Geometria Sagrada e Fractais - Matemática Além da Métrica

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UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO 
 
 
 
 
 
 
 
 
GEOMETRIA SAGRADA E FRACTAIS: MATEMÁTICA ALÉM DA MÉTRICA 
 
 
 
BOLSISTA: Luíza Estéfany Campos Sobreira 
ORIENTADOR: Bulmer Mejía García 
 
 Relatório final, referente ao período de Agosto/2018 a 
Julho/2019, apresentado à Universidade de São 
Paulo pelo Programa de Iniciação Científica e 
Mestrado em Matemática – PIC-ME. 
 
 
 
SÃO PAULO 
SÃO PAULO – BRASIL 
JULHO/2019 
 
1 
 
GEOMETRIA SAGRADA E FRACTAIS: MATEMÁTICA ALÉM DA MÉTRICA 
 Luíza Estéfany Campos Sobreira 
Orientador: Bulmer Mejía García 
RESUMO 
Não há consenso sobre a verdadeira origem do conhecimento matemático. Em Where 
mathematics comes from, Lakoff e Nuñez, 2000, defendem a invenção da matemática 
pelo homem, pragmática e empiricamente. Os matemáticos antigos, todavia, alegam 
que a matemática possui uma existência objetiva; o homem apenas a descobriu. Nesse 
presente trabalho, investigamos a origem do conhecimento matemático, que vai de 
encontro à cosmologia e à filosofia através da tradição da Geometria Sagrada. Em 
complemento, também estudamos a Geometria Fractal, sistematizada na década de 
1970, cuja perspectiva aproxima-se do conhecimento antigo. 
DATA: __/__/__ 
PALAVRAS-CHAVE: Matemática. Geometria Sagrada. Fractais. 
 
 
 
________________________________________________________________ 
Bolsista 
 
 
_________________________________________________________________ 
Orientador 
 
2 
 
SUMÁRIO 
INTRODUÇÃO ................................................................................................................ 3 
OBJETIVOS.................................................................................................................... 5 
DESENVOLVIMENTO .................................................................................................... 5 
I. GEOMETRIA SAGRADA ..................................................................................... 5 
II. GEOMETRIA FRACTAL ............................................................................................ 8 
a. Razão áurea .................................................................................................. 11 
b. O vesica piscis e os sólidos platônicos .......................................................... 13 
c. Geometria Sagrada Egípcia Antiga ................................................................ 13 
d. Geometria Sagrada Mesopotâmica e Hebraica .............................................. 15 
e. Grécia Antiga ................................................................................................. 16 
f. Vitrúvio ........................................................................................................... 19 
g. Os comancinos e a geometria sagrada medieval ........................................... 19 
h. Renascença ................................................................................................... 23 
i. Barroco .......................................................................................................... 24 
j. Séculos XVIII, XIX e início do séc. XX ........................................................... 25 
III. SÉCULO XX E XXI: FRACTAIS E TEORIA DO CAOS ................................................... 27 
k. Geometria Fractal da Natureza ...................................................................... 30 
i. Dimensão Fractal.......................................................................................................31 
l. Matemática, Fractais e Arquitetura ................................................................ 35 
CONCLUSÃO ............................................................................................................... 38 
BIBLIOGRAFIA ............................................................................................................ 39 
 
 
 
 
3 
 
INTRODUÇÃO 
Há controvérsias sobre o que seria a verdadeira origem da matemática. 
Estudos recentes da psicologia cognitiva, em especial os de (LAKOFF, NUÑEZ, 2000) 
em Where mathematics comes from, defendem a natureza corporificada dessa ciência, 
em acordo com o empirismo de John Locke (século XVII), no qual a matemática estaria 
enraizada na percepção – visão e tato. Conforme essa corrente, quantificar e medir o 
mundo seriam ações existenciais e pragmáticas, desenvolvidas desde a infância pelo 
sistema sensório-motor humano. Assim, até mesmo a matemática “pura”, teórica e 
pouco aplicável, seria, inicialmente, uma forma de conceber, entender e expressar o 
mundo em si, tanto humano como extra-humano, e seu princípio de atuação é a 
metáfora.1 
Essa compreensão mais contemporânea, a qual vem ganhado força, constrói 
sua base em oposição a concepções antigas, nomeadas de “românticas” ou 
“platônicas”, nas quais a matemática possui existência independentemente do reino 
humano e seria uma verdade objetiva universal. Para os antigos, os princípios da 
matemática, em especial os da geometria, ligavam-se estreitamente à física, não 
simplesmente como um artifício para metaforizar os fenômenos, sendo, por si só, a 
própria fórmula da natureza física. 
Lakoff e Nuñez (2000) afirmam que não há nenhuma demonstração empírica 
que possa comprovar a natureza transcendental da matemática. Para eles, a 
capacidade dessa ciência de construir provas inalienáveis não é suficiente para 
admití-las como verdades universais.2 Nesse sentido, a matemática está na mente dos 
físicos, que a usam para efetuar os cálculos; não na física por si mesma. 
Entre outras conquistas da Teoria da Matemática Corporificada, está a nova 
maneira de se pensar o estudo da Matemática, tornando-o mais horizontal, contextual e 
pragmático; revolucionando o construtivismo de Jean Piaget (1896-1980), que outorga 
 
1 PASSES, 2006, p. 248 
 
4 
 
aprendizado à formação de conceitos matemáticos – analogamente ao que se faziam 
os matemáticos antigos.3 
A princípio, os argumentos defendidos pelos pesquisadores da psicologia 
cognitiva parecem invariavelmente convincentes; principalmente por estarem 
inextricavelmente associados a chamada “virada linguística”4, proferida entre o final do 
XIX e início do século XX, por linguistas como Wittgenstein (1953) e Bakhtin (1930). 
Sendo assim, o caráter transcendental da matemática, passaria a ser entendido 
simplesmente como uma questão de fé e idealização. Além disso, as ideias 
matemáticas equiparar-se-iam a outras ideias quaisquer, formadas no subconsciente 
humano e expressos por meio do desenvolvimento de uma linguagem. 
No entanto, novos estudos científicos, como a Mecânica Quântica, a Teoria do 
Caos e, principalmente, a Geometria Fractal – que estuda situações dificilmente 
explicadas pela geometria clássica; parecem estabelecer novas conexões com o 
entendimento antigo sobre a origem da matemática e sua relação estreita com a 
natureza física da matéria.5 
No que diz respeito a este presente trabalho, não temos por objetivo defender 
fervorosamente nenhuma das vertentes apresentadas. Todavia, acreditamos ser 
plausível um novo debate, que vai além de uma concepção linear e comprovatória do 
que seria a matemática. Desse modo, através de um trabalho bibliográfico, 
resgataremos o conhecimento antigo sobre a matemática – mais precisamente, a 
Geometria Sagrada. Feito isso, daremos início ao estudo da Geometria Fractal, em 
associação com alguns conceitos da Teoria do Caos; em busca da conexão com o que 
foi apresentado pelo conhecimento antigo. 
 
