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1ª. Lista de Exercícios Princípios de Comunicações II Alunos: Patrick da Silva Assunção Marcello Ricardo Queiroz 1. Considere as seguintes funções: Manaus, agosto de 2018 a) Mostre que as três funções são ortogonais duas a duas no intervalo [-2; 2]; b) Determine o valor da constante A que torna as funções em funções-base de um espaço ortonormalizado; 0 c) Expresse a seguinte forma de onda, x(t), em função do conjunto ortonormalizado que obteve: d) Exprima x(t) como um vetor no espaço ortonormalizado. 2. Considere os sinais apresentados e as seguintes definições : • A correlação entre dois sinais é dada por < 𝑠1, 𝑠2 > = ∫ 𝑇 𝑠1(𝑡)𝑠2 (𝑡)𝑑𝑡 • O coeficiente de correlação é 𝜌 = <𝑠1,𝑠2> √𝐸1 √𝐸2 Determine: a) A energia de cada sinal; b) A correlação entre os sinais dois a dois; e, c) O coeficiente de correlação entre os sinais dois a dois. Quais são os valores máximos e mínimos possíveis para o coeficiente de correlação? Justifique. 3. A distância euclidiana quadrática entre dois pontos é dada por: Isto significa que a energia da diferença de dois sinais é igual à distância quadrática entre os correspondentes pontos do espaço ortonormalizado. Considere os sinais do Exercício 1: a) Obtenha as distâncias euclidianas entre os sinais dois a dois. b) Calcule as distâncias euclidianas entre o sinal dado na letra c, x(t) e cada sinal. Adote A = ½ para os sinais dados no Exercício 1. 4. Considere um conjunto de três sinais s1(t), s2(t) e s3(t), apresentados na figura a seguir. Se as funções-base forem φ1(t) e φ2(t): a) Expresse cada sinal em função do espaço de sinais cujas funções-base são φ1(t) e φ2(t). b) Exprima cada sinal como um vetor no espaço ortonormalizado por φ1(t) e φ2(t). c) Obtenha as distâncias euclidianas entre os sinais s1(t), s2(t) e s3(t) dois a dois. d) Plote os vetores obtidos no item b: s1, s2 e s3 (somente as pontas) no plano formado por φ1(t) e φ2(t). Este diagrama recebe o nome de constelação do sistema de transmissão. e) Suponha que quando se deseja enviar o bit 0, transmite-se s1(t) e que quando é necessário enviar o bit 1, transmite-se s2(t). Se na recepção está presente o sinal: 𝑟(𝑡) = { 1 , 0 ≤ 𝑡 < 1 2 1 , 1 ≤ 𝑡 < 2 4 Qual foi provavelmente o bit enviado? Utilize o conceito de coeficiente de correlação e de distância euclidiana entre os sinais (ou os vetores que os representam) para justificar sua resposta. 5. Quatro formas de onda são representadas num espaço de sinal pelos vetores 𝑠1 = [2 − 1 − 1 1]𝑇 , 𝑠2 = [2 1 1 0]𝑇, 𝑠3 = [1 − 1 1 − 1]𝑇 e 𝑠4 = [1 − 2 − 2 2]𝑇 . As funções-base são as da figura seguinte: a) Esboce as formas de onda s1(t), s2(t), s3(t) e s4(t); b) Calcule a distância euclidiana entre os vectores s1 e s2 ; e, c) Determine o coeficiente de correlação entre as formas de onda s1(t) e s3(t). 𝑇 6. As quatro formas de onda da figura seguinte poderão se usadas para transmitir informação através de um determinado canal. Suponha que 𝑏 = √6 . a) Obtenha as energias dos sinais s1(t) e s2(t). Agora, adote T = 1s e faça o que se pede: b) Desenhe um conjunto de funções-base que defina um espaço de sinal ortonormalizado adequado a este conjunto de formas de onda; c) Mostre que as funções-base que desenhou são ortogonais; d) Expresse cada forma de onda em função do conjunto ortonormalizado que obteve. e) Exprima cada forma de onda como um vetor no espaço ortonormalizado. f) Obtenha a energia dos vetores 1 e 2. Compare com os valores obtidos no item a. José Nilson Cordeiro de Oliveira