Capitulo 14 - Noções de Estatística

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•II. • •
No<;oes de Estatlstica
o Brasil esta no grupo com as maiores taxas do
planeta* - em %
TAXAS REAIS (descontada a inflac;:ao)
Republica Tcheca
2,8
Argentina
'Taxa acumulada nos iJltimos 12 meses
FONTE: Revista Epoca / Editora Globo.
Economla e Negocios
OOLARES PARA 0 BRASIL
Balan~acomercial do agroneg6cio - em US$ bilhoes
Exporta~ao Importa~ao
FONTE: Revista Epoca / Editora Globo.
Um pouco da historia da EstaHstica
Apesar de se saber, hoje, que tres seculos antes do
nascimento de Cristo ja se faziam estatfsticas, a
palavra estatfstica apareceu pela primeira vez no
seculo XVIII e foi sugerida peio alemao Gottfried
Achemmel (1719-1772). Esta palavra deriva de
statu (estado, em latim).
o primeiro dado disponfvel sobre um levantamento
estatfstico foi referido por Her6doto, 0 qual diz que
em 350 a. C. se efetuou um estudo da riqueza da
populac;ao do Egito, cuja finalidade era averiguar
quais os recursos humanos e econ6micos disponf-
veis para a construc;ao das piramides.
Disponfvel em: http://www.esgb-antero-quental.rcts.ptl
NMAT /estatistica.htm#m
A Estatfstica modern a e uma tecnica especial que tra-
ta de problemas como os seguintes:
a) planejamento de um programa de obten<;ao de
dados de maneira que as conclus5es extraidas me-
re<;am confian<;a;
b) metodos de analise dos dados;
c) avalia<;ao das conclus5es e estabelecimento do grau
de confian<;a inspirada;
d) analise e crftica da validade dessas conclus5es.
FONTE: Revista Epoca, Editora
Globo - Relat6rio GEM 2002.
Popula<;ao X Amostra
Quando precisamos fazer um levantamento estatfstico,
podemos nos deparar com situa<;5es em que, as vezes, e
possivel consultar todos os elementos do conjunto universo
e outras vezes nao. Observe os seguintes exemplos:
Exemplo 1
Na sua c1asse, existem quantos rapazes? Quantos des-
tes alcan<;aram media na ultima prova de Matematica?
http://www.esgb-antero-quental.rcts.ptl
••
Exemplo 2
Quantos jovens brasileiros pretendem seguir a carreira
militar? Quantos estao em dia com 0 servi<;:omilitar?
E facil notar que, no primeiro exemplo, podemos facil-
mente consultar todos os alunos e obter as dados pedi-
dos. Porem, no segundo exemplo, nElOe posslvel consul-
tar todos os jovens brasileiros para obtermos os dados
que nos interessam, nao e mesmo?
Para resolvermos esta questao, recorremos, entao, ao
que chamamos de amostra, ou seja, um grupo de jovens
que, consultados, permitem que se chegue ao resultado
mais proximo da realidade.
No 10 exemplo, temos:
Popula<;:ao ou universe estatfstico: todos os rapazes que
fazem parte da sua classe.
No 20 exemplo, temos:
Popula<;:ao ou universe estatfstico: jovens bn;lsileiros
Amostra: e 0 grupo de jovens consultados.
Uma equipe de futebol pretende mudar totalmente 0
seu uniforme. Por meio de uma pesquisa, procura sondar
a preferencia de seus torcedores quanta a cor da camisa,
tipo de material, pre<;:o,tamanho, cor do cal<;:ao,etc ...
Cada uma dessas caracterfsticas e uma variavel da
pesquisa.
De um modo geral, dizemos que a caracterfstica e
• qualitativa: quando os valores nao sac numericos,
como: grau de instru<;:ao, ra<;:a,sexo, etc;
• quantitativa: quando os valores tomados sac nume-
ricos, como: idade, peso, altura, numero de irmaos, etc.
As variaveis podem ser
• discretas: quando so podem assumir valores inteiros,
como: numero de alunos pesquisados, numero de
irmaos, numeros de conselheiros de um clube, etc.
• contfnuas: quando podem assumir qualquer valor
dentro de um intervale de varia<;:ao, como: altura dos
atletas de umaequipe de volei.
Principais atividades* - em %
Agricultura e pecuaria
Venda e manulen<;iio
deveiculos
Industria de
trans!£rm"'i§£
Serviyos na area de
alimenta9a~a'9a",ento
*Empreendimentos com ate 3,5 anos de vida
FONTE: Revista Epoca, Editora Globo - Relat6rio GEM 2002.
Frequencia Absoluta X
Freqi.h~nciaRelativa
Observe a tabela de notas de Matematica de uma
turma. de 30 alunos da 3a serie do ensino medio do
colegio X.
Numero Nota
01 7 11 8 21 6
02 7 12 8 22 7
03 8 13 9 23 6
04 10 14 9 24 7
05 10 15 10 25 8
06 9 16 10 26 8
07 8 17 10 27 9
08 7 18 10 28 8
09 7 19 10 29 6
10 7 20 8 30 8
As preferidas dos pais
Pesquisa mostra as profiss5esdos sonhos das famflias.
Sao poucos os que nao interferem,deixando a decisao
para 0 filho - em %
o que 0 filho quiser 2
FONTE: Revista Epoca, Editora Globo - Instituto Parana de
Pesquisas
Podemos concluir, apos observar a tabela acima, que
• popula<;:ao: 0 grupo de alunos da 3a serie;
• variavel: notas de Matematica.