2 “[...] Should we believe that there is an additional-imaginary-dimension to the physical world 
because imaginary numbers are used in the calculation of the periodic waxing and waning of 
electromagnetic forces1 There is no physical reasonto believe this.” (LAKOFF, NUÑES, 2000, p.340) 
3 “[...] A crítica [às teorias psicogenéticas de Piaget] se dá na prerrogativa de que em condições 
propícias, toda criança percorreria os mesmos estágios, desde o senso-motor até o pensamento 
hipotético-dedutivo, ou abstrato, característico da atividade matemática.” (GOTTSCHALK, 2008, p. 78) 
4 GOTTSCHALK, 2008, p. 78 
5 Nature exhibits not simply a higher degree but an altogether different level of complexity. The 
number of distinct scales of length of natural patterns is for all practical purposes infinite. (FRANTZ, 
CRANNELL, 2011, p. 162, apud MANDELBROT, 1983) 
 
5 
 
Na medida em que ciência, filosofia e religião voltam a se reaproximar, novos 
caminhos podem ser formados. Questões, invariavelmente, atribuídas pela ciência ao 
âmbito da fé, clareiam-se, retornando à sua casa habitual – a consciência. As 
impossibilidades científicas e os pessimismos filosóficos desaparecem; abrem-se novas 
possibilidades. 
OBJETIVOS 
O objetivo geral deste trabalho é contribuir para a formação de novas 
concepções sobre o que seria o conhecimento matemático. Sendo assim, os objetivos 
específicos pautam-se na investigação bibliográfica sobre o conhecimento da 
matemática ao longo da história da humanidade – com ênfase na Geometria Sagrada, e 
no estudo específico e comparativo de e com a Geometria Fractal. 
DESENVOLVIMENTO 
I. GEOMETRIA SAGRADA 
"O que é Deus? É longitude, largura, altura e profundidade" 
São Bernardo de Claraval, De la consideración 
 
Platão (427-347 a.C.) defendia que todas as coisas cresciam em formas, 
geometria simples de três dimensões e padrões imutáveis que conformam uma espécie 
de coluna vertebral da realidade. 6 Nos tempos antigos, as complexidades e as 
verdades abstratas da forma geométrica eram explicadas como as verdades mais 
íntimas das substâncias do mundo, sendo a base para a construção de templos e 
símbolos externos de fé por diferentes crenças em lugares separados no tempo e 
espaço. Assim, a geometria era reconhecida como a expressão mais convincente de 
um plano divino que subjaz ao mundo, um padrão metafísico que determina um padrão 
físico.7 De acordo com os gregos, a geometria e os números são sagrados a medida 
em que codificam a ordem oculta por trás da criação. 
 
6 LAWLOR, 1996, p. 9 
7 PENNICK, 1980, p. 7-8. 
 
6 
 
 As ideias de Platão e do conhecimento antigo – em que não havia separação 
entre a geometria, a ciência natural, a cosmologia ou a teologia – foram, durante muito 
tempo, consideradas místicas. Atualmente, no entanto, a pressuposição de que a 
matéria pode ser estudada apenas do ponto de vista da substância – partículas, 
quantum – tem sido abandonada, em favor do conceito segundo o qual a natureza 
fundamental da matéria só pode ser reconhecida através do estudo da organização 
subjacente de suas formas ou ondas. 8 A descoberta de fórmulas essencialmente 
simples por físicos e biólogos como a estrutura do DNA (geometria de hélice do 
pentágono) e o padrão de crescimento das plantas (baseado em um ângulo geométrico 
fixo e no número de Fibonacci, Φ) têm confirmado a importância física das formas. 
A antiga geometria não repousa em axiomas ou presunções apriorísticas. 
Contrariamente aos euclidianos e à geometria mais recente, o ponto de partida 
do antigo pensamento geométrico não é uma rede de definições ou de 
abstrações intelectuais, mas uma meditação sobre uma unidade metafísica, 
seguida de uma tentativa por simbolizar visualmente e contemplar a ordem pura 
e formal que surge desta incompreensível unicidade. O enfoque do ponto de 
partida da atividade geométrica é o que separa o que podemos denominar de 
geometria sagrada, da mundana ou secular. (LLOWLER, 1996, p. 16) 
 
 
Figura 1 – Mapa polinésio de estudo do reconhecimento das ondas (mattang or wapepe), que mostra os 
padrões básicos formados pelas ondas ao serem dobradas pela terra. A funcionalidade do dispositivo é um exemplo 
do uso da geometria como um sistema simbólico para a compreensão das estruturas do universo. Figura 2 - Este 
desenho caligráfico zen japonês representa harmoniosamente a "criação", mediante a simples progressão da 
unidade do círculo, passando pelo triângulo, até à forma manifesta do quadrado. 
 
8 Idem (p. 4) 
 
7 
 
 
Figura 3 – A foto de refração acima é a visualização mais aproximada que a ciência pode dar sobre a natureza da 
substância atômica, que aparece como esquemas de luz-energia em forma geométrica. 
O enfoque da moderna teoria dos campos de forças e da mecânica das ondas 
corresponde às visões antigas da ordem universal como configuração de esquemas de 
ondas entrelaçadas. Bertrand Russel (1872-1970), que reconhecia o valor profundo da 
geometria sagrada, já vislumbrava o que hoje é visto pela ciência: “[...] O que 
percebemos como diferentes qualidades de matéria são na realidade diferenças na sua 
periodicidade.” - Análise da Matéria. 
A geometria sagrada, na qual o “sagrado” diz respeito ao que é fixo ou 
permanente, ou seja, o que se mantém constante na estrutura do cosmo, não inclui 
apenas figuras geométricas básicas, feitas através da régua e compasso. A geometria 
 
8 
 
sagrada também é base para a investigação da topologia do universo; da arte e 
arquitetura; das proporções e funcionamento orgânico; da microbiologia, da estrutura do 
DNA; de “[...] toda a manifestação do continuum universal.”9 Nesse sentido, quando 
muitas culturas antigas optavam por examinar a realidade através das metáforas da 
geometria e da música (a música enquanto frequência e proporção dos sons), estavam 
muito próximas da ciência contemporânea. 
II. GEOMETRIA FRACTAL 
A palavra fractal origina-se do latim fractus, que significa fração ou quebrado. O 
nome foi dado pelo matemático francês Benoit Mandelbrot, em 1975, que sistematizou 
os princípios da geometria fractal em The Fractal Geometry of Nature, 1977. Até a 
década de 1970, figuras constantemente encontradas na natureza e, no entanto, 
dificilmente explicadas pela geometria de Euclides, eram pouco estudadas pela ciência, 
vistas basicamente como “sem-forma” ou “patológicas”. 
No final do século XIX, o matemático alemão Georg Cantor (1845-1918) 
desenvolveu o “Conjunto de Cantor” (figura 4), que talvez seja o primeiro objeto 
reconhecido como fractal. 
 
Figura 4 – Representação do Conjunto de Cantor e retirada do “segundo-meio”. Sendo C o conjunto de 
pontos do intervalo entre 0 e 1, ou seja, C = [0,1]. Divide-se C em três partes iguais (C’) e retira-se o intervalo central. 
Repete-se o procedimento com os fragmentos iguais a C’ e, posteriormente, com C’’ e, assim, sucessivamente. 
 
9 PENNICK, 1980, p. 8. 
 
9 
 
 No Conjunto de Cantor, ao calcular o total dos pontos retirados (conjunto P), 
temos: 
𝑃 = 1( 1 3) + 2( 1 3⁄ )2 + 23(1 3⁄ )4 +⁄ … = 1 3⁄ ( 1 + 2 32⁄ + 22 33⁄ + 23 3⁄
4
+⋯)⏟ 
A soma da P.G. e o total de pontos removidos são dados por: 
𝑆 = 
1
1 − 
2
3
= 3 ⇔ 𝑃 = 3 × 
1
3
= 1. 
Em primeira instância, observa-se que o total de pontos removidos é igual ao 
tamanho do segmento C (o intervalo entre 0 e 1). Entretanto, sabe-se que a divisão e 
remoção do “segundo-meio” acontece infinitamente. Assim, a resposta está correta? 
Qual seria o real tamanho do conjunto P? 
Para resolver esta questão, Cantor procurou investigar a natureza do “mundo 
dos infinitos”, definindo os Conjuntos Denumeráveis e o Continuum. 
 
Definição: “Um conjunto infinito é aquele que pode ser colocado em correspondência um-a-um 
com um subconjunto de si mesmo.” 
 
