pratica_educativa_do_pensamento_matematico_i

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MAGNA NATALIA MARIN PIRES
MARILDA TRECENTI GOMES
NANCY TEREZINHA OLDENBURG KOCH
42
84
5
Fundação Biblioteca Nacional
ISBN 978-85-387-5114-4
9 7 8 8 5 3 8 7 5 1 1 4 4
PRATICA
EDUCATIVA
DO PENSAMENTO
MATEMATICO I
PRATICA
EDUCATIVA
DO PENSAMENTO
MATEMATICO I
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MAGNA NATALIA MARIN PIRES
MARILDA TRECENTI GOMES
NANCY TEREZINHA OLDENBURG KOCH
PRATICA
EDUCATIVA
DO PENSAMENTO
MATEMATICO I
PRATICA
EDUCATIVA
DO PENSAMENTO
MATEMATICO I 
IESDE BRASIL S/A
Curitiba
2015
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CIP-BRASIL. CATALOGAÇÃO NA PUBLICAÇÃO 
SINDICATO NACIONAL DOS EDITORES DE LIVROS, RJ
________________________________________________________________________________
P746p
Pires, Magna Natalia Marin
Prática educativa do pensamento matemático I / Magna Natalia Marin Pires, Marilda 
Trecenti Gomes, Nancy Terezinha Oldenburg Koch. - 1. ed. - Curitiba, PR : IESDE BRASIL 
S/A, 2015.
176 p. : il. ; 24 cm. 
ISBN 978-85-387-5114-4
1. Matemática. 2. Lógica simbólica e matemática. I. Gomes, Marilda Trecenti. II.
Koch, Nancy Terezinha Oldenburg. III. Título.
15-25775 CDD: 510
CDU: 51 
________________________________________________________________________________
20/08/2015 21/08/2015
Capa: IESDE BRASIL S/A.
Imagem da capa: Istockphoto
IESDE BRASIL S/A.
Al. Dr. Carlos de Carvalho, 1.482. CEP: 80730-200 
Batel – Curitiba – PR 
0800 708 88 88 – www.iesde.com.br
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© 2015 – IESDE Brasil S/A. É proibida a reprodução, mesmo parcial, por qualquer processo, sem autorização por 
escrito dos autores e do detentor dos direitos autorais.
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Mestre em Educação pela Universidade Federal do Paraná (UFPR). Espe-
cialista em Educação Matemática pela Universidade Estadual de Londrina (UEL). 
Licenciada em Matemática pela UEL.
Magna Natália Marin Pires
Mestre em Educação pela Universidade Federal do Paraná (UFPR). Espe-
cialista em Educação Matemática pela Universidade Estadual de Londrina (UEL). 
Graduada em Matemática pelo Centro de Estudos Superiores de Londrina (CE-
SULON), em Química pela Fundação Faculdade Estadual de Filosofia, Ciências e 
Letras de Cornélio Procópio (FAFICOP) e em Ciências pela Universidade Estadual 
Paulista Júlio de Mesquita Filho (UNESP).
Marilda Trecenti Gomes
Mestre em Educação pela Universidade Federal do Paraná (UFPR). Especia-
lista em Educação Matemática pela Universidade Estadual de Londrina (UEL). Es-
pecialista em Pedagogia Religiosa pela Pontifícia Universidade Católica do Paraná 
(PUCPR). Licenciada em Matemática pelo Centro de Estudos Superiores de Lon-
drina (CESULON). 
Nancy Terezinha Oldenburg Koch
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Apresentação
Esta obra trata de uma relação de textos relacionados às práticas do ensino 
de Matemática. Nela trazemos formas de utilização de diversos materiais manipu-
láveis apropriados aos conteúdos abordados em cada texto.
O objetivo é que o estudante, ao ler cada texto, tenha compreensão do 
conteúdo matemático, da forma como ensiná-lo e do material que deverá utilizar 
para contribuir com a aprendizagem desse conteúdo.
Para escrevê-lo, pautamo-nos em estudos e nas nossas práticas em sala de 
aula. Dessa forma, a obra que hoje se encontra em suas mãos tem “um pouco de 
uma sala de aula”.
Esperamos que este trabalho contribua com a sua formação e daqueles 
que serão formados por você.
As Autoras
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Sumário
Geoplano ..................................................................................... 11
O que é o geoplano? ................................................................................................................ 12
Alguns tipos de geoplano ...................................................................................................... 12
Primeiro contato com o geoplano ...................................................................................... 14
Explorando localizações ......................................................................................................... 14
Explorando as figuras geométricas planas ...................................................................... 15
Só triângulos ............................................................................................................................... 16
Só quadriláteros ........................................................................................................................ 18
Ângulos ......................................................................................................................................... 19
Área e perímetro ........................................................................................................................ 20
O uso do tangram nas aulas de Matemática .................. 27
A compreensão do sistema 
de numeração decimal ........................................................... 43
O sistema de numeração egípcio ........................................................................................ 43
O sistema de numeração maia ............................................................................................. 45
O sistema de numeração decimal ....................................................................................... 47
Material Dourado: números naturais ................................ 57
Material Dourado: números decimais ............................. 79
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Algumas medidas convencionais .....................................105
Medidas de comprimento ....................................................................................................106
Perímetro ....................................................................................................................................107
Unidades de superfície .........................................................................................................107
Medidas de massa ..................................................................................................................108
Unidades de massa .................................................................................................................108
Volume e capacidade ............................................................117
O uso da calculadora 
nas aulas de Matemática .....................................................127
Utilização da calculadora no 
dia a dia e nas aulas de Matemática .................................................................................128
Desenvolvendo o conceito de chance ...........................139
Introduzindo o tema por meio de jogos ........................................................................140
Gabarito .....................................................................................149
Referências ................................................................................177
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Geoplano
Magna Natália Marin Pires 
Marilda Trecenti Gomes
Nancy Terezinha Oldenburg Koch
É de consenso geral entre os educadores a necessidade de uma mu-
dança nas condições em que se processa a aprendizagem da Matemática. 
Entre as necessárias mudanças que são apontadas, estão:
 � a utilização de métodos de aprendizagem em que os alunos cons-
truam o seu próprio conhecimento;
 � a utilização de materiais que contribuam para a formação de con-
ceitos;
 � ligar a Matemática com o real;
 � abordar a Matemática por meio da resolução de problemas.
Este capítulo pretende contribuir para a discussão da utilização de su-
portes materiais para a aprendizagem da Matemática.
Oportunizando ao aluno a experiência da matematização por meio da 
manipulação de materiais, estamos criando situações que favorecem o 
desenvolvimento do pensamento abstrato, além de estarmos fomentan-
do uma atividade lúdica.
Segundo Serrazina e Matos (1988), a formação de conceitos é a essência 
da aprendizagem da Matemática e ela deve ser baseada na experiência. O 
geoplano é um material que pode oferecer excelentes oportunidades no 
aprendizado da Geometria e das medidas por meio de experiências.
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O que é o geoplano?
Consiste numa placa de madeira com pregos dispostos de modo a formar 
uma malha que pode ter vários aspectos estruturais. É acompanhado de um 
conjunto de elásticos que permitem desenhar.
Configura um espaço geométrico em que os pontos são representados por 
pregos. Entre eles esticam-se elásticos do tipo atilho que possibilitam a repre-
sentação de figuras geométricas.
É um modelo que permite traduzir ou sugerir ideias matemáticas, constituin-
do-se em um suporte para a representação mental, ou seja, um recurso que leva 
ideias abstratas à realidade.
Alguns tipos de geoplano
 � Geoplano 3 x 3: aquele em que a malha é quadrada e tem três pregos de 
cada lado, totalizando nove pregos.
 � Geoplano 5 x 5: aquele em que a malha é quadrada e tem cinco pregos 
de cada lado, totalizando 25 pregos.
Área de Conhecimento: Matemática
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Geoplano
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Seguindo esse raciocínio, podem ser construídos inúmeros geoplanos desse 
tipo, mudando-se apenas o número de pregos dos lados.
 � Geoplano isométrico: aquele em que os pregos são colocados na inter-
secção das linhas.
 � Geoplano circular: nesse tipo de geoplano, os pregos são dispostos de 
forma circular.
Ao trabalhar com o geoplano, o professor deve delinear bem os objetivos 
a serem alcançados, pois dessa forma ele se tornará um excelente meio para 
 explorar problemas geométricos. É aconselhável que, paralelamente ao trabalho 
com o geoplano, o professor utilize papel pontilhado imitando a disposição dos 
pregos, para que o aluno reproduza, ou registre, o que fez no geoplano.
Este capítulo pretende indicar alguns caminhos, procedimentos e formas 
de trabalho que contribuam para o exercício do professor com o conteúdo de 
 Geometria. As atividades desenvolvidas nesta aula devem ser realizadas no geo-
plano 5 x 5.
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Primeiro contato com o geoplano
Para iniciar, o professor deve propor atividades que facilitem a familiarização 
do aluno com o geoplano. O aluno deve explorar o material com o objetivo de 
expe rienciar ideias geométricas iniciais. 
