PRATICA 1 - FIG LISSAJOUS

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LABORATÓRIO DE FÍSICA IV 
PRÁTICA I: FIGURAS DE LISSAJOUS 
 
 
 
 
 
 
 
Discentes 
João Pedro Campos Dos Santos 
Maria Eduarda de Oliveira 
 
Docente 
Prof. Dr. Marinônio Lopes Cornélio 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
São José do Rio Preto, 7 de maio de 2021 
1. OBJETIVO 
O objetivo da presente prática é observar, experimentalmente, a construção das 
figuras de Lissajous com o auxílio do osciloscópio. 
 
2. INTRODUÇÃO 
O osciloscópio é um instrumento de medição que permite visualizar graficamente 
sinais elétricos. Este equipamento pode ser analógico ou digital. Os analógicos funcionam 
aplicando a tensão medida a duas placas horizontais que criam um campo eléctrico, 
provocando o desvio de um feixe de elétrons que se desloca para a tela do aparelho, da 
qual é formada por elementos de fósforo, que quando atingidos tende a se iluminar. Já os 
digitais retiram amostras do sinal original e as converte para um formato digital (binário) 
através da utilização de um conversor. Esta informação digital é armazenada numa 
memória e seguidamente reconstruída e representada na tela. A figura 1 a seguir exibe as 
duas variações de osciloscópios. 
Figura 1. Visualização osciloscópio analógico e digital 
 
 
 
O osciloscópio é indispensável em laboratórios e áreas que necessitam uma 
visualização do sinal a ser mensurado, tais como oficinas de eletrônicos e diagnósticos 
médicos. Com este equipamento pode-se analisar sinais quanto à sua forma, amplitude e 
comportamento no tempo. 
 
2.1 FIGURAS DE LISSAJOUS 
As curvas (ou Figuras) de Lissajous, recebem este nome por conta do matemático 
francês Jules Antoine Lissajous, que tinha como principal objetivo visualizar ondas 
sonoras. 
Tomam-se dois, eixos X e Y, a composição gráfica de dois movimentos ondulatórios, 
um na horizontal e outro na vertical, resulta na figura de Lissajous. A frequência está 
ligada ao tempo e a quantidade de ondas realizadas. Como a função senoidal 
trigonométrica representa graficamente o Movimento Harmônico Simples, elas são 
usadas na parametrização das equações destas curvas. Na matemática a Curva de 
Lissajous é o gráfico resultante de um sistema de equações parametrizadas, dadas por 
 𝑥 = 𝑥0 𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑥𝑡), 𝑦 = 𝑦0 𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑦𝑡) (1) 
Para medir a frequência de um sinal por meio destas curvas é necessário aplicar o 
sinal desconhecido numa das entradas do osciloscópio e na outra entrada ligar um gerador 
de sinais senoidais. A figura 2 exemplifica algumas curvas formadas a partir da variação 
de frequências e fases. 
Figura 2. Curvas de Lissajous para diferentes frequências 
 
 
 A relação entre as frequências horizontal e vertical dos sinais, com o número de 
vezes que a figura toca na linha de tangência é dada pela equação (2) 
 
𝐹𝑉
𝐹𝐻
=
𝑁𝐻
𝑁𝑉
 (2) 
 
3. MATERIAIS 
• Osciloscópio 
• Gerador de Sinais 
• Fonte A C 
 
4. RESULTADOS E DISCUSSÕES 
 A frequência na entrada horizontal (FH) do gerador foi mantida fixa em 60 𝐻𝑧, 
enquanto a frequência na entrada vertical (Fv) foi variada. O número de tangência na 
horizontal (NH), número de tangência na vertical (Nv) e a relação 
𝑁𝐻
𝑁𝑉
 foram obtidos 
utilizando a equação (2) e dispostos no seguinte quadro. 
 Quadro 1: variação da frequência vertical e a relação entre os números horizontais 
e verticais 
FH 
(Hz) 
FV 
(Hz) 
NH Nv NH/ Nv 
 15 1 4 0,25 
 20 1 3 0,33 
 24 2 5 0,40 
 30 1 2 0,50 
 40 2 3 0,67 
60 60 1 1 1,00 
 90 3 2 1,50 
 120 2 1 2,00 
 150 5 2 2,50 
 180 3 1 3,00 
 240 4 1 4,00 
 
 Os valores dispostos no quadro 1, tornam explicito a relação entre as frequências 
dos dois sinais conforme o número de vezes que a figura toca na linha de tangência 
horizontal e na vertical. 
 