Sendo assim, infere-se que, no domínio do infinito, “O todo é igual a uma parte”. 
Na geometria fractal, esse conceito é compreendido a partir da característica de auto 
similaridade dos fractais, em que seus fragmentos são autosimilares ou auto afins ao 
seu todo; seja de maneira exata, no caso das figuras geradas por processos 
matemáticos, ou aproximada, nos fractais encontrados na natureza. 
“É Denumerável o conjunto equivalente ao conjunto dos números naturais, de 
modo que cada componente pode ser colocado em correspondência um-a-um com 
os números naturais N (1, 2, 3, ...). Exemplo: conjunto dos números ímpares, pares, 
entre outros. O número que representa a quantidade de componentes em um 
conjunto denumérável, ou seja, sua cardinalidade, é “אo” (letra hebraica “alef nau”). 
Existem conjuntos não-denumeráveis, como o intervalo de números reais entre 0 e 
1, que não podem ser colocados em correspondência um-a-um com os números 
naturais e, possuem, assim, cardinalidade diferente de אo. A cardinalidade desse 
conjunto é chamada de continuum “c”. 
 
10 
 
 
Figura 5 – Feto e respectivas réplicas observadas em galhos e folhas. 
 
Figura 6 – Triângulo de Sierpinsk, desenvolvido pelo matemático polaco Waclav Sierpinsk. 
 
Figura 7 – (a) Smaller and smaller, 1956 e (b) Circle limit III, 1959 (Gravuras de M. C. Escher) 
 
11 
 
A. RAZÃO ÁUREA 
Platão, em seu Timeu, discutiu a Razão Dourada ou Seção Dourada como a 
chave para a física do cosmos. Leonardo B. Fibonacci (séc. XII) popularizou, na 
Europa, a série (Série Fibonacci), que foi reconhecida como um padrão de crescimento 
de diversos organismos da natureza. O geômatra Luca Pacioli (1447-1517) retomou-a 
no período do Renascimento com a obra De Divina Proportione. Enquanto, nos tempos 
modernos, o arquiteto Le Corbusier (1887-1965) escreveu um sistema modular 
baseado nessa razão. 
Em séries crescentes ou progressões que tem Φ (número dourado) como razão 
geométrica, cada termo é igual à soma dos dois precedentes – (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 
34, 55, 89, 144, ...), fato que possibilita a manipulação de toda a série. 
 
Figura 8 – Os dois principais esquemas de ramificação, um que demonstra a progressão geométrica de 2 
(√2), e o outro, a série Fibonacci. (Φ). Figura 9 - Nautilus pompilius – formato baseado na razão áurea Φ. 
Para os antigos, os números irracionais como Φ (
√5 + 1
2
= 1, 618…) e o próprio π 
(1, 14156. . . ) eram chamados de números transcendentais, devido a sua natureza 
infinita. O próprio conceito de raiz, por sua vez, nasce da representatividade desses 
números na composição de sequências de expressiva proporcionalidade e 
comensurabilidade – sinônimo de beleza nas construções. 
 
12 
 
 
Figuras 10 – Retângulos de raiz e sua produção a partir da diagonal do quadrado de lado 1. Figura 11 – A raiz nutre 
o germe, a proporção entre a profundidade da raiz e o germe deve ser constante para que a planta cresça. 
 
Figura 12 – Dois exemplos de auto-semelhança fractal; retângulos da Seção Dourada e curva de Koch. 
(Fonte: Fractal Geometry in Architecture and Design, Carl Bovil, p. 2). 
 
Figura 13 - Padrão de crescimento do Girassol conforme a Proporção Áurea. 
 
13 
 
B. O VESICA PISCIS E OS SÓLIDOS PLATÔNICOS 
O vesica piscis é o ponto de partida do qual derivam todas as outras figuras 
geométricas - quadrado, triângulo, pentágono e hexágono. Nesse sentido, representa 
os órgãos genitais da Deusa Mãe, o ponto físico de origem da vida. Em termos 
geométricos e místicos, toda a série de sólidos geométricos regulares conhecida como 
os Sólidos Platônicos – Cubo (terra), Tetraedro (fogo), Dodecaedro (éter ou espírito), 
Icosaedro (água) e Octaedro (ar) – pode ser produzido a partir do vesica. 
 
Figura 14 – Construção do vesica piscis. A distância entre os pontos A e B é igual ao raio das 
circunferências. Figura 15 – Triângulo, quadrado e pentágono a partir do vesica. 
C. GEOMETRIA SAGRADA EGÍPCIA ANTIGA 
 “As estruturas sagradas e culturais pré-cristãs só podem ser compreendidas se 
adotarmos o ponto de vista dos antigos. Para eles todas as coisas do mundo 
estavam vinculadas às coisas divinas. [...]” - Josef Heinsch. 
 
Literalmente, geometria significa “medição da terra” e, no Egito Antigo, seu 
desenvolvimento deve-se substancialmente a esse objetivo. Fortes indícios de um 
completo sistema de agrimensura do Rio Nilo datam de 5 a 6 mil anos atrás. Na 
construção dos templos, por sua vez, a geometria subjacente passou a ser executada 
numa complexa cerimônia simbólica. Os arquitetos geométricos egípcios foram os 
primeiros a aplicar essa ciência na arte de construir, sendo a arquitetura originalmente 
dependente da geometria. Entre os polímatas, destaca-se Imhotep (século XXVII a.C.), 
que desenhou a primeira pirâmide verdadeira – Saqqara (2667–2648 a.C.) e foi 
 
14 
 
considerado o primeiro arquiteto antigo, o geômetra que encabeçou a Tradição 
Ocidental da geometria sagrada. 
No Egito Antigo, nota-se uma unidade essencial entre a magia, religião e 
tecnologia. Na época, existia a necessidade de se encontrar os pontos precisos em que 
os ritos mágicos e religiosos deveriam ser cumpridos, fixando-os a partir de 
observações astronômicas, assim como já se colocava aos britânicos antigos com as 
estruturas de pedra, como em Stonehenge, Reino Unido. A expressão de uma unidade 
desde o menor, até o maior detalhe e objeto sagrado é um dos pontos marcantes da 
arte egípcia e encapsula o conceito tri facetado da Trindade de Ísis, Horus e Osíris10. 
 
 
Figura 16 e 17 - A teoria dos campos da astrofísica moderna concebe o universo como um campo vibratório, 
integral e incompreensivelmente vasto de plasma ionizado, pré-gasoso,(figura 16) uma imagem não muito diferente 
do Nun ou oceano cósmico do mito egípcio. Note-se que tanto este símbolo egípcio da "boca" (figura17), quanto o 
percurso de uma corda em vibração (figura 16) têm uma forma "vesical" achatada. 
 
10 PENNICK, 1980, p.50. 
 
15 
 
 
Figura 18 - Análise geométrica da tumba de Ransés IV do Egito quadrado duplo e retângulo da seção 
dourada. Figura 19 – Coluna do capitol com detalhe semelhante ao Conjunto de Cantor. (Fonte: Description d'Égypte 
by Jean-Baptiste Prosper Jollois and Édouard Devilliers, Imprimerie Impériale, Paris, 1809-1828). 
D. GEOMETRIA SAGRADA MESOPOTÂMICA E HEBRAICA 
Para os mesopotâmicos e hebraicos, a geometria sagrada tem raízes na 
Babilônia, com a edificação de montanhas sagradas artificiais encimadas por templos, 
nas quais se encaixa o conto bíblico da Torre de Babel. As montanhas sagradas eram 
orientadas para as quatro direções cardinais e recebiam o nome de ziggurat, o “pico 
dos deuses”. Nas cidades de Ur, Uruk e Babilônia, os ziggutats chegavam a medir 300 
pés da base ao ápice. O ziggurat de Nabu, em Borsippa, era dedicado aos sete 
planetas ou sete esferas celestiais, a “Casa dos Sete Limites do Céu e da Terra”, com 
seus estágios adornados em consequência das cores de cada um deles, sendo a Lua 
quem ocupava o lugar mais elevado no sistema mágico caldaico. 
A influência da geometria egípcia e da magia caldaica foi sentida pelos 
israelistas. Ao longo de toda a Bíblia, descrevem-se em detalhe objetos e edifícios 
sagrados com medições precisas que ali se dizem ter sido dadas por Deus. A mais 
antiga de suas construções canônicas é a mitológica Arca de Noé, dividida em 3 
andares, com 11 seções cada um (33 é um número sagrado), sendo suas medidas 
diretamente relacionadas ao corpo do Homem. Além da Arca, destaca-se o 
Tabernáculo, santuário utilizado pelo povo judeu durante suas peregrinações pelo Sinai, 
cujas orientações das medidas eram uma “imitação do sistema do mundo” e o Templo 
de Salomão, feito durante o ápice da vida nacional dos judeus, no século X a.C. 
 
