Controle estatístico de qualidade _ Lista de Exercícios

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Exercícios Propostos - Controle Estatístico de Qualidade
1 - O gêiser Old Faithful vem sendo monitorado nos últimos 25 anos consecutivos,
utilizando-se gráficos de controle 3-sigma. Em cada ano registram-se seis intervalos
(em minutos) entre erupções, com os resultados constando na tabela a seguir.
Ano Intervalo (min)
1 65 72 60 69 65 67
2 74 65 60 69 68 59
3 68 66 69 64 70 73
4 73 65 71 77 63 77
5 79 67 64 61 81 77
6 74 76 65 69 76 64
7 70 73 74 77 65 73
8 71 68 70 79 75 82
9 62 63 61 48 59 77
10 60 74 77 57 52 78
11 67 73 47 81 92 57
12 79 84 79 72 61 80
13 83 78 83 74 61 68
14 57 68 72 75 56 79
15 59 76 78 86 64 72
16 63 63 71 77 81 65
17 67 84 72 75 70 70
18 93 83 85 79 90 74
19 81 74 80 65 70 84
20 83 67 71 67 97 88
21 62 61 57 86 70 77
22 67 75 67 89 93 81
23 86 65 70 74 83 74
24 74 67 99 75 41 83
25 97 93 73 81 85 90
a) Construa um gráfico X para o intervalo médio entre erupções usando a am-
plitude amostral na estimação do desvio padrão de X e determine se a média
do processo está sob controle. Como uma média fora de controle afetaria os
turistas?
Resp.: LIC = 61, 58; LC = 72, 48; LSC = 83, 38; Processo fora de controle
(amostras 18 e 25).
b) Construa um gráfico R e determine se a variação do processo está sob controle.
Como uma variação fora de controle afetaria os turistas?
Resp.: LIC = 0; LC = 22, 56; LSC = 45, 21; Processo fora de controle
(amostra 24).
c) Construa um gráfico S e verifique se o desvio padrão do processo está sob
controle.
Resp.: LIC = 0, 2565; LC = 8, 55; LSC = 16, 8435; Processo fora de controle
(amostra 24).
d) Identifique os limites de controle para o gráfico X para o intervalo médio entre
erupções usando o desvio padrão amostral na estimação do desvio padrão de
X e determine se a média do processo está sob controle. Compare os limites
de controle obtidos aqui com os obtidos no item (a).
Resp.: LIC = 61, 48; LC = 72, 48; LSC = 83, 48; Processo fora de controle
(amostras 18 e 25).
2 - Um gerente da linha de produção utiliza limites de controle de dois desvios-padrão,
contrariando a sugestão do professor dele que sempre insiste em limites a três
desvios-padrão da média. O gerente fica muito frustrado porque muitas vezes não
encontra causas especiais correspondentes aos pontos fora dos limites de controle.
O que está acontecendo?
3 - Gráficos de controle x e S devem ser mantidos para as leituras de torque do ro-
lamento usado na montagem do atuador de flap da asa. Amostras de tamanho
n = 10 devem ser usadas e sabemos que quando o processo está sob controle, o
torque do rolamento tem distribuição normal com média µ = 80 polegadas-libra e
desvio padrão σ = 10 polegadas-libra. Ache a linha central e os limites de controle
3-sigma para esses gráficos de controle.
Resp.: Gráfico X: LIC = 70, 513; LC = 80; LSC = 89, 49; Gráfico S: LIC = 2, 76;
LC = 9, 727; LSC = 16, 69.
4 - Amostras de 8 itens são retiradas de um processo de manufatura em intervalos re-
gulares. Uma característica da qualidade é medida e valores de x e R são calculados
para cada amostra. Depois de 50 amostras, obtemos
m∑
i=1
xi = 200 e
m∑
i=1
Ri = 250.
Suponha que a característica da qualidade seja normalmente distribuída. Calcule
os limites de controle 3σ para os gráficos de controle x e R.
Resp.: Gráfico X: LIC = 2, 135; LC = 4; LSC = 5, 865; Gráfico R: LIC = 0, 68;
LC = 5; LSC = 9, 32.
