Aula 31

Prévia do material em texto

Cônicas
Uma cônica no plano é de�nida como o conjunto dos pontos P = (x, y) ∈ R2 cujas coorde-
nadas satisfazem uma equação da forma
αx2 + βxy + γy2 + δx+ ξy + η = 0
em que α, β, γ, δ, ξ, η são números reais tais que α, β e γ não são simultaneamente nulos.
As equações das cônicas representam elipses, parábolas, hipérboles, pares de retas, retas ou
pontos. Chamamos as elipses, parábolas e hipérboles de cônicas não degeneradas e as retas, os
pares de retas e os pontos de cônicas degeneradas.
Elipse
Uma elipse é o conjunto de pontos P do plano tais que a soma das distâncias de P a dois
pontos �xos F1 e F2 é constante e é estritamente maior que a distância entre F1 e F2. Os pontos
F1 e F2 são chamados de focos da elipse.
Observe que se F1 = F2, então a elipse se reduzirá a um círculo (pois nesse caso estamos
olhando o conjunto de pontos do plano cuja distância ao foco F1 é constante e isso nada mais
é do que uma circunferência com centro em F1).
Vamos considerar inicialmente o caso particular em que os focos se encontram ambos no eixo
x e em pontos simétricos em relação à origem, isto é, o caso em que F1 = (−c, 0) e F2 = (c, 0)
para algum c ≥ 0. Vamos determinar uma equação algébrica que descreva os pontos P = (x, y)
dessa elipse.
Se P = (x, y), então os vetores
−−→
F1P e
−−→
F2P são dados por
−−→
F1P = (x+ c, y) ⇒ d(P, F1) = ||
−−→
F1P || =
√
(x+ c)2 + y2
−−→
F2P = (x− c, y) ⇒ d(P, F2) = ||
−−→
F2P || =
√
(x− c)2 + y2
A elipse é o conjunto dos pontos P do plano tais que
d(P, F1) + d(P, F2) = 2a
1
onde a > c é uma constante �xa. Logo, para um ponto pertencer a elipse, suas coordenadas
devem satisfazer √
(x+ c)2 + y2 +
√
(x− c)2 + y2 = 2a
Subtraindo
√
(x− c)2 + y2 dos dois lados da equação, obtemos√
(x+ c)2 + y2 = 2a−
√
(x− c)2 + y2
Elevando os dois lados da equação ao quadrado, obtemos
(x+ c)2 + y2 = 4a2 − 4a
√
(x− c)2 + y2 + (x− c)2 + y2
⇒ x2 + 2xc+ c2 + y2 = 4a2 − 4a
√
(x− c)2 + y2 + x2 − 2xc+ c2 + y2
⇒ xc− a2 = −a
√
(x− c)2 + y2
Elevando esta expressão ao quadrado:
(xc− a2)2 = a2((x− c)2 + y2)
ou seja,
x2c2 − 2xca2 + a4 = a2(x2 − 2xc+ c2 + y2)
= x2a2 − 2xca2 + a2c2 + a2y2
Simpli�cando esta expressão e rearranjando os termos, obtemos:
x2(a2 − c2) + a2y2 = a2(a2 − c2)
Observe que como a > c, então a2 − c2 > 0. Se denotarmos por b o real positivo que satisfaz
b2 = a2 − c2, então a expressão acima se reduz a:
b2x2 + a2y2 = a2b2
Dividindo os dois lados da equação por a2b2, obtemos
x2
a2
+
y2
b2
= 1
O número a nos fornece o comprimento do semi-eixo maior da elipse e o número b nos
fornece o comprimento do semi-eixo menor da elipse.
Observe que se F1 = F2, então c = 0 e b = a. Neste caso a equação se resume a
x2 + y2 = a2
que é a equação da circunferência de centro na origem e raio a.
2
Analogamente, no caso em que os focos se encontram ambos no eixo y e em pontos simétricos
em relação à origem (isto é, o caso em que F1 = (0,−c) e F2 = (0, c) para algum c ≥ 0) obtemos
a fórmula:
x2
b2
+
y2
a2
= 1
onde b =
√
a2 − c2.
Proposição 1. Seja b =
√
a2 − c2.
• A equação da elipse cujos focos são F1 = (−c, 0) e F2 = (c, 0) é
x2
a2
+
y2
b2
= 1
• A equação da elipse cujos focos são F1 = (0,−c) e F2 = (0, c) é
x2
b2
+
y2
a2
= 1
Exemplo 1. A equação x2 +
y2
4
= 1 representa a elipse de semi-eixo maior 2 e semi-eixo menor
1. Nesse caso, como a2 = 4 e b2 = 1, então c2 = a2 − b2 = 3 e, portanto, os focos dessa elipse
estão localizados nos pontos (0,
√
3) e (0,−
√
3).
3
Parábola
Uma parábola é o conjunto de pontos P do plano cujas distâncias a uma reta r �xa do
plano e a um ponto F /∈ r são iguais. A reta r é chamada de diretriz da parábola e o ponto F
é chamado de foco da parábola.
Vamos considerar inicialmente o caso particular em que o foco da parábola se encontra no
eixo x, isto é, F = (p, 0) para algum p ∈ R∗ e a reta diretriz é a reta paralela ao eixo y dada
por r : x = −p.