O desenho livre no geoplano é uma atividade que facilita o primeiro contato 
do aluno com o material. Nessa atividade, o aluno conhecerá o material, desco-
brirá a utilidade dos pregos e aprenderá a manipular os elásticos. 
As atividades que envolvem desenhos livres no geoplano podem ser desen-
volvidas com alunos de todas as idades, que devem ser estimulados a registrar os 
desenhos no papel pontilhado, não só os que eles próprios fizeram mas também 
o que outros desenharam. Essa atividade é enriquecedora no que se refere à 
representação gráfica.
Seguem alguns exemplos de atividades que podem ser utilizadas com alunos 
que ainda não conhecem o geoplano:
 � desenhar objetos no geoplano e pedir para que outro aluno adivinhe do 
que se trata;
 � reproduzir no geoplano figuras que estão desenhadas no papel pontilha-
do (os desenhos no papel pontilhado podem ser feitos pelo professor ou 
pelos próprios alunos);
 � fazer um desenho no geoplano, copiá-lo no papel pontilhado e pedir para 
que um amigo volte a desenhá-lo no geoplano;
 � desenhar diversas letras do alfabeto no geoplano e depois reproduzi-las 
no papel pontilhado.
Explorando localizações
É possível trabalhar com as localidades “interior”, “exterior”, “direita”, “esquer-
da”, “fronteira”, entre outras, no geoplano. Esse trabalho pode ser relevante com 
as crianças da pré-escola ou mesmo com crianças dos Anos Iniciais do Ensino 
Fundamental.
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Geoplano
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O trabalho pode ser desenvolvido em atividades como as apresentadas abaixo.
 � Observe as figuras desenhadas no geoplano e determine quantos pontos 
(pregos) estão no interior, no exterior e na fronteira de cada figura. 
As figuras podem ser:
 � Desenhe no geoplano 5 x 5 figuras que possuam:
 � quatro pregos na fronteira e um no interior;
 � oito pregos na fronteira e três no interior;
 � nenhum prego no exterior.
Explorando as figuras geométricas planas
O geoplano é um material muito apropriado para a introdução dos polígonos 
e posteriormente para a classificação dos mesmos.
Neste trabalho, pode-se fazer a análise dos componentes das figuras: os lados, 
os vértices, os ângulos e as diagonais.
As atividades seguintes são sugestões que objetivam a exploração dos con-
ceitos citados anteriormente.
 � Desenhe polígonos1 no geoplano.
1 Nesse momento, o pro fessor deve definir o que são polígonos: “São figuras fechadas simples formadas apenas por segmento de reta.” Se neces-
sário, o professor deve ainda esclarecer a definição de figuras simples, segmento de reta etc.
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 � A partir das construções dos alunos, o professor pode montar com eles 
uma tabela como a que segue abaixo:
Desenhos N.
o de 
lados
N.o de 
vértices
N.o de 
ângulos Classificação
3 3 3 triângulos
4 4 4 quadriláteros
5 5 5 pentágonos
6 6 6 hexágonos
Só triângulos
Utilizando as construções que as crianças fazem, o professor pode, depen-
dendo da faixa etária dos alunos, trabalhar com a classificação dos triângulos.
Observem as atividades que seguem:
 � construa triângulos no geoplano 5 x 5;
 � registre no papel pontilhado todos os que encontrar;
 � desenhe um triângulo, no geoplano 5 x 5, que possua um número máximo 
de pregos no seu interior;
 � encontre uma maneira de classificar os triângulos desenhados nas ativi-
dades anteriores.
Área de Conhecimento: Matemática
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Geoplano
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Nessa última atividade, o professor deve fazer perguntas que conduzam 
os alunos a classificarem os triângulos quanto aos lados e quanto aos ângulos. 
 Podendo, ainda, montar com eles as tabelas abaixo.
Classificação dos triângulos quanto à medida dos lados
Desenhos possíveis Nomenclatura Definição
Equilátero Triângulo que possui os três lados de mesma medida.
Isósceles
Triângulo que possui dois lados 
de mesma medida e um lado de 
medida diferente.
Escaleno Triângulo que possui os três ladosde medidas diferentes.
Classificação dos triângulos quanto à medida dos ângulos
Desenhos possíveis Nomenclatura Definição
Acutângulo
Triângulo que possui todos os 
ângulos internos com medidas 
menores que 90º.
Obtusângulo
Triângulo que possui um 
ângulo interno com medida 
maior que 90º.
Retângulo Triângulo que possui um ângulo interno medindo 90º.
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Só quadriláteros
Da mesma maneira que em relação aos triângulos, o professor pode trabalhar 
no sentido dos alunos conhecerem a classificação dos quadriláteros.
Para esse trabalho, seguem algumas sugestões de atividades.
 � Desenhar polígonos de quatro lados no geoplano.
 � Reproduzir, no papel pontilhado, os polígonos conseguidos na atividade 
anterior.
 � Encontrar a medida do lado menor e do lado maior do quadrado possível 
de se desenhar no geoplano 5 x 5.
 � Construir um polígono que tenha, ao menos, dois lados paralelos e dois 
perpendiculares.
Partindo das figuras construídas nas atividades anteriores, construa com os 
alunos uma tabela para classificação dos quadriláteros.
Classificação dos quadriláteros
Desenhos possíveis Nomenclatura Alguma propriedade
Quadrado
Figura que possui os quatro 
lados de mesma medida e 
os quatro ângulos internos 
medindo 90º.
*
Retângulo
Figura que possui quatro 
ângulos retos e os lados 
paralelos, dois a dois, 
têm mesma medida.
* Não esquecer que o quadrado é um retângulo especial.
Classificação dos quadriláteros quanto aos ângulos
Desenhos possíveis Nomenclatura Alguma propriedade
Losango
Figura que possui os quatro 
lados de mesma medida (o 
quadrado é um caso espe-
cial de losango).
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Geoplano
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Classificação dos quadriláteros quanto aos ângulos
Desenhos possíveis Nomenclatura Alguma propriedade
Trapézio
Figura de quatro lados que 
possui dois lados opostos 
paralelos.
Paralelogramo*
Figura que possui quatro 
lados e os lados paralelos, 
dois a dois, têm mesma 
medida.
* Pela propriedade anunciada, todos os quadriláteros são paralelogramos, porém a figura apresen-
tada é a que recebe esse nome particular.
Ângulos
Para o trabalho com ângulos, sugerimos atividades que os evidenciem para 
chegarmos à sua classificação.
Vejam as atividades que seguem.
 � Desenhe triângulos, quadrados e retângulos no geoplano 5 x 5 utilizando 
um elástico para cada lado.
 � Retire alguns elásticos das construções feitas anteriormente, deixando 
apenas alguns lados que se tocam num vértice (lados consecutivos). 
Abaixo, estão exemplos de figuras encontradas com essa atividade:
 � Quais dos ângulos anteriores foram conseguidos a partir de quadrados e 
de retângulos? Esses ângulos são chamados de ângulos retos. Compare-os 
com o canto de uma folha do seu livro ou uma folha de sulfite.
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 � Quantos ângulos retos tem um retângulo?
 � Quantos ângulos retos tem um quadrado?
 � Quantos ângulos retos tem um triângulo?
 � Como se classificam os ângulos conseguidos a partir dos triângulos?
Nesse momento, o professor classifica e define os ângulos agudo e obtuso.
 � Desenhe, no geoplano 5 x 5, uma figura com:
 � quatro lados e nenhum ângulo reto;
 � três lados e um ângulo reto;
 � três lados e um ângulo obtuso;
 � quatro lados e todos os ângulos agudos;
 � ângulos agudos apenas.
Área e perímetro
O geoplano é um excelente material para o trabalho com área e perímetro. 
Ele favorece a compreensão da diferença entre esses dois conceitos.
A princípio, deve-se tomar como unidade linear a distância entre dois pregos:
E a região limitada por quatro pregos como a unidade de área:
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Geoplano
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Uma questão importante para um bom entendimento do significado de uma 
medida é a boa compreensão do processo envolvido. Para isso, é necessário que 
as crianças realizem medições utilizando medidas informais. O geoplano é um 
dos materiais apropriados para essa experiência. 
 � Os pontos A e B marcados no papel pontilhado representam a casa de 
uma criança e a escola na qual ela estuda. Existem duas opções de cami-
nho para ir da sua casa (A) até a escola (B). Os caminhos estão representa-
dos a seguir. Qual dos dois é o mais curto?
 
 � Desenhe alguns quadrados no geoplano. Calcule o perímetro de cada um 
deles.
 � Qual é a área de cada um dos quadrados para os quais você acabou de 
calcular o perímetro?
 � Discuta com seus colegas a diferença entre perímetro e área.
 � Determine a área das seguintes figuras:
 � Desenhe três figuras diferentes de área igual a 6 (seis) unidades. A seguir, 
calcule o perímetro de cada uma delas.
 � Desenhe, no geoplano, figuras com perímetro 10. Calcule a área de cada 
uma delas. Repita o procedimento para figuras com 12 de perímetro.
