Proxy, Variáveis Instrumentais e Equações Simultâneas

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Lista 6 - Proxy, Variáveis Instrumentais e Equações
Simultâneas
Econometria I
Monitoras: Carolina Nour e Isabela I. Gomes
Maio, 2021
1 Proxy
Questão 1. Defina Mat_Aprov como a percentagem de alunos com nota superior a 7
em um teste padronizado (por exemplo, ENEM) em uma escola de ensino médio ameri-
cana. Nós estamos interessados em estudar o efeito de gastos por aluno na performance em
matemática. Um modelo simples é: Mat_Aprov = β0 + β1 ln(gasto_por_aluno) +β2 ln(
alunos_matriculados) + β3 pobreza +u
a) Considere que lnchprg é uma variável capturando o número de alunos elegíveis para o
recebimento de subsídios para refeiçōes (lunch programs). Por quê essa variável pode ser
uma boa proxy para pobreza?
Podemos pensar em várias respostas aqui, mas o principal é que a covariância entre pobreza
e lnchprg deve ser alta e monotônica entre os indivíduos (ou seja, é o tem o mesmo sinal para
cada indivíduo).
b) Considere que, em uma regressão que não inclui nem pobreza nem nenhuma outra proxy,
o valor do coeficiente da variável ln(gasto_por_aluno) é igual à 11.13; se incluirmos a proxy
de pobreza lnchprg, o coeficiente é 7.75. Ambos são estatisticamente significantes. Por quê
os efeitos de gastos por alunos são maiores se não incluímos a variável lnchprg no modelo?
Pensando no nosso framework de variáveis omitidas, isso quer dizer que numa regressão sem
incluir pobreza temos que o termo de erro composto é
1
ηi = β3 pobreza i + ui
Nesse caso, precisamos saber tanto o sinal de β3 quanto de Cov(pobreza, gastos_por_aluno)
para pensarmos no sinal do viés. Uma vez que:
plim(b)− β = E (X ′iXi)
−1 E (X ′iηi)
Onde Xi é um vetor 1 × 3 que representa as outras duas variáveis (e a constante "1") do
modelo para cada i.
Primeiramente, vamos considerar que alunos_matriculados é exógena e não correlacionada
com pobreza - isso vai simplificar a nossa análise! Assim, voltamos ao viés usual de:
plim (b1)− β1 = Q−1(1, 1) · Cov [ln( gasto ), ηi] = Q−1(1, 1) · β3 · Cov[ln( gasto ), pobreza ]
Onde
Q−1(1, 1) = Termo 1, 1 de E (X ′iXi)
−1
Agora, podemos imaginar que escolas com mais pobreza tem desempenho pior nos ex-
ames padronizados tanto por características dos alunos (backgrounds socioeconômicos des-
favoráveis, violência) quanto por questões da escola (infraestrutura pior). Logo, β3 < 0.
Ademais, podemos imaginar que os gastos por aluno são em média menores em escolas mais
pobres. Portanto, Cov(pobreza, gastos_por_aluno) < 0. Esses dois fatores juntos tornam o
termo β3Cov(pobreza, gastos_por_aluno) positivo, o que condiz com o que observamos nas
regressōes.
Veja que o sinal de β3, na verdade, não precisa ser especulado e pode ser obtido se con-
seguíssemos rodar a regressão incluindo a variável pobreza
2
2 Variáveis Instrumentais
Questão 2. Suponha que temos um modelo y = Xβ + u, onde E [X ′u] 6= 0 e X tenha
dimensão k. Você obtém um conjunto de g ≤ k variáveis Z tal que E [Z ′u] = 0. Perceba que
X pode conter, por exemplo, apenas uma variável tal que E [X ′ku] 6= 0 (endógena), o que já
tornaria o modelo inválido.
a) Utilize a expressão E [Z ′u] = 0 para deduzir a forma fechada do parâmetro β nesse modelo.
Enumere as hipóteses necessárias para que essa forma fechada seja obtida.
E [Z ′u] = 0 =⇒ E [Z ′(y −Xβ)] = 0 =⇒ E [Z ′y]− E [Z ′X] β = 0
Se assumirmos que E [Z ′X] é invertível, teremos β = E [Z ′X]−1E [Z ′y]
b) Na letra (a), uma das hipóteses necessárias é "há correlação entre as variáveis X e Z ′′.
Explique, intuitivamente, o sentido econômico dessa hipótese. Procure usar exemplos de um
problema real.
