 0 
– Substitutos Perfeitos   = 1 
– Cobb-Douglas   = 0 
– Complementos Perfeitos   = - 
Preferências Homotéticas 
• Se a TMS depende somente da razão do montante dos 
dois bens, e não das quantidades totais, a preferência é 
dita homotética. 
 Matematicamente: 𝑇𝑀𝑆 = −
𝑑𝑦
𝑑𝑥
 
𝑈 
= −
𝑓𝑥
𝑥
𝑦
,1
𝑓𝑦
𝑥
𝑦
,1
 
• Se as preferências são homotéticas, então: 
 i. as curvas de indiferença são muito parecidas. 
 ii. 𝑋~𝑌 → 𝛼𝑋~𝛼𝑌⁡ 
Preferências Homotéticas 
 
• Substitutos Perfeitos  TMS é igual em todos os pontos. 
 
• Complementos Perfeitos  
– TMS =  se y/x > /; 
– TMS indefinida se y/x = /; 
– TMS = 0 se y/x < /. 
 
• Para a Cobb-Douglas, a TMS é dada por: 
 
𝑇𝑀𝑆𝐶𝐷 =
𝜕𝑈
𝜕𝑥
𝜕𝑈
𝜕𝑦
=
𝛼𝑥𝛼−1⁡𝑦𝛽
𝛽𝑥𝛼𝑦𝛽−1
=
𝛼
𝛽
∙
𝑦
𝑥
 
 
Preferências Não Homotéticas 
• Algumas funções utilidade não apresentam 
preferências homotéticas. Exemplo: 
𝑢𝑡𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 = 𝑈(𝑥, 𝑦) = 𝑥 + ln⁡𝑦𝑇𝑀𝑆 =
𝜕𝑈
𝜕𝑥
𝜕𝑈
𝜕𝑦
=
1
1
𝑦
= 𝑦 
Caso com n-bens 
• Suponha uma função utilidade com n bens dada por: 
utilidade = U(x1, x2,…, xn) 
• A diferenciação total de U é: 
𝑑𝑈 =
𝜕𝑈
𝜕𝑥1
∙ 𝑑𝑥1 +
𝜕𝑈
𝜕𝑥2
∙ 𝑑𝑥2 + ⋯ +
𝜕𝑈
𝜕𝑥𝑛
∙ 𝑑𝑥𝑛 
 
Caso com n-bens 
• Podemos encontrar a TMS entre quaisquer dois bens 
fixando 𝑑𝑈 = 0 e as quantidades de quaisquer 
outros bens. 
 
j
i
i
j
ij
x
U
x
U
dx
dx
xxTMS




)por (
j
j
i
i
dx
x
U
dx
x
U
dU





 0
Caso com n-bens 
• Definimos uma superfície de indiferença como sendo 
o conjunto de pontos em n dimensões que satisfaz a 
equação: 
U(x1,x2,…xn) = k 
 onde k é uma utilidade pré determinada. 
 
• Infelizmente, este caso não é possível ser tratado 
graficamente. 
 
• Dados os preços 𝑝1, 𝑝2 … 𝑝𝑛 dos bens 𝑥1, 𝑥2 … 𝑥𝑛 e a renda 
do indivíduo é dada por 𝐼, então a restrição orçamentária 
(RO) delimita o conjunto de possibilidade de consumo: 
𝑝1𝑥1 + 𝑝2𝑥2 + ⋯+ 𝑝𝑛𝑥𝑛 ≤ 𝐼 
 
• Para dois bens: 
⁡⁡⁡⁡⁡𝑝1𝑥1 + 𝑝2𝑥2 ≤ 𝐼 
Restrição Orçamentária 
xp
I
yp
I
y 
x 
Restrição Orçamentária 
• O que ocorre quando a renda do indivíduo aumenta de 
I para I’? 
 