16 
 
 
Figura 20 - O Tabernáculo judeu, quadrado duplo. O Templo de Salomão em Jerusalém, quadrado triplo. 
Figura 21 - A Arca de Noé, símbolo da criação de Deus e do ano zodiacal. 
E. GRÉCIA ANTIGA 
A Geometria é o conhecimento do Eterno existente. 
-Pitágoras (VI a.C.) 
 
Os gregos antigos foram notáveis por suaabordagem pioneira e experimental do 
mundo e contribuíram imensamente para o desenvolvimento da geometria, com 
destaque para os polímatas Pitágoras (VI a.C.) e Euclides (III a.C.). Enquanto Euclides 
sistematizou todo o conhecimento geométrico dos antigos, intercalando-os com as suas 
próprias contribuições; Pitágoras, por sua vez, destaca-se, dentre outras, pela 
descoberta de que “[...] as cordas percutidas em um instrumento soavam em harmonia 
quando as suas extensões estavam relacionadas a uma outra corda determinada por 
números inteiros”, ou seja, os tons podem ser medidos em termos de espaço. 
Para os pitagóricos, os números eram unidades independentes que possuíam 
dimensões espaciais indivisíveis e eternas, sendo que o homem deveria descobrir os 
números que estão ocultos em todas as coisas 11 - a arché. Nesse sentido, sua 
descoberta constituía uma “revelação divina da harmonia universal”, em que todo o 
universo podia ser explicado em termos matemáticos. 
 
11 PENNICK, 1980, p. 61-62. 
 
17 
 
 
Figura 22 – A lambda pitagórica mostra a conexão existente entre números pares e os intervalos da escala 
musical, a composição de um sistema harmônico. Figura 23 – Resultado do desenho feito ao cobrir de poeira uma 
placa metálica, movendo um arco de violino por cima dela para produzir uma frequência concreta. 
 
Para Platão, a harmonia do universo estava expressa em sete números (1, 2, 3, 
4, 8, 9, 27), os quais abarcam os mistérios do macrocosmo e do microcosmo, sendo os 
mais adequados à incorporação da geometria sagrada. Em seu Timeu, o filósofo 
discute a Seção Dourada como a chave para a física do universo, sendo a República 
um microcosmo alegórico devido, dentre outros, aos seus atributos geométricos ou 
numerológicos, refletores do ideal divino. A consumação da República, nesse sentido, 
uniria o homem ao universo – o que sempre foi o objetivo dos mágicos e dos 
alquimistas antigos. A própria geometria do Paternon, por sua vez, é planejada com 
medidas significativas, com fachadas determinadas pela Seção Dourada e lados 
baseados no fator π, também considerado um número transcendental. 
Toda a terra era sagrada, os matemáticos também eram sagrados e, assim, a 
modelagem um ato de adoração. Só nos tempos modernos a geometria sagrada 
foi relegada primeiramente à esfera estreita do desenho de edifícios sagrados, e 
depois completamente abolida em função de seus objetivos práticos.12 
 
 
 
12 Idem (p. 67). 
 
18 
 
 
Figura 24 – Seção Dourada no Paternon, Grécia. (Fonte: Gyorgy Doczi. (1994) Rhe Power of limits. 
Shambhala Boston & London) 
 
19 
 
F. VITRÚVIO 
Marcos Vitrúvio Polião (I a.C.) escreveu o tratado teórico e técnico De 
Archtectura, que influenciou grande parte das construções do Império Romano e, 
posteriormente, influenciou os arquitetos renascentistas. Segundo Vitrúvio, nenhum 
edifício poderia possuir atributos em que a proporção e a simetria não fossem 
observadas; “[...] a proporção é a comensuração das várias partes constituintes do todo 
e o fundamento da existência da simetria; [até mesmo] a estrutura humana parece ter 
sido formada com tal propriedade, que os muitos membros são proporcionais ao todo.” 
 
Figura 25 - Homem vitruviano superposto ao pentagrama segundo Fludd 
Nesse sentido, o aspecto numinoso simbólico era considerado a forma 
verdadeira, ao passo que a manifestação material era vista como uma simples sombra 
da sua contrapartida espiritual. A geometria sagrada possibilitava ao arquiteto a criação 
de um instrumento funcional em que poderiam ser utilizados ao máximo os atributos da 
forma esotérica aos níveis psicológico e espiritual.13 
G. OS COMANCINOS E A GEOMETRIA SAGRADA MEDIEVAL 
Após a queda do Império Romano do Ocidente, os maçons, estudiosos que 
possuíam o conhecimento arquitetônico geométrico, espalharam-se por toda a Europa 
Ocidental e Setentrional, construindo igrejas, castelos e obras cívicas. Assim, as Igrejas 
 
20 
 
e os mausoléus14 passaram a ser os repositórios do conhecimento sobre a geometria 
sagrada. 
Por sua vez, o influxo de ideias árabes, ao se combinarem com o entusiasmo 
cristão dos séculos XII e XIII, em um contexto de fusão multicultural com os 
intercâmbios e as expedições das Cruzadas, tornaram possível a construção das 
grandes catedrais góticas. As ideias e práticas geométricas do mundo clássico tardio 
foram aprendidas pelos árabes quando estes conquistaram, no período helenístico, 
cidades universitárias de importância vital como Alexandria. Dessa forma, a arquitetura 
sagrada exigida pela nascente fé islâmica recebeu as contribuições de textos clássicos, 
como “Elementos” da Geometria Euclidiana, que, por sua vez, sobreviveu apenas 
através das traduções árabes. Cabe destacar a revolução geométrica instaurada pelo 
uso do arco pontiagudo pelos islâmicos, o qual, em sua forma perfeita, é a metade 
superior do vesica piscis, produzido pela intersecção de dois arcos. 
 
 
Figura 26 e Figura 27 – Uso do vesica piscis na construção de catedrais góticas. Os maiores exemplos do uso do 
arco pontiagudo (figura 26) são os das catedrais de Canterbury e Cartres. 
Numa época de grande entusiasmo maçom, Feltre (1980) destaca que “[...] os 
princípios transcendentais foram adotados com alacridade pelos homens pragmáticos, 
cuja compreensão do simbolismo os capacitara a trabalhar com o inexperimentado e o 
insuspeitado.” (p.84). Nesse sentido, a construção das catedrais góticas e suas 
precedentes, as catedrais românicas, incorporava várias estruturas complexas, sendo 
todo o seu conjunto; o que inclui a nave, o coro, o transepto, o corredor, o portal, a 
 
13 PENNICK, 1980, p. 73. 
14 Tumba grandiosa, normalmente construída para alguém importante. 
 
21 
 
janela, a arcada do frontão e a torre; harmonizado de forma a criar um todo que ligava o 
homem, o microcosmo, com o universo, o macrocosmo. Cada característica possuía 
sua unidade de medida, o seu simbolismo místico. 
Os sistemas mais utilizados pelos maçons no momento de construção das 
grandes catedrais góticas foram o ad quadratum, baseado no quadrado e seus 
derivados geométricos e o ad triangulum, baseado no triângulo equilátero, que, por sua 
vez, era considerado um sistema mais dinâmico, sendo o mais novo dentre os dois. À 
época das últimas igrejas góticas, o sistema ad quadratum se refinou para uma forma 
mais complexa, que tem por base mais o quadrado duplo que o simples – forma 
favorecida, desde o Egito Antigo, como a adequada a um lugar santo.15 O dodecaid 
(figura 28) – derivação do ad quadratum – é um poligrama irregular de dez pontas, 
muito oportuno ao planejamento de igrejas. 
 