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 � Desenhe uma figura com área de 8 unidades e perímetro máximo. Agora, de-
senhe uma figura com área 8 e perímetro mínimo.
 � No geoplano, desenhe figuras com os seguintes perímetros e áreas: 
Perímetro Área
12 9
10 4
12 8
8 4
12 6
14 10
10 5 
 � Figuras de áreas iguais possuem perímetros iguais?
 � Figuras de perímetros iguais possuem áreas iguais?
As atividades sugeridas são apenas exemplos de questões que, desenvolvi-
das no geoplano, podem ajudar na compreensão dos significados das medidas 
de comprimento e de área. É importante que essas medidas sejam confrontadas 
para que os alunos percebam a particularidade de cada uma delas.
Texto complementar
Frações
(SERRAZINA; MATOS, 1988)
O geoplano pode ser utilizado para o estudo de números fracionários. A 
construção dos conceitos de metade e de partes iguais pode ser explorada 
como uma propedêutica ao estudo das frações começando pelo menos no 
ensino primário. Propomos, nesta seção, um conjunto de atividades em que 
o geoplano é transformado num modelo que pode servir de apoio ao estudo 
das frações.
Área de Conhecimento: Matemática
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Geoplano
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Atividade 1 – Tomando como unidade de área a área do retângulo da 
figura VI.11.1, quais são as áreas das figuras VI.11.2 e VI.11.3?
Fig. VI. 11.1 Fig. VI. 11.2 Fig. VI. 11.3
Agora, tomando como unidade de área o quadrado da figura VI.12.1, 
quais são as áreas das figuras VI.12.2 e VI 12.3?
Fig. VI. 12.1 Fig. VI. 12.2 Fig. VI. 12.3
Atividade 2 – Um mapa do reino da Trianglovânia está representado na 
figura VI.13.1. O rei Isósceles morreu de repente e deixou o reino aos quatro 
filhos. Cada filho deverá receber uma parte igual do reino, e cada parte 
deverá ter a mesma forma que o reino original. Use só um elástico para divi-
dir o reino para os quatro filhos.
Fig. VI. 13.1
Atividade 3 – Construa, num geoplano 5 x 5, uma figura que possa ser 
dividida em três e depois em quatro partes iguais. Discuta as diversas solu-
ções e compare-as.
Ao exprimir a área de uma superfície em função da área de outra, aparece 
a necessidade dos números fracionários, como acontece na atividade 1.
Os conceitos de metade e de partes iguais aparecem nas atividades 2 e 3.
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24
Atividades
1. Enumere alguns conteúdos que possam ser trabalhados utilizando o geoplano.
2. Cite alguns tipos de geoplanos.
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Geoplano
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3. Construa, num geoplano ou no papel pontilhado, figuras com 5, 6 e 7 lados.
4. Calcule o perímetro e a área das figuras construídas no item anterior.
Dica de estudo
PIRES, Célia C.; NUNES, Maria. Matemática no Planeta Azul – 3.ª série. [s.l.]: FTD.
Esse livro traz atividades com o geoplano.
Procure também em outros livros didáticos atividades desenvolvidas com o 
geoplano.
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O uso do tangram nas aulas de Matemática
Diversas são as referências feitas ao uso do jogo no ensino de Mate-
mática. Eventos realizados por profissionais da Educação Matemática têm 
apresentado trabalhos que abordam o jogo como forma de ensinar.
O jogo tem sido apresentado como alternativa para a utilização do 
lúdico no ensino de Matemática, uma vez que muitos são os trabalhos 
que apontam a Matemática como uma disciplina normalmente ensinada 
sem atrativos, levantando a problemática do fracasso no seu ensino.
Embora o jogo tenha sido usado em Educação desde a Roma e a Grécia 
antigas, apenas no século XX, com Piaget, Bruner, Wallon e Vygotsky, se-
gundo Kishimoto (apud MOURA, 1994), o jogo passou a ser utilizado com 
fins pedagógicos, buscando trazer contribuições ao ensino e à aprendiza-
gem. É um elemento externo que atua internamente no sujeito, possibili-
tando novas estruturas de pensamento.
O jogo deve ser usado de modo intencional para que seja visto como 
uma ferramenta do conhecimento, e precisa de um plano de ação que 
permita a aprendizagem de conceitos tanto matemáticos como culturais. 
Assim, é percebido numa perspectiva de conteúdo com a finalidade de re-
solver problemas, dando a oportunidade de trabalhar conteúdos culturais 
inerentes ao próprio jogo.
Vários são os jogos que usualmente estão sendo empregados nas salas 
de aula. O tangram, por exemplo, está sendo utilizado para trabalhar vários 
conteúdos matemáticos.
Várias são as versões desse jogo chinês milenar, o quebra-cabeça 
– tangram. A palavra tangram vem de Tchi Tchiao Pan, cujo significado, 
“sete peças da sabedoria”, parece ter algum propósito religioso ou místico 
quando emprega as suas sete peças para descrever o mundo. 
Há outras versões para o significado da palavra tangram. Tan pode estar 
relacionada à dinastia de Tan (618-906) e gram significa algo desenhado 
ou escrito tal qual um diagrama (SOUZA et al., 1997).
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28
O tangram tem sido utilizado nas aulas de Matemática para o desenvolvimen-
to do raciocínio geométrico, percebendo formas, representando figuras geomé-
tricas, construindo e criando. Com suas sete peças é possível criar e montar fi-
guras diversas como animais, plantas, pessoas, objetos, letras, números, figuras 
geométricas etc. Jogos como o tangram permitem promover a compreensão 
de um conceito, seu processo de construção e as habilidades envolvidas nessa 
construção.
As regras desse jogo consistem em formar, por meio de montagem com suas 
sete peças, sem sobreposição, figuras diversas.
Por meio das peças que compõem o tangram podem-se explorar conteúdos 
matemáticos específicos e também propiciar o desenvolvimento de habilidades 
de pensamento, de acordo com o envolvimento e a maturidade dos alunos.
O tangram é formado por sete peças, com formas geométricas bem conhe-
cidas. É composto por cinco triângulos retângulos e isósceles, sendo dois triân-
gulos grandes (T), um médio (M) e dois pequenos (t), além de um quadrado (Q) 
e um paralelogramo (p), que se originam de um quadrado, conforme a figura 
abaixo:
t
p
tT
T
M
Q
Figura 1.
Para a construção do tangram é necessário observar os ângulos retos, os para-
lelismos e pontos médios da construção. Pode-se, também, desenhar em cartolina, 
emborrachado ou outros materiais e, em seguida, recortar as sete peças.
Área de Conhecimento: Matemática
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O uso do tangram nas aulas de Matemática
29
A seguir estão representados os passos para a construção de um tangram.
Primeiro passo: dobre o pedaço de papel na forma de um quadrado na sua 
diagonal, conforme a figura 2.
Figura 2.
Segundo passo: desdobre o papel e risque sobre a marca da dobra (fig. 3).
Figura 3.
Terceiro passo: dobre o papel na outra diagonal (fig. 4).
Figura 4.
Quarto passo: desdobre o papel e risque sobre a marca da dobra apenas do 
vértice até a outra diagonal, conforme a figura 5.
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30
Figura 5.
Quinto passo: dobre o papel de forma que o vértice de onde não está desenha-
da a diagonal una-se ao ponto de encontro das diagonais, conforme a figura 6.
Figura 6.
Sexto passo: risque sobre a marca da dobra, conforme a figura 7.
Figura 7.
Sétimo passo: prolongue a diagonal não finalizada até a última linha traçada 
(fig. 8).
Figura 8.
Área de Conhecimento: Matemática
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O uso do tangram nas aulas de Matemática
31
Oitavo passo: dobre o papel de forma que o vértice que está sobre a diagonal 
riscada toque o centro do papel – encontro das diagonais (fig. 9).
Figura 9.
Nono passo: desdobre o papel e risque sobre a dobra que vai do ponto médio 
do lado do papel quadrado até encontrar a diagonal, conforme a figura 10.
Figura 10.
Décimo passo: dobre o papel de forma que o lado direito fique paralelo ao 
esquerdo e o ponto médio deste lado coincida com o ponto de encontro das 
diagonais (fig. 11).
Figura 11.
Décimo primeiro passo: desdobre o papel e risque sobre a marca dobrada 
apenas do ponto médio do triângulo do canto inferior direito até tocar a diago-
nal (fig.12).
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32
t
t
p
T
T
Figura 12.
O tangram está pronto. Agora é só recortar as peças, a partir dos dois triângu-
los grandes, um médio, dois pequenos, um quadrado e um paralelogramo.
É importante o aluno perceber que o tangram se compõe de sete peças que, 
juntas, formam uma peça quadrada: a área das sete peças juntas equivale à área 
da peça quadrada que forma o tangram (princípio da conservação da área).
