AULA 5-6 VETORES - TRATAMENTO ALGÉBRICO - Vetores no Plano

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GEOMETRIA ANALÍTICA
PROFESSOR: SANDER BERNARDI
E-MAIL:sanderbernardi@unipampa.edu.br
AULA: 5-6
DATA: 21/03/2019
UNIDADE 1 - VETORES NO PLANO E 
NO ESPAÇO
• VETORES.
• Tratamento Algébrico
Tratamento Algébrico
❑ Vetores no plano
Considerando os vetores 𝒗𝟏 𝒆 𝒗𝟐, não paralelos, indicados 
sobre as retas 𝒓𝟏 𝒆 𝒓𝟐 respectivamente.
O
𝒗𝟏
𝒗𝟐
𝒓𝟏
𝒓𝟐
𝒖 = 𝟓𝒗𝟏 + 𝟒𝒗𝟐
𝒗 = −𝟐𝒗𝟏 + 𝟑𝒗𝟐
𝒘 = −𝟒𝒗𝟏 − 𝒗𝟐
Ԧ𝒕 = 𝟑𝒗𝟏 − 𝟐𝒗𝟐
𝒙 = 𝟒𝒗𝟏 + 𝟎𝒗𝟐
𝒚 = 𝟎𝒗𝟏 + 𝟐𝒗𝟐
Tratamento Algébrico
❑ Vetores no plano
É possível constatar que, dados quais quer vetores 
𝒗𝟏 𝒆 𝒗𝟐, não paralelos, existirá um vetor 𝒗 que poderá 
ser representado da seguinte forma:
O 𝒗𝟏
𝒗𝟐
𝒗 = 𝒂𝟏𝒗𝟏 + 𝒂𝟐𝒗𝟐
Onde, 𝒗 é uma combinação linear de
𝒗𝟏 𝑒 𝒗𝟐 , o conjunto 𝑩 = 𝒗𝟏, 𝒗𝟐 é
chamado base no plano e os
números 𝒂𝟏 𝑒 𝒂𝟐 são chamados de
componentes ou coordenadas de 𝒗.
𝒂𝟏𝒗𝟏
𝒂𝟐𝒗𝟐
𝒗
O vetor 𝒗 também pode ser representado por: 𝒗 = 𝒂𝟏, 𝒂𝟐 𝑩 ou 𝒗𝑩 = 𝒂𝟏, 𝒂𝟐
Tratamento Algébrico
❑ Vetores no plano
As bases mais utilizadas são as ortonormais, ou seja, seus
vetores são ortogonais e unitários. Existem infinitas bases
ortonormais no plano, em nosso estudo daremos atenção especial
pra a base que forma o sistema cartesiano ortogonal xOy.
Neste sistema, os vetores ortogonais e unitários são
representados simbolicamente por: Ԧ𝒊 𝒆 Ԧ𝒋 que têm origem em O e
extremidades em (1, 0) e (0, 1), respectivamente.
A base 𝑪 = Ԧ𝒊, Ԧ𝒋 é denominada Base Canônica.
Assim, um vetor qualquer no plano será representado pela
seguinte combinação linear:
𝒗 = 𝒙Ԧ𝒊 + 𝒚Ԧ𝒋
Tratamento Algébrico
❑ Vetores no plano
𝒗 = 𝒙Ԧ𝒊 + 𝒚Ԧ𝒋
▪ x e y são as componentes de 𝒗 na base canônica.
▪ x é denominada abscissa de 𝒗.
▪ y é denominada ordenada de 𝒗.
▪ 𝒗 = 𝒙Ԧ𝒊 + 𝒚Ԧ𝒋 também pode ser representado por: 𝒗 = 𝒙, 𝒚 .
Tratamento Algébrico
❑ Vetores no plano
O vetor no plano é um par ordenado (x,y) de números reais, essa
representação é chamada de expressão analítica do vetor 𝒗.
Exemplos:
𝟑Ԧ𝑰 − 𝟓Ԧ𝑱 =
𝟑Ԧ𝑱 =
−𝟒Ԧ𝑰 =
𝟎 =
Obs.: 𝒗 = 𝑶𝑷 = 𝒙Ԧ𝒊 + 𝒚Ԧ𝒋
𝑷(𝒙, 𝒚)
Tratamento Algébrico
❑ Igualdade de vetores
Dois vetores 𝒖 = 𝒙𝟏, 𝒚𝟏 e 𝒗 = 𝒙𝟐, 𝒚𝟐 serão iguais somente se,
𝒙𝟏 = 𝒙𝟐 e 𝒚𝟏 = 𝒚𝟐, sendo escrito 𝒖 = 𝒗.
Exemplo:
Para que valores de x e y, 𝒖 = 𝒙 + 𝟏, 𝟒 é igual ao vetor 
𝒗 = 𝟓, 𝟐𝒚 − 𝟔 ?