Figura 28 - Dodecaid, baseado no quadrado duplo; representa a Trindade Divina. O quadrado maior, central, 
representa o Pai; o retângulo transversal, o mundo material constituído pelos 4 elementos e 4 direções. A Trindade 
Divina é quem sustenta o mundo material. Figura 29 - Catedral de S. Maria secs. XI-XIII, Anagni. Traçado 
semelhante ao Triângulo de Sierpinski. 
 
15 PENNICK, 1980, p.89. 
 
22 
 
 
Figura 30 - A catedral gótica de Amiens, uma simbolização do homem universal ou cósmico, do qual Cristo 
foi uma encarnação. 
 
23 
 
H. RENASCENÇA 
Deus também criou o homem à sua própria imagem: pois, como o mundo é a 
imagem de Deus, também o homem é a imagem do mundo. - H. Cornelius Agrippa, 
Filosofia Oculta. 
No período da Renascença, a geometria linear superposicional foi suplantada 
por uma geometria poligonal centralizada. Tal tendência centralizadora é vista como um 
emblema de um movimento de fuga das crenças transcendentais da Idade Média, 
substituídas por umethos mais humanista, antropocêntrico. 16 A basílica, nesse 
contexto, foi elevada para o reino da adoração, fato que foi criticado pelo arquiteto 
italiano Alberti (século XV), já que esta construção não estava sendo feita segundo a 
geometria sagrada, além da forma circular ser considerada pagã, na época. 
Andrea Palladio (1508-1580) é um dos maiores expoentes da geometria sagrada 
da Renascença, refinando-a à partir princípios rígidos, de forma a servir às residências 
palacianas.17 Também destaca-se a forte ligação estabelecida entre geometria, música 
e arquitetura a partir de resgastes de textos clássicos, além de contribuições como do 
italiano Lomazzo (1538-1592), que escreveu sobre o corpo humano em termos de 
harmonia musical. 
 
Figura 31 - Os números que surgem do triângulo "pitagórico" 3,4,5 produzem formosas simetrias nas formas 
naturais. Esta série começa com uma expressão natural do triângulo eqüilátero e conclui com uma série de simetrias 
em que se inspiram as plantas de edifícios. 
 
16 PENNICK, 1980, p. 114. 
17 Idem 
 
24 
 
I. BARROCO 
A arquitetura do Barroco, por sua vez, compreendida entre os séculos XVII e 
XVIII, demonstra a evasão das “figuras geométricas principais” e um constante uso da 
forma oval. Segundo Feltre (1980), “[...] a palavra barroco tende a despertar na mente 
de muitas pessoas uma disposição desenfreada de ornamento aparentemente casual 
que se mantém suspensa, como que por mágica, por uma tela de fundo de motivos 
clássicos desconectados e arranjados de maneira teatralmente espetacular.” 
Sir Chstopher Wren (1632-1723), que talvez tenha sido o arquiteto Inglês mais 
famoso de todos os tempos, enquanto lecionava em Oxford, 1657, exprimiu sobre o seu 
ethos: 
As Demonstrações Matemáticas, constituindo-se sobre as inexpurgáveis 
Fundações da Geometria e da Aritmética, são as únicas Verdades que podem 
mergulhar na Mente do Homem, vazia de toda a Incerteza; e todos os outros 
Discursos participavam mais ou menos da Verdade, segundo seus Assuntos 
sejam mais ou menos capazes de Demonstrações Matemáticas. 
 
Em complemento ao pensamento de Wren, seu filho escreveu o livro Parentalia, 
composto de quatro Tracts, nos quais se discute as intenções da Arquitetura que visa a 
eternidade, em que a Geometria Sagrada seria seu princípio condutor. 
A incorporação de medidas que retomam o simbolismo místico é vista na 
reedificação da Catedral de São Paulo, por Wren, e ilustra bem o que seria o ethos 
barroco. A altura global da catedral, por sua vez, media 365 pés desde o nível do chão 
até o topo da cruz dourada; valor que posteriormente foi usado por Sir Edward Maufe 
(1883-1974) na construção da Catedral de Guildford, em 1930. Esse número, além de 
representar a consumação do ano de Deus, o Tempo Cósmico em que o Reino do Céu 
se cumpre na Terra, equivale, em geomatria, ao nome Abraxas, que significa 
Abracadabra e, também, a consumação de todo o conhecimento.18 
 
18 Idem (p.125-126) 
 
25 
 
 
Figura 32 - Versão concluída do projeto para a Catedral de St. Paul, Londres, por Chistopher Wren. 
J. SÉCULOS XVIII, XIX E INÍCIO DO SÉC. XX 
Embora após a época de Wren e Newton houvesse um novo mundo secular em 
construção19, os arquitetos do século XVIII mantinham interesse pelas máximas da 
harmonia musical de Palladio e, consequentemente, apreço pela estrutura geométrica 
como fonte básica da harmonia. No século XIX, no entanto, muitas ideias dos séculos 
anteriores foram substituídas pela busca pelo menor custo e planejamento construtivo. 
Com os emergentes cultos à iluminação de uma época materialista, a geometria 
sagrada foi vista apenas como uma aderência supersticiosa, um sistema sem valor 
algum para a tradição. 20 Assim, tornou-se impensável um arquiteto admitir que 
trabalhava através de princípios esotéricos; por sua vez, poucos arquitetos estavam 
sequer conscientes de que havia, na área, um conhecimento dessa espécie de 
tradição. 
 
19 Idem (p.127) 
20 “Os únicos arquitetos que trabalharam com forças reais foram os engenheiros civis, tais como 
Thomas Telford e Isambard Brunel, e mais tarde Gustavo Eiffel e Louis Sullivan.” (PENNICK, 1980, 
p.127). 
 
26 
 
 Em contrapartida, nesse mesmo período, muitas foram as conquistas dos 
ocultistas em relação a publicação dos mistérios. Com a Inquisição dissolvida, os 
segredos maçônicos, que anteriormente apenas vazaram em poucos livros, puderam 
ser compilados e publicados em linguagem facilmente compreensível; sendo 
amalgamados com conhecimentos diversificados, inerentes de diferentes regiões do 
mundo. Além disso, com o desenvolvimento científico e tecnológico dos últimos séculos 
e com a revitalização do conhecimento oculto, tornou-se possível investigar a estrutura 
subjacente da matéria e da geometria orgânica mineral e vegetal. 
A supremacia do materialismo e do culto à iluminação, todavia, não permitiu que 
tais princípios arcanos do conhecimento antigo fossem aplicados na vida cotidiana. 
Como retrato disso, guias influentes do início do século XX, como o livro Hints on 
Bulding a Church21, de Parr Maskel (1905) apresentavam conhecimento insuficiente 
sobre medidas canônicas e outras noções da geometria sagrada. Sendo assim, apenas 
franco-maçons praticantes ou arquitetos versados no saber canônico antigo estavam 
verdadeiramente interessados no conhecimento canônico. 
Diferentemente dos “edifícios copiados”, a Sagrada Família e outras 
obras-primas de Antoni Gaudí, enquadram-se no cânone da Geometria Sagrada. 
De fato, o interesse de Gaudí pela geometria esotérica fez dele um dos primeiros 
arquitetos dos tempos modernos a empregar o arco parabólico e, por essa razão, 
seus edifícios contém aquilo que à primeira vista parece ser um conceito ridículo 
– pilares inclinados. Estes pilares, todavia, são o resultado de se considerar a 
construção de um edifício como um todo que integra mecânica e organicamente 
as partes de maneira que ela ecoe espiritualmente, se não funcionalmente, a 
natureza “abrangente” da arquitetura gótica. [...] A geometria sagrada determina 
suas formas. [...] Este fato, e não a forma externa, separa a arquitetura realmente 
sagrada da arquitetura meramente inventada ou derivada. (PENNICK, 1980, p. 
129) 
 