Intuitivamente, precisamos que os nossos instrumentos estejam relacionados com as variáveis
explicativas. Lembrem-se que, em uma regressão, estamos tentando usar a variação em uma
variávelX para explicar a variação em outra variável, Y . Se acreditamos que há uma variação
"ruim" em X, ou seja, uma endogeneidade de alguma forma,precisamos obter uma variação
"limpa" para identificar apropriadamente os parâmetros. Portanto, precisamos que os in-
strumentos Z induzam essa variação "limpa" em X. Para isso, deve haver alguma forma de
relação entre Z e X
c) Utilizando os análogos amostrais de (a), proponha um estimador para o parâmetro popu-
lacional obtido a partir de E [Z ′u] = 0. Chame esse estimador de bIV .
Lembrando-se que Z ′X e Z ′y podem ser expresso como um somatório de vetores,
E [Z ′X] = E
[
N∑
i=1
z′ixi
]
;E [Z ′y] = E
[
N∑
i=1
z′iyi
]
Podemos então escrever o estimador como bIV =
(
Z′X
n
)−1 (Z′y
n
)
(perceba que n irá cancelar).
d) Mostre que, no caso onde g = k (exatamente identificado), o estimador de 2SLS é numeri-
camente equivalente ao estimador bIV .
3
Estimador de 2SLS é obtido rodando y na projeção de X em Z, ou seja, X̂ = PzX =
Z (Z ′Z)−1 Z ′X Temos, b2SLS =
(
X̂ ′X̂
)−1
X̂ ′y =
(
X ′Z (Z ′Z)−1 Z ′Z (Z ′Z)−1 Z ′X
)−1
X ′Z (Z ′Z)−1 Z ′y
Apesar de grande, perceba que Z ′Z e seu inverso se cancelam, de modo que:
b2SLS =
(
X ′Z (Z ′Z)
−1
Z ′X
)−1
X ′Z (Z ′Z)
−1
Z ′y =
(
X̂ ′X
)−1
X̂ ′y
A grande sacada é que se g = k, então
(
X ′Z (Z ′Z)−1 Z ′X
)
é uma matriz quadrada (verifique
isso). Ademais, lembre-se que (AB)−1 = B−1A−1, se tanto A como B são invertíveis. Teremos
então que
(
X ′Z (Z ′Z)−1 Z ′X
)−1
= (Z ′X)−1 (Z ′Z) (X ′Z)−1. Usando isso no estimador,
b2SLS = (Z
′X)
−1
(Z ′Z) (X ′Z)
−1
X ′Z (Z ′Z)
−1
Z ′y = (Z ′X)
−1
Z ′y
e) Dê uma intuição para o motivo do número de variáveis instrumentais ser necessariamente
maior ou igual ao número de variáveis explicativas em X que são correlacionadas com o termo
de erro. O que acontece quando o número de variáveis instrumentais é estritamente maior
que o número de variáveis endógenas?
Para que possamos eliminar o problema da endogeneidade é necessário que haja no mínimo
um instrumento para cada variável endógena. Caso tenhamos menos instrumentos do que
variáveis endógenas, não é possível garantir que E (Z ′u) = 0. Quando temos mais instrumen-
tos do que variáveis endógenas, é necessário utilizar o estimador 2SLS, uma vez que Z ′X não
será invertível. Devemos então usar a projeção de X em Z como mostrado no item anterior.
Dessa forma, garantimos que X̂ ′X é invertível.
Questão 3. Um dos problemas mais simples de variáveis instrumentais é o caso onde yi =
α + βxi + ui, E [xiui] 6= 0, e você obtém um instrumento binário (dummy) zi, com
E [ziui] = 0
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a) Mostre que o estimador de IV pode ser escrito como
bWald =
ȳ1 − ȳ0
x̄1 − x̄0
Onde ȳ0 e x̄0 são as médias amostrais de xi e yi considerando apenas a parte da amostra com
zi = 0, e que ȳ1 e x̄1 são as médias amostrais considerando apenas a amostra com zi = 1.
Esse estimador, conhecido como estimador de Wald, foi proposto pelo próprio em 1940.
