Circuitos RLC de 2ª Ordem

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO CEARÁ – CAMPUS SOBRAL 
CURSO DE ENGENHARIA ELÉTRICA 
DISCIPLINA: CIRCUITOS ELÉTRICOS 1 
PROFESSOR: SAMELIUS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
PRÁTICA Nº 03 
CIRCUITOS DE 2º ORDEM (RLC) 
 
 
 
 
 
 
ALUNO 
 
MATRÍCULA 
 
Biatriz Oliveira Fontenele 421894 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Sobral – CE 
2021 
 
SUMÁRIO 
1. INTRODUÇÃO...................................................................................................... 3 
2. SIMULAÇÃO 1 ..................................................................................................... 5 
3. SIMULAÇÃO 2 ..................................................................................................... 11 
4. SIMULAÇÃO 3 .................................. ................................................................... 17 
5. CONCLUSÃO ......................................................................................................... 25 
6. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ..................................................................... 26 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3 
 
 
1. INTRODUÇÃO 
A simulação do terceiro relatório trata de circuito RLC. O mesmo é composto por 
indutores e capacitores, sendo limitado a duas estruturas: o circuito RLC em paralelo e o 
circuito RLC em série. A equação diferencial que descreve seus comportamentos é de 
segunda ordem. Assim, são denominados circuitos de segunda ordem. Para que seja 
compreendida a simulação exposta neste relatório é necessário compreender os conceitos 
utilizados na mesma. 
Para um circuito RLC em paralelo, a Frequência de Neper e a Frequência Angular 
de Ressonância são expostas nas equações 1 e 2, respectivamente: 
 
𝛼 =
1
2𝑅𝐶
 ( 
𝑟𝑎𝑑
𝑠
 ) (1) 
 
𝜔𝑜 = 
1
√𝐿𝐶
 ( 
𝑟𝑎𝑑 
𝑠
 ) (2) 
 
As frequências de Neper e Angular são importantes para analisar a resposta da 
tensão, já que para 𝜔𝑜² < 𝛼² a resposta será superamortecida. Em segundo lugar, para 
𝜔𝑜² > 𝛼² subamortecida. Por fim, para 𝜔𝑜
2 = 𝛼² a resposta de tensão será criticamente 
amortecida.[1] 
Foi visto anteriormente que, para a resposta subamortecida 𝜔𝑜² > 𝛼², com isso, 
temos na equação 3, a Frequência Angular Amortecida que correlaciona as frequências 
das equações 1 e 2. 
𝜔𝑑 = √𝜔𝑜2 − 𝛼² ( 
𝑟𝑎𝑑
𝑠
 ) (3) 
 
 A resposta da tensão subamortecida de um circuito RLC em paralelo está 
representada na equação 4: 
 
𝑉(𝑡) = 𝐵1𝑒
−𝛼𝑡 cos(𝜔𝑑𝑡) + 𝐵2𝑒
−𝛼𝑡𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑑𝑡) (4) 
 
As constantes 𝐵1 e 𝐵2 são reais, não complexas, porque a tensão é uma função 
real. Para a resposta subamortecida, as duas equações que determina 𝐵1 e 𝐵2 são 
representadas nas equações 5 e 6, respectivamente. 
4 
 
𝑉(0) = 𝑉𝑜 = 𝐵1 (5) 
 
𝑑𝑉(0)
𝑑𝑡
=
𝐼𝑐(0)
𝐶
 − 𝛼𝐵1 + 𝜔𝑑𝐵2 
 
 (6) 
 
Até agora foi visto equações para a resposta natural de um circuito RLC em 
paralelo. Porém, para a resposta a um degrau, as mesmas passam por pequenas alterações, 
representadas na equação 7. A solução para uma equação diferencial de segunda ordem 
com uma função forçante constante é igual à resposta forçada mais uma função resposta 
cuja forma é idêntica à da resposta natural. [1] 
 
𝑉 = 𝑉𝑓 + 𝐵1𝑒
−𝛼𝑡 cos(𝜔𝑑𝑡) + 𝐵2𝑒
−𝛼𝑡𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑑𝑡) 
 (5) 
 