Podemos verificar por meio de uma simples conta-
gem que 7 alunos conseguiram a nota 10. Isto significa
dizer que a frequencia absoluta da nota 10 e 7.
Frequencia absoluta (FA): e 0 numero de vezes que
um valor da variavel e citado.
No exemplo acima, temos:
• FA (6) = 3, (frequencia absoluta da nota 6 e igual a 3);
• FA (7) = 7;
• FA (8) = 9;
• FA (9) = 4;
• FA (10) = 7.
Observe que a soma das frequencias absolutas e igual
ao numero total de dados, ou seja, numero de elementos
da populac;:ao estatfstica: (3 + 7 + 9 + 4 + 7 = 30).
Se compararmos uma determinada frequencia abso-
luta com 0 numero total de dados, obter:nos uma frequen-
cia denominada de frequencia relativa.
Frequencia relativa (FR): e 0 quociente entre a
frequencia absoluta (FA) e 0 numero total de dados.
No exemplo acima, temos:
3 1
• FR (6) = 30 = 10 = 0,1 = 10% (Frequencia relativa
da nota 6 e igual a 10%);
7
• FR (7) = 30 == 0,233 == 23,3% ;
9
• FR (8) = 30 = 0,3 = 30% ;
4
• FR (9) = 30 == 0,133 == 13,3%;
7
• FR (10) = - == 0,233 == 23,3%;30
Com os resultados obtidos, podemos construir uma .
tabela de frequencias:
[~
Notas.
6
7
FA(a) = frequencia absoluta acumulada
FR(a) = frequencia relativa acumulada
ObservaCfao
As frequencias acumuladas sao obtidas somando-se a
cada uma os valores das· frequencias anteriores.
E importante notar que, por meio das frequencias acu-
muladas, podemos tirar algumas conclus6es de uma
maneira bem mais facil, como, por exemplo:
o numero de alunos com nota inferior a ge igual a 10, 0
que corresponde a 33,3% do total.
Distribuic;ao de frequencias
por intervalos
Para 0 ingresso numa faculdade de Medicina uma
das provas tinha 100 quest6es abrangendo todo 0 con-
teudo de Biologia, Qufmica e Ffsica. As notas obtidas por
60 alunos selecionados ao acaso foram:
••
12 34 28 67 98 99 54 67 45 32
9 23 34 55 88 97 99 87 34 23
14 73 34 81 99 25 48 51 60 93
22 47 58 79 80 59 36 34 44 97
88 85 76 66 41 39 30 25 88 93
45 25 8 77 29 88 79 84 32 49
Em situac;:6es como essa, e costume construir uma
tabela de frequencias na qual os dados estao agrupados
em classes, ou intervalos, de valores.
No nosso exemplo, iremos considerar 5 classes de
intervalo:
• de 0 a 19 pontos. Indica-se: 0 I- 20. Esta notac;:ao
corresponde ao intervalo [ 0 ; 20 [;
• de 20 a 39 pontos;
• de 40 a 59 pont os;
• de 60 a 79 pontos;
• de 80 a 99 pontos.
Observ8Cfoes
A notac;:ao a I- b refere-se ao intervalo [ a; b [. Este intervalo
inclui 0 valor 8, mas nao inclui 0 valor b.
A diferenc;:a b - a representa a amplitude do intervalo.
Por meio dos dados anteriores, podemos construir a
seguinte tabela de distribuic;:ao de frequencias:
Numero F.requencia Frequencia Porcentagem
depontos absoluta relativa .. (o/~)
(Classes) (FA) (FR)
4
01-20 4 - 6,7%
60
20 I- 40 18
18
30,0%-
60
40 I- 60
12
20,0%12 -
60
60 I- 80 9 9 15,0%-
60
17
80 I- 100 17 - 28,3%
60
Total 60 1 100%
Primeira fase
Desde a queda do Imperio Romano, passou prati-
camente um mil{mio sem que se conhecessem
estatfsticas importantes, a nao ser as realizadas par
Pipino, em 758, e par Carlos Magno, em 762, sabre
as terras que eram propriedade da Igreja.
Desde entao, muitos Estados ordenaram estudos
para melhor conhecerem determinadas caracte-
rfsticas da popula<;ao, notadamente para determi-
narem leis sabre impastos e numero de homens
disponfveis para combater.
Esta foi a primeira fase do que, hoje, se chama Esta-
tfstica.
Disponfvel em: http://www.esgb-antero-quental.rcts.ptl
NMAT /estatistica. htm#mhttp://www.esgb-antero-quental.rcts.ptl
•• •
E comum, ao abrirmos uma revista ou um jornal, nos
depararmos com os mais variados tipos de graficos. Isto
se deve ao fate de que uma boa representagao gratica
nos fornece uma melhor visao de um conjunto de dados.
Os graficos estao presentes nas pesquisas eleitorais, nos
resultados do vestibular, nas pesquisas de opiniao publi-
ca, na saude, na economia e nos mais variados setores.
o histograma e urn tipo de grafico muito usado para
representar uma distribuigao de freqOencia.
Observe:
Histograma referente as freqOencias absolutas do
exemplo anterior.
+-
-20 Po 20
o polfgono de freqOencias pode tambem ser usado
para representar graficamente uma distribuigao de
freqOencias por intervaios.
o polfgono de freqOencias e construfdo ligando os
pontos medios das bases superiores dos retangulos do
histograma.
Devemos, tambem, considerar os pontos medios dos
do is intervalos com a mesma amplitude dos demais,
sendo um anterior e outro posterior aos intervalos consi-
derados no histograma. No nosso caso, estes pontos sac
oPe 0 Q.
o gratico de barras e constitufdo de retangulos para-
lelos, horizontais ou verticais, todos com a mesma largura
e comprimentos proporcionais as freqOencias.