21 Maskell escreveu: “Nossos predecessores acreditam muito naquilo que a psicologia moderna 
chama de mente subconsciente, (...) O ‘sentido interno’ fazia todas as avaliações inconscientemente. 
Devemos reconhecer que essa crença era justificada, via de regra, em suas obras, mesmo nos assuntos 
mais abstrusos da acústica e da ventilação.” Esta afirmação, naturalmente não faz sentido. Não se erige 
por meios “inconscientes” uma catedral como a de Salisbury, com uma torre de quatrocentos pés que 
resistiu por setecentos anos. Edifícios como esse são o resultado de uma avançada tecnologia de 
arquitetura, planejados de acordo com os princípios seguros da geometria. (PENNICK, 1980, p.130) 
 
 
27 
 
 
Figura 33 - A Sagrada Família, projetada por Gaudí no final do século XIX; ainda em construção em 2019. 
III. SÉCULO XX E XXI: FRACTAIS E TEORIA DO CAOS 
No ano de 1955, com o cientista do M.I.T, Edward Norton Lorenz, nasce o início 
formal da Teoria do Caos. Ao tentar manipular uma função para a previsão 
meteorológica, Lorenz percebeu que: "situações iniciais ligeiramente diferentes podem 
se desenvolver em situações consideravelmente diferentes". Tal propriedade, por sua 
vez, é comum a maioria dos fenômenos naturais e sociais e não apenas uma 
propriedade de leis matemáticas abstratas. 22 Atualmente, o sistema de Lorenz é 
expresso como um sistema de três equações diferenciais não lineares acopladas: 
�̇� = 𝑎 (𝑦 − 𝑥) 
�̇� = 𝑟𝑥 − 𝑦 − 𝑥𝑧 
�̇� = 𝑥𝑦 − 𝑏𝑧22 VALERIO, 2014, p. 4 
 
28 
 
 
Figura 34 - Solução caótica para o Sistema de Lorenz, formação do Atrator de Lorenz e/ou Fractal de 
Lorenz. (Fonte: VALERIO, 2014, p. 6) 
Em Sistemas Dinâmicos, define-se “atrator” como uma região (subconjunto) do 
espaço de fase de sistemas dissipativos para a qual tendem as trajetórias que partem 
de determinada região. 
Os atratores assemelham-se a um campo de força que exerce certa atração 
numa determinada região do espaço e, por sua vez, representam o processo de 
auto-organização dos sistemas. Num sistema linear, por exemplo, obtemos 
tipicamente trajetórias que convergem para um ponto fixo estável ou para um 
ciclo limite correspondendo a uma variação periódica. Lorenz descobriu que, 
para certos valores dos parâmetros “a”, “r” e “b”, as trajetórias deste sistema 
nunca acabam num ponto fixo nem num ciclo limite estável e, contudo, nunca 
divergem para o infinito. (VALERIO, 2014, p. 6-7) 
 
Com a fabricação de computadores cada vez mais modernos, foi possível o 
desenvolvimento de funções iterativas mais sofisticadas (figura 35), que podem 
reproduzir situações muito próximas a encontradas na natureza. Por sua vez, o uso de 
funções iterativas para a produção de geometrias fractais tornou-se uma solução para a 
codificação de imagens no computador. Ao invés de transferir uma imagem pixel por 
pixel, codificá-la e decodificá-la a partir de funções que expressam a auto semelhança e 
auto afinidade das partes da figura (figura 36 e 37) coloca-se como uma opção mais 
rápida para o processamento da imagem na internet. 
 
29 
 
 
Figura 35 – O Conjunto de Mandelbrot (M) desenvolvido por Benoit Mandelbrot, 1977, é gerado pela 
iteração da função complexa: 𝑓𝑐(𝑧) = 𝑧
2 + 𝑐. A ampliação de diferentes regiões de M define fractais de variável 
complexa, chamados de Conjuntos de Julia.23 
 
Figura 36 - Uma folha e uma árvore são os atratores de, respectivamente, apenas quatro e seis iterações de 
um fractal auto afim. 
 
23 No vídeo Mandelbrot Zoom 10^227 [1080x1920], disponível em: 
https://www.youtube.com/watch?v=PD2XgQOyCCk, é possível ver sucessivas ampliações dentro do 
Conjunto. 
https://www.youtube.com/watch?v=PD2XgQOyCCk
 
30 
 
 
Figura 37 – Panorama feito com o software fractal Terragen. A superfície áspera das montanhas é feita 
usando uma técnica matemática chamada “Perlin noise”. A técnica, montada pelo cientista de computação Ken 
Perlin, em 1997, já foi usada em filmes e na televisão. 
K. GEOMETRIA FRACTAL DA NATUREZA 
 
Figura 38 – “Aqui Deus criou Círculos, Ondas e Fractais.” (Página 277 do livro de Benoit Mandelbrot, The 
Fractal Geometry of Nature, 1977). 
Ao propor o início formal de um novo ramo da matemática, a Geometria Fractal, 
Benoit Mandelbrot destacou a possibilidade de fazer o que até então não havia sido 
feito: medir, definir e comparar o belo e aparentemente irregular das formas vistas na 
 
31 
 
natureza. As formas fractais da natureza, por sua vez, apresentam um grau de 
complexidade bem maior que de fractais como a Curva de Koch e o Triângulo de 
Sierpinski, por exemplo. Segundo Mandelbrot, 1977, “[...] A natureza não exibe 
meramente um alto nível, mas, completamente, um diferente nível de complexidade. O 
número de escalas distintas de comprimento dos padrões naturais é, para objetivos 
práticos, infinitos. 24 Contudo, a Geometria Fractal representa um grande salto em 
relação à compreensão dos padrões e funcionamento naturais. 
O desenvolvimento de um organismo pode [...] ser considerado como a 
execução de um “programa de desenvolvimento” presente na fertilização do ovo. 
A celularidade de organismos superiores e seus componentes comuns de DNA 
nos forçam a considerar os organismos em desenvolvimento como coleções 
dinâmicas de autômatos finitos apropriadamente programados. A pergunta 
central do desenvolvimento biológico é descobrir o algoritmo subjacente ao curso 
de desenvolvimento. (Aristid Lindenmayer and Grzegorz Rozenberg)25 
i. Dimensão Fractal 
Assim como já observamos no Conjunto de Cantor, os fractais possuem algumas 
propriedades diferentes da geometria euclidiana. A dimensão das figuras geométricas 
euclidianas é expressa por números inteiros; por exemplo, uma linha (dimensão 1), um 
quadrilátero (dimensão 2), um cubo (dimensão 3). Na Geometria Fractal, todavia, 
encontra-se casos como os da Curva de Koch, com um perímetro cujo crescimento é 
infinito; ou casos reais como a costa de um continente 26 , que, por possuir 
características fractais, não consegue ser medida por meio de cálculos euclidianos 
básicos. 
 
24 Nature exhibits not simply a higher degree but an altogether different level of complexity. The 
number of distinct scales of length of natural patterns is for all practical purposes infinite. (FRANTZ, 
CRANNEL, 2011, p. 162) 
25 “The development of an organism may […] be considered as the execution of a ‘developmental 
program’ present in the fertilized egg. The cellularity of higher organisms and their common DNA 
components force us to consider developing organisms as dynamic collections of appropriately 
programmed finite automata. A central task of developmental biology is to discover the underlying 
algorithm from the course of development.” In: Automata, Languages, Development, A. Lindenmayer, G. 
Rozenberg (eds.), North-Holland, Amsterdam, 1975. 
26 MANDELBROT, B. How Long Is the Coast of Britain? Statistical Self-Similarity and 
Fractional Dimension. Science, 05 May 1967: Vol. 156, Issue 3775, pp. 636-638. DOI: 
10.1126/science.156.3775.636 
 
32 
 
Nesse contexto, observa-se que ao tentar medir o comprimento (dimensão 1), de 
um quadro (1 x 1), através de segmentos de reta de tamanho 1 u., seriam necessários 
infinitos segmentos para o preenchimento total da área do quadrado (figura 39). No 
entanto, apesar do comprimento infinito, a área do quadrado (dimensão 2) é finita e 
igual a 1. 
 
