3A - Sequencias monotonas

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Sequências monótonas Exemplo 1 Exemplo 2 O número e
Sequências (Infinitas)
Sequências monótonas Exemplo 1 Exemplo 2 O número e
Sequências monótonas
sequência crescente:
a1 < a2 < a3 < .. .
sequência decrescente:
a1 > a2 > a3 > .. .
sequência não decrescente:
a1 ≤ a2 ≤ a3 ≤ . . .
sequência não crescente:
a1 ≥ a2 ≥ a3 ≥ . . .
Sequências monótonas Exemplo 1 Exemplo 2 O número e
Proposição 1
Toda sequência convergente é limitada.
OBS: A recíproca é falsa: existem sequência limitadas que não são
convergentes. Por exemplo
(1,−1, 1,−1, 1,−1, . . .)
Sequências monótonas Exemplo 1 Exemplo 2 O número e
Teorema 2
Toda sequência monótona limitada é convergente.
Demonstração: Vamos demonstrar o caso em que (an) é não
decrescente:
a1 ≤ a2 ≤ a3 ≤ . . .
Os outros casos são análogos e ficam como exercício.
Seja S o supremo do conjunto X = {a1,a2,a3, . . .} dos termos
da sequência. (O supremo existe pois, por hipótese, esse conjunto é
limitado.) Vamos mostrar que liman = S .
Sequências monótonas Exemplo 1 Exemplo 2 O número e
Teorema 2
Toda sequência monótona limitada é convergente.
Demonstração: Vamos demonstrar o caso em que (an) é não
decrescente:
a1 ≤ a2 ≤ a3 ≤ . . .
Os outros casos são análogos e ficam como exercício.
Seja S o supremo do conjunto X = {a1,a2,a3, . . .} dos termos
da sequência. (O supremo existe pois, por hipótese, esse conjunto é
limitado.) Vamos mostrar que liman = S .
Sequências monótonas Exemplo 1 Exemplo 2 O número e
Teorema 2
Toda sequência monótona limitada é convergente.
Demonstração: Vamos demonstrar o caso em que (an) é não
decrescente:
a1 ≤ a2 ≤ a3 ≤ . . .
Os outros casos são análogos e ficam como exercício.
Seja S o supremo do conjunto X = {a1,a2,a3, . . .} dos termos
da sequência. (O supremo existe pois, por hipótese, esse conjunto é
limitado.) Vamos mostrar que liman = S .
Sequências monótonas Exemplo 1 Exemplo 2 O número e
Teorema 2
Toda sequência monótona limitada é convergente.
Demonstração: Vamos demonstrar o caso em que (an) é não
decrescente:
a1 ≤ a2 ≤ a3 ≤ . . .
Os outros casos são análogos e ficam como exercício.
Seja S o supremo do conjunto X = {a1,a2,a3, . . .} dos termos
da sequência. (O supremo existe pois, por hipótese, esse conjunto é
limitado.) Vamos mostrar que liman = S .
Sequências monótonas Exemplo 1 Exemplo 2 O número e
Teorema 2
De fato, dado ε > 0, existe um elemento aN do conjunto X tal que
S− ε < aN ≤ S (já que S é supremo de X ). Como a sequência é
não decrescente, aN ≤ an sempre n> N e sendo S o supremo de X ,
an ≤ S para todo n. Ou seja,
n > N =⇒ S− ε < aN ≤ an ≤ S < S+ ε
=⇒ |an−S |< ε
Isso mostra que liman = S .
Sequências monótonas Exemplo 1 Exemplo 2 O número e
Teorema 2
De fato, dado ε > 0, existe um elemento aN do conjunto X tal que
S− ε < aN ≤ S (já que S é supremo de X ). Como a sequência é
não decrescente, aN ≤ an sempre n> N e sendo S o supremo de X ,
an ≤ S para todo n. Ou seja,
n > N =⇒ S− ε < aN ≤ an ≤ S < S+ ε
=⇒ |an−S |< ε
Isso mostra que liman = S .
Sequências monótonas Exemplo 1 Exemplo 2 O número e
Teorema 2
De fato, dado ε > 0, existe um elemento aN do conjunto X tal que
S− ε < aN ≤ S (já que S é supremo de X ). Como a sequência é
não decrescente, aN ≤ an sempre n> N e sendo S o supremo de X ,
an ≤ S para todo n. Ou seja,
n > N =⇒ S− ε < aN ≤ an ≤ S < S+ ε
=⇒ |an−S |< ε
Isso mostra que liman = S .