O jogo do tangram se justifica por si só. No entanto, sua utilização pedagógica 
deve ir além do prazer de jogar, podendo ter diferentes objetivos. Ele pode ser 
 utilizado para identificar formas geométricas, compor e decompor figuras, fazer 
relações entre os elementos de uma figura, explorar os conceitos de área e 
 perímetro, resolver problemas que envolvam o Teorema de Pitágoras, relacionar 
 área e perímetro, trabalhar classificação etc.
É interessante que, no primeiro momento, as crianças brinquem tentando 
formar figuras quaisquer, como de animais (pato, coelho) e objetos (barco, vela) 
etc. Após, iniciar com outras atividades para que elas percebam as características 
das formas geométricas.
Uma das atividades a ser feita com o aluno é separar as peças do tangram e 
solicitar que ele monte a peça quadrada novamente.
Outra atividade para as crianças mais novas é oferecer-lhes um modelo de-
senhado em tamanho reduzido e solicitar que montem um semelhante com as 
peças do tangram ou vice-versa. Isto é, oferecer a montagem de uma figura com 
as peças do tangram e solicitar que os alunos a reproduzam com lápis e régua.
Os alunos também devem ser estimulados a observar as características de 
cada uma das peças e compará-las, como na explicaçãoa seguir.
Área de Conhecimento: Matemática
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O uso do tangram nas aulas de Matemática
33
Q
M
p
t
tT
T
As peças triangulares indicadas com a letra T são iguais e suas hipotenusas 
(lados opostos ao ângulo de 90º) são iguais ao lado da peça quadrada original 
(com as sete peças). Seus catetos medem o dobro dos catetos das peças triangu-
lares indicadas pela letra t, que também equivale ao lado da peça quadrada.
A peça triangular indicada com a letra M tem catetos iguais à metade do lado 
da peça quadrada original, e sua hipotenusa é igual à metade da diagonal da 
peça quadrada original.
Relações como essas, feitas anteriormente, e também outras relações com as 
demais peças do tangram, devem ser percebidas pelos alunos. É relevante que o 
aluno perceba, por exemplo, que um dos lados do paralelogramo indicado pela 
letra p é igual à metade do lado da peça quadrada original.
Embora a regra do jogo do tangram seja montar objetos com as sete peças, 
podem-se trabalhar outras variações, como a montagem de uma peça quadrada 
com apenas peças triangulares de alguns tangrans (nesse caso, faz-se necessário 
ter mais de um conjunto de peças).
Com essa atividade, os alunos deverão perceber que cada conjunto de dois 
conjuntos de peças triangulares pequenas forma um médio e que cada con-
junto de dois médios forma uma peça triangular grande. Com isso, para formar 
peças quadradas apenas com peças triangulares, os alunos terão que descobrir o 
número de tangrans necessários para formar certas peças quadradas maiores. In-
clusive o quadrado do tamanho original do tangram. É sempre relevante que eles 
façam os contornos das peças numa folha de papel e enumerem a quantidade de 
peças triangulares que foi utilizada na construção de cada peça quadrada.
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Exemplos:
Neste caso, foram utilizadas três peças triangulares médias e duas pequenas.
Neste outro caso, utilizaram-se quatro peças triangulares pequenas e duas 
grandes.
A Geometria permite desenvolver o senso espacial, favorecendo a capacidade 
de comparar, classificar, identificar e descrever figuras geométricas. Nesta 
 atividade, o que se deseja é que o aluno perceba relações de composição exis-
tentes entre as diversas peças do quebra-cabeça (tangram).
Professor e alunos devem fazer novas proposições para novas montagens. 
Seguem alguns exemplos.
 � Figuras montadas com apenas duas peças triangulares pequenas.
 � Figuras montadas com duas peças triangulares pequenas e uma peça 
triangular média.
 � Pode-se montar uma peça triangular grande com as peças que se desejar. 
Existem quantas possibilidades para isso?
 � Caso se queira montar uma peça quadrada usando apenas duas das peças 
de um único tangram, como se poderia obtê-la?
 � E com três peças? E com quatro? 
 � Mostre como foi possível cada uma dessas soluções.
Área de Conhecimento: Matemática
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O uso do tangram nas aulas de Matemática
35
São inúmeras as atividades que podem ser realizadas utilizando peças de um 
único tangram ou de mais de um. Exemplo: monte um octógono apenas com 
peças triangulares pequenas e peças quadradas.
Como foi colocado anteriormente, pode-se utilizar o tangram para trabalhar 
outros conteúdos matemáticos como áreas, frações, relação de área e fração de 
uma peça em relação à outra etc.
Ao se trabalhar com séries mais elevadas, podem-se propor problemas de 
 níveis mais complexos, como solicitar aos alunos que construam um tangram 
não apenas com dobradura mas também utilizando régua e compasso para 
depois utilizá-lo trabalhando semelhança de peças triangulares, áreas de outros 
polígonos formados pela composição de peças etc.
Como se pode perceber, o uso do tangram é uma estratégia rica para ensi-
nar vários conteúdos matemáticos, os quais são trabalhados de forma lúdica e 
sem grandes gastos. Assim, esse jogo pode ser utilizado nas escolas de todos os 
níveis e condições econômicas, de forma individual ou em grupos.
Texto complementar
O lado sério do jogo: a possibilidade de aprender
(MOURA, 1994)
O raciocínio mais ou menos decorrente do fato de que os sujeitos apren-
dem por meio do jogo é de que este possa ser utilizado pelo professor em 
sala de aula.
As primeiras ações dos professores que se apoiam em teorias constru-
tivistas foram as de tornar os ambientes bastante ricos, em quantidade e 
variedade de jogos, para que os alunos pudessem, pela manipulação dos 
mesmos, descobrir conceitos inerentes às estruturas dos jogos. Essa concep-
ção tem levado a práticas espontaneístas de utilização dos jogos nas escolas. 
A sustentação de tal prática pode ser encontrada nas teorias psicológicas 
que colocam apenas no sujeito as possibilidades de aprender, desconside-
rando elementos externos como possibilidades da aprendizagem.
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São concepções de aprendizagem subjetivistas que colocam o conheci-
mento como produto de articulações internas aos sujeitos. Para essa visão, a 
atividade direta do aluno sobre os objetos de conhecimento é a única fonte 
válida de aprendizagem e assume implicações que qualquer tentativa de inter-
venção do professor para transmitir um conhecimento estruturado está fadada 
ao fracasso ou a produzir um conhecimento meramente repetitivo (COLL).
Essas concepções têm como principal característica a crença de que o 
desenvolvimento cognitivo é a sustentação da aprendizagem. Asseguram 
que para haver aprendizagem é necessário que o aprendiz tenha um de-
terminado nível de desenvolvimento. Tal crença tem levado muitos educa-
dores a serem colocados na posição dos que apenas promovem situações 
desafiadoras para os sujeitos em situação escolar. As situações de jogo são 
consideradas como parte das atividades pedagógicas porque são elementos 
estimuladores do desenvolvimento.
Nesse sentido, o jogo é elemento do ensino apenas como possibilitador 
de colocar o pensamento do sujeito em ação. O jogo é o elemento externo 
que irá atuar internamente no sujeito, possibilitando-o a chegar a uma nova 
estrutura de pensamento. Dessa forma, o jogo, ainda sendo essa concepção, 
deve ser usado na educação matemática, obedecendo a certos níveis de co-
nhecimento dos alunos, tidos como mais ou menos fixos.
O material a ser distribuído para os alunos deve ter uma estruturação tal 
que lhes permita dar um salto na compreensão dos conceitos matemáticos 
presentes. É assim que materiais estruturados como blocos lógicos, material 
dourado, cuisenaire e outros, na maioria decorrente destes, passaram a ser 
veiculados nas escolas.
A visão do conhecimento puro, aquele que decorre apenas do amadure-
cimento de estruturas internas, levou à prática na qual os conteúdos eram 
pouco relevantes e por priorizarem o desenvolvimento destas estruturas 
levou a uma concepção de jogo como promotor desse desenvolvimento.
O uso de sucatas para a confecção de brinquedos, jogos de montar e a reto-
mada do uso de materiais de ensino sem objetivos pedagógicos claros é a con-
cretização da concepção que entende a construção do conhecimento como fe-
nômeno essencialmente individual e regido apenas por leis internas ao sujeito.
Área de Conhecimento: Matemática
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O uso do tangram nas aulas de Matemática
37
A Educação Matemática, na década de 1960, viveu uma situação que po-
deríamos dizer esteve à beira da esquizofrenia. Ao mesmo tempo em que 
se apoiava em teorias psicológicas que defendiam a utilização de materiais 
concretos como facilitadores daaprendizagem, utilizava-se de uma lingua-
gem matemática altamente sofisticada, obedecendo às estruturas lógicas 
desta ciência, acreditando em outro paradigma da Psicologia da época: a 
estrutura do conhecimento matemático se aproxima das estruturas psicoló-
gicas dos sujeitos (PIAGET). Disto decorreu o aparecimento de propostas de 
ensino de Matemática em que se destacou a ênfase na linguagem e na visão 
estruturalista, também presente na produção matemática.