Figura 39 - O "comprimento" de um quadrado de lado 1 é infinito. 
 
Figura 40 – Divisão de um quadro de lado 1 por cubos de lado s. 
Da mesma forma, ao medir área, comprimento e volume de um quadro, através 
de sua divisão em cubos de lado 𝑠, como na figura 40, teríamos o seguinte resultado: 
Área do quadrado de topo = (número de cubos)×(área do topo do cubo) = (1 𝑠²⁄ ) × (𝑠2) = 1. 
“Comprimento” lateral do cubo = (número de cubos)×(comprimento lateral do cubo) = (1/𝑠²)(𝑠¹) = 1/𝑠. 
Volume do quadro = (número de cubos)×(volume do cubo) = (1 𝑠2⁄ )(𝑠³) = 𝑠. 
Observa-se que, em relação à área do quadrado de topo, o valor não é apenas 
correto, mas é válido para qualquer valor positivo de 𝑠. O comprimento lateral do cubo, 
no entanto, não pode ser mensurado em relação a 𝑠, pois apesar de estar contido na 
lateral de um cubo de valor igual a 1, torna-se infinito à medida em que 𝑠 se aproxima 
de zero. Outrossim, o volume do quadro aproxima-se de zero à medida que 𝑠 tende à 
zero. Desse modo, infere-se que a “dimensão de medida” é dada por D, em: 
 
33 
 
“tamanho” = (número de cubos) × 𝑠𝐷 
Assim, quando o tamanho à que nos referimos é o comprimento, usa-se 𝐷 = 1; 
área: 𝐷 = 2 e volume 𝐷 = 3 . Por exemplo, sendo o quadrado um objeto 
bidimensional, sua área é igual a 1; um valor finito e positivo. Nesse sentido, tem-se 
que: 
Se a medida resulta em infinito é porque a dimensão de medida foi muito pequena. Da mesma forma, se 
a dimensão de medida é muito grande, a medida será zero. A verdadeira dimensão de um objeto é a 
dimensão que torna sua medida finita e positiva, sendo que esta dimensão existe e é única.27 
No ano de 1921, o matemático britânico Lewis Fry Richardson, ao tentar medir o 
perímetro da costa da Inglaterra através da sua divisão em “passos” de tamanho 𝑠, 
descobriu a seguinte relação; em que 𝐶 é uma constante, 𝑁 = 𝑁(𝑠) é o número de 
passosde tamanho 𝑠 e 𝐷 é a dimensão de medida: 
𝑁 = 𝐶 ∙ 𝑠−𝐷 
 
Figura 41 – A Curva de Koch é um bom exemplo da linha costeira de um continente. O número de passos, 
N(s) e o seu tamanho (s) codificam a formação do fractal. O fractal pode ser mais ou menos complexo de acordo com 
o número de estágios ou iterações na sua construção. 
 
27 “The true dimension D of an object is the measurement dimension that causes the 
measurement to converge to a finite, positive value as the edge length of the measuring cubes 
approaches zero (provided such a dimension exists and is unique.” (FRANTZ, 2011, p. 167 e 169) 
 
34 
 
Ao analisar a Curva de Koch de forma semelhante ao que fez Richardson para a 
linha costeira da Inglaterra, no estágio 1, em que: 𝑁 = 𝑠−𝐷 (figura 41), tem-se que: 
𝑁 = 𝐶 ∙ 𝑠−𝐷 ⇒ 
𝑁 = 𝑠−𝐷⇔ 𝐶 = 1. 
No estágio 𝑚, por sua vez, tem-se 𝑁 (𝑠) = 4𝑚 e 𝑠 = (
1
3
)
𝑚
. Logo, 
𝑁 = 𝐶 ∙ 𝑠−𝐷 ⇒ 4𝑚 = 1 ∙ (
1
3
)
𝑚(−𝐷)
⇔4𝑚 = 3𝑚𝐷 = 3𝐷(𝑚)⇔ 3𝐷 = 4 ⇒ 
log 4 = log 3𝐷 = 𝐷 log 3 ⇔ 𝐷 = 
log 4
log 3
≈ 1,26. 
Em geral, pois, a dimensão (𝐷) de um objeto, também chamada de dimensão 
topológica de Hausdorff28, sendo 𝑁 o número de subdivisões (passos) e 𝑠 o tamanho 
de cada passo, é dada por: 
𝐷 = 
log𝑁
log 1 𝑠⁄
 
 
Figura 42 - Variações de dimensão na Curva de Koch. Á medida em que a dimensão (D) se aproxima de D 
= 2, maior o espaço preenchido pela curva. Da mesma forma, quanto mais próxima de D = 1, mais próxima será a 
curva do comprimento de uma linha. 
 
28 MUCHERONI; LIBARDI; SOUZA, 2017, p. 46 
 
35 
 
L. MATEMÁTICA, FRACTAIS E ARQUITETURA 
Matemática é frequentemente definida com a ciência do espaço e do 
número. [...] No entanto, foi com a recente ressonância de computadores 
e matemática que sua definição ficou totalmente evidente; matemática é 
a ciência dos padrões. – Lynn Arthur Steen, 198829 
 
No cálculo da dimensão fractal, fizemos o uso de álgebra, expoentes e 
logaritmos. A construção de um fractal, por sua vez, requer técnicas de repetições de 
padrões de uma geometria, como na figura 43. 
 
Figura 43 – Passos do desenho de uma couve-flor (a-g) e uma representação computacional (h-i) depois de 
muitas iterações. 
O desenho da couve-flor da figura acima se inicia com uma linha de comprimento 
𝐿 (a), a partir da qual se traça uma altura 𝐿/3 (b). O mesmo é feito em (c) para os 
segmentos 𝐿’ e 𝐿’’, resultantes do traço da altura em (b), e com alturas 𝐿’/3 e 𝐿’’/3, 
sendo 𝐿’ = 𝐿’’. O procedimento se repete para cada novo segmento gerado. Desse 
modo, assim como é observado no Conjunto de Cantor, na Curva de Koch, e no 
Triângulo de Sierpinski, tanto o todo, como as partes da couve-flor apresentam o 
mesmo princípio de formação, fato que promove sua característica de auto semelhança. 
 
29 “Mathematics is often defined as the science of space and number [. . .] It was not until the 
recent resonance of computers and mathematics that a more apt definition became fully evident: 
mathematics is the science of patterns.” (PEITGEN; JÜRGENS; SAUPE, 2004, p. 37) 
 
36 
 
Segundo (YESSIOS,1987, apud SEDREZ; PEREIRA, 2009, p. 169), “[...] o 
fractal, como um sistema generativo, consiste de uma forma inicial (a base) e um ou 
mais geradores. O gerador, do ponto de vista prático, é uma regra de produção: 
substitui cada e todos os segmentos da base com a forma do gerador.” Desse modo, o 
número de iterações de uma função geratriz, no caso do uso de fractais na construção 
arquitetônica, depende do que se busca construir. O fractal atua como forma e estrutura 
do projeto e se transforma de acordo com o desejo do arquiteto, de maneira parecida 
com o uso da Geometria Sagrada na construção de edifícios. 
Na pós-modernidade, a arquitetura fractal é uma das oito tendências dos 
projetos arquitetônicos, sendo diversa em formas, curvas, linhas, planos ou volumes 
que se baseiam em fractais.30 
 
 
Figura 34 – Construção de uma superfície fractal usando o mosaico de um triângulo. Figura 45 – Seção 
perfilada da planta baixa; triângulo de Sierpinski. Fonte: autoria do aluno Luiz Henrique Fernandes. 
 
30 JENCKS, 2002, apud SEDREZ; PEREIRA, 2009, p. 171. 
 
37 
 
 
Figura 45 - Arquitetura Islâmica 
 
Figura 46 – Pavilhão Swoosh, Londres – Geometria Fractal. 
 