Sequências monótonas Exemplo 1 Exemplo 2 O número e
Teorema 2
De fato, dado ε > 0, existe um elemento aN do conjunto X tal que
S− ε < aN ≤ S (já que S é supremo de X ). Como a sequência é
não decrescente, aN ≤ an sempre n> N e sendo S o supremo de X ,
an ≤ S para todo n. Ou seja,
n > N =⇒ S− ε < aN ≤ an ≤ S < S+ ε
=⇒ |an−S |< ε
Isso mostra que liman = S .
Sequências monótonas Exemplo 1 Exemplo 2 O número e
Teorema 2
De fato, dado ε > 0, existe um elemento aN do conjunto X tal que
S− ε < aN ≤ S (já que S é supremo de X ). Como a sequência é
não decrescente, aN ≤ an sempre n> N e sendo S o supremo de X ,
an ≤ S para todo n. Ou seja,
n > N =⇒ S− ε < aN ≤ an ≤ S < S+ ε
=⇒ |an−S |< ε
Isso mostra que liman = S .
Sequências monótonas Exemplo 1 Exemplo 2 O número e
Teorema 2
De fato, dado ε > 0, existe um elemento aN do conjunto X tal que
S− ε < aN ≤ S (já que S é supremo de X ). Como a sequência é
não decrescente, aN ≤ an sempre n> N e sendo S o supremo de X ,
an ≤ S para todo n. Ou seja,
n > N =⇒ S− ε < aN ≤ an ≤ S < S+ ε
=⇒ |an−S |< ε
Isso mostra que liman = S .
Sequências monótonas Exemplo 1 Exemplo 2 O número e
Teorema 2
Toda sequência monótona limitada é convergente.
OBS: Conforme visto na demonstração o limite de uma sequência
não decrescente (em particular, sequência crescente) e limitada
a1 ≤ a2 ≤ a3 ≤ . . . ≤ an ≤ . . . ≤ S
é o supremo do conjunto dos elementos dessa sequência.
Analogamente, o limite de uma sequência não crescente (em
particular, sequência decrescente) e limitada
a1 ≥ a2 ≥ a3 ≥ . . . ≥ an ≥ . . . ≥ s
é o ínfimo do conjunto dos elementos dessa sequência.
Sequências monótonas Exemplo 1 Exemplo 2 O número e
Teorema 2
Toda sequência monótona limitada é convergente.
OBS: Conforme visto na demonstração o limite de uma sequência
não decrescente (em particular, sequência crescente) e limitada
a1 ≤ a2 ≤ a3 ≤ . . . ≤ an ≤ . . . ≤ S
é o supremo do conjunto dos elementos dessa sequência.
Analogamente, o limite de uma sequência não crescente (em
particular, sequência decrescente) e limitada
a1 ≥ a2 ≥ a3 ≥ . . . ≥ an ≥ . . . ≥ s
é o ínfimo do conjunto dos elementos dessa sequência.
Sequências monótonas Exemplo 1 Exemplo 2 O número e
Exemplo 1
lim
(
1
n
)
= 0
Demonstração: De fato, a sequência
1 >
1
2
>
1
3
> .. . >
1
n
> .. . > 0
é decrescente e limitada, cujo ínfimo é 0.
Sequências monótonas Exemplo 1 Exemplo 2 O número e
Exemplo 1
lim
(
1
n
)
= 0
Demonstração: De fato, a sequência
1 >
1
2
>
1
3
> .. . >
1
n
> .. . > 0
é decrescente e limitada, cujo ínfimo é 0.
Sequências monótonas Exemplo 1 Exemplo 2 O número e
Exemplo 2
Seja c uma constante qualquer e seja k um inteiro positivo. Então
lim
( c
nk
)
= 0
Demonstração:
lim
( c
nk
)
= (limc)
(
lim
1
n
)
· · ·
(
lim
1
n
)
= c ·0 · . . . ·0
= 0
Sequências monótonas Exemplo 1 Exemplo 2 O número e
Exemplo 2
Seja c uma constante qualquer e seja k um inteiro positivo. Então
lim
( c
nk
)
= 0
Demonstração:
lim
( c
nk
)
= (limc)
(
lim
1
n
)
· · ·
(
lim
1
n
)
= c ·0 · . . . ·0
= 0
Sequências monótonas Exemplo 1 Exemplo 2 O número e
O número e
e = lim
n→+∞
(
1+
1
n
)n
Demonstração: Primeiramente mostremos que a sequencia
an =
(
1+
1
n
)n
é crescente. Para isto, note que
an =
(
1+
1
n
)n
= 1+n
1
n
+
n(n−1)
2
(
1
n
)2
+ . . .+
(
1
n
)n
=
n
∑
r=0
(
n
r
)
1
nr
= 1+
n
∑
r=1
[
n(n−1)(n−2) . . .(n− r +1)
r !