•
A tabela abaixo mostra os resultados do censo
demografico feito pelo IBGE nos an os de 1980, 1991,
1996 e 2000.
Ano Popula~aoem milhoes
de habitantes
1980 120
1991 145
1996 159
2000 170
Mortalidade ate 0 terceiro ano de
atividade - em %
Pequenas e
medias
Considerando os graticos da tabela acima, podemos
construir 0 grafico de barras abaixo.
Milh6es
180
160
140
120
100
80
60
40
20
o
FONTE: IBGE, Censo Demografico 1980, 1991 e 2000 e
Contagem da Populac;:ao de 1996.
o grafico de setores e um cfrculo dividido em partes
cujas areas sac proporcionais as freqOencias relativas.
Cada uma das partes recebe 0 nome de setor circular.
Como uma circunferencia possui 360°, 0 angulo cen-
tral correspondente a cada setor e calculado por meio de
uma simples regra de tres.
Observe 0 exemplo a seguir:
Numa pesquisa, foram entrevistadas 165 pessoas e
computados os seguintes resultados:
• 32 pessoas tem plano de saude;
• 75 usam 0 SUS;
• 58 consultam farmaceutico.
• •
Plano
saude
Usam 0 Farmaceutico
SUS
Com estes resultados, podemos construir 0 gratico
de setores a seguir.
D Plano de Saude
o Usam 0 SUS
o Farmaceutico
Observa~ao
As porcentagens sac obtidas a partir de uma regra de
tres simples.
Exemplo
165 pessoas correspondem a 100%
32 pessoas correspondem a x ~ x = 19%
o angulo central correspondente a cada setor tambem e .
obtido por meio de uma regra de tres simples.
Exemplo
3600 correspondem a 100%
Y correspondem a 19% ~ Y = 68,40 = 680 24' (0,40 = 24')
Na escola, sem ler
Pesquisa mapeou as habilidades de
leitura dos estudantes brasilelros da
48 serle do ensino fundamental - em %
Avan~do
AIl'\mdo
esperado para
aidade
Muito
avan9ado
Naotem
tlabilidades de
leitura
Crftico
S6
entendem
frases
simples
Adequado
Bom nivel de
compreensao
Intermediario
Ainda aquem do ideal
FONTE: Revista Epoca, Editora Globo - Sistema
Nacional de Avalia9ao da Educa9ao Basica - 2001.
Perfil do universitario
Elas ja ultrapassaram os homens. A maio ria estuda a
noite, em faculdades pagas
44%
Maculino
55%
Feminino
CL)
31%
Publica
69%
Particular
Este tipo de gratico geralmente e usado para identifi-
car tendencias de aumento ou diminuic;:ao de valores
numericos.
Sempre que as categorias utilizadas representarem
um intervale de tempo, os dados podem ser descritos
tambem por meio de um gratico de linha. Um grafico de
linha retrata as mudanc;:as nas quantidades com respeito
ao tempo, por meio de uma serie de segmentos de reta.
Exemplo
De acordo com os dados dos censos demograficos do
IBGE, temos os seguintes dados, em termos percentuais,
sobre 0 analfabetismo no Brasil:
ANO 1872 1890 1920 1940 1950 1960 1970 1980 1990
% 82,3 82,6 71,2 61,1 57,1 46,7 38,7 31,9 26,5
o 90
~ 80
~ 70
.c 60-.s 50-
~ 40
III 30
~ 20-
??- 10
0-
1872 1890 1920 1940 1950 1960 1970 1980 1990
•
Use 0 melhor grafico para transmitir suas ideias:
• Graficos de setores sac os mais indicados para apre-
sentar partes do todo. Sao uteis para representar
dad os de modo que possam ser visualizados facil-
mente em suas diversas proporgoes.
EvolUl.ao do IGP-M, em %*
3,86
Eleita no prirneiro turno, agora Rosinha tern
a aprovae<ao de apenas urn em cada cinco
rnoradores do Estado. do Rio - em %
2002
FONTE: Andime
2003
*segunda previa
Desernpenho ruirn ou
pessimo
Observac;6es importantes sobre graficos:
Graficos funcionam melhor que tabelas numa apre-
sentagao.
83,3 18
11•• 'il~.il0,"':" ',' 11 I1II
1970 80 91 2000 2010"1970 80 91 2000 2010"1970 80 91 2000 2010"1970 80 91 2000 2010" 80 91 2000 2010"
Cal6licos rotestantes tnidiclonais iEvangi!licos pentecoetal Semi-religiao rOe oul,),'s rel!9Iti!S:1
'"Em 1970, 0 Censo nao separava as protestantes dos evangelicos pentecostais **Proje9ao do Atlas da Filiag8.o Religiosa elndicadores Sociais no
BrasiI/PUC-RJ
1,24
V'~,05091 u0,82 0,84 '
0,68 /'
0,6~/___ 0,5Y
2,00
Brasil
A trajet6ria da taxa Selic - em % ao ano
26,5
1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001
Investimentos em telecomunicagoes (% do PIB)
FONTE: Revista Epoca, Editora Globo.
t
Jun Jul Out Nov Dez Jan Fev Jun Jul Ago
2002 02 02 02 02 2003 03 03 03 03
Segunda fase
No seculo XVII, na Inglaterra, iniciou-se uma segun-
da fase em que ja se analisavam grupos de
observac;oes numericas respeitantes a saude
publica, nascimentos, mortes e comercio.