 
 
xp
I
yp
I
y 
x 
xp
I'
yp
I'
A reta orçamentária se desloca para a 
direita, aumentando as possibilidades 
de consumo do indivíduo. 
• O que ocorre quando o preço de um bem aumenta? 
Por exemplo, 𝑝𝑥 aumenta para 𝑝𝑥
′ . 
Restrição Orçamentária 
'
xp
I
yp
I
y 
x 
xp
I
A reta orçamentária ficará mais 
inclinada, diminuindo as possibilidades 
de consumo do indivíduo. 
Anpec – Prova 2006 – Questão 01 
 
 
Com base na teoria das preferências, avalie as afirmativas: 
Ⓞ Se as preferências entre dois bens para um consumidor são completas, reflexivas, 
transitivas e monotônicas, então o módulo da taxa marginal de substituição será 
decrescente ao longo de suas curvas de indiferença. 
① Se  yxyxU 2,min3100),(  for a função utilidade de um consumidor, as 
preferências deste serão convexas. 
② Se as preferências de um consumidor são transitivas isto implica que este prefere 
mais bens do que menos. 
③ Um indivíduo com preferências estritamente côncavas entre dois bens especializa-se 
no consumo de um dos bens. 
④ 3),( yxyxU  é a função utilidade do consumidor A e 
100),( 22  yxyxU é a função utilidade do consumidor B. Caso os dois 
tenham a mesma renda, suas cestas de consumo serão idênticas. 
Anpec – Prova 2002 – Questão 01 
Em relação à teoria das preferências, julgue os itens a seguir: 
(0) Os pressupostos de que as preferências são completas e transitivas garantem que curvas 
de indiferença distintas não se cruzam. 
(1) Quando as preferências de um indivíduo são tais que X = {x1,x2} é estritamente preferível 
a Y = {y1,y2} se e somente se (x1 > y1 ) ou (x1 = y1 e x2 > y2 ), as curvas de indiferença são 
conjuntos unitários. 
(2) Curvas de indiferença circulares indicam que o pressuposto de convexidade das 
preferências não é válido. 
(3) A convexidade estrita das curvas de indiferença elimina a possibilidade de que os bens 
sejam substitutos perfeitos. 
(4) Considere um alcoólatra que beba pinga ou uísque e que nunca misture as duas bebidas. 
Sua função de utilidade é dada por u(x,y) = max (x, 2y), em que x e y são números de litros 
de pinga e uísque, respectivamente. Esta função de utilidade respeita o princípio de 
convexidade das preferências. 
 
Respostas 
• Q01 – 2006: F V F V V 
• Q01 – 2002: V V F V F 
ANEXO 
Funções Quase-Côncavas e 
Preferências Convexas 
Funções Quase-Côncavas 
• Considere uma função 𝐹: 𝑅+
𝑛 → 𝑅 . Considere 
𝑥, 𝑦⁡𝜖⁡𝑅+
𝑛 e 𝑧 = 𝛼𝑥 + 1 − 𝛼 𝑦, tal que 0 < 𝛼 < 1. A 
função 𝐹 é dita quase-côncava se 
𝐹(𝑧) ≥ min⁡{𝐹 𝑥 , 𝐹 𝑦 }. 
 
• Em 𝑅2, quase-concavidade é garantida se a função 
de utilidade: 
𝑓2
2𝑓11 − 2𝑓1𝑓2𝑓12 + 𝑓1
2𝑓22 ≤ 0 
Funções Estritamente Quase-Côncavas 
• Considere uma função 𝐹: 𝑅+
𝑛 → 𝑅 . Considere 
𝑥, 𝑦⁡𝜖⁡𝑅+
𝑛 e 𝑧 = 𝛼𝑥 + 1 − 𝛼 𝑦, tal que 0 < 𝛼 < 1. A 
função 𝐹 é dita estritamente quase-côncava se 
𝐹 𝑧 > min⁡{𝐹 𝑥 , 𝐹 𝑦 }. 
 
• Em 𝑅2, quase-concavidade estrita é garantida se a 
função de utilidade: 
𝑓2
2𝑓11 − 2𝑓1𝑓2𝑓12 + 𝑓1
2𝑓22 < 0 
Concavidade e Preferências 
• Por fim, vale ressaltar que: 
• Funções de utilidade quase-côncavas gerarão 
preferência convexas. 
• Funções de utilidade estritamente quase-côncavas 
gerarão preferências estritamente convexas.