1
nr
]
Sequências monótonas Exemplo 1 Exemplo 2 O número e
O número e
e = lim
n→+∞
(
1+
1
n
)n
Demonstração: Primeiramente mostremos que a sequencia
an =
(
1+
1
n
)n
é crescente.
Para isto, note que
an =
(
1+
1
n
)n
= 1+n
1
n
+
n(n−1)
2
(
1
n
)2
+ . . .+
(
1
n
)n
=
n
∑
r=0
(
n
r
)
1
nr
= 1+
n
∑
r=1
[
n(n−1)(n−2) . . .(n− r +1)
r !
1
nr
]
Sequências monótonas Exemplo 1 Exemplo 2 O número e
O número e
e = lim
n→+∞
(
1+
1
n
)n
Demonstração: Primeiramente mostremos que a sequencia
an =
(
1+
1
n
)n
é crescente. Para isto, note que
an =
(
1+
1
n
)n
= 1+n
1
n
+
n(n−1)
2
(
1
n
)2
+ . . .+
(
1
n
)n
=
n
∑
r=0
(
n
r
)
1
nr
= 1+
n
∑
r=1
[
n(n−1)(n−2) . . .(n− r +1)
r !
1
nr
]
Sequências monótonas Exemplo 1 Exemplo 2 O número e
O número e
e = lim
n→+∞
(
1+
1
n
)n
Demonstração: Primeiramente mostremos que a sequencia
an =
(
1+
1
n
)n
é crescente. Para isto, note que
an =
(
1+
1
n
)n
= 1+n
1
n
+
n(n−1)
2
(
1
n
)2
+ . . .+
(
1
n
)n
=
n
∑
r=0
(
n
r
)
1
nr
= 1+
n
∑
r=1
[
n(n−1)(n−2) . . .(n− r +1)
r !
1
nr
]
Sequências monótonas Exemplo 1 Exemplo 2 O número e
O númeroe
an = 1+
n
∑
r=1
[
n(n−1)(n−2) . . .(n− r +1)
r !
1
nr
]
= 1+
n
∑
r=1
[
1
r !
n
n
n−1
n
n−2
n
. . .
n− r +1
n
]
= 1+
n
∑
r=1
[
1
r !
(
1− 1
n
)(
1− 2
n
)
. . .
(
1− r −1
n
)]
an+1 = 1+
n+1
∑
r=1
[
1
r !
(
1− 1
n+1
)(
1− 2
n+1
)
. . .
(
1− r −1
n+1
)]
Sequências monótonas Exemplo 1 Exemplo 2 O número e
O número e
an = 1+
n
∑
r=1
[
n(n−1)(n−2) . . .(n− r +1)
r !
1
nr
]
= 1+
n
∑
r=1
[
1
r !
n
n
n−1
n
n−2
n
. . .
n− r +1
n
]
= 1+
n
∑
r=1
[
1
r !
(
1− 1
n
)(
1− 2
n
)
. . .
(
1− r −1
n
)]
an+1 = 1+
n+1
∑
r=1
[
1
r !
(
1− 1
n+1
)(
1− 2
n+1
)
. . .
(
1− r −1
n+1
)]
Sequências monótonas Exemplo 1 Exemplo 2 O número e
O número e
an = 1+
n
∑
r=1
[
n(n−1)(n−2) . . .(n− r +1)
r !
1
nr
]
= 1+
n
∑
r=1
[
1
r !
n
n
n−1
n
n−2
n
. . .
n− r +1
n
]
= 1+
n
∑
r=1
[
1
r !
(
1− 1
n
)(
1− 2
n
)
. . .
(
1− r −1
n
)]
an+1 = 1+
n+1
∑
r=1
[
1
r !
(
1− 1
n+1
)(
1− 2
n+1
)
. . .
(
1− r −1
n+1
)]
Sequências monótonas Exemplo 1 Exemplo 2 O número e
O número e
an = 1+
n
∑
r=1
[
n(n−1)(n−2) . . .(n− r +1)
r !
1
nr
]
= 1+
n
∑
r=1
[
1
r !
n
n
n−1
n
n−2
n
. . .
n− r +1
n
]
= 1+
n
∑
r=1
[
1
r !