 
 
 
5. EXERCICIOS 
5.1. Comprovação da relação 
𝐹𝑉
𝐹𝐻
=
𝑁𝐻
𝑁𝑉
 com os valores do quadro 1. 
 Para comprovar a relação, foram selecionados dois trios de valores distintos 
originários da tabela. O primeiro trio foi de: número de tangência horizontal (NH), número 
de tangência vertical (Nv) e frequência vertical (FV). 
 Então tem-se 
𝐹𝑉
𝐹𝐻
=
𝑁𝐻
𝑁𝑉
 
Onde, 
FV = 15 Hz 
NH = 1 
Nv = 4 
Substituindo os valores na equação (2) 
15𝐻𝑧
𝐹𝐻
= 
1
4
 
Resolvendo para 𝐹𝐻 
𝐹𝐻 = 4 ∗ (15𝐻𝑧) 
𝐹𝐻 = 60 𝐻𝑧 
O valor obtido para a frequência horizontal é de fato o usado na prática. 
O segundo trio foi utilizado para determinar o valor da frequência vertical FV. 
Então tem-se 
𝐹𝑉
𝐹𝐻
=
𝑁𝐻
𝑁𝑉
 
 
 
 
Onde, 
FH = 60 Hz 
NH = 2 
Nv = 3 
Substituindo os valores na equação (2) 
𝐹𝑉
60 Hz
=
2
3
 
Resolvendo para 𝐹𝑉 
3𝐹𝑉 = 2 ∗ (60 Hz) 
𝐹𝑉 =
120 𝐻𝑧
3
 
𝐹𝑉 = 40 𝐻𝑧 
Este valor é de fato o esperado para o trio de valores selecionados do quadro 1. 
Assim fica comprovada a relação das frequências utilizando os valores do quadro 1. 
5.3. Cálculo do valor da frequência desconhecida por meio das Lissajous, 
dispostas nas figuras x e x. 
a) Figura x, 𝐹𝐻 = 600 𝐻𝑧 
 
 A figura formada possui 2 lóbos horizontais e 1 vertical. 
Dada a equação (2) 
𝐹𝑉
𝐹𝐻
=
𝑁𝐻
𝑁𝑉
 
𝐹𝑉 
600 𝐻𝑧
= 
2
1
 
𝐹𝑉 = 1200 𝐻𝑧 
 
 A frequência desconhecida é a frequência vertical que é igual a 
𝐹𝑉 = 1200 𝐻𝑧. 
 
 b) Figura x, 𝐹𝑉 = 150 𝐻𝑧 
 
A figura formada possui 1 lóbo horizontais e 1 vertical. 
Dada a equação (2) 
𝐹𝑉
𝐹𝐻
=
𝑁𝐻
𝑁𝑉
 
150 𝐻𝑧
𝐹𝐻
= 
1
1
 
𝐹𝐻 = 150 𝐻𝑧 
A frequência desconhecida é a frequência horizontal que é igual a 
𝐹𝐻 = 150 𝐻𝑧. 
 
 
 
 
6. CONCLUSÃO 
 Em primeiro lugar, a frequência horizontal foi fixada em 60 Hz e a frequência 
vertical foi variada, os valores dos números horizontais e verticais foram anotados e 
dispostos no Quadro 1. Após, foram feitos os exercícios propostos na apostila. Com os 
objetivos de observar experimentalmente a construção de uma figura de Lissajous, com 
o auxílio do osciloscópio, e a comprovação da relação 𝐹𝑉 𝐹𝐻 = ⁄ 𝑁𝐻 𝑁𝑉⁄ . 
 Analisando os resultados dispostos no Quadro 1, constatou a suscetibilidade a 
mudanças nas figuras de Lissajous de acordo com a variação de uma das frequências, a 
relação 𝐹𝑉 𝐹𝐻 = ⁄ 𝑁𝐻 𝑁𝑉⁄ explicita esta condição pela sua proporcionalidade. Com a 
resolução do primeiro exercício com os valores do Quadro 1 a relação de dependência 
das frequências e dos números horizontais e verticais foi comprovada. Já a resolução do 
terceiro exercício demostrou que é possível determinar uma frequência desconhecida 
utilizando as figuras de Lissajous. 
 
7. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 
TIPLER, Paul A.; MOSCA, Gene. Física para cientistas e engenheiros: Eletricidade e 
Magnetismo, Óptica. 6. ed. [S.l.: s.n.], 2006. 
FACULDADE DE TECNOLOGIA. Osciloscópio. Disponível em: 
<https://www.ft.unicamp.br/~leobravo/TT%20305/O%20Osciloscopio.pdf >Acesso em: 
4 mai. 2021. 
PRADO, Cleunicio Antônio. PARAMETRIZAÇÃO DE CÔNICAS E CURVAS DE 
LISSAJOUS: CONCEITOS E POSSIVILIDADES DE ENSINO COM AUXILIO DO 
GEOGEBRA. Sinop – MT, jun./2017. Disponível em: <https://sca.profmat-
sbm.org.br/sca_v2/get_tcc3.php?cpf=27836010104&d=20191016010721&h=03c25118
2014e289e5fafe6a4530935679d82ff1> Acesso em: 4 mai. 2021. 
 
 
https://www.ft.unicamp.br/~leobravo/TT%20305/O%20Osciloscopio.pdf