 Onde 𝑉𝑓 representa o valor final da função resposta. 
Para o circuito RLC em série, a Frequência de Neper e a Frequência Angular de 
Ressonância são expostas nas equações 6 e 7, respectivamente: 
 
𝛼 =
𝑅
2𝐿
 ( 
𝑟𝑎𝑑
𝑠
 ) (6) 
 
𝜔𝑜 = 
1
√𝐿𝐶
 ( 
𝑟𝑎𝑑 
𝑠
 ) (7) 
 
 A forma de resposta natural de corrente para a situação de subamortecido está 
representada na equação 8. 
 
𝐼(𝑡) = 𝐵1𝑒
−𝛼𝑡 cos(𝜔𝑑𝑡) + 𝐵2𝑒
−𝛼𝑡𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑑𝑡) (8) 
 
 Uma vez obtida a resposta natural de corrente, pode-se determinar a resposta 
natural de tensão em qualquer elemento do circuito. A mesma é igual a tensão para o 
circuito RLC em paralelo. 
 
 
 
 
 
5 
 
 
2. SIMULAÇÃO 1 
Foi realizado a montagem do circuito mostrado na Figura 01, no software PSIM, 
através do mesmo foram feitas simulações variando a resistência entre 15Ω, 30Ω, 45Ω, 
60Ω, 75Ω e 90Ω. 
 
Figura 01 – Circuito RLC em série 
 
Fonte: Próprio autor 
 
Neste circuito, o capacitor possui capacitância de 1µF, o indutor possui indutância 
de 1,4mH, já a fonte, representada por Vg, possui amplitude de 10 V. 
 
Item a) 
Simule o circuito para valores de R = 15 Ω, 30 Ω, 45 Ω, 60 Ω, 75 Ω e 90 Ω 
registrando as formas de onda de V e I. Para cada curva, indique qual tipo o reposta 
(subamortecido, superamortecido ou amortecimento crítico). 
Os resultados obtidos podem ser observados a seguir: 
 
Figura 02 – Curva de V e I para R= 15Ω 
6 
 
 
Fonte: Próprio autor 
 
Figura 03 – Curva V e I para R=30Ω 
 
Fonte: Próprio autor 
 
Figura 04 – Curva V e I para R= 45Ω 
7 
 
 
Fonte: Próprio autor 
 
Figura 05 – Curva V e I para R= 60Ω 
 
Fonte: Próprio autor 
 
Figura 06 – Curva V e I para R= 75Ω 
8 
 
 
Fonte: Próprio autor 
 
 
Figura 07 – Curva V e I para R= 90Ω 
 
Fonte: Próprio autor 
 
Após realizar a simulação e analisar as curvas, o tipo de resposta obtida para cada 
variação de resistência a seguir: 
15 Ω - subamortecido; 
30 Ω - subamortecido; 
45 Ω - subamortecido; 
60 Ω - subamortecido; 
75 Ω - superamortecido; 
90 Ω - superamortecido; 
9 
 
Item b) 
Calcule o valor da resistência para a condição de amortecimento crítico. 
Sabendo que, para a condição de amortecimento crítico deve-se atender a seguinte 
relação: 
𝛼2 = 𝜔0
2 → (
𝑅
2𝐿
)
2
= (
1
√𝐿𝐶
)
2
 → 𝑅 = 
2𝐿
√𝐿𝐶
→ 𝑅 = 74,833Ω 
 
Portanto, a resistência para a condição pedida é 74,83Ω. 
 