Tratamento Algébrico
❑ Operações com vetores
Sejam os vetores 𝒖 = 𝒙𝟏, 𝒚𝟏 e 𝒗 = 𝒙𝟐, 𝒚𝟐 e 𝜶 ∈ 𝑰𝑹:
i. 𝒖 + 𝒗 = 𝒙𝟏 + 𝒙𝟐, 𝒚𝟏 + 𝒚𝟐
ii. 𝜶𝒖 = 𝜶𝒙𝟏, 𝜶𝒚𝟏
Tratamento Algébrico
❑ Operações com vetores
iii. 𝒖 − 𝒗 = 𝒙𝟏 − 𝒙𝟐, 𝒚𝟏 − 𝒚𝟐
iv. −𝒖 = −𝒙𝟏, −𝒚𝟏
Para quaisquer vetores 𝒖, 𝒗 𝒆 𝒘:
i. 𝒖 + 𝒗 = 𝒗 + 𝒖
ii. 𝒖 + 𝟎 = 𝒖
iii. 𝒖 + 𝒗 + 𝒘 = 𝒖 + 𝒗 +𝒘
iv. 𝒖 + −𝒖 = 𝟎
Tratamento Algébrico
❑ Operações com vetores
Para quaisquer vetores 𝒖 𝒆 𝒗 , 𝜶 𝒆 𝜷 ∈ 𝑰𝑹:
i. 𝜶 𝜷𝒗 = 𝜶𝜷 𝒗
ii. 𝜶 𝒖 + 𝒗 = 𝜶𝒖 + 𝜷𝒗
iii. 𝜶 + 𝜷 𝒖 = 𝜶𝒖 + 𝜷𝒖
Tratamento Algébrico
❑ Operações com vetores
Exemplos:
1. Dados os vetores 𝒖 = 𝟐,−𝟑 e 𝒗 = −𝟏, 𝟒 , determinar 𝟑𝒖 + 𝟐𝒗 e 
3𝒖 − 𝟐𝒗.
2. Determinar o valor do vetor 𝒙 na igualdade 𝟑𝒙 + 𝟐𝒖 =
𝟏
𝟐
𝒗 + 𝒙, 
sendo dados 𝒖 = 𝟐,−𝟏 e 𝒗 = −𝟐, 𝟒 .
3. Encontrar a1 e a2, tais que:
𝒗 = 𝒂𝟏𝒗𝟏 + 𝒂𝟐𝒗𝟐, sendo 𝒗 = 𝟏𝟎, 𝟐 , 𝒗𝟏 = 𝟑, 𝟓 𝒆 𝒗𝟐 = −𝟏, 𝟐 .
Tratamento Algébrico
❑ Vetor definido por dois pontos
𝑶𝑨 = 𝒙𝟏, 𝒚𝟏
𝑶𝑩 = 𝒙𝟐, 𝒚𝟐
𝑶𝑨 + 𝑨𝑩 = 𝑶𝑩
𝑨𝑩 = 𝑶𝑩 −𝑶𝑨
O vetor 𝒗 = 𝑶𝑷 é chamado vetor
posição ou representante natural
de 𝑨𝑩.
Tratamento Algébrico
❑ Ponto médio
Considerando o segmento de extremos A(x1,y1) e 
B(x2,y2).Sendo M(x,y) o ponto médio de AB, tem-se:
𝑨𝑴 = 𝑴𝑩
Exemplo:
Encontrar o ponto médio do segmento com extremos em A(-2,3) 
e B(6,2).
Tratamento Algébrico
❑ Paralelismo de dois vetores
Para que dois vetores sejam paralelos, suas componentes 
devem ser proporcionais.
Sendo 𝒖 = 𝒙𝟏, 𝒚𝟏 𝒆 𝒗 = 𝒙𝟐, 𝒚𝟐 dois vetores quaisquer, para 
que eles sejam paralelos entre si deve existir um 
número 𝜶, tal que:
𝒖 = 𝜶𝒗
Exemplo:
Verificar se os vetores 𝒖 = −𝟐Ԧ𝒊 − 𝟒Ԧ𝒋 e 𝒗 = 𝟑Ԧ𝒊 + 𝟔Ԧ𝒋 são paralelos.
Tratamento Algébrico
❑ Módulo de um vetor
O módulo de um vetor 𝒗 = (𝒙, 𝒚) é obtido pelo teorema de 
Pitágoras, assim, tem-se:
𝒗 = 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐
Obs.: 
▪ A distância entre dois pontos A(x1,y1) e B(x2,y2) é o 
comprimento do vetor 𝑨𝑩, ou seja, seu módulo.
▪ O versor de 𝒗 é dado por 
𝒗
𝒗
.
Exemplo:
Encontrar o módulo de 𝒗 = 𝟐,−𝟑 .
Referências Bibliográficas
❑ WINTERLE, P. Vetores e geometria analítica. Makron 
Books, 2000.
❑ Vídeos
❑ Vetor no Sistema Cartesiano
https://www.youtube.com/watch?v=If2fnfwgHw4&list=PL53AF
5032B8C16697&index=2
https://www.youtube.com/watch?v=If2fnfwgHw4&list=PL53AF5032B8C16697&index=2