O surgimento de novas concepções sobre como se dá o conhecimento 
tem possibilitado novas formas de considerar o papel do jogo no ensino. 
São as contribuições da Psicologia, de cunho sociointeracionistas, que vêm 
estabelecer novos paradigmas para a utilização do jogo na escola.
Também essa concepção acredita no papel do jogo na produção de co-
nhecimentos tal como a ante rior. Diferencia-se daquela ao considerar o jogo 
como impregnado de conteúdos culturais e que os sujeitos, ao tomarem 
contato com os mesmos, fazem-no por meio de conhecimentos adquiridos 
 socialmente.
Ao agirem assim, esses sujeitos estão aprendendo conteúdos que lhes 
permitem entender o con junto de práticas sociais nas quais se inserem. 
Nesse sentido, as concepções sociointeracionistas partem do pressuposto 
de que a criança aprende ao lidar com o jogo de regra e também desenvolve 
suas estruturas cognitivas ao lidar com os mesmos. Nessa concepção, o jogo 
promove o desenvolvimento, porque está impregnado de aprendizagem. 
E isso ocorre porque sujeitos, ao jogarem, passam a lidar com regras que 
lhes permitem a compreensão do conjunto de conhecimentos veiculados 
socialmente, permitindo-lhes novos elementos para apreenderem os conhe-
cimentos futuros.
O jogo, nessa visão da Psicologia, permite a apreensão dos conteúdos, 
porque coloca os sujeitos diante das impossibilidades de resolverem, na 
prática, as suas necessidades psicológicas, para faz-de-conta, do jogo regra-
do pela lógica vivenciada ou criada para solucionar as impossibilidades de 
tornar realidade o seu desejo (LEONTIEV).
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Uma decorrência dessa visão é o aparecimento dos cantinhos de jogos, 
das brincadeiras de faz-de-conta etc. O jogo como promotor da aprendiza-
gem e do desenvolvimento passa a ser considerado nas práticas escolares. A 
perspectiva de que é importante aliado de situações de jogos pode ser uma 
boa estratégia para aproximá-lo dos conteúdos culturais a serem veiculados 
na escola, como também pode estar promovendo o desenvolvimento de 
novas estruturas cognitivas.
O jogo na Educação Matemática passa a ter o caráter de material de 
ensino quando se considera que ele é promotor de aprendizagem da crian-
ça, colocada diante de situações em que, ao brincar, apreen de a estrutura 
lógica do material e deste modo apreende, também, a estrutura matemática 
 presente.
Essa poderia ser tomada como fazendo parte da primeira visão de jogo 
que tratamos até aqui. Já na segunda concepção, esse deve estar carregado 
de conteúdo cultural e, sendo assim, o seu uso requer um certo planejamen-
to que considere os elementos sociais em que se insere.
O jogo, desse modo, é visto como conhecimento feito e também se fazen-
do, é essa característica que exige o seu uso de modo intencional. É educati-
vo e, sendo assim, requer um plano de ação que permita a aprendizagem de 
conceitos matemáticos e culturais, de uma maneira geral.
Nesta perspectiva, o jogo será conteúdo assumido com a finalidade de 
desenvolver habilidades de resolução de problemas possibilitando ao aluno 
a oportunidade de estabelecer planos de ações para atingir determinados 
objetivos, a executar jogadas segundo este plano e a avaliar a eficácia destas 
jogadas nos resultados obtidos.
Desta maneira, o jogo aproxima-se da Matemática via desenvolvimento 
de habilidade de resolução de problemas (MOURA) e, mais, permite traba-
lhar os conteúdos culturais inerentes ao próprio jogo.
Área de Conhecimento: Matemática
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O uso do tangram nas aulas de Matemática
39
Atividades
1. Monte com todas as peças do tangram um peixe, um coelho e um navio 
(lembre-se que as peças não podem ser sobrepostas).
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2. Faça a leitura complementar e escreva as diferentes concepções de jogos 
apresentadas no texto.
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O uso do tangram nas aulas de Matemática
41
3. Com as peças de um único tangram, encontre todas as possibilidades de se 
construir uma peça quadrada usando:
a) duas peças;
b) três peças; 
c) quatro peças.
Dica de estudo
SOUZA, Eliane Reame de et al. A Matemática as Sete Peças do Tangram. 2. ed. 
São Paulo: IME-USP, nº 7, 1997.
Esse livro traz atividades com o Tangram que abordam diversos conteúdos 
matemáticos.
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A compreensão do sistema 
de numeração decimal
Estamos habituados a fazer uso da numeração indo-arábica, de base dez, 
em várias situações. Mas nem sempre foi assim: houve um tempo em que o 
homem não sabia contar. Não sabia relacio nar a quantidade de elementos 
de uma coleção com uma ideia precisa, o que hoje denominamos número.
Inúmeras línguas escritas, antigas ou modernas, trazem as marcas das 
limitações primitivas e, com o passar do tempo, o homem começou a fazer 
uso de estratégias para conseguir maior exatidão quantitativa.
É chamado de sistema de numeração o conjunto de regras utilizado 
para escrever números. Antigas civilizações possuíam formas bastante or-
ganizadas para registrar os números. Conhecer algumas delas nos ajuda a 
compreender nosso próprio sistema de numeração e suas propriedades.
Faremos, a seguir, algumas atividades com a numeração egípcia e a nu-
meração maia, tentando entender as regras de cada sistema, assim como 
a base sobre a qual cada um deles se apoia.
O que é a base de um sistema de numeração? Base de um sistema é a 
quantidade escolhida no processo de agrupar e reagrupar os elementos de 
um conjunto. Por exemplo, no sistema de numeração decimal, a base é dez.
O sistema de numeração egípcio
Os egípcios da Antiguidade criaram um sistema muito interessante 
para registrar quantidades, baseado em agrupamentos. O número 1 era 
representado por uma figura que parecia um bastão:
2 I I 6 I I I I I I
3 I I I 7 I I I I I I I
4 I I I I 8 I I I I I I I I
5 I I I I I 9 I I I I I I I I I
Quando chegavam a 10, eles trocavam as dez marcas I I I I I I I I I I por 
um novo símbolo: . Feito isso, continuavam até o 19:
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10 15 I I I I I
11 I 16 I I I I I I
12 I I 17 I I I I I I I
13 I I I 18 I I I I I I I I
14 I I I I 19 I I I I I I I I I
O 20 era registrado por ,
30 era ,
40 era e assim por diante.
Para registrar o 100, ao invés de dez marcas , eles troca-
vam esse agrupamento por um símbolo novo, que parecia um pedaço de corda 
enrolada: 
Veja os símbolos usados pelos egípcios e o que significava cada marca.
Símbolo egípcio Descrição Nosso símbolo
bastão 1
calcanhar 10
rolo de corda 100
flor de lótus 1 000
dedo apontando 10 000
peixe 100 000
homem 1 000 000
Podemos explicitar as regras para o uso desses símbolos da seguinte forma:
 � cada marca só pode ser repetida nove vezes;
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A compreensão do sistema de numeração decimal
45
 � cada dez marcas são trocadas por outra, de um agrupamento superior;
 � para saber o valor do número escrito, é preciso somar o valor dos símbolos 
utilizados e por isso dizemos que nesse sistema está presente o princípio 
aditivo;
 � a numeração egípcia não possuía um símbolo para o zero;
 � a numeração egípcia não é posicional e assim tanto faz escrever o número 
23 como sendo I I I ou 
 I I I
O sistema de numeração egípcia tem base dez, pois as trocas são efetuadas 
a cada grupo de dez símbolos. Observe como eles escreviam, por exemplo, o 
número 322:
O sistema de numeração maia
Agora, observe como os sacerdotes maias registravam os números.
Numeração maia
1 2 3 4
5 6 7 8
9 10 11 12
13 14 15 16
17 18 19 20
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Você saberia dizer qual a base desse sistema?
À primeira vista, essa numeração parece ter base cinco, mas não é assim. Uma 
mudança significativa ocorre ao se escrever o número 20 (como explicaremos 
abaixo) e então dizemos que a base da numeração maia é 20.
As regras para o uso desses símbolos podem ser definidas conforme abaixo.
 � As unidades de primeira ordem – números até 19 – são representadas por 
símbolos bem simples: pontos e traços.
 � De um a quatro pontos para as quatro primeiras unidades.
 � Um traço horizontal para o 5.
 � Um, dois, três e quatro pontos acima do traço para os números de 6 a 9.
 � Dois traços para o 10 e assim por diante.
 � Números superiores a 20.
 � São escritos em forma vertical, com uma fileira para cada ordem de 
unidades.
 � Para números compostos de duas ordens, coloca-se o algarismo das 
unidades simples na parte de baixo e o algarismo das vintenas na parte 
de cima. Assim, o número 25 = 1 . 20 + 5, é escrito do seguinte modo:
25
O que coloca em evidência o princípio multiplicativo.
 � Também dizemos que o sistema de numeração maia é posicional, uma 
vez que o lugar ocupado pelos algarismos determina seu valor.