Item c) 
 Por meio do gráfico, deve ser feita a medição da frequência de oscilação do 
circuito (ωd) para a condição de subamortecimento (R = 15 Ω ). 
 A frequência angular amortecida para a resposta subamortecida é dada por: 
𝜔𝑑 = √𝜔𝑜2 − 𝛼² → √(
1
√𝐿𝐶
)
2
− (
𝑅
2𝐿
)
2
→ 𝜔𝑑 = 26183,71 𝑟𝑎𝑑/𝑠 
Item d) 
 Obtenha a resposta completa de v(t) (condição subamortecida, R = 15 Ω) e 
encontre o valor de v para t = 0,2 ms e compare com o valor obtido por meio do gráfico.
 Para a resposta de V(t), temos que: 
 
𝑉(𝑡) = 𝑉𝑓 + 𝐵1𝑒
−𝛼𝑡 cos(𝜔𝑑𝑡) + 𝐵2𝑒
−𝛼𝑡𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑑𝑡) 
 
Considerando o valor de 𝜔𝑑 do item anterior e calculando os valores de 𝜔𝑜 e 𝛼: 
 
𝛼 =
𝑅
2𝐿
= 5357,14 𝑟𝑎𝑑/𝑠 
𝜔𝑜 = 
1
√𝐿𝐶
= 26726,12 𝑟𝑎𝑑/𝑠 
 
Para descobrir o valor das constantes 𝐵1 e 𝐵2, temos que: 
 
𝑉(0) = 0 = 𝑉𝑓 + 𝐵1 
𝐵1 = −10 
𝑑𝑉(0)
𝑑𝑡
= 0 = −𝛼𝐵1 + 𝜔𝑑𝐵2 
𝐵2 = − 2,045 
 
10 
 
 Substituindo todos os valores encontrados na equação de resposta V(t) para o 
tempo de 0,2 ms, obtém-se o seguinte resultado: 
 
𝑉(𝑡) = 10 + (−10)𝑒−5357,14𝑡 cos(26183,71𝑡) 
+ (−2,045)𝑒−5357,14𝑡𝑠𝑒𝑛(26183,71𝑡) 
 
𝑉(0,2𝑚𝑠) = 8,89 𝑉 
 
Pode-se ver na Figura 08, o valor de V para o tempo de 0,2ms por medido através 
do gráfico. 
Figura 08 – Representação de V para o t = 0,2ms 
 
Fonte: Próprio autor 
 
Item e) 
 Comente os resultados. 
 Os valores obtidos no gráfico são correspondentes, com uma pequena margem de 
erro, aos valores calculados. Além disso, para a condição de subamortecido (15 Ω) a 
resposta do gráfico é oscilatória, ou seja, a tensão alterna entre valores positivos e 
negativos. Se diferenciando dos demais gráficos que esboçam uma característica mais 
regular, ou seja, sem muitas oscilações. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
11 
 
 
3. SIMULAÇÃO 2 
 
Foi realizada a simulação do circuito da Figura 09, no software PSIM, ao qual foi 
variado a resistência com os valores de 10 Ω, 20 Ω, 30 Ω, 40 Ω, 50 Ω e 60 Ω. 
 
Figura 09 – Circuito RLC em paralelo 
 
Fonte: Próprio autor 
 
Neste circuito, o capacitor possui capacitância de 1µF, o indutor possui indutância 
de 1,4mH, já a corrente, representadapor Ig, possui amplitude de 2 A. 
 
Item a) 
Simule o circuito para valores de R = 15 Ω, 30 Ω, 45 Ω, 60 Ω, 75 Ω e 90 Ω 
registrando as formas de onda de V e I. Para cada curva, indique qual tipo o reposta 
(subamortecido, superamortecido ou amortecimento crítico). 
Os resultados obtidos podem ser observados a seguir: 
 
Figura 10 – Curva V e I para R= 10 Ω 
12 
 
 
Fonte: Próprio autor 
 
Figura 11 – Curva V e I para R= 20 Ω 
 
Fonte: Próprio autor 
 
Figura 12 – Curva V e I para R= 30 Ω 
13 
 
 
Fonte: Próprio autor 
 
Figura 13 – Curva V e I para R= 40Ω 
 
Fonte: Próprio autor 
 
Figura 14 – Curva V e I para R= 50 Ω 
14 
 
 
Fonte: Próprio autor 
 
Figura 15 – Curva V e I para R= 60 Ω 
 
Fonte: Próprio autor 
Após realizar a simulação e analisar as curvas, o tipo de resposta obtida para cada 
variação de resistência a seguir: 
10 Ω - superamortecido; 
20 Ω - subamortecido; 
30 Ω - subamortecido; 
40 Ω - subamortecido; 
50 Ω - subamortecido; 
60 Ω - subamortecido; 
Item b) 
Calcule o valor da resistência para a condição de amortecimento crítico. 
15 
 