Primeiro vamos relembrar do estimador de IV no caso univariado com constante, onde
βIV =
Cov(z, y)
Cov(z, x)
=
E[ZY ]− E[Z]E[Y ]
E[ZX]− E[Z]E[X]
Vamos assumir que a variável Z binária assume valor 1 com probabilidade p e valor zero com
probabilidade (1-p). Nesse caso E[Z] = p. Assim, nós temos que
E[ZY ] = E[E[ZY | Z]] = E[ZE[Y | Z]] = p·1·E[Y | Z = 1]+(1−p)·0·E[Y | Z = 0] = pE[Y | z = 1]
Além disso, nós também que temos que
E[Y ] = E[E[Y | Z]] = p · E[Y | Z = 1] + (1− p) · E[Y | Z = 0]
Então
Cov(Z, Y ) = p · E[Y | Z = 1]− p · (p · E[Y | Z = 1] + (1− p) · E[Y | z = 0])
Analogamente
Cov(Z,X) = p · E[X | Z = 1]− p · (p · E[X | Z = 1] + (1− p) · E[X | z = 0])
Portanto,
βIV =
6 pE[Y | Z = 1]− 6 p(p · E[Y | Z = 1] + (1− p) · E[Y | Z = 0])
6 pE[X | Z = 1]− 6 p(p · E[X | Z = 1] + (1− p) · E[X | Z = 0])
5
=
(1− p) · E[Y | Z = 1]− E[Y | Z = 0])
(1− p) · E[X | Z = 1]− E[X | Z = 0])
=
E[Y | Z = 1]− E[Y | Z = 0])
E[X | Z = 1]− E[X | Z = 0])
No caso amostral nós temos que
bIV =
̂E[Y | Z = 1]− ̂E[Y | Z = 0])
̂E[X | Z = 1]− ̂E[X | Z = 0])
Em que
E[ ̂Y | Z = 1] = ȳ1 =
1
n1
N∑
i=1
yi
;
E[ ̂Y | Z = 0] = ȳ0 =
1
n0
N∑
i=1
yi
;
E[ ̂X | Z = 1] = x̄1 =
1
n1
N∑
i=1
xi
;
E[ ̂X | Z = 0] = x̄0 =
1
n0
N∑
i=1
xi
Portanto
bIV = bWald =
ȳ1− ȳ0
x̄1 − x̄0
b) Pense no caso onde xi é uma variável dummy indicando um tratamento (por exemplo,
xi = 1 se o indivíduo aplicou para um programa de retreinamento fornecido pelo governo).
Interprete intuitivamente o estimador acima, lembrando que a média de uma variável dummy
é a proporção de observações cujo valor de xi é igual à 1. Para ajudar na resposta, note que
o estimador da letra (a) requer que x̄1 − x̄0 6= 0
A ideia aqui é que, a necessidade de que x̄1 − x̄0 6= 0 é a mesma coisa que dizer que o in-
strumento deve "afetar" a proporção de pessoas aderindo ao tratamento. Se observarmos os
indivíduos com zi = 1 e zi = 0, eles devem ter proporções diferentes de adesão ao tratamento,
o que significa que o instrumento está afetando a adesão ao programa. Ou seja, é relevante
para àquela decisão.
6
Questão 4. Suponha que você está interessado em estimar
yi = α + βxi + ui
onde xi é um escalar e E [xiui] 6= 0. Você observa uma variável aleatória zi, relevante no
sentido de que E [zixi] 6= 0, mas não não tem certeza se ela é válida como instrumento, ou
seja, não é garatindo que E [ziui] = 0. Você decide estimar o modelo por OLS e IV, usando
os estimadores
bOLS = (X
′X)
−1
X ′y e bIV = (Z ′X)
−1
Z ′y
Nesse exercício, queremos deduzir condições para as quais o estimador de OLS é uma opção
melhor que o estimador de IV.
a) Mostre que o viés assintótico do OLS é igual à
plim (bOLS)− β = corr (xi, ui)
σu
σx
Pensando no caso bivariado, da fórmula do MQO temos que:
β̂OLS = β +
∑N
i=1 (xi − x̄) �i∑N
i=1 (xi − x̄)
2
p→ β + C (xi, �i)
V (xi)
Se n→∞. Aqui, sabemos que C (xi, �i) 6= 0 e usando corr (xi, �i) = C (xi, �i) /σxσ�, podemos
reescrever este termo como:
plim
(
β̂OLS
)
= β +
corr (xi, �i)σxσ�
σ2x
= β + corr (xi, �i)×
σ�
σx
7
b) Mostre que o viés assintótico do IV é igual à
plim (bIV )− β =
corr (zi, ui)
corr (zi, xi)
σw
σx
Da expressão do estimador de β̂IV , temos que:
β̂IV = β +
∑N
i=1 (zi − z̄) �i∑N
i=1 (zi − z̄) (xi − x̄)
p→ β + C (zi, �i)
C (zi, xi)
Se n→∞, e lembrando que C(A,B) = corr(A,A)σAσB, com qualquer variável A e B,
plim
(
β̂IV
)
− β = C (zi, �i)
C (zi, xi)
=
corr (zi, �i)σzσ�
corr (zi, xi)σzσx
=
corr (zi, �i)
corr (zi, xi)
× σ�
σx
c) Use os resultados acima para deduzir quando o estimador de OLS é preferível ao de IV,
em termos de viés.