(
1− 1
n
)(
1− 2
n
)
. . .
(
1− r −1
n
)]
an+1 = 1+
n+1
∑
r=1
[
1
r !
(
1− 1
n+1
)(
1− 2
n+1
)
. . .
(
1− r −1
n+1
)]
Sequências monótonas Exemplo 1 Exemplo 2 O número e
O número e
an = 1+
n
∑
r=1
[
1
r !
(
1− 1
n
)(
1− 2
n
)
. . .
(
1− r −1
n
)]
an+1 = 1+
n+1
∑
r=1
[
1
r !
(
1− 1
n+1
)(
1− 2
n+1
)
. . .
(
1− r −1
n+1
)]
= 1+
n
∑
r=1
[
1
r !
(
1− 1
n+1
)(
1− 2
n+1
)
. . .
(
1− r −1
n+1
)]
+
1
(n+1)!
(
1− 1
n+1
)(
1− 2
n+1
)
. . .
(
1− n
n+1
)
Disso segue que an < an+1 para todo n, ou seja, a sequência (an) é
crescente.
Sequências monótonas Exemplo 1 Exemplo 2 O número e
O número e
an = 1+
n
∑
r=1
[
1
r !
(
1− 1
n
)(
1− 2
n
)
. . .
(
1− r −1
n
)]
an+1 = 1+
n+1
∑
r=1
[
1
r !
(
1− 1
n+1
)(
1− 2
n+1
)
. . .
(
1− r −1
n+1
)]
= 1+
n
∑
r=1
[
1
r !
(
1− 1
n+1
)(
1− 2
n+1
)
. . .
(
1− r −1
n+1
)]
+
1
(n+1)!
(
1− 1
n+1
)(
1− 2
n+1
)
. . .
(
1− n
n+1
)
Disso segue que an < an+1 para todo n, ou seja, a sequência (an) é
crescente.
Sequências monótonas Exemplo 1 Exemplo 2 O número e
O número e
an = 1+
n
∑
r=1
[
1
r !
(
1− 1
n
)(
1− 2
n
)
. . .
(
1− r −1
n
)]
an+1 = 1+
n+1
∑
r=1
[
1
r !
(
1− 1
n+1
)(
1− 2
n+1
)
. . .
(
1− r −1
n+1
)]
= 1+
n
∑
r=1
[
1
r !
(
1− 1
n+1
)(
1− 2
n+1
)
. . .
(
1− r −1
n+1
)]
+
1
(n+1)!
(
1− 1
n+1
)(
1− 2
n+1
)
. . .
(
1− n
n+1
)
Disso segue que an < an+1 para todo n, ou seja, a sequência (an) é
crescente.
Sequências monótonas Exemplo 1 Exemplo 2 O número e
O número e
Agora vamos mostrar que (an) também é limitada.
De fato,
qualquer que seja n ≥ 2
an = 1+
n
∑
r=1
[
1
r !
(
1− 1
n
)(
1− 2
n
)
. . .
(
1− r −1
n
)]
< 1+
n
∑
r=1
1
r !
= 1+1+
1
2!
+
1
3!
+ . . .+
1
n!
< 1+1+
1
2
+
1
22
+ . . .+
1
2n−1
< 3
Sequências monótonas Exemplo 1 Exemplo 2 O número e
O número e
Agora vamos mostrar que (an) também é limitada. De fato,
qualquer que seja n ≥ 2
an = 1+
n
∑
r=1
[
1
r !
(
1− 1
n
)(
1− 2
n
)
. . .
(
1− r −1
n
)]
< 1+
n
∑
r=1
1
r !
= 1+1+
1
2!
+
1
3!
+ . . .+
1
n!
< 1+1+
1
2
+
1
22
+ . . .+
1
2n−1
< 3
Sequências monótonas Exemplo 1 Exemplo 2 O número e
O número e
Agora vamos mostrar que (an) também é limitada. De fato,
qualquer que seja n ≥ 2
an = 1+
n
∑
r=1
[
1
r !
(
1− 1
n
)(
1− 2
n
)
. . .
(
1− r −1
n
)]
< 1+
n
∑
r=1
1
r !
= 1+1+
1
2!
+
1
3!
+ . . .+
1
n!
< 1+1+
1
2
+
1
22
+ . . .+
1
2n−1
< 3
Sequências monótonas Exemplo 1 Exemplo 2 O número e
O número e
Agora vamos mostrar que (an) também é limitada. De fato,
qualquer que seja n ≥ 2
an = 1+
n
∑
r=1
[
1
r !
