GEOMETRIA 3000 21

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EEB MANOEL GOMES BALTAZAR
AUXÍLIO EM MATEMÁTICA – 3° ANO EM
PROFE CLEBER BETCHER
GEOMETRIA ESPACIAL
Relação de Euler
V – A + F = 2
Para verificar a validade da relação de Euler, escolheremos dois poliedros convexos e contaremos seus elementos. Depois disso, verificaremos se o número de vértices, arestas e faces realmente satisfazem a relação de Euler. Observe:
1 – Primeiramente, contaremos o número de faces, vértices e arestas da figura anterior (cubo).
Faces: 6
Arestas: 12
Vértices: 8
Agora, verificaremos a relação de Euler:
V – A + F = 8 – 12 + 6 = 14 – 12 = 2
Para o primeiro poliedro convexo, o cubo, a relação de Euler se verifica.
2 – Verificaremos agora a relação de Euler para a pirâmide quadrangular convexa.
Faces: 5
Arestas: 8
Vértices: 5
V – A + F = 5 – 8 + 5 = 10 – 8 = 2
E a relação de Euler também se verifica para a pirâmide quadrangular convexa.
Exemplos
1 – Determine o número de arestas de um sólido geométrico que possui 10 vértices e 7 faces.
V – A + F = 2
10 – A + 7 = 2
– A = 2 – 7 – 10
– A = – 15
A = 15
O sólido possui 15 arestas.
2 – Determine o número de faces que possui um poliedro com 12 arestas e 6 vértices.
V – A + F = 2
6 – 12 + F = 2
F = 2 +12 – 6
F = 8
O sólido possui 8 faces.
Fórmulas dos principais sólidos geométricos
As principais fórmulas da geometria espacial são para os cálculos da área total (At) e do volume (V) de cada um dos sólidos. Cada fórmula depende do sólido.
· Cubo
Cubo de aresta a.
V = a3
At = 6 . a2
· Paralelepípedo
Paralelepípedo de dimensões a, b, c.
V = a . b . c
At = 2ab + 2ac + 2bc
O volume e a área total do prisma e da pirâmide dependem do polígono que está na base de cada um dos sólidos, por isso usamos Ab: área da base e Al: área lateral.
Prisma
Prismas de base triangular e hexagonal
Note que a base do prisma pode ser diferente de um caso para o outro, logo, o volume depende diretamente da área da base.
V = Ab . h
At = 2Ab + Al
· Pirâmide
Pirâmides de base quadrada e pentagonal.
Assim como os prismas, a base da pirâmide pode ser diferente, logo, o volume depende diretamente da base.
V = Ab·h
        3
At = Ab + Al
· 
· 
· 
· 
· 
· Cilindro
Cilindro de raio r e altura h.
V = πr2 . h
At = 2πr (r+h)
· Cone
Cone de raio r e altura h.
At = πr (g + r)
· Esfera
Esfera de raio r.
Ve = 4.π.r3/3
At = 4 πr2
Exercício resolvido
1) (Enem) Para resolver o problema de abastecimento de água, foi decidida, numa reunião do condomínio, a construção de uma nova cisterna. A cisterna atual tem formato cilíndrico, com 3 m de altura e 2 m de diâmetro, e estimou-se que a nova cisterna deverá comportar 81 m³ de água, mantendo o formato cilíndrico e a altura da atual. Após a inauguração da nova cisterna, a antiga será desativada. (Utilize 3,0 como aproximação para π.)
Qual deve ser o aumento, em metros, no raio da cisterna para atingir o volume desejado?
a) 0,5
b) 1,0
c) 2,0
d) 3,5
e) 8,0
Resolução
Sobre a nova cisterna, sabemos que V = 81 m³, h = 3 e que π = 3.
No entanto, como ela tem o formato cilíndrico, o volume de um cilindro é dado por:
V = πr2 . h
Então, fazendo com que V = 81, h = 3 e π = 3
81 = 3 . r2 . 3
81 = 9 . r2
9 = r2
Comparando-se com o raio antigo 3 – 2 = 1, logo, houve um aumento de 1 metro.
02) (IFG) As medidas internas de um reservatório no formato de um paralelepípedo são de 2,5 m de comprimento, 1,8 m de largura e 1,2 m de profundidade (altura). Se, em um determinado momento do dia, esse reservatório está apenas com 70% de sua capacidade, a quantidade de litros que faltam para enchê-lo é igual a:
a. 1620
b. 1630
c. 1640
d. 1650
e. 1660
f. 
Resolução
Como o formato do reservatório é um paralelepípedo retângulo, o volume é dado por:
V = a . b . c (Em que a, b e c são as dimensões 2,5, 1,8 e 1,2 respectivamente.)
V = 2,5 . 1,8 . 1,2
V = 5,4 m³
Como 5,4 m³ é a capacidade total do reservatório, multiplica-se por 1000 para saber sua capacidade total em litros, ou seja:
V = 5,4 . 1000 = 5400 litros
Por fim, queremos saber quanto falta para encher o reservatório. Sabendo-se que 70% dele está cheio, restam 30% de 5400 para terminar de enchê-lo, logo, a quantidade que falta é de:
30% de 5400 = 0,3 . 5400 = 1620 litros
Alternativa “a” 
EXERCÍCIOS
1. 
2. (Enem 2012) Maria quer inovar em sua loja de embalagens e decidiu vender caixas com diferentes formatos. Nas imagens apresentadas estão as planificações dessas caixas.
Quais serão os sólidos geométricos que Maria obterá a partir dessas planificações?
a) Cilindro, prisma de base pentagonal e pirâmide.
b) Cone, prisma de base pentagonal e pirâmide.
c) Cone, tronco de pirâmide e pirâmide.
d) Cilindro, tronco de pirâmide e prisma.
e) Cilindro, prisma e tronco de cone.
2. (Enem 2012) Alguns objetos, durante a sua fabricação, necessitam passar por um processo de resfriamento. Para que isso ocorra, uma fábrica utiliza um tanque de resfriamento como mostrado na figura.
O que aconteceria com o nível da água se colocássemos no tanque um objeto cujo volume fosse de 2400 cm3?
a) O nível subiria 0,2 cm, fazendo a água ficar com 20,2 cm de altura.
b) O nível subiria 1 cm, fazendo a água ficar com 21 cm de altura.
c) O nível subiria 2 cm, fazendo a água ficar com 22 cm de altura.
d) O nível subiria 8 cm, fazendo a água transbordar.
e) O nível subiria 20 cm, fazendo a água transbordar.
3. Uma pirâmide reta de base quadrada foi soldada sobre um prisma reto de bases congruentes à base da pirâmide, formando um sólido geométrico parecido com o da figura.
Sabendo que a aresta da base do prisma mede 6 cm e que sua altura e a altura da pirâmide medem o dobro da aresta da base do prisma, qual o volume do sólido geométrico formado nessa construção?
a) 144 cm3
b) 256 cm3
c) 288 cm3
d) 432 cm3
e) 576 cm3
4. Por não conseguir medir a altura de um cone, um trabalhador mediu sua geratriz (distância entre o vértice do cone e a borda de sua base) e encontrou 25 cm de comprimento. Mediu também o diâmetro desse mesmo cone, encontrando 40 cm de comprimento. Qual é o volume do cone medido por esse trabalhador? (Considere π = 3)
a) 6000 cm3
b) 7000 cm3
c) 8000 cm3
d) 9000 cm3
e) 9500 cm3