 � Nesse sistema, vale o princípio aditivo, pois é necessário somar para 
saber o valor do número.
 � Os maias possuíam um símbolo para o zero.
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A compreensão do sistema de numeração decimal
47
O sistema de numeração decimal
Para demonstrar o funcionamento deste sistema usaremos a ilustração de 
um ábaco, porque essa visualização facilita a sua compreensão. Dessa forma, 
também podemos reproduzir a tentativa dos antigos hindus e traduzir a ação do 
ábaco na linguagem dos numerais. Possivelmente, essa organização contribuiu 
para a invenção posicional do nosso sistema.
Vamos imaginar uma situação na qual efetuamos uma contagem com auxílio 
do ábaco.
As unidades são representadas na primeira coluna da direita para a esquerda, 
à qual chamaremos coluna da primeira posição.
4 unidades
O número máximo de unidades que se pode representar nessa coluna é nove: 
quando são inseridas dez unidades, é necessário fazer uma troca.
Tiram-se as dez unidades que são trocadas por uma unidade, e é colocada 
na coluna que ocupa a segunda posição. Os elementos dessa segunda coluna 
representam uma ordem imediatamente superior, ou seja, uma dezena.
10 unidades 1 dezena
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48
Após a primeira dezena, a contagem continua pela casa das unidades. Mais 
dez unidades na primeira coluna são trocadas por uma unidade na segunda, e 
continua-se a contagem sempre pela posição das unidades.
Supondo que o número de unidades contadas seja 35, a representação no 
ábaco será:
Podemos resumir as regras desse sistema conforme abaixo.
 � Sua base é dez, porque os agrupamentos são feitos de dez em dez.
 � É posicional, pois um mesmo símbolo representa valores diferentes de-
pendendo da posição que ocupa. Por exemplo, no número 544, o numeral 
4 na primeira posição tem valor 4 e na segunda posição vale 40.
 � O sistema também utiliza o zero.
 � É multiplicativo, pois cada algarismo representa o produto dele mesmo 
pelo valor da posição que ocupa. Por exemplo, o número 245:
245 = 2 . 100 + 4 . 10 + 5 . 1
 � É aditivo: 245 = 200 + 40 + 5
 � É econômico em relação aos símbolos que utiliza, pois com apenas dez 
símbolos diferentes (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 e 0), escreve-se qualquer número.
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A compreensão do sistema de numeração decimal
49
Texto complementar
Senso numérico e contagem
Algumas aves e alguns insetos possuem aquilo que os cientistas chamam 
de senso numérico. Dentre os mamíferos, somente os homens também o 
possuem. É isso que nos permite olhar uma coleção e dizer instantaneamen-
te: são duas árvores, três canetas ou quatro homens. O senso numérico per-
mite apenas isso: dois, três ou quatro.
Embora alguns insetos e mesmo pássaros o possuam em escala maior, 
seu uso parece restrito à própria sobrevivência, mas o homem foi além, de-
senvolvendo um atributo bem mais eficaz, a contagem. Numerando os ob-
jetos, um a um, podem ser contados conjuntos de coisas muito maiores do 
que os percebidos pelo senso numérico.
Como conseguimos atravessar o caminho do senso numérico para o da 
contagem? Não existe uma resposta simples, mesmo porque temos de ima-
ginar que o homem primitivo não escrevia, só falava. E, palavras, como sabe-
mos, o vento leva. Devemos também considerar que algumas tribos muito 
primitivas, nossas contemporâneas, possuem palavras numéricas, mas ne-
nhuma palavra para “número”. Da mesma forma, têm palavras para “verme-
lho”, “azul”, “amarelo” ou “branco”, mas nenhuma para “cor”.
Deve ter passado muito tempo antes de o homem perceber que um par 
de pombos, um casal de coelhos, dois namorados, o dia e a noite, eram todos 
instâncias de uma mesma ideia: o número 2.
Quando crianças, nosso sono foi embalado por histórias de pastores que 
passavam o dia na montanha tomando conta de ovelhas. O que essas his-
tórias não contavam é que, naquele tempo em que não existiam computa-
dores, papel, lápis e qualquer registro de números, os pastores carregavam 
consigo dois embornais: um vazio e outro com tantas pedrinhas quantas 
ovelhas havia no rebanho.
Pela manhã, o pastor tirava uma pedrinha do embornal cheio e punha 
no vazio para cada ovelha que saísse do curral. Ao voltar à tarde, repetia a 
operação. Procedendo assim, ele sabia se todas as ovelhas haviam voltado 
em segurança. Embora não fosse capaz de contar como nós fazemos hoje, o 
pastor chegava a um conceito numérico sem usar o artifício da contagem.
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50
Como o pastor, até hoje chegamos a um conceito numérico sem usar o 
artifício da contagem. Você vai ao teatro, entra na sala de espetáculos e ve-
rifica: não há nenhuma cadeira vazia, mas também não há ninguém em pé. 
Você conclui que as duas coleções, a de pessoas e a de cadeiras, têm exata-
mente o mesmo número, ainda que não saiba qual é ele.
Esse processo de verificação é muito usado em matemática e tem o nome 
de “correspondência um a um”. Associamos objetos de duas coleções, um 
a um, até que uma das coleções (ou as duas, como no nosso exemplo do 
teatro) esteja esgotada.
Muitos matemáticos, filósofos, antropólogos e historiadores já estudaram, e 
ainda estudam, a dificuldade que devemos ter enfrentado para chegar ao con-
ceito abstrato de número, a partir do nosso precário senso numérico. Seja uma 
pessoa primitiva, seja uma que trabalha com computadores, creiam, semcerto 
truque não conseguimos perceber conjuntos com quatro ou mais elementos. 
Parece ser esse o nosso limite quanto ao senso numérico. E o truque é associar 
senso numérico com o artifício da comparação de coleções: a contagem.
Nossos ancestrais recorreram a esse truque durante muito tempo, antes 
de serem capazes de dar símbolos e, mais tarde, nomes às coleções-padrão, 
aquelas que serviam sempre para serem comparadas com as outras. Para 
fazer registros de rebanhos ou de exércitos, faziam entalhes em árvores ou 
em ossos, ou ainda empilhando seixos ou cálculos. Podemos rastrear essa 
origem verificando que as palavras “talha” e “cálculo”, respectivamente, vêm 
do latim talea, que significa corte, e calculus, que significa seixo.
Daí para os números foi um pulo. Antes, porém, foi preciso criar as coleções- 
-modelo para fazer a correspondência um a um. Parece que nossos antepassa-
dos escolheram esses modelos em seu ambiente natural. As asas de um pássaro, 
por exemplo, podem ter simbolizado o número II, que é a propriedade comum 
a todas as coleções que podem ser colocadas em correspondência, um a um, 
com as asas de um pássaro. Um trevo representou o algarismo III; as pernas de 
um animal, o quatro; os dedos das mãos, o cinco; e assim por diante.
Depois de muito tempo, o símbolo e a palavra numérica tornaram-se um 
modelo tão bom quanto o objeto natural. Perceba que esse processo baseia- 
-se na correspondência e não implica nenhuma contagem. Ele é chamado 
de número cardinal.
Área de Conhecimento: Matemática
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A compreensão do sistema de numeração decimal
51
Falamos sobre os números cardinais, aqueles que se baseiam na corres-
pondência. Suponha que numa sala existam cinco cadeiras. Se alguém per-
guntar quantas cadeiras há na sala, não será necessário gastar muito para 
responder. Basta levantarmos os cinco dedos de uma mão (número cardinal) 
e se estará, dessa forma, associando um a um os elementos de uma coleção- 
-padrão (a mão) à coleção de cadeiras da sala.
Se se quiser, porém, contar a mesma coleção de cadeiras, pode-se erguer ou 
abaixar os dedos em sucessão e pronto. Os dedos serviram, agora, como modelo 
ordinal, ou seja, foi possível contar as cadeiras em ordem, uma após a outra.
Essa espécie mágica de dedos e mãos é só um artifício que nos permite 
passar, sem perceber, dos números cardinais para os ordinais. Essa é a sutil 
diferença entre um e outro.
Desde pequenos aprendemos a passar com tanta facilidade dos cardinais 
para os ordinais que esses números acabam se confundindo e parecem uma 
coisa só. E essa história de usar os dedos da mão como recurso é muito antiga.
Vestígios dessa contagem aparecem praticamente em todas as línguas 
primitivas. Na maioria delas, o número 5 é expresso pela palavra “mão”, o 10, 
por “duas mãos” ou “homem”, e os números, até 4, receberam os nomes dos 
quatro dedos.
Embora se possa cair na tentação de achar que os números cardinais 
tenham surgido antes dos ordinais, pesquisas sobre antigas civilizações e 
mesmo a origem das palavras revelam que não foi assim.
Onde quer que se encontre uma técnica numérica, os dois aspectos – car-
dinal e ordinal – estão presentes. Sozinho, o número cardinal não consegue 
criar uma aritmética. Para isso, precisamos passar de um número para outro, 
e daí a necessidade da ordinalidade. A comparação isolada parece ser inca-
paz de criar a arte de calcular. Por esse motivo, foi preciso os homens apren-
derem a arranjar as coisas de forma ordenada.