(
1− 1
n
)(
1− 2
n
)
. . .
(
1− r −1
n
)]
< 1+
n
∑
r=1
1
r !
= 1+1+
1
2!
+
1
3!
+ . . .+
1
n!
< 1+1+
1
2
+
1
22
+ . . .+
1
2n−1
< 3
Sequências monótonas Exemplo 1 Exemplo 2 O número e
O número e
Agora vamos mostrar que (an) também é limitada. De fato,
qualquer que seja n ≥ 2
an = 1+
n
∑
r=1
[
1
r !
(
1− 1
n
)(
1− 2
n
)
. . .
(
1− r −1
n
)]
< 1+
n
∑
r=1
1
r !
= 1+1+
1
2!
+
1
3!
+ . . .+
1
n!
< 1+1+
1
2
+
1
22
+ . . .+
1
2n−1
< 3
Sequências monótonas Exemplo 1 Exemplo 2 O número e
O número e
Agora vamos mostrar que (an) também é limitada. De fato,
qualquer que seja n ≥ 2
an = 1+
n
∑
r=1
[
1
r !
(
1− 1
n
)(
1− 2
n
)
. . .
(
1− r −1
n
)]
< 1+
n
∑
r=1
1
r !
= 1+1+
1
2!
+
1
3!
+ . . .+
1
n!
< 1+1+
1
2
+
1
22
+ . . .+
1
2n−1
< 3
Sequências monótonas Exemplo 1 Exemplo 2 O número e
O número e
Em resumo
a1 < a2 < a3 < .. . < an < .. . < 3
e portanto seu limite
e = lim
n→+∞
(
1+
1
n
)n
≤ 3.
Sequências monótonas Exemplo 1 Exemplo 2 O número e
O número e
Em resumo
a1 < a2 < a3 < .. . < an < .. . < 3
e portanto seu limite
e = lim
n→+∞
(
1+
1
n
)n
≤ 3.
Sequências monótonas Exemplo 1 Exemplo 2 O número e
O número e
Outra maneira de escrever o número e:
e =
+∞
∑
n=0
1
n!
= 1+1+
1
2!
+
1
3!
+ . . .+
1
n!
+ . . .
ou seja
e = lim
n→+∞
(
2+
1
2!
+
1
3!
+ . . .+
1
n!
)
Sequências monótonas Exemplo 1 Exemplo 2 O número e
O número e
Outra maneira de escrever o número e:
e =
+∞
∑
n=0
1
n!
= 1+1+
1
2!
+
1
3!
+ . . .+
1
n!
+ . . .
ou seja
e = lim
n→+∞
(
2+
1
2!
+
1
3!
+ . . .+
1
n!
)
Sequências monótonas Exemplo 1 Exemplo 2 O número e
O número e
an =
(
1+
1
n
)n
, bn =
(
1+1+
1
2!
+
1
3!
+ . . .+
1
n!
)
=
n
∑
k=0
1
k!
O que queremos provar é que
limbn = liman = e.
Em geral temos o seguinte
a1 < a2 < a3 < .. . < an < .. .
b0 < b1 < b2 < b3 < .. . < bn < .. .
Sendo an < bn para todo n ≤ 2, o que implica e = liman ≤ limbn.
Assim, falta verificar que também limbn ≤ liman = e.
Sequências monótonas Exemplo 1 Exemplo 2 O número e
O número e
an =
(
1+
1
n
)n
, bn =
(
1+1+
1
2!
+
1
3!
+ . . .+
1
n!
)
=
n
∑
k=0
1
k!
O que queremos provar é que
limbn = liman = e.
Em geral temos o seguinte
a1 < a2 < a3 < .. . < an < .. .
b0 < b1 < b2 < b3 < .. . < bn < .. .
Sendo an < bn para todo n ≤ 2, o que implica e = liman ≤ limbn.
Assim, falta verificar que também limbn ≤ liman = e.
Sequências monótonas Exemplo 1 Exemplo 2 O número e
O número e
an =
(
1+
1
n
)n
, bn =
(
1+1+
1
2!
+
1
3!
+ . . .+
1
n!
)
=
n
∑
k=0
1
k!
O que queremos provar é que
limbn = liman = e.
Em geral temos o seguinte
a1 < a2 < a3 < .. . < an < .. .
b0 < b1 < b2 < b3 < .. . < bn < .. .
Sendo an < bn para todo n ≤ 2, o que implica e = liman ≤ limbn.
Assim, falta verificar que também limbn ≤ liman = e.