Nesta fase, distinguiram-se John Graunt (1620-
1674) e William Petty (1623-1687), que procuraram
leis quantitativas para traduzir fen6m{Jnos socia is e
polfticos.
Disponfvel em: http://www.esgb-antero-quental.rcts.pV
NMAT /estatistica. htm#m
Voce ja deve ter se perguntado como em um ana
eleitoral os institutos de pesquisa preveem 0
resultado das urnas. Essa 13 uma das atribuic;oes de
um estatfstico, que utiliza seus conhecimentos de
Matematica aplicada, calculos e 16gica para fazer
previsoes sabre fen6menos e comportamentos.
"Hoje, qualquer um no mercado faz pesquisa quali-
tativa e quantitativa para conhecer as preferencias
do seu publico-alvo", diz Adilson Simonis, professor
de estatfstica do IME (Instituto de Matematica e
Estatfstica da USP) e coordenador do Nucleo de
Apoio ao Estudos de Graduac;ao.
Segundo Simonis, a rotina do estatfstico 13 sempre a
de lidar com 0 planejamento e a analise de dados.
"Precisa ser experiente na escolha e na aplicac;ao
de metodos adequados, gostar muito de Matematica
e desenvolver habilidades no uso de tecnicas,
sistemas e c6digos computacionais em seu trabalho,
como alimentar um banco de dados em sites de
conteudo na Internet", disse Simonis.
A estatfstica fornece ferramentas aplicaveis em di-
versas areas, desde como encontrar a melhor
maneira de colocar novos produtos no mercado ate
como medir 0 nfvel de competitividade empresarial,
sempre indicando alguma possibilidade de erro.
Alem disso, esta largamente difundida a func;ao dos
estatfsticos entre os 6rgaos do governo como num
censo populacional do IBGE. Ele ainda pode atuar
em laborat6rios farmaceuticos, de alimentos e
institutos de analise. "Na medida em que 0 mercado
se torna mais competitivo, a Estatfstica passa a ser
um servic;o de utilidade publica", disse.
Quando Lilian Pereira de Lima terminou 0 curso de
Estatfstica em 1996, nao imaginava que pudesse
usar seus conhecimentos dentro de um hospital.
"Comecei a estagiar no banco de sangue do Hospital
Sfrio Libanes, fazendo pesquisas de qualidade de
sangue. Minha func;ao, na epoca, era a de analisar
e descobrir as causas de patologias por meio de .'
processos de amostragem", disse.
Hoje 0 trabalho de Lilian 13mais amplo: orienta medi-
cos sobre a qualidade do sangue, elabora graficos e
planilhas com as diversas tipologias e probabilidades
de doenc;as e curas, confronta os tipos de sangue
coletados e reagentes segundo as caracterfsticas de
cada paciente.
'~ equipe medica me oferece as dadosgenericos.
Analisamos e confrontamos esses dados para
conseguir mais eficacia num remedio ou num
tratamento. "
Em algumas faculdades, 0 aluno pode fazer 0 curso
de Matematica e depois optar pela Estatfstica. No
ana passado, na USP, a relac;ao foi de 6,4 candidatos
por vaga.
SANTO, Fernando Tadeu. Estatfstica: Profissional
Iida com planejamento e analise. Agencia Folha,
19 set. 2000.
BRASIL
Dados de 01 de maio de 1999
Distribuigao dos candidatos par sexo/cargo
Nao % Total
Informado Feminino
Deputado 571 7386
Estadual
Deputado 185 2822
Federal
Governador 13 121
Presidente 8
Senador 17 215
Totais 786 10 552
7,17% 7962
6,15% 3008
9,70% 134
0,00% 8
7,33% -232
~ 11344
Medidas de POSh;BO
As medidas de posigao mais importantes sao as
medidas de tendencia central, que recebem tal
denominagao pelo fat a de as dados observados
tenderem, em geral, a se agrupar em torno dos valores
centrais.
Dentre as medidas de tendencia central, destacamos:
- a media aritmetica;
- a mediana;
- a moda.
• Media aritmetica (Ma): e 0 quociente da divisao da
soma dos valores da variavel pelo numero total de
elementos.
• Moda (Mo): Denominamos moda de um conjunto de
valores 0 valor que ocorre com maior frequencia, au
seja, e 0 valor de maior frequencia absoluta.
• Mediana (Md): A mediana e outra medida de posi-
gao definida como 0 numero que se encontra no
centro de uma serie de numeros, estando estes
dispostos segundo uma ordem. Em outras palavras,
a mediana de um conjunto de valores, ordenados,
e 0 valor situado de tal forma no conjunto que 0
separa em do is subconjuntos de mesmo numero
de elementos.
http://www.esgb-antero-quental.rcts.pV
Obsservac;:ao
- Se a n° de elementos for fmpar, entao a mediana
sera exatamente a valor central.
Se a n° de elementos for par, entao a mediana sera
exatamente a media "dos dais valores centrais".
Medidas de dispersao
Desvio: e a diferen<;:aentre qualquer valor do conjun-
to de dados e a media aritmetica dos elementos deste
conjunto.
Algumas medidas que envolvem as desvios, sao
denominadas Medidas de Dispersao. Entre elas desta-
camas: a desvio medio, a variancia e a desvio padrao.
