comparação entre os métodos

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Comparação 
entre os método
Carlos Alberto & Cíntia Socorro
Critérios 
 Garantia de convergência. 
 
 Rapidez de convergência.
 
 Esforço computacional.
Critérios
Alguns métodos têm condições 
mais restritivas que outros.
Bissecção( e Posição falsa) X MPF 
X Newton-Raphson X Secante.
Medido através do número 
de operações de cada 
iteração, da complexidade 
das operações, do número 
de decisões lógicas, da 
quantidade de avaliações de 
f a cada iteração e do 
número de iterações. Logo, 
dadas as variáveis, é 
complicado tirar conclusões 
sobre a eficiência 
computacional dos métodos.
O dado que nos permite avaliar a 
rapidez de um método é o número de 
iterações efetuadas, porém é 
insuficiente para tirar conclusões 
sobre o tempo de execução do 
programa, já que a complexidade de 
interações variam de um método para 
o outro.
Garantia de convergência
Rapidez de convergência
Esforço computacional.
Mas,então, 
qual seria o 
método ideal
Se as condições de convergência estiverem 
asseguradas, a velocidade da convergência 
for alta e os cálculos por iteração forem 
simples, temos o método ideal.
Dentre todos, o de Newton é o mais 
próximo da idealidade sempre que for fácil 
verificar as condições de convergência e 
que o cálculo de sua derivada não seja 
muito elaborado. 
Se a derivada 
for difícil 
usamos o 
método da 
secante.
Claro, tudo depende do nosso 
objetivo, se quisermos um 
intervalo de tamanho bem 
pequeno que contenha a raiz o 
melhor método será o da 
Bissecção, já que o de Newton 
e o da secante não trabalham 
com intervalos
Equação que se 
quer resolver Erro
Comportamento da 
função na região 
da raiz
Critério de parada
Escolha do valor 
inicial
Dificuldade de se 
calcular suas 
derivada
Sendo assim, a escolher um método 
depende...
f(x)= e-x^2- cos(x)
ξ ∈ (1,2) 
ε1=ε2=10
-
4
Bissecção Posição falsa
MPF 
g(x)= cos(x)-e 
-x^2+x
Newton-Raphson Secante
Dados 
iniciais [1,2] [1,2] x0=1,5 x0=1,5 x0=1; x1=2
x 1,44741821 1,44735707 1,44752471 1,44741635 1,44741345
f( x ) 2,1921 x 10-5 -3,6387 x 10-5 7,0258 x 10-5 1,3205 x 10-6 -5,2395 x 10-7
Erro em x 6,1035 x 10-5 0, 552885221 1,9319 x 10-4 1,7072 x 10-3 1,8553 x 10-4
Nº de 
iterações 14 6 6 2 5
f(x)=x3-x-1
ξ ∈ (1,2) 
ε1=ε2=10
-
6
Bissecção Posição falsa MPF g(x)= (x +1)1/3 Newton-Raphson Secante
Dados 
iniciais [1,2] [1,2] x0=1 x0=1 x0=0; x1=0,5
x 0,1324718 x 101 0,1324718 x 101 0,1324717x 101 0,1324718 x 101 0,1324717 x 101
f( x ) -0,1847744 x 10-5 -0,7897615 x 10-6 -0,52154406 x 10-6 0,1821000 x 10-6 -0,8940697 x 10-7
Erro em x 0,9536743 x 10-6 0,6752825 0,3599538 x 10-6 0,6299186 x 10-6 0,8998843 x 10-5
Nº de 
iterações 20 17 9 21 27
f´(x)=3x2-1
x1= 0,5
f´(0,5)= ~0,5773502 
xk+1= xk - f(x) 
 
 f´(x)
Existe alguma solução 
para o problema de 
encontrar um x0 
adequado no método 
de Newton-Raphson
Uma solução seria diminuir o intervalo através do método da bissecção e usar a raiz encontrada por esse método como ponto de partida ( x0) do método de Newton.
f(x)=x3-3,5x2+4x-1,5=(x-1)2(x-1,5)
ξ ∈ (0.5,2)
 
ε1=ε2=10
-
7
Iterações x0 x1 x f(x) |f(x)| < ε
1 0,5 2 1,25 -0,01563 >
2 1,25 2 1,265 0,048828 >
3 1,25 1,625 1,4375 -0,01196 >
4 1,4375 1,625 1,53125 0,00882 <
Aplicando o método da bissecção no 
intervalo dado. ε1=ε2=10-2
Iterações x0 f(x) f´(x)
Erro
1 1,53120000 0,00880381 0,31532032 0,00880381
2 1,50327978 0,00083074 0,25659184 0,00083074
3 1,50004220 0,00001055 0,25008440 0,00001055
4 1,50000001 0,00000000 0,00000000
Aplicando o método de 
Newton-Raphson 
ξ ∈ (1,4375; 1,625)
x0=1,5312
ε1=ε2=10
-7
Fizemos em 8 
iterações o que 
pelo método da 
bissecção 
levaria 24..
Referências
RUGGIERO, Márcia A. G.; LOPES, Vera Lúcia R.; Cálculo Numérico: Aspectos 
Teóricos e Computacionais. 2.ed. Makron Books. São Paulo. 1996.
BURDEN, Richard L. ; FAIRES,Douglas J. ;BURDEN,Annette M; Análise Numérica.10.ed 
Cengage Learning, 2016.São Paulo.
LOBÃO, Diomar César. Introdução aos Métodos Numéricos.Disponível 
em:<https://www.passeidireto.com/arquivo/21169948?utm_campaign=android-arquivo&utm_m
edium=mobile>. Acesso em: 10 nov. 2020.
Costa, Patrício Torres; Silva, Luciane Sobral.Métodos numéricos para zeros de 
funções.Disponível em:<https://repositorio.ufsc.br/handle/123456789/107647>Acesso em: 20 
nov. 2020.
E é isso, tchau!