Sequências monótonas Exemplo 1 Exemplo 2 O número e
O número e
an =
(
1+
1
n
)n
, bn =
(
1+1+
1
2!
+
1
3!
+ . . .+
1
n!
)
=
n
∑
k=0
1
k!
O que queremos provar é que
limbn = liman = e.
Em geral temos o seguinte
a1 < a2 < a3 < .. . < an < .. .
b0 < b1 < b2 < b3 < .. . < bn < .. .
Sendo an < bn para todo n ≤ 2
, o que implica e = liman ≤ limbn.
Assim, falta verificar que também limbn ≤ liman = e.
Sequências monótonas Exemplo 1 Exemplo 2 O número e
O número e
an =
(
1+
1
n
)n
, bn =
(
1+1+
1
2!
+
1
3!
+ . . .+
1
n!
)
=
n
∑
k=0
1
k!
O que queremos provar é que
limbn = liman = e.
Em geral temos o seguinte
a1 < a2 < a3 < .. . < an < .. .
b0 < b1 < b2 < b3 < .. . < bn < .. .
Sendo an < bn para todo n ≤ 2, o que implica e = liman ≤ limbn.
Assim, falta verificar que também limbn ≤ liman = e.
Sequências monótonas Exemplo 1 Exemplo 2 O número e
O número e
an =
(
1+
1
n
)n
, bn =
(
1+1+
1
2!
+
1
3!
+ . . .+
1
n!
)
=
n
∑
k=0
1
k!
O que queremos provar é que
limbn = liman = e.
Em geral temos o seguinte
a1 < a2 < a3 < .. . < an < .. .
b0 < b1 < b2 < b3 < .. . < bn < .. .
Sendo an < bn para todo n ≤ 2, o que implica e = liman ≤ limbn.
Assim, falta verificar que também limbn ≤ liman = e.
Sequências monótonas Exemplo1 Exemplo 2 O número e
O número e
Assim, falta verificar que também limbn ≤ liman = e. Para isso,
mostraremos que, qualquer que seja n, bn ≤ e.
De fato, fixado
arbitrariamente n, note que para todo m > n temos
am = 1+
m
∑
r=1
[
1
r !
(
1− 1
m
)(
1− 2
m
)
. . .
(
1− r −1
m
)]
> 1+
n
∑
r=1
[
1
r !
(
1− 1
m
)(
1− 2
m
)
. . .
(
1− r −1
m
)]
> 1+
n
∑
r=1
[
1
r !
(
1− n
m
)(
1− n
m
)
. . .
(
1− n
m
)]
= 1+
n
∑
r=1
[
1
r !
(
1− n
m
)r−1]
Sequências monótonas Exemplo 1 Exemplo 2 O número e
O número e
Assim, falta verificar que também limbn ≤ liman = e. Para isso,
mostraremos que, qualquer que seja n, bn ≤ e. De fato, fixado
arbitrariamente n, note que para todo m > n temos
am = 1+
m
∑
r=1
[
1
r !
(
1− 1
m
)(
1− 2
m
)
. . .
(
1− r −1
m
)]
> 1+
n
∑
r=1
[
1
r !
(
1− 1
m
)(
1− 2
m
)
. . .
(
1− r −1
m
)]
> 1+
n
∑
r=1
[
1
r !
(
1− n
m
)(
1− n
m
)
. . .
(
1− n
m
)]
= 1+
n
∑
r=1
[
1
r !
(
1− n
m
)r−1]
Sequências monótonas Exemplo 1 Exemplo 2 O número e
O número e
Assim, falta verificar que também limbn ≤ liman = e. Para isso,
mostraremos que, qualquer que seja n, bn ≤ e. De fato, fixado
arbitrariamente n, note que para todo m > n temos
am = 1+
m
∑
r=1
[
1
r !
(
1− 1
m
)(
1− 2
m
)
. . .
(
1− r −1
m
)]
> 1+
n
∑
r=1
[
1
r !
(
1− 1
m
)(
1− 2
m
)
. . .
(
1− r −1
m
)]
> 1+
n
∑
r=1
[
1
r !
(
1− n
m
)(
1− n
m
)
. . .
(
1− n
m
)]
= 1+
n
∑
r=1
[
1
r !
(
1− n
m
)r−1]
Sequências monótonas Exemplo 1 Exemplo 2 O número e
O número e
Assim, falta verificar que também limbn ≤ liman = e. Para isso,
mostraremos que, qualquer que seja n, bn ≤ e. De fato, fixado
arbitrariamente n, note que para todo m > n temos
am = 1+
m
∑
r=1
[
1
r !