Exemplo
Considere a seguinte conjunto de notas obtidas por 6
alunos numa prova de Matematica:
A media aritmetica das notas obtidas par esses alunos e
Ma = 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 = 45 = 7 5
66'
Denominamos desvio de cada nota a diferen<;:a entre
essa nota e a media aritmetica das notas, ou seja:
• a desvio da nota 5 e igual a: 5 - 7,5 = -2,5
• a desvio da nota 6 e igual a: 6 - 7,5 = -1,5
• a desvio da nota 7 e igual a: 7 - 7,5 = -0,5
• a desvio da nota 8 e igual a: 8 - 7,5 = 0,5
• a desvio da nota 9 e igual a: 9 - 7,5 = 1,5
• a desvio da nota 10 e igual a: 10 - 7,5 = 2,5
Desvio medio: denominamos desvio media (Dm} a
media aritmetica dos modulos dos desvios.
Dm = 1- 2,51+ 1- 1,51+ 1- 0,51+ 10,51+ 11,51+ 12,51 =
6
9
= - = 156 '
Variancla: Denominamos variancia (V) a media arit-
metica dos quadrados dos desvios.
V = (-2,5)2 + (-1,5)2 + (-0,5)2 + (0,5)2 + (1,5)2+ (2,5)2
6
= 17,5 = 29
6 '
Desvio-padrao: Denominamos desvio-padrao (DP)
a raiz quadrada da varian cia.
No exemplo anterior, a desvio padrao e igual a
DP = JV = J2,9 = 1,7
Terceira fase
o desenvolvimento do calculo das probabilidades
surge tambem no seculo XVII. A liga<;:aodas proba-
bilidades com as conhecimentos estatfsticos veio
dar uma nova dimensao a Estatfstica. Considera-
se, assim, uma nova fase, a terceira, em que se
come<;:a a fazer inferencia estatfstica.
Tres nomes importantes ligados a esta fase sac:
Fermat (1601-1665), Pascal (1623-1662) e Huygens
(1629-1695).
Disponfvel em: http://www.esgb-antero-
quental.rcts. ptlN MA T/estatistica .htm#m
Questoes propostas
1. (Unicamp) Para um conjunto X = {x1 ' x2, x3' x4}, a media
aritmetica de X e definida par x = x1 + x2 + x3 + x4
4
e a variancia de x e definida por
V = 2 [(x1 - X)2 + ... + (X4 - X)2]4
Dado 0 conjunto X = { 2, 5, 8, 9 }, pede-se:
a) Calcular a media aritmetica de X.
b) Calcular a variancia de X.
c) Quais elementos de X pertencem ao intervalo
[ ( media aritmetica de x ) - ( .r); (media aritme-
tica de x ) + ( .r )]?
2. (FGV) Em um conjunto de 100 observa<;:6es numeri-
cas, podemos afirmar que
a) a media aritmetica e maior que a mediana.
b) a mediana e maior que a moda.
c) 50% dos valores estao acima da media aritmetica.
d) 50% dos valores estao abaixo da mediana.
e) 25% dos valores estao entre a mod a e a mediana.
3. (Fuvest-Adapta<;:ao) A distribui<;:ao dos salarios de
uma empresa e dada na tabela a seguir: .
Sahirio (em R$)
500,00
1 000,00
1 500,00
2 000,00
5 000,00
10 500,00
Total
N° de funcionarios
10
5
1
10
4
1
31
a) Qual e a media dos salarios dessa empresa?
b) Qual e a mediana dos salarios dessa empresa?
••• •
4. As notas de um candidato em suas provas de um
concurso foram: 8,4; 9,1; 7,2; 6,8; 8,7 e 7,2. A nota
media, a nota mediana e a nota modal desse aluno
siio, respectivamente,
a) 7,9; 7,8; 7,2
b) 7,2; 7,8; 7,9
c) 7,8; 7,8; 7,9
d) 7,2; 7,8; 7,9
e) 7,8; 7,9; 7,2
5. (Fuvest) Num determinado pafs, a 'popula<;:iio femi-
nina representa 51 % da popula<;:iio total. Sabendo-
se que a idade media (media aritmetica das idades)
da popula<;:iio feminina-e de 38 anos e a da masculina
e de 36 anos, qual e a idade media da popula<;:iio?
6. (Ufscar) Num curso de inicia<;:iio a informatica, a dis-
tribui<;:iio das idades dos alunos, segundo 0 sexo, e
dada pelo grafico seguinte.
4
Cflg 3
:J
<ii
~ 2
Cfle
OJ
E
':J
Z
o 14 15 16 17 18
Idade dos alunos em anos
Com base nos dados do grafico, pode-se afirmar que
a) 0 numero de meninas com, no maximo, 16 anos e
maior que 0 numero de meninos nesse mesmo
intervale de idades.
b) 0 numero total de alunos e 19.
c) a media de idade das meninas e 15 anos.
d) 0 numero de meninos e igual ao numero de meni-
nas.
e) 0 numero de meninos com idade maior que 15
anos e maior que 0 numero de meninas nesse
mesmo intervalo de idades.