5 - Um gráfico x com limites 3σ tem os seguintes parâmetros: LSC = 104, LC = 100,
LIC = 96 e n = 5. Suponha que a característica da qualidade do processo sendo
controlada seja normalmente distribuída com média verdadeira 98 e desvio padrão
8. Qual é a probabilidade de que o gráfico de controle exiba falta de controle
exatamente no terceiro ponto plotado? Resp.: 0,1481.
6 - Um gráfico x para uma característica normalmente distribuída deve ser construído
com valores de referência µ = 100, σ = 8 e n = 4. Determine:
a) Os limites de controle dois-sigma.
Resp.: LIC = 92; LC = 100; LSC = 108.
b) Os limites de probabilidade 0,005.
Resp.: LIC = 88, 76; LC = 100; LSC = 111, 24.
7 - Os dados que seguem dão o número de montagens não-conformes em amostras de
tamanho 100. Construa um gráfico de controle 3σ para a fração não-conforme desses
dados. Se algum ponto for plotado fora de controle, suponha que causas atribuíveis
possam ser encontradas e determine os limites de controle revisados.
Amostra Di Amostra Di
1 7 11 6
2 4 12 15
3 1 13 0
4 3 14 9
5 6 15 5
6 8 16 1
7 10 17 4
8 5 18 5
9 2 19 7
10 7 20 12
Resp.: LIC = 0; LC = 0, 0585; LSC = 0, 1289; Retirando a 12a amostra: LIC = 0;
LC = 0, 0537; LSC = 0, 1213.
8 - Os dados que seguem apresentam os resultados da inspeção de todas as unidades
de computadores pessoais produzidas durante os últimos 10 dias. Utilizando gráfico
3-sigma, identifique se processo parece estar sob controle.
Dia Unidades inspecionadas Di p̂i
1 80 4 0,050
2 110 7 0,064
3 90 5 0,056
4 75 8 0,107
5 130 6 0,038
6 120 6 0,050
7 70 4 0,057
8 125 5 0,040
9 105 8 0,076
10 95 7 0,074
Resp.: Sim.
9 - Uma companhia compra pequenas braçadeiras de metal em contêineres de 5000
cada. Dez contêineres chegaram para ser descarregados, e 250 braçadeiras foram
selecionadas de cada um. As frações não-conformes em cada amostra são: 0; 0;
0; 0,004; 0,008; 0,020; 0,004; 0; 0 e 0,008. Os dados deste carregamento indicam
controle estatístico? Use gráfico 3σ.
Resp.: LIC = 0; LC = 0, 0044; LSC = 0, 0170.
10 - Um gráfico de controle para a fração não-conforme indica que a média corrente do
processo é 0,03. O tamanho da amostra é constante, de 200 unidades. Encontre os
limites 3-sigma para este gráfico de controle.
Resp.: LIC = 0; LC = 0, 03; LSC = 0, 0662.
11 - Um gráfico de controle para a fração não-conforme, com linha central 0,10, LSC =
0, 19 e LIC = 0, 01 é usado para controlar um processo. Se são usados limites
3-sigma, ache o tamanho comum da amostra de cada subgrupo para o gráfico de
controle.
Resp.: n = 100.
12 - Um gráfico de controle para não-conformidades por unidade de inspeção usa limites
de probabilidade de 0,95. A linha central está em λ = 1, 4. Determine os limites de
controle se o tamanho da amostra é 10.
Resp.: LIC = 0, 67; LC = 1, 4; LSC = 2, 13.
13 - O número de não-conformidades de acabamento observado na inspeção final na
montagem de unidades de disco para computador foi tabulado como se mostra aqui.
Avalie se o processo parece estar sob controle, usando gráfico 3-sigma.
Dia ni yi
1 2 10
2 4 30
3 2 18
4 1 10
5 3 20
6 4 24
7 2 15
8 4 26
9 3 21
10 1 8
Resp.: Sim.
14 - A produção de computadores pessoais pode ser monitorada através de cartas de con-
trole para atributos. O tamanho da amostra selecionada é de cinco computadores.
Iremos considerar o número de não-conformidades por tamanho amostral, usando
gráficos 3-sigma.
a) Com base nos dados, verifique se o processo está sob controle.
