Prova1(Analise1)(2021-1)

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Primeira Prova de Análise 1 - 28/06/2021
Escolha 4 das 5 questões abaixo.
Horário da Prova: 15:00hs - 21:00hs.
1. (Valor: 2,5 pontos) Seja (an)n≥1 uma sequência de números reais e (kn)n≥1 uma sequência
de números naturais pares tais que a série
∑∞
n=1 a
kn
n converge. Prove que a série
∑∞
n=1 a
kn+α
n
converge para qualquer α ≥ 0.
2. (Valor: 2,5 pontos) Sejam I ⊂ R um intervalo não-degenerado e k > 1 um número natural.
Prove que o conjunto {
m
kn
; m ∈ Z, n ∈ N
}
é denso em I.
3. (Valor: 2,5 pontos) Seja (xn)n≥1 uma sequência com a seguinte propriedade: Dado � > 0,
existe natural N0 e um conjunto T ⊂ N tais que
• Qualquer que seja X ⊂ N com mais de N0 elementos consecutivos satisfaz X ∩ T 6= ∅.
• |xn+p − xn| < � para qualquer p ∈ T e n ≥ 1.
Prove que:
(a) Dê um exemplo de uma sequência não-constante que satisfaz as condições acima.
(b) (xn)n≥1 é limitada.
(c) Se existe limn→∞ xn, então, (xn)n≥1 é constante.
(d) Se yn :=
∑n
i=1 xi
n
, então, existe limn→∞ yn.
4. (Valor: 2,5 pontos) Seja {xn}n≥1 uma sequência limitada de números naturais positivos.
Prove que:
lim inf
n→∞
xn ≤ lim inf
n→∞
n
√
x1 · · ·xn ≤ lim sup
n→∞
n
√
x1 · · ·xn ≤ lim sup
n→∞
xn.
5. (Valor: 2,5 pontos) Determine os valores reais de p para os quais a série
+∞∑
n=3
1
n log(n)
(
log(log(n))
)p
é convergente.