Conjuntos Abertos, fechados, Ponto de Acumulação

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23/07/2021 2ª Lista de exercícios: Revisão da tentativa
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Iniciado em sexta, 9 jul 2021, 02:17
Estado Finalizada
Concluída em sexta, 16 jul 2021, 23:40
Tempo
empregado
7 dias 21 horas
Avaliar Ainda não avaliado
Questão 1
Parcialmente correto
Atingiu 0,60 de 1,00
Painel / Meus cursos / MAT57B / Semana 2 / 2ª Lista de exercícios
Associe cada um dos conjuntos a suas respectivas fronteiras. 
 
 
 
 
 
{1} ∪ (2, 3] {1,2,3}
(2, 3) {2,3}
[1, 2) {1,2}
Q Conjunto vazio
R R
Sua resposta está parcialmente correta.
Você selecionou corretamente 3.
A resposta correta é:
 
→ {1,2,3},
 
→ {2,3},
 
→ {1,2},
 
→ R,
 
→ Conjunto vazio.
{1} ∪ (2, 3]
(2, 3)
[1, 2)
Q
R

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https://moodle.utfpr.edu.br/course/view.php?id=15838
https://moodle.utfpr.edu.br/course/view.php?id=15838#section-4
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Questão 2
Completo
Vale 1,00 ponto(s).
Prove que os conjuntos , e são dois a dois disjuntos.IntA Int(R ∖A) frA
Precisamos mostrar que:
a) e ;
b) e ;
c) e .
Vamos mostrar apenas o item a), já que os outros dois são análogos. 
a) Se , existe tal que . Em particular, a vizinhança de não contém nenhum ponto de
 e, portanto, . Além disso, como e como concluímos que 
x ∈ IntA ⟹ x ∉ frA x ∈ IntA ⟹ x ∉ Int(R ∖A)
x ∈ Int(R ∖A) ⟹ x ∉ frA x ∈ Int(R ∖A) ⟹ x ∉ IntA
x ∈ frA ⟹ x ∉ frA x ∈ frA ⟹ x ∉ Int(R ∖A)
x ∈ IntA ε > 0 (a− ε, a+ ε) ⊂ A (a− ε, a+ ε) a
R ∖A a ∉ frA a ∉ R ∖A int(R ∖A) ⊂ R ∖A a ∉ int(R ∖A)

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Questão 3
Completo
Vale 1,00 ponto(s).
Prove que para todo vale 
. 
A ⊂ R
R = IntA∪ Int(R ∖A) ∪ frA
Basta mostrar que , já que a continência é imediata.
Suponha, por absurdo, que , isto é, que exista tal que , e .
Como existe uma vizinhança de que não contém nenhum ponto de ou não contém nenhum ponto de 
. No primeiro caso teríamos e seria um ponto interior de , o que contraria nossa hipótese. Por
outro lado, no segundo caso teríamos e seria um ponto interior de , o que também contraria nossa hipótese.
R ⊂ IntA∪ Int(R ∖A) ∪ frA R ⊃ IntA∪ Int(R ∖A) ∪ frA
R ⊄ IntA∪ Int(R ∖A) ∪ frA x ∈ R x ∉ IntA x ∉ Int(R ∖A) x ∉ frA
x ∉ frA (x − ε, x + ε) x A
R ∖A (x − ε, x + ε) ⊂ R ∖A x R ∖A
(x − ε, x + ε) ⊂ A x A

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Questão 4
Completo
Vale 1,00 ponto(s).
Prove que é aberto se, e somente se, . 
 Supondo que o conjunto A seja aberto, então temos:
Portanto, se 
 Supondo que  então :
Portanto A é um conjunto aberto.
A ⊂ R A∩ frA = ∅
 Suponha que seja um conjunto aberto. Então, . Por um dos exercícios anteriores, os conjuntos e são
disjuntos. Logo, .
 Suponha que . Então, nenhum ponto de é ponto de fronteira, isto é, para todo existe tal que 
. Consequentemente, e é um ponto interior de . Logo, e é um
conjunto aberto. 
(⟹ ) A A = IntA IntA frA
A∩ frA = ∅
(⟸ ) A∩ frA = ∅ A x ∈ A ε > 0
(x − ε, x + ε) ∩ (R ∖A) = ∅ (x − ε, x + ε) ⊂ A x A A = IntA A