Resp.: LIC = 0, 066; LC = 1, 93; LSC = 3, 794 (processo sob controle).
b) Construa o gráfico de controle para o numero de não-conformidades por unidade
de inspeção, supondo que o valor de referência é λ = 2, 5.
Resp.: LIC = 0, 38; LC = 2, 5; LSC = 4, 62.
Amostra yi ui Amostra yi ui
1 10 2,0 11 9 1,8
2 12 2,4 12 5 1,0
3 8 1,6 13 7 1,4
4 14 2,8 14 11 2,2
5 10 2,0 15 12 2,4
6 16 3,2 16 6 1,2
7 11 2,2 17 8 1,6
8 7 1,4 18 10 2,0
9 10 2,0 19 7 1,4
10 15 3,0 20 5 1,0
Total 113 22,6 20 80 16
15 - Um caso particular do gráfico u é quando inspecionamos apenas o número de não-
conformidades em uma única unidade de inspeção. Este gráfico é conhecido como
gráfico c onde c é o número médio de não-conformidades encontrado na unidade
inspecionada. Suponha que defeitos ou não-conformidades ocorram nessa unidade
de inspeção de acordo com a distribuição de Poisson de parâmetro c, ou seja
P (X = x) =
e−ccx
x!
, x = 0, 1, 2, ...
a) Escreva como seriam os limites de controle 3-sigma para este gráfico, supondo
o valor c conhecido.
Resp.: LIC = c− 3
√
c; LC = c; LSC = c+ 3
√
c.
b) Reescreva os limites do item anterior supondo que o valor c é desconhecido.
Resp.: LIC = c̄− 3
√
c̄; LC = c̄; LSC = c̄+ 3
√
c̄.
16- Um fabricante de automóveis deseja controlar o número de não-conformidades em
uma área de submontagem que produz transmissões manuais. A unidade de inspeção
é definida como quatro transmissões, e os dados para 16 amostras (cada uma de
tamanho 4) são mostrados aqui.
Amostra 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
ci 1 3 2 1 0 2 1 5 2 1 0 2 1 1 2 3
a) Estabeleça um gráfico de controle 3-sigma para não-conformidades por unidade.
Resp.: LIC = 0; LC = 1, 6875; LSC = 5, 5846.
b) Esses dados provêm de um processo sob controle? Se não, suponha que causas
atribuíveis possam ser encontradas para todos os pontos fora de controle, e
calcule os novos limites de controle revisados.
Resp.: Processo sob controle.
17 - Ache os limites 3-sigma para
a) Um gráfico c com média do processo igual a 4 não-conformidades.
Resp.: LIC = 0; LC = 4; LSC = 10.
b) Um gráfico u, com c = 4 e n = 4.
Resp.: LIC = 0; LC = 1; LSC = 2, 5.
18 - Deve-se estabelecer um gráfico de controle para não-conformidades junto com a
inspeção final de um rádio. A unidade de inspeção deve ser um grupo de dez rádios.
O número médio de não-conformidades tem sido, no passado, de 0,5 por rádio. Ache
os limites de controle 3-sigma para um gráfico c com base nesse tamanho de unidade
de inspeção.
Resp.: LIC = 0; LC = 5; LSC = 11, 71.
19 - Estamos usando um gráfico de controle X para monitorar o diâmetro médio dos
anéis de pistão de um motor, que sob controle é igual a 74mm (σ = 0, 01mm).
Sabe-se que o diâmetro do anel é normalmente distribuído e que o tamanho da
amostra escolhido para esse monitoramento é igual a 5.
a) Ache os limites de controle 2-sigma para esse gráfico.
Resp.: LIC = 73, 9911; LC = 74; LSC = 74, 0089.
b) Suponha que tenha sido sugerido o uso dos limites 2-sigma, em vez dos limtes
típicos 3-sigma. Que efeito isso teria na ocorrência de alarmes falsos?
Resp.: A probabilidade de alarme falso aumenta de 0,27% para 4,55%.