7. (UFU) 0 Departamento de Comercio Exterior do Banco
Central possui 30 funcionarios com a seguinte distri-
bui<;:iio salarial em reai~:
Sahlrios em R$
2 000,00
3 600,00
4 000,00
6 000,00
Quantos funcionarios que recebem R$ 3 600,00
devem ser demitidos para que a mediana desta
distribui<;:iio de salarios seja de R$ 2 800,00?
a) 8
b) 11
c) 9
d) 10
e) 7
III•• •••
8. (Unirio) Um dado foi lan<;:ado 50 vezes. A tabela a
seguir mostra os seis resultados possfveis e as suas
respectivas frequencias de ocorrencias:
Resultado 2 3 4 5 6
Frequencia 7 9 8 7 9 10
A frequencia de aparecimento de um resultado fmpar
foi de
a) 2/5
b) 11/25
c) 12/25
d) 1/2
e) 13/25
9. (PUC-SP) 0 histograma abaixo apresenta a distribui-
<;:iio de frequencia das faixas salariais numa peque-
na empresa. Com os dados disponfveis, pode-se con-
cluir que a media desses salarios e, aproximadamente
a) R$ 420,00
b) R$ 536,00
c) R$ 562,00
d) R$ 640,00
e) R$ 708,00
Sal<3rio (em R$)
o 500 1boo 1500 2000 2500
10. (FGV) A tabela abaixo representa a distribui<;:iio de
frequencias dos salarios de um grupo de 50 empre-
gados de uma empresa, em certo meso
Numero Salario do meso Numero de
da classe (em reais) empregados
1000 -7 2000 20
2 2000 -7 3000 18
3 3000 -7 4000 9
4 4000 -7 5000 3
o salario medio desses empregados, nesse mes,
foi de
a) R$ 2 637,00
b) R$ 2 520,00
c) R$ 2 500,00
d) R$ 2 420,00
e) R$ 2 400,00
11. (UFRS) 0 pre<;:ode venda de um bem de consumo e
R$ 100,00. 0 comerciante tem um ganho de 25%
sobre 0 pre<;:ode custo deste bem. 0 valor do pre<;:o
de custo e
a) R$ 25,00
b) R$ 70,50
;t> R$ 75,00
d R$ 80,00
e) R$ 125,00
•
12. (FGV-SP) Numa pesquisa em determinada cidade,
foram obtidos as seguintes dados, relativos ao numero
de crian9as par familia:
Numero de crian(:as
porfamllia
o
1
2
3
4
Porcentagem de
famllias na cidade
o numero media de crian9as nas familias com 5 au
mais filhos e 5,8. 0 numero media de crian9as par
familia nesta cidade e, entao, igual a
a) 2,00 d) 2,55
b) 2,30 e) 3,00
c) 2,43
13. (FGV) No grafico abaixo, esta representado, no eixo
dasabscissas, a numero de fitas de video alugadas
par semana numa videolocadora, e,no eixo das
ordenadas, a correspondente freqQencia (isto e, a
quantidade de pessoas que alugaram a corres-
pondente numero de fitas):
a) Qual a porcentagem de pessoas que alugaram 4
au mais fitas?
b) Se cada fita e alugada par R$ 4,00, qual a receita
semanal da videolocadora?
g E1-:::::::::::::::::::
'Ql:6- 15 -------------.-J: 10 ---------------
5 __
2 3 4 5 6
Numero de fitas
14. (Unifor-CE) Em certa elei9ao municipal, foram
obtidos as seguintes resultados:
Candidato Porcentagem Numero de
do total de votos votos
A 26%
B 24%
C 22%
nulos au em 196
branco
o numero de votos obtido pelo candidato vence-
dor foi
a) 178
b) 182
c) 184
d) 188
e) 191
•
Quarta fase
No seculo XIX, inicia-se a ultima fase do desenvolvi-
mento da Estatfstica, alargando e interligando os
conhecimentos adquiridos nas tres fases anteriores.
Com esta fase, da-se infcio a uma dependencia dos
diferentes ramos do saber relativamente a Estatfstica.
Dois dos grandes nomes associados a este desen-
volvimento sao: Ronald Fisher (1890-1962) e Karl
Pearson (1857-1936).
Hoje, a Estatfstica nao se limita apenas ao estudo
da Demografia e da Economia. 0 seu campo de
aplicagao alargou-se a analise de dados em Biolo-
gia, Medicina, Ffsica, Psicologia, industria, comercio,
Meteorologia, Educagao, etc, e ainda a domfnios
aparentemente desligados, como Estrutura de
Linguagem e estudo de formas literarias.
Dispon[vel em: http://www.esgb-antero-quental.rcts.ptl
NMAT /estatistica.htm#m
15. (UE-RJ) Observe a demonstrativo do consumo de
energia eletrica. Para conhecimento, demonstramos
abaixo a evolu9ao do consumo de energia eletrica
nos ultimos meses.
KWh
235
Considere que a consumo media, de agosto de 1998
a dezembro de 1998, foi igual ao que ocorreu de
janeiro de 1999 a abril de 1999. 0 consumo no mes
de abril de 1999, em kWh, foi igual a
a) 141
b) 151
c) 161
d) 171
16. (Santo Andre-SP) Foram pesquisadas as idades das
pessoas de um grupo e obtiveram-se as seguintes
resultados:
N° de pessoas Idade (anos)
5 12
22 18
25 27
16 32
3 40
65
Total 72
http://www.esgb-antero-quental.rcts.ptl
•
o gratico de setores abaixo representa a distribui-
<;800dada na tabela.
Podemos afirmar que ex mede:
a) 72°
b) 60°
c) 25°
d) 10°
e) 5°
17. (UFRN) Uma prova foi aplicada em duas turmas distin-
tas. Na primeira, com 30 alunos, a media aritmetica
das notas foi 6,40. Na segunda, com 50 alunos, foi
5,20. A media aritmetica das notas dos 80 alunos foi
a) 5,65
b) 5,70
c) 5,75
d) 5,80
18. (Fuvest-SP) A distribui<;8oo das idades dos alunos
de uma classe e dada pelo grafico abaixo.
Qual das alternativas representa MELHOR a media
de idades dos alunos?
a) 16 anos e 10 meses.
b) 17 an os e 1 meso
c) 17 an os e 5 meses.
d) 18 an os e 6 meses.
e) 19 an os e 2 meses.