Note que o estimador de MQO é preferível em termos de menor viés assintótico quando:
corr (xi, �i)×
σ�
σx
≤ corr (zi, �i)
corr (zi, xi)
× σ�
σx
corr (xi, �i) ≤
corr (zi, �i)
corr (zi, xi)
d) Você sabe o que são "instrumentos fracos". Relacione a discussão sobre instrumentos
fracos, isso é, um instrumento tal que E [xizi] tem um valor baixo, com o resultado da letra
(c).
O resultado acima mostra que quando o instrumento é "fraco", ou cor (xi, zi) é muito pe-
queno, precisamos que corr (zi, �i) também seja pequeno o suficiente para justificar o uso do
IV. Note que se corr (xi, zi) tende a zero, o viés assintótico de IV tende a ser muito grande.
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Questão 5. Suponha que na equação nota = β0 + β1faltas + u você não tenha uma boa
candidata a variável instrumental de faltas. Entretanto, você tem duas outras informações
sobre os alunos: a nota média ponderada de habilidade verbal e matemática do estudante para
ingresso em curso superior (sat) e a nota média acumulada anterior ao semestre (nmgradc).
O que você faria em vez da estimação de VI?
Podemos imaginar que a endogeneidade do modelo vem do fato de que alguns alunos possuem
maior habilidade e motivação. Esses dois elementos servem para explicar a nota, e portanto
estão contidos no termo de erro. Além disso, esses elementos estão correlacionados com as
faltas do aluno. Dessa forma, a melhor alternativa nesse caso seria a estimação de mínimos
quadrados ordinários em uma equação expandida, onde sat e nmgradc são adicionadas como
variáveis proxy para a capacidade do aluno e motivação.
Questão 6. O que segue é um modelo simples para medir o efeito de um programa de es-
colha de escola sobre o desempenho em um teste padronizado: nota = β0 + β1escolha +
β2rendfam+ u1, onde nota é a nota de um teste de âmbito estadual, escolha é uma variável
binária indicando se o aluno frequentou uma escola de sua escolha no último ano e rendfam
é a renda familiar.
A VI de escolha é conc, o montante em dólares concedido aos alunos para ser usado como
pagamento da anuidade da escola particular de sua escolha. O montante da concessão difere
conforme o nível de renda familiar, razão pela qual controlamos rendfam na equação.
a) Mesmo com rendfam na equação por que escolha pode ser correlacionada com u1?
Mesmo em um dado nível de renda, alguns alunos estão mais motivados e/ou mais capazes
do que outros, e suas famílias podem dar um apoio maior à educação dos filhos que outras
famílias. Portanto, é provável que haja um problema de auto-seleção: estudantes que iriam
melhor de qualquer forma também eram mais propensos a frequentar uma escola de sua
escolha.
b) Se no interior de cada classe de rendimento os montantes de concessão fossem atribuídos
aleatoriamente, conc seria não correlacionada com u1?
Supondo que a forma funcional de rendfam está correta, conc seria não correlacionada com
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u1. Como u1 não contém a renda, a atribuição aleatória de subvenções dentro de cada classe
de renda implica que a designação da concessão não está correlacionada com fatores não
observáveis como a capacidade do aluno, motivação e apoio da família.
c) Escreva a forma reduzida da equação de escolha. O que é necessário para que conc seja
parcialmente correlacionado com escolha?
A forma reduzida é dada por:
escolha = π0 + π1conc+ π2rendfam+ v1
Para que conc seja parcialmente correlacionado com escolha é necessário que valha π1 6= 0.
Em outras palavras, após o controle pelos rendimentos, o montante da concessão deve ter
algum efeito na escolha. Isso parece razoável, desde que os montantes de concessão sejam
diferentes dentro de cada classe de renda.
d) Escreva a equação da forma reduzida de nota. Explique por que isso é importante.
A forma reduzida para pontuação é apenas uma função linear das variáveis exógenas:
nota = γ0 + γ1conc+ γ2rendfam+ u2
Esta equação nos permite estimar diretamente o efeito de aumentar o montante de concessão
sobre a pontuação no teste, mantendo a renda familiar constante.
Questão 7. O objetivo deste exercício é comparar as estimativas e erros padrão correta-
mente obtidos usando 2SLS com aqueles obtidos usando procedimentos inadequados. Use a
base WAGE2.dta para esse exercício.
(a) Estime a equação abaixo usando 2SLS
log(wage) = β0 + β1educ+ β2exper + β3tenure + β4black + u,
onde sibs é uma variável instrumental para educ. Reporte os resultados.
