matemática_radicais_9ano_fundamental

Prévia do material em texto

Matemática 
• Radicais: 
• Operações com Radicais;
• Racionalização de Denominadores
• Potência com expoente fracionário
Prof.ª Isabela Torres
O que é um radical?
Radical é o símbolo utilizado para identificar
uma radiciação.
Nessa operação, o número L é obtido de acordo
com o seguinte princípio: L é um número que,
multiplicado por si mesmo n vezes, tem x como
resultado, ou seja, Ln = x. Dessa maneira, a
radiciação é o inverso da potenciação.
Na imagem, n é o índice, x é
o radicando e L é a raiz
enésima. O símbolo “√” é
conhecido como radical e é
utilizado para representar a
operação
matemática radiciação.
Prof.ª Isabela Torres
Propriedades
1ª Propriedade
A raiz enésima de um número elevado a
enésima potência é o próprio número. Em
outras palavras, essa propriedade trata das
raízes em que o índice do radical é igual ao
expoente do radicando.
2ª Propriedade
O índice de uma raiz pode ser multiplicado
(ou dividido) por um número real
qualquer, desde que o expoente do
radicando também seja multiplicado (ou
dividido) pelo mesmo número.
Prof.ª Isabela Torres
3ª Propriedade
Essa propriedade trata das raízes em que o radicando é o produto entre dois
números. Ela pode ser interpretada da seguinte maneira: A raiz enésima do
produto é igual ao produto das raízes enésimas.
4ª Propriedade
Essa propriedade é idêntica à anterior, mas se aplica à divisão de dois números
quaisquer. Nesse caso, a raiz enésima da razão é igual à razão entre as raízes
enésimas.
Prof.ª Isabela Torres
5ª Propriedade
Uma potência de uma raiz pode ser reescrita trazendo o expoente para o
radicando. Matematicamente esta propriedade é dada da seguinte maneira:
6ª Propriedade
Essa propriedade diz respeito às raízes de raízes. Considerando a raiz enésima da
raiz enésima de um número, é possível obter o seu resultado utilizando o seguinte:
Prof.ª Isabela Torres
7ª Propriedade
Todo radical pode ser escrito na forma de potência com 
expoente fracionário. Observe
Prof.ª Isabela Torres
• 1º CASO : Os radicais não são semelhantes
Devemos proceder do seguinte modo:
a) Extrair as raízes (exatas ou aproximadas)
b) Somar ou subtrair os resultados
Exemplos
1) √16 + √9 = 4 + 3 = 7
Operações com radicais 
Adição com radicais 
2º CASO: Os radicais são semelhantes.
Para adicionar ou subtrair radicais semelhantes, 
procedemos como na redução de termos 
semelhantes de uma soma algébrica.
Exemplos:
a) 5√2 + 3√2 = (5+3)√2 = 8√2
Prof.ª Isabela Torres
• 3º CASO: Os radicais tornam-se 
semelhantes depois de 
simplificados.
Exemplos
a)5√3 + √12
..5√3 + √2².3
..5√3 + 2√3
..7√3
MULTIPLICAÇÃO E DIVISÃO
1º Caso: Os radicais têm o mesmo índice
Efetuamos a operação entre os radicandos
Exemplos:
a) √5 . √7 = √35
b) 4√2 . 5√3 = 20√6
c) ⁴√10 : ⁴√2 = ⁴√5
d) 15√6 : 3√2 = 5√3
2º Caso: Os radicais não têm o mesmo índice
Inicialmente devemos reduzi-los ao mesmo 
índice
Exemplos
a) ³√2 . √5 = ⁶√2² . ⁶√5³ = ⁶√4 . ⁶√125 = ⁶√500
b)⁵√7 : √3 = ¹⁰√7² : ¹⁰√3⁵ = ¹⁰√49/243
Prof.ª Isabela Torres
A potenciação expressa um número na forma de potência. Quando um mesmo número é
multiplicado diversas vezes, podemos fazer a substituição por uma base (número que se
repete) elevada a um expoente (número de repetições).
Por outro lado, a radiciação é a operação oposta da potenciação. Ao elevar um número ao
expoente e extrairmos a sua raiz, voltamos ao número inicial.
Potenciação e radiciação de radicais 
Potenciação é a operação matemática utilizada para escrever de forma resumida números
muito grandes, onde é feita a multiplicação de n fatores iguais que se repetem.
Representação:
Prof.ª Isabela Torres
Quando aplicamos a potenciação a um número qualquer, nós multiplicamos a base por ela
mesma quantas vezes indicar o expoente, isto é, se a é a base e n é o expoente, então an =
a.a.a.a.a.a...a (n vezes). Nas operações com radicais, a ideia é a mesma. Veja a seguir
alguns exemplos:
Resolver uma potência em que a base é um radical equivale a fazermos simplesmente:
Isso é válido se n for um número natural maior ou igual a 2, se m for um número inteiro
e a for um número real maior ou igual a zero.
Prof.ª Isabela Torres
Mas e se o radicando (o número dentro da raiz) já possuir um expoente? Nesse caso, a
resolução ocorrerá de forma análoga, mas há um detalhe importante: o expoente da
potência será multiplicado pelo expoente do radicando, isto é,
Podemos afirmar novamente que essa regra é válida desde que n seja um número natural
maior ou igual a 2, m e p sejam números inteiros e a seja um número real maior ou igual a
zero. Vejamos alguns exemplos de potenciação de radicais em que o radicando é também
uma potência:
Prof.ª Isabela Torres
Assim como podemos realizar a potenciação de radicais, também podemos aplicar
a radiciação. Para realizá-la, sempre encontraremos um radical “dentro” de outro radical,
expressão essa que não nos é tão comum. Para simplificar esse cálculo, precisamos reduzi-lo
a um único radical. Para isso, basta multiplicar pelos índices envolvidos. Genericamente,
temos:
Podemos afirmar que essa expressão é válida desde que a seja um número real maior ou
igual a zero e m e n sejam números naturais maiores ou iguais a 2. Confira alguns exemplos
de radiciação de radicais:
Prof.ª Isabela Torres
Para calcular a radiciação de radicais, basta multiplicar os
índices envolvidos para ficarmos com apenas um radical
Prof.ª Isabela Torres
Potência com expoente fracionário
Quando a potência apresenta uma fração no expoente basta transformar a potência em
uma raiz!
Potências com expoente fracionários são números do tipo:
Prof.ª Isabela Torres
DEFINIÇÃO
Sendo a um número real positivo, p um número inteiro e q um número natural
diferente de zero, temos:
Exemplos:
Prof.ª Isabela Torres
Prof.ª Isabela Torres
Racionalização de denominadores 
Potencia com expoente fracionário
Qual é o resultado de 2
3/4
?