São os princípios da correspondência (os cardinais) e da sucessão (ordi-
nais) que formam a base da matemática. Com a ajuda das mãos, é claro! Sem 
elas, talvez o homem não conseguisse sucesso nos cálculos para, a partir daí, 
desvendar indefinidamente os mistérios da ciência.
(Disponível em: <www.scipione.com.br/educa/ 
oficinas/matematica/01/artigo/artigo_062002.htm>.)
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52
Atividades
1. Escreva em algarismos egípcios os seguintes números:
a) 205 
b) 1 430 
c) 2 007 
d) 100 036 
2. Represente com o nosso sistema os números:
a)
 
b) 
c) 
 
d)
Área de Conhecimento: Matemática
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A compreensão do sistema de numeração decimal
53
3. Escreva com numerais maias os seguintes números:
a) 43 
b) 82 
c) 106
4. Represente, com o nosso sistema de numeração, os números:
a) b) c) d) e)
5. Faça a leitura das quantidades representadas nos ábacos:
a) b) c)
6. Represente, nos ábacos, as quantidades solicitadas:
 a) 528 b) 604 c) 450
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7. Segundo o texto, o que significa posicionalidade de um sistema?
8. Quais as principais vantagens do sistema de numeração decimal sobre o sis-
tema egípcio?
Área de Conhecimento: Matemática
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A compreensão do sistema de numeração decimal
55
Dica de estudo
IFRAH, Georges. Os Números: a história de uma grande invenção. 9. ed. São 
Paulo: Globo, 1998.
Esse livro traça uma resumida, mas completa história da matemática. Pode-se 
acompanhar a evolução do raciocínio dos nossos ancestrais desde a Pré-História 
e passando por todos os povos que aprenderam a arte de calcular – egípcios, 
babilônios, gregos, romanos, chineses, hindus e árabes.
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Material Dourado: números naturais
O sistema de numeração que utilizamos é o sistema decimal, chamado 
assim porque a contagem é feita na base dez.
O material dourado, idealizado pela médica italiana Maria Montessori, 
organiza as quantidades de acordo com a base dez e, por isso favorece a 
compreensão do nosso sistema de numeração e das operações feitas nele.
A seguir, as peças que o compõem:
Cubo
1 milhar ou
10 centenas ou
100 dezenas ou
1 000 unidades
Placa
1 centena ou
10 dezenas ou
100 unidades
Barra
1 dezena 
10 unidades
Cubinho
1 unidade
Considerando as peças como dispostas anteriormente, encaminha-
remos o trabalho para a compreensão das operações com os números 
naturais.
Na sequência, apresentaremos atividades que favorecem a manipulação 
com o material e ajudam na compreensão das trocas e na formação dos 
conceitos embutidos nelas, ou seja, o significado dos algarismos nas ordens.
58
Atividade 1: descobrindo relações
Nesta atividade, os alunos devem manipular o material livremente. Depois de 
um tempo, o professor pode perguntar se eles descobriram algumas coisas nas 
peças do material. É possível que os alunos percebam algumas relações do tipo:
 � a barra tem 10 cubinhos;
 � a placa tem 100 cubinhos;
 � a placa tem 10 barras;
 � o cubo tem 10 placas;
 � o cubo tem 100 barras;
 � o cubo tem 1 000 cubinhos.
Essas relações devem ser exploradas pelo professor e se algumas delas não 
forem sugeridas pelos alunos, o professor deve fazer perguntas que possam fa-
zê-los pensar em cada uma delas. As perguntas podem ser como abaixo.
 � Quantos cubinhos vão formar uma placa?
 � E quantos formarão um cubo?
 � De quantas barras preciso para formar um cubo?
É importante também que os alunos façam desenhos e anotações para regis-
trar essas relações.
Atividade 2: representando quantidades
O professor pede para os alunos representarem quantidades usando as peças 
do material dourado. Seguem alguns exemplos.
a) 16
Pode ser que o aluno represente usando apenas cubinhos:Área de Conhecimento: Matemática
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Material Dourado: números naturais
59
Então, o professor pergunta se é possível fazê-lo de outra maneira, usando 
perguntas do tipo:
– É possível substituir quantidades de cubinhos por outra peça? Qual?
O aluno deve perceber que a quantidade 16 também pode ser representada 
assim:
b) 135
Mesmo sendo uma quantidade relativamente grande, pode ser que o aluno 
represente usando apenas cubinhos. É aconselhável que o professor permita 
que ele assim o faça.
Então o professor pergunta se é possível fazê-lo de outra maneira. 
O aluno deve perceber que a quantidade 135 pode ser representada de ma-
neiras diferentes:
 � 135 cubinhos (135 unidades);
 � 13 barras e 5 cubinhos (13 dezenas e 5 unidades);
 � 1 placa, 3 barras e 5 cubinhos (1 centena, 3 dezenas e 5 unidades).
Após algumas atividades, o professor deve introduzir as nomenclaturas:
 � unidade para o cubinho;
 � dezena para a barra;
 � centena para a placa;
 � milhar para o cubo.
Atividade 3: contando e escrevendo
O professor pede aos alunos que escrevam a quantidade que ele mostra, uti-
lizando as peças do material dourado.
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Seguem alguns exemplos.
a) 
Dependendo das respostas e considerações dos alunos, o professor pode ex-
plorar as quantidades aproveitando os agrupamentos visualizados nas peças.
231 = 200 + 30 + 1
231 = 2 centenas, 3 dezenas e 1 unidade
2 centenas = 200
3 dezenas = 30
1 unidade = 1
b) 
305 = 300 + 5
305 = 3 centenas e 5 unidades
3 centenas = 300
5 unidades = 5
Esse exemplo é importante porque faz o aluno perceber a ausência de deze-
nas soltas e a importância de representar essa ausência com o algarismo zero.
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Material Dourado: números naturais
61
Atividade 4: contando pontos de um jogo
Esta atividade pode ser decorrente de jogos de dados. Por exemplo, é importan-
te que o jogo utilizado não se destaque demais. A intenção é que os alunos façam 
trocas entre as ordens das classes numéricas para marcar pontos de um jogo. A regra 
é que, para fazer essa marcação, o aluno nunca possa usar dez peças iguais.
Simulamos aqui um jogo de dados (dois dados cada jogada) entre dois alunos. 
O jogo será composto por quatro rodadas.
O aluno A joga os dados e obtém:
O aluno, então, pega 4 + 3 cubinhos para representar as quantidades:
O aluno B joga os dados e procede da mesma forma que o aluno A para regis-
trar o número de pontos obtidos por ele.
Na segunda rodada, o aluno A joga novamente os dados e pode obter, por 
exemplo,
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62
O aluno, então, pega 6 + 2 cubinhos para representar as quantidades
e junta as quantidades da primeira e da segunda rodadas:
Por obedecer a regra do jogo (o aluno nunca pode usar dez peças iguais), deve 
trocar dez cubinhos por uma barra (dez unidades por uma dezena), ficando com:
E assim o jogo prossegue até que seja realizada a quantidade de rodadas 
combinadas no início. Se o professor desejar, pode sugerir um número maior de 
rodadas: dessa forma, os alunos podem realizar trocas e chegar à centena.
No final, os alunos devem escrever a quantidade de pontos obtidos e comparar 
com a quantidade obtida pelo parceiro de jogo. Vence o que obtiver o maior ou o 
menor número de pontos, dependendo do que foi combinado no início do jogo.
Atividade 5: somando e subtraindo quantidades
Para realizar somas e subtrações com o material dourado, vamos sugerir a 
utilização de um “cartaz valor lugar”, conhecido como ábaco de papel.
Esse ábaco de papel pode ser confeccionado pelos próprios alunos. Precisa-
remos apenas de uma cartolina, régua e pincel atômico ou canetinha.
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Material Dourado: números naturais
63
M C D U
Realizaremos agora algumas operações.
a) 124 + 53
Devemos representar as duas quantidades com o material dourado e dispor 
no ábaco de papel.
M C D U
A seguir, devemos juntar as quantidades de mesma ordem iniciando pelas 
unidades.
M C D U
É muito importante que, paralelamente à representação com o material dou-
rado, seja feita a representação escrita.
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64
M C D U
1 2
5
4+
3
1 7 7
Então, juntando 124 com 53, temos 177.
b) 267 + 235
Representando as duas quantidades com o material dourado, temos
M C D U
M C D U
2
2
6
3
7+
5
Juntando as quantidades de mesma ordem:
M C D U
Vejam que nesse caso temos uma quantidade na ordem das unidades que 
 podem ser trocadas por dezena:
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Material Dourado: números naturais
65
M C D U
M C D U
2
2
1
6
3
7+
5
2
Agora temos dez dezenas, que podem ser trocadas por uma centena:
M C D U
Então, a soma resulta em:
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66
M C D U
M C D U
1
2
2
1
6
3
7+
5
5 0 2
c) 345 – 233
No algoritmo da subtração com o material dourado, é recomendável que se 
utilize a ideia de tirar. A ideia de comparar necessita de uma grande quantidade 
de peças do material dourado e isso pode tornar o trabalho inviável.