Sabendo que, para a condição de amortecimento crítico deve-se atender a seguinte 
relação: 
𝛼2 = 𝜔0
2 → (
1
2𝑅𝐶
)
2
= (
1
√𝐿𝐶
)
2
→ 𝑅 = 18,708 Ω 
 
Portanto, a resistência para a condição pedida é 18,708 Ω. 
Item c) 
 Por meio do gráfico, deve ser feita a medição da frequência de oscilação do 
circuito (ωd) para a condição de subamortecimento (R = 60 Ω ). 
A frequência angular amortecida para a resposta subamortecida é dada por: 
𝜔𝑑 = √𝜔𝑜2 − 𝛼² → √(
1
√𝐿𝐶
)
2
− (
1
2𝑅𝐶
)
2
 → 𝜔𝑑 = 25393,72 𝑟𝑎𝑑/𝑠 
Item d) 
 Obtenha a resposta completa de I(t) (condição subamortecida, R=60 Ω) e encontre 
o valor de I para t = 0,3 ms e compare com o valor obtido por meio do gráfico. 
 Para a resposta de I(t), temos que: 
 
𝐼(𝑡) = 𝐼𝑓 + 𝐵1𝑒
−𝛼𝑡 cos(𝜔𝑑𝑡) + 𝐵2𝑒
−𝛼𝑡𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑑𝑡) 
 
Considerando o valor de 𝜔𝑑 do item anterior e calculando os valores de 𝜔𝑜 e 𝛼: 
 
𝛼 =
1
2𝑅𝐶
= 8333,33 𝑟𝑎𝑑/𝑠 
𝜔𝑜 = 
1
√𝐿𝐶
= 26726,12 𝑟𝑎𝑑/𝑠 
 
 Para descobrir o valor das constantes 𝐵1 e 𝐵2, temos que: 
 
𝐼(𝑜) = 0 = 𝐼𝑓 + 𝐵1 
𝐵1 = −2𝐴 
𝑑𝐼(𝑜)
𝑑𝑡
= 0 = −𝛼𝐵1 + 𝜔𝑑𝐵2 
𝐵2 = −0,6563 
 
 Substituindo todos os valores encontrados na equação de resposta I(t) para o 
tempo de 0,3 ms, obtém-se o seguinte resultado: 
 
16 
 
𝐼(𝑡) = 2 + (−2)𝑒−8333,33𝑡 cos(25393,72𝑡) + (−0,6563)𝑒−8333,33𝑡𝑠𝑒𝑛(25392,72𝑡) 
𝐼(0,3𝑚𝑠) = 1,90 𝑉 
 
Pode-se ver na Figura 16, o valor de I para o tempo de 0,3ms por medido através 
do gráfico. 
Figura 16 – Representação de I para o t = 0,3ms 
 
Fonte: Próprio autor 
 
Item e) 
 Comente os resultados e explique as diferenças e similaridades entre os circuitos 
RLC em série e em paralelo. 
 Assim como na Simulação 1, os valores obtidos no gráfico são correspondentes, 
com uma pequena margem de erro, aos valores calculados. Pode-se observar que, a 
frequência angular de ressonância é a mesma para o RLC em série e paralelo. Ademais, 
para os circuitos RLC da Simulação 1 e 2, percebe-se que para o em série a resposta obtida 
pelo gráfico assume a característica de superamortecida à medida que a resistência 
aumenta, já em paralelo ela com o pequeno crescimento torna-se subamortecida. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
17 
 
 
 
4. SIMULAÇÃO 3 
 
O circuito da figura 17 foi utilizado como base para a terceira simulação. O mesmo 
possui um capacitor com capacitância de 0,8mF, além disso, têm um indutor com 
indutância de 1,4 mH e uma resistência de 2 Ω. A fonte de tensão (Vs) senoidal possui 
um valor de pico de 5V. Os valores citados podem variar de acordo com cada item da 
questão. 
 