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Questão 5
Completo
Vale 1,00 ponto(s).
Prove que para quaisquer . 
  Se  . Temos então :
Ou seja :
Portanto : 
.
 Se  , então:
Logo
Portanto :
Então :
= ∪X ∪Y
¯ ¯¯̄ ¯̄¯̄¯̄¯̄ ¯
X
¯ ¯̄̄
Y
¯ ¯¯̄
X ,Y ⊂ R
Como e são subconjuntos de segue que e . Consequentemente,
.
Por outro lado, se então existe uma sequência tal que . Note que devemos ter para
infinitos índices ou para infinitos índices . Como concluímos que, no primeiro caso, 
e que, no segundo caso . Isso mostra que
. 
X Y X ∪Y ⊂X¯ ¯̄̄ X ∪Y¯ ¯¯̄ ¯̄¯̄¯̄¯̄ ¯ ⊂Y¯ ¯¯̄ X ∪Y¯ ¯¯̄ ¯̄¯̄¯̄¯̄ ¯
∪ ⊂X
¯ ¯̄̄
Y
¯ ¯¯̄
X ∪Y
¯ ¯¯̄ ¯̄¯̄¯̄¯̄ ¯
a ∈ X ∪Y
¯ ¯¯̄ ¯̄¯̄¯̄¯̄ ¯
( ) ∈ X ∪Yzn lim = azn ∈ Xznk
∈ Nnk ∈ Yznk ∈ Nnk lim = lim = aznk zn a ∈ X
¯ ¯̄̄
a ∈ Y
¯ ¯¯̄
⊂ ∪X ∪Y
¯ ¯¯̄ ¯̄¯̄¯̄¯̄ ¯
X
¯ ¯̄̄
Y
¯ ¯¯̄

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Questão 6
Não respondido
Vale 1,00 ponto(s).
Prove que para quaisquer . ⊂ ∩X ∩Y¯ ¯¯̄ ¯̄¯̄¯̄¯̄ ¯ X¯ ¯̄̄ Y¯ ¯¯̄ X ,Y ⊂ R
Seja . Então existe uma sequência tal que . Como é uma sequência de ambos conjuntos e 
, concluímos que e . Logo,
 
a ∈ X ∩Y¯ ¯¯̄ ¯̄¯̄¯̄¯̄ ¯ ( ) ∈ X ∩Yzn lim = azn ( )zn X
Y a ∈ X
¯ ¯̄̄
a ∈ Y
¯ ¯¯̄
⊂ ∩X ∩Y¯ ¯¯̄ ¯̄¯̄¯̄¯̄ ¯ X¯ ¯̄̄ Y¯ ¯¯̄

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Questão 7
Não respondido
Vale 1,00 ponto(s).
Dê um contra-exemplo para verificar que nem sempre vale a igualdade 
.= ∩X ∩Y¯ ¯¯̄ ¯̄¯̄¯̄¯̄ ¯ X¯ ¯̄̄ Y¯ ¯¯̄
Tome e . Então
mas
. 
X = (0, 1) Y = (1, 2)
= = ∅X ∩Y
¯ ¯¯̄ ¯̄¯̄¯̄¯̄ ¯
∅
¯̄̄
∩ = [0, 1] ∩ [1, 2] = {1}X¯ ¯̄̄ Y¯ ¯¯̄

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Questão 8
Completo
Vale 1,00 ponto(s).
Prove que para todo vale . 
 Se   então :
Logo 
 então  .
 
1. Se   e como   
2. Se  , então para qualquer   existe  . Logo   é ponto de aderência do conjunto
  . Ou seja  . 
Logo  . Portanto :  .
Concluímos que :
.
X ⊂ R = X ∪ frXX
¯ ¯̄̄
Sabemos que todo ponto de é ponto de aderência de , de forma que . Por outro lado, como os pontos de fronteira de 
são os pontos tais que e , concluímos que todos pontos de fronteira de 
 são pontos de aderência, isto é, Logo, . Resta mostrar a continência .
Seja . Se , é imediato que . Suponha então que . Então, toda vizinhança de contém pontos de , já
que é um ponto de aderência, e pontos fora de (pois ). Logo, . Portanto, e,
consequentemente, . 
X X X ⊂ X¯ ¯̄̄ X
x ∈ X (x − ε, x + ε) ∩X ≠ ∅ (x − ε, x + ε) ∩ (R ∖X ) ≠ ∅
X frX ⊂ .X
¯ ¯̄̄
X ∪ frX ⊂ X
¯ ¯̄̄
⊂ X ∪ frXX
¯ ¯̄̄
x ∈ X¯ ¯̄̄ x ∈ X x ∈ X ∪ frX x ∉ X x X
X x ∉ X x ∈ frX ⟹ x ∈ X ∪ frX ⊂ X ∪ frXX
¯ ¯̄̄
= X ∪ frXX
¯ ¯̄̄

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Questão 9
Completo
Vale 1,00 ponto(s).
Mostre que é fechado se, e somente se, . 
Desde que um conjunto é fechado quando   então podemos reformular a questão como :
 Vamos supor que  , como  . Então temos que :
X X ⊃ frX
 Suponha que seja fechado, isto é, que . Pelo exercício anterior,
.
Logo,
.
 Suponha que . Novamente, pelo exercício anterior,
.
Logo, é fechado. 
(⟹ ) X X = X¯ ¯̄̄
= X ∪ frXX
¯ ¯̄̄
X = = X ∪ frX ⟹ fr ⊂ XX¯ ¯̄̄
(⟸ ) X ⊃ frX
= X ∪ frX = XX¯ ¯̄̄
X
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