Usando então a ideia de tirar para realizarmos subtrações, devemos repre-
sentar apenas o minuendo:
M C D U
Do minuendo, retiramos o subtraendo:
M C D U
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Material Dourado: números naturais
67
Então resta:
M C D U
M C D U
3
2
4
3
5-
3
1 1 2
d) 327 – 173
M C D U
Nesse caso, retiramos 3 unidades de 7 unidades:
M C D U
Ficamos com:
M C D U
M C D U
3
1
2
7
7-
3
4
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68
Agora, temos que retirar 7 dezenas. Para isso, devemos trocar 1 centena por 
10 dezenas. Representamos essa troca assim:
M C D U
M C D U
32
1
12
7
7-
3
4
Agora, retiramos 7 dezenas de 12 dezenas e 1 centena de 2 centenas:
M C D U
Ficamos com:
M C D U
M C D U
32
1
12
7
7-
3
1 5 4
Vamos passar, agora, para a discussão da multiplicação e da divisão. 
Para realizarmos multiplicações no ábaco de papel e não corrermos o risco 
de confundir os alunos com excesso de peças, trabalharemos apenas multiplica-
ções com números baixos, como os exemplos que seguem.
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Material Dourado: números naturais
69
e) 3 . 5
M C D U
Temos um total de 15 unidades e dez delas podem ser trocadas por 1 dezena. 
Ficamos, então, com
M C D U
M C D U
D U
3x
5
1 5
f) 2 . 26
M C D U
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70
Temos um total de 12 unidades soltas, e dez delas podem ser trocadas por 1 
dezena. Ficamos, então, com:
M C D U
M C D U
D U
1 6x 
2
5 2
Passemos agora à divisão. Para realizar divisões com o auxílio do material 
dourado, não usaremos o ábaco de papel.
g) 45 : 3
Primeiramente, representamos a quantidade 35 com as peças do material 
dourado.
Distribuiremos as dezenas em três grupos e dessa formacada grupo fica com 
uma dezena e resta uma dezena:
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Material Dourado: números naturais
71
IE
SD
E 
BR
A
SI
L 
S/
A
.
45 3
1 1
Agora, trocamos uma dezena por 10 unidades e juntamos, a estas, cinco uni-
dades, totalizando 15 unidades:
45 3
15 1
Agora, dividimos 15 unidades por 3:
45 3
15 15
Dessa forma, distribuímos todas as 15 unidades, restando nenhuma:
45 3
15 15 
0
h) 213 : 2
Representamos a quantidade 213 com as peças do material dourado:
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72
Distribuindo as centenas em dois grupos, cada grupo fica com 1 centena, res-
tando nenhuma centena:
213 2
0 1
Distribuímos agora a dezena, porém não é possível dar nenhuma dezena in-
teira para cada grupo:
213 2
01 10
Devemos colocar zero no quociente, indicando que além da centena ele não 
terá dezenas inteiras.
Trocamos, então, uma dezena por 10 unidades e a elas juntamos mais três 
unidades, totalizando 13 unidades:
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Material Dourado: números naturais
73
213 2
013 10
Agora, dividimos 13 unidades por 2:
213 2
013 106
 1
Dessa forma, distribuímos 12 unidades e sobrou 1 unidade.
Texto complementar
O ábaco de papel
(CARDOSO, 1998, p. 27-28)
Ábaco de papel é a denominação dada pela CENP (Coordenadoria de Estu-
dos e Normas Pedagógicas) nas AMs (Atividades Matemáticas) para o material 
“quadro valor lugar” juntamente com uma adaptação das peças do material 
dourado apresentadas e cortadas em papel quadriculado de 1cm x 1cm.
O motivo da denominação ábaco deve-se ao fato de que sua estrutura 
assemelha-se ao ábaco de pinos e também porque é um contador.
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74
centena dezena unidade
Este modelo revela algumas vantagens sobre o ábaco de pinos em termos 
pedagógicos, primeiro porque pode ser construído facilmente apenas 
com papel e tesoura pelo professor ou até mesmo pelos alunos e segundo 
porque as trocas de ordens de grandezas realizadas nas operações são de 
fácil visualização.
Queremos observar que o ábaco não é o único material que pode ser 
usado para o trabalho aqui proposto e não deve ser usado todo o tempo. 
Utilizar vários recursos e materiais é importante no ensino de Matemática, 
uma vez que as ideias a serem desenvolvidas não estão em cada material, 
mas nas ações e relações mentais que os alunos podem fazer com e entre os 
diferentes objetos e atividades propostas.
Se o professor quiser, pode trabalhar com os alunos em grupo e pedir que 
construam cada um o seu ábaco de papel. Basta, para isso, duas folhas de 
papel quadriculado (de 1cm) para o recorte das peças e uma folha de papel 
sulfite para o “quadro valor” de posição.
Os números no ábaco de papel podem ser representados da seguinte 
maneira:
C D U
1 2 3 2 0 1
C D U
O professor deve chamar a atenção, como no ábaco de pinos, e desenvol-
ver várias atividades, para o fato de que dez peças de uma coluna (ordem) 
representam o mesmo que uma peça da coluna seguinte à esquerda.
Área de Conhecimento: Matemática
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Material Dourado: números naturais
75
Exemplo:
C
12 unidades
10 dezenas
1 centena
1 dezena e 2 unidades
D U C D U
C D UC D U
Atividades
1. Enumere alguns motivos que tornam o material dourado indicado para o 
trabalho com as quatro operações fundamentais.
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76
2. Utilizando o material dourado ou o desenho de suas peças, represente as 
quantidades.
a) 1 025
b) 357
c) 603
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Material Dourado: números naturais
77
d) 81
3. Se você não tiver à mão o material dourado, construa centenas, dezenas e 
unidades com o papel quadriculado e realize, junto com seus colegas, as 
operações.
a) 124 + 38
b) 300 – 127
c) 34 . 3
d) 128 : 5
Dica de estudo
Construir, utilizando papel quadriculado, a unidade, a dezena e a centena.
Realize algumas operações com os alunos da sua turma.
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Material Dourado: números decimais
Já vimos como trabalhar com o material dourado para tornar os algoritmos 
das operações fundamentais com os números naturais mais significativos.
Nessa aula, veremos que o material dourado também pode ser traba-
lhado para compreensão dos algoritmos com os números decimais.
Para o trabalho mencionado, consideraremos as peças do material da 
seguinte forma:
cubo
1 unidade
placa
1 décimo
barra
1 centésimo
cubinho
1 milésimo
É aconselhável que o trabalho com o material dourado e os números 
decimais seja feito com um tempo razoável em relação ao trabalho com 
o material dourado e os números naturais. As crianças devem estar bem 
cientes dos valores das peças.
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80
Considerando as peças conforme dispostas anteriormente, estaremos enca-
minhando o trabalho para a compreensão das operações com os decimais.
As atividades que seguem têm os mesmos objetivos da sequência de ativida-
des para os números naturais, porém agora esses objetivos são transferidos para 
os números decimais.
Atividade 1: relacionando as peças 
Os alunos manipulam o material livremente. Depois de um certo tempo, 
o professor pode perguntar que relações existem entre as peças. As relações 
devem ser exploradas. 
 � O cubo tem 10 placas, logo uma placa é a décima parte do cubo.
 � O cubo tem 100 barras, logo uma barra é a centésima parte do cubo.
 � O cubo tem 1 000 cubinhos, logo um cubinho é a milésima parte do cubo.
 � A placa tem 10 barras, logo uma barra é a décima parte da placa.
 � A placa tem 100 cubinhos, logo um cubinho é a centésima parte da placa.
 � A barra tem 10 cubinhos, logo um cubinho é a décima parte da barra.
Para nomear as peças de décimo, centésimo e milésimo, é importante que o 
professor frise que sempre estará se referindo ao inteiro.
Dessa forma, chamaremos a placa de décimo, a barra de centésimo e o cubi-
nho de milésimo.
Área de Conhecimento: Matemática
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Material Dourado: números decimais
81
1 inteiro
1
1 décimo 1 centésimo 1 milésimo
1
10 
= 0,1
1
100 
= 0,01
1
1000 
= 0,001
Atividade 2: representando quantidades
O professor pede para os alunos representarem quantidades usando as peças 
do material dourado. Para esta atividade, seria interessante que cada grupo ti-
vesse fácil acesso a duas caixas de material dourado, mesmo que para isso os 
grupos tivessem um número maior de crianças. Se isso não for possível, as quan-
tidades devem ser pensadas de forma a não utilizar mais de um inteiro ou mais 
de dez décimos. Seguem alguns exemplos.
a) Um inteiro e 12 centésimos.
Pode ser que os alunos representem assim:
Então, o professor indaga se é possível fazê-lo de outra maneira e usa pergun-
tas do tipo:
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