23
20
en
0c
J
<ii
(J)
"0
e 10
(J)
E
'Jz 5
2
19. (UFU-MG) Em uma c1asse de 40 alunos, as notas
obtidas em um teste formaram a seguinte distri-
bui<;8oo:
Notas 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Numero de alunos 4 4 8 1 2 7 7 5 1 1
a) 3
b) 8
c) 7
d) 6
e) 5
20. (UFMG) No infcio de uma partida de futebol, a altura
media dos 11 jogadores de um dos times era 1,72 m.
Ainda no primeiro tempo, um desses jogadores, com
1,77 m de altura, foi substitufdo. Em seu lugar, entrou
um outro que media 1,68 m de altura. No segundo
tempo, outro jogador do mesmo time, com 1,73 m de
altura, foi expulso. Ao terminar a partida, a altura
media dos 10 jogadores desse time era
a) 1,69 m
b) 1,70 m
c)1,71m
d) 1,72 m
21. (UNB-DF) Numa turma, com igual numero de mo<;as
e rapazes, foi aplicada uma prova de Matematica.
A media aritmetica das notas das mo<;as foi 9,2 e a
dos rapazes foi 8,8. Qual a media aritmetica de toda
a turma nessa prova?
a)7
b) 8,9
c) 9
d) 9,1
e) 9,2
22. (Vunesp-SP) Segundo materia publicada em
o Estado de S. Paulo, 9/6/1996, 0 Instituto Nacional
de Seguridade Social (INSS) gast!'l atualmente 40
bilh6es de reais por ana com 0 pagamento de
aposentadorias' e pens6es de 16 milh6es de pes-
soas. A mesma materia informa que 0 Governo Fede-
ral gasta atualmente 20 bilh6es de reais por ana
com 0 pagamento de um milh800de servidores publi-
cos federais aposentados. Indicando por x a remu-
nera<;8ooanual media dos beneficiarios do INSS e
por y a remunera<;8oo anual media dos servidores
federais aposentados, ent800 y e igual a
a) 2x
b) 6x
c) 8x
d) 10x
e) 16x
23. (UERJ) 0 engenheiro Ronaldo Belassiano desco-
briu que 0 carioca e 0 povo mais agil para embar-
car nos coletivos. Ele leva, em media, apenas 1,85
segundo contra 2,4 segundos gastos, em media,
pelos londrinos.
Com base no texto, considere que um 6nibus no Rio
de Janeiro fique parado num ponto, durante 74.
segundos, e embarque passageiros de acordo com
a media apresentada.
• •
Em Londres, para embarcar essa mesma quantidade
de passageiros, 0 6nibus devera ficar parado durante
a) 96 s
b) 104 s
c) 108 s
d) 220 s
ProdUl;ao e vendas, em setembro, de tres
montadoras de autom6veis
Montadora Unidades Porcentagem
produzidas vendida da
produ~ao
A 3000 80%
B 5000 60%
C 2000 x~o
Sabendo-se que nesse mes as tres montadoras ven-
deram 7 000 dos 10 000 carros produzidos, 0 valor
de x e
a) 30
b) 50
c) 65
d) 80
e) 100
25. (Fuvest-SP) Sabe-se que a media aritmetica de 5 nume-
ros inteiros distintos, estritamente positivos, e 16.
o maior valor que um desses inteiros pode assumir e
a) 16
b) 20
c) 50
d) 70
e) 100
26. (Vunesp-SP) 0 grafico representa, em milhares de
toneladas, a produc;:ao no Estado de Sao Paulo de
um determinado produto agricola entre os an os de
1990 e 1998.
m~~t__~__, r __ ~ , __ -r __ ___ ,
, , , , , '/'\'
60 --+--1):\--+/-: -+ -1
50 ---V(--: V-1---r--:-"-:
40 I __ ~_. __ ~-__ .. , __ ~ ~ __ ~ ~
V::::::: :30 --:---~---r---:---1---:---~---~I I I I I I I I~~l~~tt~~t~~tt~~t~~t~j
I I I I I I I Io I I I I : : I '----.
90 91. 92 93 94 95 96 97 98 ana
., •
Analisando 0 grafico, observa-se que a produ9ao
a) foi crescente entre 1992 e 1995.
b) teve media de 40 mil toneladas ao ano.
c) em 1993 teve acrescimo de 30% em rela9ao ao
ana anterior.
d) a partir de 1995 foi decrescente.
e) teve media de 50 mil toneladas ao ano.
27. (UFMG) Define-se a media aritmetica de n numeros
dados como 0 resultado da divisao por n da soma
dos n numeros dados. Sabe-se que 3,6 e a media
aritmetica de 2,7; 1,4; 5,2 ex. 0 numero x e igual a
a) 2,325
b) 3,1
c) 3,6
d) 5,1
28. (UCMG) Em uma pesquisa eleitoral para verificar a
posi9ao de tres candidatos a prefeito de uma cidade,
1500 pessoas foram consultadas. Se 0 resultado da
pesquisa deve ser mostrado em tres setores circula-
res de um mesmo disco e certo candidato recebeu
359 inten90es de voto, qual e 0 angulo central corres-
pondente a este candidato?
a) 42°
b) 168°
c) 90°
d) 242°
e) 84°
29. Construa um grafico de barras, considerando a tabela
abaixo, na qual consta 0 numero de go Is marcados
pelos times A,B,C,D,E,F,G,H e I num torneio de futebol.