(
1− 1
m
)(
1− 2
m
)
. . .
(
1− r −1
m
)]
> 1+
n
∑
r=1
[
1
r !
(
1− 1
m
)(
1− 2
m
)
. . .
(
1− r −1
m
)]
> 1+
n
∑
r=1
[
1
r !
(
1− n
m
)(
1− n
m
)
. . .
(
1− n
m
)]
= 1+
n
∑
r=1
[
1
r !
(
1− n
m
)r−1]
Sequências monótonas Exemplo 1 Exemplo 2 O número e
O número e
Assim, falta verificar que também limbn ≤ liman = e. Para isso,
mostraremos que, qualquer que seja n, bn ≤ e. De fato, fixado
arbitrariamente n, note que para todo m > n temos
am = 1+
m
∑
r=1
[
1
r !
(
1− 1
m
)(
1− 2
m
)
. . .
(
1− r −1
m
)]
> 1+
n
∑
r=1
[
1
r !
(
1− 1
m
)(
1− 2
m
)
. . .
(
1− r −1
m
)]
> 1+
n
∑
r=1
[
1
r !
(
1− n
m
)(
1− n
m
)
. . .
(
1− n
m
)]
= 1+
n
∑
r=1
[
1
r !
(
1− n
m
)r−1]
Sequências monótonas Exemplo 1 Exemplo 2 O número e
O número e
Assim, falta verificar que também limbn ≤ liman = e. Para isso,
mostraremos que, qualquer que seja n, bn ≤ e. De fato, fixado
arbitrariamente n, note que para todo m > n temos
am > 1+
n
∑
r=1
[
1
r !
(
1− n
m
)r−1]
>
(
1− n
m
)n
+
n
∑
r=1
[
1
r !
(
1− n
m
)n]
=
(
1− n
m
)n(
1+
n
∑
r=1
1
r !
)
= bn
(
1− n
m
)n
Sequências monótonas Exemplo 1 Exemplo 2 O número e
O número e
Assim, falta verificar que também limbn ≤ liman = e. Para isso,
mostraremos que, qualquer que seja n, bn ≤ e. De fato, fixado
arbitrariamente n, note que para todo m > n temos
am > 1+
n
∑
r=1
[
1
r !
(
1− n
m
)r−1]
>
(
1− n
m
)n
+
n
∑
r=1
[
1
r !
(
1− n
m
)n]
=
(
1− n
m
)n(
1+
n
∑
r=1
1
r !
)
= bn
(
1− n
m
)n
Sequências monótonas Exemplo 1 Exemplo 2 O número e
O número e
Assim, falta verificar que também limbn ≤ liman = e. Para isso,
mostraremos que, qualquer que seja n, bn ≤ e. De fato, fixado
arbitrariamente n, note que para todo m > n temos
am > 1+
n
∑
r=1
[
1
r !
(
1− n
m
)r−1]
>
(
1− n
m
)n
+
n
∑
r=1
[
1
r !
(
1− n
m
)n]
=
(
1− n
m
)n(
1+
n
∑
r=1
1
r !
)
= bn
(
1− n
m
)n
Sequências monótonas Exemplo 1 Exemplo 2 O número e
O número e
Assim, falta verificar que também limbn ≤ liman = e. Para isso,
mostraremos que, qualquer que seja n, bn ≤ e. De fato, fixado
arbitrariamente n, note que para todo m > n temos
am > 1+
n
∑
r=1
[
1
r !
(
1− n
m
)r−1]
>
(
1− n
m
)n
+
n
∑
r=1
[
1
r !
(
1− n
m
)n]
=
(
1− n
m
)n(
1+
n
∑
r=1
1
r !
)
= bn
(
1− n
m
)n
Sequências monótonas Exemplo 1 Exemplo 2 O número e
O número e
Assim, falta verificar que também limbn ≤ liman = e. Para isso,
mostraremos que, qualquer que seja n, bn ≤ e. De fato, fixado
arbitrariamente n, note que para todo m > n temos
bn
(
1− n
m
)n
< am .
Dado 0< ε < 1, seja m suficientemente grande de forma que
0 < 1−
(
1− n
m
)n
<
ε
3
.
Exercício: Mostrar que para m >
n
1− n
√
1− ε3
tem-se
0 < 1−
(
1− n
m
)n
<
ε
3
.