38 
 
CONCLUSÃO 
Segundo os antigos, tudo o que é manifesto, seja no mundo físico, seja no 
mundo das imagens e dos conceitos mentais, pertence ao incessante fluxo das 
progressões em constante mudança; é apenas o reino não manifesto (metafísico) dos 
princípios o que é imutável. Essa compreensão é a chave para se entender a 
Geometria Sagrada e a origem do conhecimento matemático. Ao contrário da Teoria da 
Matemática Corporificada (LAKOFF, NUÑEZ, 2000), o conhecimento da Geometria 
Sagrada demonstra que a experiência no mundo empírico, o que inclui o sistema 
sensório-motor humano, não são permanentes. 
Assim como a Geometria Sagrada, a Geometria Fractal não restringe seus 
estudos às formas e teoremas, como na geometria euclidiana, ampliando seu olhar 
para os padrões geométricos e formas da natureza; a qual, para os antigos, seria o 
continuum universal. Alguns fractais, antes de serem reconhecido por esse nome, já 
haviam sido expressos na arte e arquitetura por artistas formados no saber cânone da 
Geometria Sagrada. O desenvolvimento tecnológico contemporâneo permite um 
número de iterações de funções na produção de fractais que, antes do século XX, era 
praticamente impossível. 
Ao longo da história, com a separação entre geometria, filosofia, religião e 
ciência, o conhecimento matemático perdeu grande parte do seu rico simbolismo e 
aplicação prática. No século XIX, por exemplo, alguns estudiosos delegaram a esfera 
do inconsciente a construção de edifícios de elaboradas técnicas matemáticas. A 
afinidade entre a criação do mundo e a geometria, que era senso comum aos antigos, é 
de difícil compreensão para a modernidade. 
Mas os princípios geradores são imutáveis e permanecem, e nossa 
contemporânea recusa daqueles princípios surge simplesmente porque temos 
procurado o permanente no mundo empírico, em lugar de procurar na sua 
verdadeira morada, que é o metafísico. (LAWLOR, 1996, p. 27) 
 
39 
 
BIBLIOGRAFIA 
BARDON, Franz. Iniciação ao Hermetismo. Comunidade Pgem - Brasil: Haon, 2001. 
200 p. 
BOYER, Carl B.. História da Matemática. 2. ed. São Paulo: Edgar Blücher, 1996. 496 
p. Tradução de Elza E. Gomide. 
CHAOS UN'AVVENTURA MATEMATICA. Direção de Jos Leys, Étienne Ghys e 
Aurélien Alvarez. France, 2013. Son., color. Legendado. Licença de atribuição Creative 
Commons (reutilização permitida). Disponível em: <http://www.chaos-math.org>. 
Acesso em: 09 abr. 2019 
FALCONER, Kenneth. Fractal Geometry: Mathematical Foundations and Applications. 
2014. John Wiley & Sons, Ltd. University of St Andrews, UK. Third Edition. 400 p. 
FERRAZ, AA, and TASSINARI, RP. Como é possível o conhecimento matemático? 
As estruturas lógico-matemática a partir da Epistemologia Genética [online]. São 
Paulo: Editora UNESP; São Paulo: Cultura Acadêmica, 2015, 132 p. ISBN 
978-85-7983-656-5. Available from SciELO Books <http://books.scielo.org>. Acesso em: 
09 abr. 2019. 
FEY, Franciele; ROSA, Jarbas André da. Teoria do caos: a ordem na não-lineariedade. 
Taquara: Universo Acadêmico, 2012. 16 p. (217-232, v.5, n.1, jan./dez.). Disponível em: 
<https://docobook.com/teoria-do-caos-a-ordem-na-nao-linearidade-faccatbr.html>. 
Acesso em: 09 abr. 2019 
FRANTZ, M., A. CRANNELL. Viewpoints: mathematical perspective and fractal 
geometry in art. 2011. Princeton University Press, Princeton, New Jersey. 259 p. 
GOTTSCHALK, Cristiane M. C. A Construção E Transmissão Do Conhecimento 
Matemático Sob Uma Perspectiva Wittgensteiniana.Cad. Cedes, Campinas, v. 28, 
n. 74, p.75-96, jan./abr. 2008. Disponível em: <http://www.cedes.unicamp.br>. Acesso 
em: 09 abr. 2019. 
JANOS, Michel. Geometria Fractal. Rio de Janeiro: Ciência Moderna Ltda., 2008. 98 p. 
 
40 
 
LAKOFF, George; NUÑEZ, Rafael E.. Where Mathematics Comes From: How The 
Embodied Mind Brings Mathematics Into Being. New York: Basic Books, 2000. 514 p. 
LAWLOR, Robert. Mitos, Deuses, Mistérios: Geometria Sagrada: Filosofia e Prática. 
Nova York - Associação Lindisfame de Crestone. Colorado: Delprado, 1996. (116). 
Versão Brasileira GVS 
MANDELBROT, Benoit. The Fractal Geometry of Nature. New York: W. H. Freeman 
And Company, 1977, 1982, 1983, 468 p. 
MUCHERONI, Laís Fernandes; LIBARDI, Profa. Dra. Alice Kimie Miwa; SOUZA, Profa. 
Dra. Tatiana Miguel Rodrigues de. Dimensão de Hausdorff e Algumas 
Aplicações. 2017. 63 f. Dissertação (Mestrado) - Curso de Geociências e Ciências 
Exatas, Universidade Estadual Paulista, Câmpus de Rio Claro, 2017 
PASSES, Alan. Do um à metafora.: Para um entendimento da matemática pa’ikwené 
(palikur). São Paulo: Revista de Antropologia, Usp, v. 49, n.1, p. 245-281, 2006. 
Tradução de Inês Rosa Bueno. Disponível em: < 
http://www.scielo.br/pdf/ra/v49n1/v49n1a08.pdf >. Acesso em: 09 abr. 2019. 
PEITGEN, Heinz-Otto; JÜRGENS, Hartmut; SAUPE, Dietmar. Chaos and Fractals: 
New Frontiers of Science. New York. Springer Science + Business Media, Inc. 2004. 
Second Edition. 895 p. 
PENNICK, Nigel. Geometria Sagrada: Simbolismo e Intenção nas Estruturas 
Religiosas. 98765432. ed. São Paulo: Pensamento Ltda., 1980. 146 p. Tradução de 
Alberto Feltre. 
SANTOS, Ricardo Yamashita. Estudos da linguagem e mente corporificada: uma 
nova proposta gramatical. Belo Horizonte: RBLA, 2011. 15 p. (V.11, n.1, p.11-25). 
Disponível em: <http://www.scielo.br/pdf/rbla/v11n1/v11n1a02.pdf>. Acesso em: 09 abr. 
2019. 
SEDREZ, Maycon Ricardo; PEREIRA, Alice T. Cybis. CAAD e Criatividade, uma 
experiência com arquitetura fractal. Risco: Artigos e ensaios. 2009. Eesc-usp. p. 
168-179. Disponível em: 
 
41 
 
<https://www.iau.usp.br/revista_risco/Risco9-pdf/02_art10_risco9.pdf>. Acesso em: 09 
jul. 2019. 
SKINNER, Stephen. Geometría Sagrada: Descifrando el código. 2007. Gaia 
Ediciones. Móstoles (Madrid). Traduccíon: Blanca González Villegas. 169 p. 
VALERIO, Luis Renato. Dinâmica Não-Linear e Caos: O circuito de Chua. 
Orientador: Prof. Dr. Hugo Bonette de Carvalho. 2014. TCC: Universidade Federal de 
Alfenas/ MG. 
WALDOMIRO, Tatiana de Camargo. Abordagem Histórico-Epistemológica do 
Ensino da Geometria Fazendo Uso da Geometria Dinâmica.2011. 90 f. Dissertação 
(Mestrado) - Curso de Faculdade de Educação, Universidade de São Paulo, São Paulo, 
2011. Acesso em: 09 abr. 2019. Disponível em: 
<http://www.teses.usp.br/teses/disponiveis/48/48134/tde-04072011-145346/pt-br.php>.