20 - Gráficos de controle x e R devem ser mantidos para controlar a força de resistência
de uma peça metálica. Suponha que a força de resistência seja normalmente dis-
tribuída. Trinta amostras de tamanho 6 são coletadas durante um período com os
seguintes resultados:
m∑
i=1
xi = 6000 e
m∑
i=1
Ri = 150.
a) Calcule os limites 3-sigma para os gráficos x e R.
Resp.: Gráfico x: LIC = 197, 585; LC = 200; LSC = 202, 415. Gráfico R:
LIC = 0; LC = 5; LSC = 10, 02.
b) Para os gráficos x e R acima, ache o risco β quando a verdadeira média do
processo é 199.
Resp.: 0,96079.
21 - Um gráfico X é usado para controlar a média de uma carcterística da qualidade
normalmente distribuída. Sabe-se que σ = 6, 0 e n = 4. Os limites de controle são
LC = 200, LSC = 209 e LIC = 191. Se a média do processo se desloca para 188,
ache a probabilidade de que esse deslocamento seja detectado na primeira amostra
subsequente. Resp.: 0,84134.
22 - Gráficos de controle x e R com n = 4 são usados para monitorar uma característica
da qualidade normalmente distribuída. Os parâmetros dos gráficos de controle são:
Gráfico x Gráfico R
LSC = 815 LSC = 46, 98
LC = 800 LC = 20, 59
LIC = 785 LIC = 0
Ambos os gráficos exibem controle. Qual é a probabilidade de um deslocamento na
média do processo para 790 ser detectado na primeira amostra subsequente?
Resp.: 0,15866.
23 - Um gráfico de controle para a fração não-conforme, com n = 400, tem os seguintes
parâmetros:
LIC = 0, 0191, LC = 0, 0500 e LSC = 0, 0809.
a) Ache a largura dos limites de controle em unidades de desvio padrão.
Resp.: L = 2, 8356
b) Qual é a probabilidade de uma mudança para 0,03 na fração não-conforme do
processo ser detectada na primeira amostra subsequente?
Resp.: 0,10027.
24 - Um gráfico de controle para a fração não-conforme deve ser estabelecido, com linha
central de 0,01 e limites de controle 2-sigma.
a) Qual deve ser o tamanho da amostra, se o limite inferior de controle deve ser
não-nulo?
Resp.: n ≥ 397.
b) Qual a probabilidade de que uma mudança para 0,04 seja detectada na segunda
amostra, considerando o tamanho de amostra mínimo obtido no item anterior?
Resp.: 0,0207.
25 - Deve-se estabelecer um gráfico de controle para um processo que produz geladeiras.
A unidade de inspeção é uma geladeira, e vai ser usado um gráfico comum para não-
conformidades. Como dados preliminares, foram contadas 16 não-conformidades na
inspeção de 30 geladeiras.
a) Quais são os limites de controle 3-sigma?
Resp.: LIC = 0, LC = 0, 533 e LSC = 2, 7242.
b) Qual é o risco α para esse gráfico de controle?
Resp.: α = 0, 017.
c) Qual é o risco β, se o número médio de defeitos é, realmente, dois (i. é,
c = 2, 0)?
Resp.: β = 0, 6767.
caioa
Realce
26 - Um processo está sendo monitorado por um gráfico de controle para a fração não-
conforme. A média apresentada no processo foi de 0,07. Os limites de controle
3-sigma são usados, e o procedimento exige que se tomem amostras diárias de 400
itens.
a) Calcule os limites de controle superior e inferior.
Resp.: LIC = 0, 0317, LC = 0, 07 e LSC = 0, 1083.
b) Se a média do processo mudasse repentinamente para 0,10, qual a probabilidade
de que a mudança fosse detectada na primeira amostra subsequente?
Resp.: 0,29116.
c) Qual é a probabilidade de que a mudança do item (b) fosse detectada na
primeira ou segunda amostra tomada após a mudança?
Resp.: 0,49755.
27 - No planejamento de um gráfico de controle para a fração não-conforme com linha
central em p = 0, 20 e limites de controle 3-sigma, qual é o tamanho da amostra
exigido para resultar em um limite inferior de controle positivo?
Resp.: n ≥ 37.
Bom trabalho!