Figura 17 – Circuito RLC em série excitado por fonte senoidal 
 
Fonte: Roteiro da prática 
Item a) 
 Calcule a resposta natural de 𝑉𝑜(t). 
 Com base na resposta do item b para os valores de 𝜔𝑜 , 𝛼, e 𝜔𝑑, observamos que a 
resposta é do tipo subamortecida, pois 𝜔𝑜² > 𝛼². Para a resposta subamortecida, a 
resposta natural é: 
𝑉𝑜 (𝑡) = 𝐵1𝑒
−𝛼𝑡 cos(𝜔𝑑𝑡) + 𝐵2𝑒
−𝛼𝑡𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑑𝑡) 
 Substituindo os valores obtidos no item b, temos que: 
𝑉𝑜 (𝑡) = 𝐵1𝑒
−714,28𝑡 cos(618,59𝑡) + 𝐵2𝑒
−714,28𝑡𝑠𝑒𝑛(618,59𝑡) 
Item b) 
Encontre as frequências de ressonância (𝜔𝑜), coeficiente de amortecimento (𝛼) e 
frequência amortecida (𝜔𝑑) do circuito. 
𝜔𝑜 = 
1
√𝐿𝐶
≅ 944,91 𝑟𝑎𝑑/𝑠 
18 
 
𝛼 =
𝑅
2𝐿
 ≅ 714,28 𝑟𝑎𝑑/𝑠 
𝜔𝑑 = √𝜔𝑜2 − 𝛼2 ≅ 618,59 𝑟𝑎𝑑/𝑠 
Item c) 
 Simule o circuito da Figura 3 variando a frequência da fonte senoidal preenchendo 
a Tabela 1. Para cada valor de frequência, registre as formas de onda de Vs(t) e Vo(t) (no 
mesmo gráfico). 
Foi feita a simulação do circuito da Figura 18, no software PSIM, ao qual foi 
variado a frequência da fonte senoidal e registrado as formas de ondas Vs e Vo para cada 
variação. Logo após, através das curvas, preencheu-se a Tabela 01. 
Figura 18– Circuito RLC em série simulação 
 
Fonte: Próprio autor 
 
 Neste circuito, manteve-se os mesmos valores do circuito da Figura 15. 
Figura 19 – Curva Vo e Vs para a frequência 10Hz 
 
Fonte: Próprio autor 
 
Figura 20 – Curva Vo e Vs para a frequência 40Hz 
19 
 
 
Fonte: Próprio autor 
 
 
Figura 21 – Curva Vo e Vs para a frequência 70Hz 
 
Fonte: Próprio autor 
 
Figura 22 – Curva Vo e Vs para a frequência 100Hz 
 
Fonte: Próprio autor 
 
Figura 23 – Curva Vo e Vs para a frequência 150Hz 
 
Fonte: Próprio autor 
 
Figura 24 – Curva Vo e Vs para a frequência 200Hz 
20 
 
 
Fonte: Próprio autor 
 
Figura 25 – Curva Vo e Vs para a frequência 250Hz 
 
Fonte: Próprio autor 
 
Figura 26 – Curva Vo e Vs para a frequência 500Hz 
 
Fonte: Próprio autor 
 
Figura 27 – Curva Vo e Vs para a frequência 750Hz 
 
Fonte: Próprio autor 
 
Figura 28 – Curva Vo e Vs para a frequência 1000Hz 
21 
 
 
Fonte: Próprio autor 
 
Figura 29 – Curva Vo e Vs para a frequência 1500Hz 
 
Fonte: Próprio autor 
 
Figura 30 – Curva Vo e Vs para a frequência 2000Hz 
 
Fonte: Próprio autor 
 
 
Tabela 01 – Relação Vo e Vs 
Frequência 
(Hz) 
𝑉𝑜
𝑉𝑠
 
10 0,1 
40 0,4 
70 0,66 
100 0,87 
150 1 
200 0,95 
250 0,82 
22 
 
500 0,45 
750 0,3 
1000 0,24 
1500 0,15 
2000 0,12 
 
Fonte: Próprio autor 
 
Item d) 
 Plote um gráfico com os dados da Tabela 1 preenchida. 
Figura 31 – Gráfico da relação frequência e (Vo/Vs) 
 
