Questão 3. Uma figura de Lissajous é uma curva definida por um sistema de equações paramétricas da forma: { x(t) = A sen(at+ δ) y(t) = B sen(bt) co...

A figura de Lissajous é uma curva definida por um sistema de equações paramétricas da forma: { x(t) = A sen(at+ δ) y(t) = B sen(bt) com A,B, a, b, δ ∈ R constantes. Considere −→α (t) = ⟨x(t), y(t)⟩ uma função vetorial cujo gráfico é uma figura de Lissajous para A = 2, B = 3, a = b = 1 e δ = π/2. a) Calcule −→α (π/2). Resposta: Temos −→α (π/2) = ⟨2 sen(π/2 + π/2), 3 sen(π/2)⟩ = ⟨0, 3⟩. b) Escreva as equações cartesianas de −→α (t). Resposta: Observamos que −→α (t) = ⟨2 sen(t+ π/2), 3 sen(t)⟩ = ⟨2[sen(t) cos(π/2) + cos(t) sen(π/2)], 3 sen(t)⟩ = ⟨2 cos(t), 3 sen(t)⟩. Logo x(t)/2 = cos(t) e y(t)/3 = sen(t), de onde concluímos cos²(t) + sen²(t) = 1 ⇒ (x(t)/2)² + (y(t)/3)² = 1 ⇒ [x(t)]²/4 + [y(t)]²/9 = 1. c) Trace um esboço do gráfico de −→α . Resposta: A figura abaixo apresenta um esboço do gráfico.  d) −→α é uma função contínua? Justifique. Resposta: Sim, pois as funções coordenadas x(t) e y(t) de −→α (t) são funções contínuas.