Times A
Gois 8
BCD
7 10 4
E F G
5 10 13
a) Qual e a media de gols por time (MA)?
b) Qual e a moda (Mo) ?
c) Qual e a mediana (Md) ?
30. Numa pesquisa realizada durante um vestibular,
foram entrevistados 400 alunos. Constatou-se que
18% estudaram no Curso PAR, 19% estudaram no
Curso fMPAR, 14% estudaram no Curso PRIMO e
que os demais estudaram no Curso CEM. Construa
a tabela completa de distribui9ao de freqOencias.
Cuidado com as Estatfsticas
Par vezes, a Estatfstica pode originar alguns mal-
entendidos ...
"No aviario
Do tio Januario
D. Estatfstica dizia:
Uma galinha .
Coitadinha! .
P6e ovo e meio por dia!"
• • •
Ha, pois, que tomar muito cuidado para que nao
sejamos iludidos com alguns dados que nos
poderao ser fornecidos de maneira tendenciosa.
Imaginemos a seguinte situa9ao: a empresa X Ltda.
apresentou um gratico de barras representando
ntJmero de casas que construiu de 1996 a 1999.
460
4501
440
430
420
410..--
400
Aparentemente, a ntJmero de casas construfdas em
1997 e a triplo do de 1996, e a de 1998 e cinco vezes
maior.
Mas sera mesmo verdade?Note-se que a escala come9a em 400 ...
Se compararmos com a grafico seguinte, vemos que
afinal as coisas nao foram bem assim. ..
500-
400
300
200
100
o
Disponfvel em: http://www.esgb-antero-quental.rcts.ptl
NMAT /estatistica.htm#m
31. (PUC-SP) E dado um conjunto de 20 numeros cuja
media aritmetica e 64. Cada numero desse conjunto
e multiplicado por 2 e, em seguida, acrescido de 5
unidades. Qual e a media aritmetica dos 20 numeros
assim obtidos?
32. (Unicamp-SP) A media aritmetica das idades de um
grupo de 120 pessoas e de 40 anos. Se a media
aritmetica das idades das mulheres e de 35 an os e
das dos homens e de 50 anos, qual 0 numero de
pessoas de cad a sexo, no grupo?
33. (FAAP-SP) Nas elei<;:oesem 10 turno, em todo 0 pais,
no dia 3 de outubro de -1996, inaugurou-se 0 voto
eletr6nico. Numa determinada se<;:aoeleitoral, cinco
eleitores demoraram para votar, respectivamente:
1 min 4 s, 1 min 32 s, 1 min 12 s, 1 min 52 s e 1 min
40 s . A media aritmetica do tempo de vota<;:ao (em
minutos e segundos) desses eleitores e
•••
a)1 min 28 s
b) 1 min 58 s
c) 1 min
d) 1 min 4 s
e) 2 min 4 s
34. (Fuvest-SP) Uma prova continha cinco questoes,
cad a uma valendo dois pontos. Ern sua corre<;:ao,
foram atribuidas a cada questao apenas as notas 0
ou 2, caso a resposta estivesse, respectivamente,
errada ou certa. A soma dos pontos obtidos ern cad a
questao forneceu a nota da prova de cada aluno. Ao
final da corre<;:ao, produziu-se a seguinte tabela,
contendo a porcentagem de acertos em cada
questao:
a) 3,0
b) 4,0
c) 4,2
d) 4,4
e) 4,6
35. (Vunesp-SP) Num concurso vestibular para dois
cursos, A e B , compareceram 500 candidatos para
o curso A e 100 candidatos para 0 curso B. Na prova
de Matematica, a media aritmetica geral, consi-
derando os dois cursos, foi 4,0. Mas, considerando-
se apenas os candidatos ao curso A, a media cai
para 3,8. A media dos candidatos ao curso B, na
prova de Matematica, foi
a) 4,2
b) 5,0
c) 5,2
d) 6,0
e) 6,2
36. (UFJF-MG) Para ser aprovado numa disciplina, um
aluno precisa ter media maior ou igual a 50, obtida
nurn conjunto de cinco provas, sendo quatro
parciais, com peso 1 (um) cada, e uma prova-exame,
com peso 2 (dois). Um certo aluno obteve em
Matematica, nas quatro provas parciais, notas iguais ~
a 30, 60, 50 e 70. Esse aluno, para ser aprovado
nessa disciplina, devera obter, na prova-exame, nota
minima igual a
a) 20
b) 35
c) 40
d) 45
e) 50
http://www.esgb-antero-quental.rcts.ptl
• • • •••••
a) 4,5, 15, 17,2~ 33
b) 14, 35
c) 8,12,16,18,20,21,22
d) 2,6,7,11,19,24,25,27,34,36
e) 9, 10,26,28
1. a) 6
b) 7,5
c) 5 e 8
3. a) R$ 2 000,00
b) R$ 1 500,00
13. a) 31,25%
b) R$ 940,00
29. a) MA = 8
b) Mo = 10
c) Md = 8
30. FA (PAR) = 18% de 400 = 72
FA (IMPAR) = 19% de 400 = 76
FA (PRIMO) = 14% de 400 = 56
FA (CEM) = 49% de 400 = 196
Cursos FA FAa FR FRa Porcentagem
PAR 72 72 0,18 0,18 18%
IMPAR 76 148 0,19 0,37 19%
PRIMO 56 204 0,14 0,51 14%
CEM 196 400 0,49 1,00 49%
Total 400 400 1,00 1,00 100%
FA(a) = freqOencia absoluta acumulada
FR(a) = freqOencia relativa acumulada