(b) Agora, execute manualmente o 2SLS. Ou seja, primeiro faça a regressão de educi em
sibsi, experi, tenurei e blacki e obtenha os valores ajustados, êduci, i = 1, . . . , n.. Em
seguida, execute a regressão de segundo estágio log(wagei) em êduci, experi, tenurei e blacki,
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i, i = 1, . . . , n. Verifique se os β̂j são idênticos aos obtidos na parte (i), mas os erros padrão
são um pouco diferentes. Os erros padrão obtidos da regressão do segundo estágio ao realizar
manualmente 2SLS são geralmente inadequados.
(c) Agora, use o seguinte procedimento de duas etapas, que geralmente produz estimativas
de parâmetro inconsistentes de βj, e não apenas erros padrão inconsistentes. Na etapa um,
regresse educi nos irmosi apenas e obtenha os valores ajustados, digamos ẽduci. (Observe
que esta é uma regressão de primeiro estágio incorreta). Em seguida, na segunda etapa,
execute a regressão de log(wage). Em êduci, experi, tenurei e blacki, i = 1, . . . , n. Como a
estimativa desse procedimento incorreto de duas etapas se compara à estimativa correta de
2SLS do retorno à educação?
3 Equações Simultâneas
Questão 8. No modelo com uma variável explicativa endógena, uma variável explicativa
exógena e uma variável exógena extra, considere a forma reduzida: y2 = π0 +π1z1+π2z2 +v2.
Inserindo-a na equaçao estrutural y1 = β0 +β1y2 +β2z1 +u1. Isso produzirá a forma reduzida
de y1 = α0 + α1z1 + α2z2 + v1.
a) Encontre os αj em termos de βj e πj
y1 = β0 + β1 (π0 + π1 + π2z2 + v2) + β2z1 + u1
y1 = (β0 + β1π0) + (β1π1 + β2) z1 + β1π2z2 + (β1v2 + u1)
α0 = (β0 + β1π0)
α1 = (β1π1 + β2)
α2 = β1π2
b) Encontre a forma reduzida do erro, v1, em termos de u1, v2 e os parâmetros.
v1 = (β1v2 + u1)
c) Como você estimaria consistentemente os αj?
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Por hipótese, u1 tem média zero e é não correlacionado com z1ez2 · v2 também tem essas
propriedades por definição. Assim, v1 tem média zero e é não correlacionado com z1 e z2, o
que significa que os αj são consistentemente estimados por MQO.
Questão 9. Suponha que o salário anual e o consumo de álcool são determinadas pelo
seguinte sistema de equação:
log(salário) = β0 + β1álcool + β2educ+ u1
álcool = γ0 + γ1 log(salário) + γ2educ+ γ3 log(preço) + u2,
(1)
onde preço é um índice local para álcool, que incluí impostos. Assuma que educ e preço
são exógenos. Se β1, β2, γ1, γ2, e γ3 são todos diferentes de zero, qual equação é identificada?
Como você estimaria essa equação?
Podemos ver facilmente que a condição de classificação para identificar a segunda equação não
é válida: não há variáveis exógenas aparecendo na primeira equação que não estejam também
na segunda equação. A primeira equação é identificada desde γ3 6= 0 (e presumiríamos
γ3 < 0). Isso nos dá uma variável exógena, log(preo), que pode ser usada como um IV para
álcool na estimativa da primeira equação por 2SLS (que é apenas o padrão IV neste caso).
4 Questão Extra
Questão 10. Assinale se as alternativas são verdadeiras (V) ou falsas (F) e justifique.
a) Uma boa variável instrumental deve ser uma variável exógena excluída da equação estru-
tural que tenha alguma correlação com a explicativa endógena.
Verdadeiro - Seja u o erro não observado e x uma variável explicativa endógena Uma variável
instrumental z deve satisfazer as seguintes hipóteses: Cov(Z, u) = 0e Cov(Z, x) 6= 0
b) O uso de uma variável proxy e o método de variável instrumental são duas possíveis formas
de lidar o viés de variável omitida.
Verdadeiro - A abordagem da variável proxy tenta resolver o problema da variável omitida
substituindo a variável não observada por uma variável proxy. O método de variável instru-
mental deixa a variável omitida no erro, mas reconhece a presença da variável omitida em
sua estimação.
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c) Um instrumento fraco terá boas propriedades assintóticas.
Falso - Um instrumento fraco faz com que o estimador de VI possa ter um grande viés
assintótico, mesmo se a correlação entre o erro e o instrumento for muito pequena.
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