Se P = (x, y), então o vetor
−→
FP é dado por
−→
FP = (x− p, y) ⇒ d(P, F ) = ||
−→
FP || =
√
(x− p)2 + y2
A distância entre P e r é dada por
d(P, r) = |x+ p|
Como a parábola é constituída pelos pontos P = (x, y) do plano que satisfazem d(P, F ) =
d(P, r), então sua equação é dada por√
(x− p)2 + y2 = |x+ p|
Elevando esta expressão ao quadrado:
(x− p)2 + y2 = (x+ p)2
e, portanto,
x2 − 2xp+ p2 + y2 = x2 + 2xp+ p2
Simpli�cando a última equação, obtemos:
y2 = 4xp
4
Analogamente, no caso particular em que o foco da parábola se encontra no eixo y, isto é,
F = (0, p) para algum p ∈ R e a reta diretriz é a reta paralela ao eixo x dada por r : y = −p,
obtemos a fórmula:
x2 = 4yp
Proposição 2.
• A equação da parábola com foco F = (p, 0) e reta diretriz r : x = −p é
y2 = 4xp
• A equação da parábola com foco F = (0, p) e reta diretriz r : y = −p é
x2 = 4yp
Exemplo 2. A parábola y2 = x tem foco no ponto
(
1
4
, 0
)
e possui reta diretriz x = −1
4
.
5
Hipérbole
Uma hipérbole é o conjunto de pontos P do plano tais que o módulo da diferença das
distâncias de P a dois pontos �xos F1 e F2 distintos é constante e é estritamente menor que a
distância entre F1 e F2. Os pontos F1 e F2 são chamados de focos da hipérbole.
Vamos considerar inicialmente o caso particular em que os focos se encontram ambos no eixo
x e em pontos simétricos em relação à origem, isto é, o caso em que F1 = (−c, 0) e F2 = (c, 0)
para algum c > 0.
Se P = (x, y), então
d(P, F1) = ||
−−→
F1P || = ||(x+ c, y)|| =
√
(x+ c)2 + y2
d(P, F2) = ||
−−→
F2P || = ||(x− c, y)|| =
√
(x− c)2 + y2
A hipérbole é o conjunto dos pontos P do plano tais que
|d(P, F1)− d(P, F2)| = 2a
onde 0 < a < c é uma constante �xa. Logo, para um ponto pertencer a hipérbole, suas
coordenadas devem satisfazer
|
√
(x+ c)2 + y2 −
√
(x− c)2 + y2| = 2a
ou seja, √
(x+ c)2 + y2 −
√
(x− c)2 + y2 = ±2a
Vamos trabalhar primeiro com os pontos que satisfazem√
(x+ c)2 + y2 −
√
(x− c)2 + y2 = 2a
6
Somando
√
(x− c)2 + y2 nos dois lados da equação, obtemos√
(x+ c)2 + y2 = 2a+
√
(x− c)2 + y2
Elevando os dois lados da equação ao quadrado:
(x+ c)2 + y2 = 4a2 + 4a
√
(x− c)2 + y2 + (x− c)2 + y2
Simpli�cando esta expressão e rearranjando os termos, obtemos:
xc− a2 = a
√
(x− c)2 + y2
Elevando esta expressão ao quadrado:
(xc− a2)2 = a2((x− c)2 + y2)
ou seja,
x2c2 − 2xca2 + a4 = a2(x2 − 2xc+ c2 + y2) = x2a2 − 2xca2 + a2c2 + a2y2
Simpli�cando esta expressão e rearranjando os termos, obtemos:
x2(c2 − a2)− a2y2 = a2(c2 − a2)
Observe que como a < c, então c2 − a2 > 0. Se denotarmos por b o real positivo que satisfaz
b2 = c2 − a2, então a expressão acima se reduz a:
b2x2 − a2y2 = a2b2
que pode ser reescrito como:
x2
a2
− y
2
b2
= 1
Trabalhando com os pontos que satisfazem√
(x+ c)2 + y2 −
√
(x− c)2 + y2 = −2a
obtemos exatamente a mesma expressão.
Analogamente, no caso particular em que os focos se encontram ambos no eixo y e em
pontos simétricos em relação à origem (isto é, o caso em que F1 = (0,−c) e F2 = (0, c) para
algum c > 0) obtemos a fórmula:
x2
b2
− y
2
a2
= 1
onde b =
√
c2 − a2.
7
As hipérboles tem a propriedade especial de se aproximarem de duas retas do plano sem
nunca tocá-las. Essas retas são chamadas de assíntotas da hipérbole.
Proposição 3. Seja b =
√
c2 − a2. Então
• A equação da hipérbole cujos focos são F1 = (−c, 0) e F2 = (c, 0) é
x2
a2
− y
2
b2
= 1
e as equações das suas assíntotas são
y = ± b
a
x
• A equação da hipérbole cujos focos são F1 = (0,−c) e F2 = (0, c) é
y2
a2
− x
2
b2
= 1
e as equações das suas assíntotas são
y = ±a
b
x
Exemplo 3. A equação
y2
9
− x
2
16
= 1 representa a hipérbole de assíntotas y = 3
4
x e y = −3
4
x.
Como a2 = 9 e b2 = 16, então c2 = a2 + b2 = 25 e, portanto, esta hipérbole tem focos (0,−5) e
(0, 5).
8
Observação 1. As cônicas recebem esse nome, porque quando seccionamos um cone com um
plano as únicas �guras possíveis que a gente pode obter são as cônicas (tanto as degeneradas
como as não-degeneradas).
A �gura abaixo mostra como podemos obter as cônicas não-degeneradas a partir do cone:
A �gura abaixo mostra como podemos obteras cônicas degeneradas a partir do cone:
9