Sequências monótonas Exemplo 1 Exemplo 2 O número e
O número e
Assim, falta verificar que também limbn ≤ liman = e. Para isso,
mostraremos que, qualquer que seja n, bn ≤ e. De fato, fixado
arbitrariamente n, note que para todo m > n temos
bn
(
1− n
m
)n
< am .
Dado 0< ε < 1, seja m suficientemente grande de forma que
0 < 1−
(
1− n
m
)n
<
ε
3
.
Exercício: Mostrar que para m >
n
1− n
√
1− ε3
tem-se
0 < 1−
(
1− n
m
)n
<
ε
3
.
Sequências monótonas Exemplo 1 Exemplo 2 O número e
O número e
Assim, falta verificar que também limbn ≤ liman = e. Para isso,
mostraremos que, qualquer que seja n, bn ≤ e. De fato, fixado
arbitrariamente n, note que para todo m > n temos
bn
(
1− n
m
)n
< am .
Dado 0< ε < 1, seja m suficientemente grande de forma que
0 < 1−
(
1− n
m
)n
<
ε
3
.
Exercício: Mostrar que para m >
n
1− n
√
1− ε3
tem-se
0 < 1−
(
1− n
m
)n
<
ε
3
.
Sequências monótonas Exemplo 1 Exemplo 2 O número e
O número e
Assim, falta verificar que também limbn ≤ liman = e. Para isso,
mostraremos que, qualquer que seja n, bn ≤ e. De fato, fixado
arbitrariamente n, note que para todo m > n temos
bn
(
1− n
m
)n
< am .
Dado 0< ε < 1, seja m suficientemente grande de forma que
0 < 1−
(
1− n
m
)n
<
ε
3
.
Isso implica
bn−bn
(
1− n
m
)n
= bn
[
1−
(
1− n
m
)n]
< bn
ε
3
< 3
ε
3
< ε.
Sequências monótonas Exemplo 1 Exemplo 2 O número e
O número e
Isso implica
bn−bn
(
1− n
m
)n
= bn
[
1−
(
1− n
m
)n]
< bn
ε
3
< 3
ε
3
< ε.
portanto, para m suficientemente grande,
bn− ε < bn
(
1− n
m
)n
< am ≤ e
ou seja,
bn < e+ ε .
Como isso acontece para todo ε > 0, temos
bn ≤ e .
Sequências monótonas Exemplo 1 Exemplo 2 O número e
O número e
Isso implica
bn−bn
(
1− n
m
)n
= bn
[
1−
(
1− n
m
)n]
< bn
ε
3
< 3
ε
3
< ε.
portanto, para m suficientemente grande,
bn− ε < bn
(
1− n
m
)n
< am
≤ e
ou seja,
bn < e+ ε .
Como isso acontece para todo ε > 0, temos
bn ≤ e .
Sequências monótonas Exemplo 1 Exemplo 2 O número e
O número e
Isso implica
bn−bn
(
1− n
m
)n
= bn
[
1−
(
1− n
m
)n]
< bn
ε
3
< 3
ε
3
< ε.
portanto, para m suficientemente grande,
bn− ε < bn
(
1− n
m
)n
< am ≤ e
ou seja,
bn < e+ ε .
Como isso acontece para todo ε > 0, temos
bn ≤ e .
Sequências monótonas Exemplo 1 Exemplo 2 O número e
O número e
Isso implica
bn−bn
(
1− n
m
)n
= bn
[
1−
(
1− n
m
)n]
< bn
ε
3
< 3
ε
3
< ε.
portanto, para m suficientemente grande,
bn− ε < bn
(
1− n
m
)n
< am ≤ e
ou seja,
bn < e+ ε .
Como isso acontece para todo ε > 0, temos
bn ≤ e .
Sequências monótonas Exemplo 1 Exemplo 2 O número e
O número e
Isso implica
bn−bn
(
1− n
m
)n
= bn
[
1−
(
1− n
m
)n]
< bn
ε
3
< 3
ε
3
< ε.
portanto, para m suficientemente grande,
bn− ε < bn
(
1− n
m
)n
< am ≤ e
ou seja,
bn < e+ ε .
Como isso acontece para todo ε > 0, temos
bn ≤ e .
Sequências monótonas Exemplo 1 Exemplo 2 O número e
O número e
Resumindo: Mostramos que, qualquer que seja n, bn ≤ e, portanto
limbn ≤ e = liman.
Lembrando que também tínhamos a desigualdade liman ≤ limbn,
concluímos que
limbn = liman = e.
	Sequências monótonas
	Exemplo 1
	Exemplo 2
	O número e