Fonte: Próprio autor 
 
Item e) 
Altere o valor de R para 1 Ω e repita os itens (b), (c) e (d). 
Usando o circuito da Figura 18 e alterando somente o valor de R para 1 Ω, obtemos 
os valores de 𝜔𝑜, 𝛼 e 𝜔𝑑 para essa nova configuração. 
𝜔𝑜 = 
1
√𝐿𝐶
≅ 944,91 𝑟𝑎𝑑/𝑠 
𝛼 =
𝑅
2𝐿
 ≅ 357,14 𝑟𝑎𝑑/𝑠 
𝜔𝑑 = √𝜔𝑜2 − 𝛼2 ≅ 874,81 𝑟𝑎𝑑/𝑠 
 
0,1
0,4
0,66
0,87
1
0,95
0,82
0,45
0,3
0,24
0,15
0,12
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1
10
40
70
100
150
200
250
500
750
1000
1500
2000
(Vo/Vs)
Fr
eq
u
ên
ci
a 
(H
z)
23 
 
Tabela 02 – Relação Vo e Vs 
Frequência 
(Hz) 
𝑉𝑜
𝑉𝑠
 
10 0,05 
40 0,2 
70 0,4 
100 0,67 
150 0,95 
200 0,85 
250 0,64 
500 0,244 
750 0,17 
1000 0,08 
1500 0,062 
2000 0,044 
 
 Fonte: Próprio autor 
 
Figura 32 – Gráfico da relação frequência e (Vo/Vs) 
 
Fonte: Próprio autor 
 
0,05
0,2
0,4
0,67
0,95
0,85
0,64
0,244
0,17
0,08
0,062
0,044
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1
10
40
70
100
150
200
250
500
750
1000
1500
2000
(Vo/Vs)
Fr
eq
u
ên
ci
a 
(H
z)
24 
 
 
Item f) 
Comente os resultados. 
 Os gráficos das Figuras 31 e 32 se assemelham apesar da mudança na resistência 
de 2 Ω para 1 Ω, já que os mesmos ao ocorrer um crescimento na frequência a relação 
Vo/Vs também cresce, porém, ao atingir um pico está relação sofre uma queda. 
Pode-se observar o mesmonos gráficos da simulação, Vo e Vs para a frequência 
de 150 Hz são quase iguais, ao passar deste valor Vo decresce novamente. Isto ocorre 
devido a frequência de ressonância (𝜔𝑜), pois a mesma em Hz é aproximadamente 
150,38. Tornando assim, a relação Vo/Vs próxima a 1, ou seja, para essa frequência Vo 
é aproximadamente igual a Vs. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
25 
 
 
5. CONCLUSÃO 
Após a realização das três simulações, verifica-se a comprovação dos princípios 
teóricos usados para entender os circuitos RLC. A mesma ocorre através dos gráficos, aos 
quais pode-se perceber, por exemplo, a confirmação de que para uma resposta 
superamortecida a onda tanto de tensão como de corrente aproxima-se do seu valor final 
sem sofrer oscilações. 
Os resultados obtidos pelas equações se assemelham aqueles obtidos através das 
simulações. Contendo apenas um pequeno percentual de erro, porém, isto não possui 
grande influência no resultado final, já que com a combinação dos componentes do 
circuito RLC, esses erros tornam-se quase imperceptíveis. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
26 
 
6. REFERÊNCIA BIBLIOGRÁFICA 
 
[1] NILSSON, J.W. & RIEDEL, S.A. Circuitos Elétricos. 10.ª ed., São Paulo, 2015.