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DisciplinaMecânica dos Sólidos I4.328 materiais37.163 seguidores
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deformações.
Se no plano xy tem-se um estado plano de tensões, as deformações neste memo 
plano se comportarão como em um estado plano de deformações porém a 
deformação principal \ue0cf z=\u2212
\ue0c3
E
\u22c5\ue09e\ue0c8 x\ue083\ue0c8 x \ue09f será, em geral, diferente de zero.
ESTADOS DE TENSÃO E DE DEFORMAÇÃO
21
Nos planos principais, as deformações são:
\ue0cf1=
\ue0c81
E
\u2212\ue0c3
E
\u22c5\ue09e\ue0c8 2\ue083\ue0c8 3\ue09f
\ue0cf2=
\ue0c8 2
E
\u2212\ue0c3
E
\u22c5\ue09e\ue0c83\ue083\ue0c81\ue09f
\ue0cf3=
\ue0c83
E
\u2212\ue0c3
E
\u22c5\ue09e\ue0c8 1\ue083\ue0c8 2\ue09f
\ue0b912=\ue0b923=\ue0b931=0
A deformação volumétrica no ponto é dada por:
\ue0cfv=
\ue0adV
V
=
V f \u2212V i
V i
onde 
V i=dx\u22c5dy\u22c5dz
V f=dx\u22c5dy\u22c5dz\u22c5\ue09e1\ue083\ue0cfx \ue09f\u22c5\ue09e1\ue083\ue0cf y\ue09f\u22c5\ue09e1\ue083\ue0cf z\ue09f
\ue0cfv=\ue09e1\ue083\ue0cfx \ue09f\u22c5\ue09e1\ue083\ue0cf y\ue09f\u22c5\ue09e1\ue083\ue0cfz \ue09f\u22121=1\ue083\ue0cf x\ue083\ue0cf y\ue083\ue0cfz\ue083\ue0cfx\u22c5\ue0cf y\ue083\ue0cf x\u22c5\ue0cfz\ue083\ue0cf y\u22c5\ue0cf z\ue083\ue0cf x\u22c5\ue0cf y\u22c5\ue0cf z\u22121
Devido à hipótese das pequenas deformações, os produtos de deformações são 
valores desprezíveis na presença das deformações. Assim, a deformação 
volumétrica pode ser escrita, de forma aproximada, como
\ue0cfv=\ue0cf x\ue083\ue0cf y\ue083\ue0cf z= I 1=\ue0cf1\ue083\ue0cf2\ue083\ue0cf3
ou, devido à Lei de Hooke,
\ue0cfv=\ue09e\ue0c8 x\ue083\ue0c8 y\ue083\ue0c8 z\ue09f\u22c5
\ue09e1\u22122\u22c5\ue0c3\ue09f
E
ESTADOS DE TENSÃO E DE DEFORMAÇÃO
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dy
dx dz
dy+\u3b5y.dy
dx+\u3b5x.dx
dz+\u3b5z.dz
Observação:Para o Estado Triaxial Uniforme, \u3c3x = \u3c3y = \u3c3z = \u3c3, temos:
\ue0cfx=\ue0cf y=\ue0cf z=\ue0c8\u22c5
\ue09e1\u22122\u22c5\ue0c3\ue09f
E
e
\ue0cfv=
3\u22c5\ue09e1\u22122\u22c5\ue0c3\ue09f
E
\u22c5\ue0c8= \ue0c8
K
onde K=
E
3\u22c5\ue09e1\u22122\u22c5\ue0c3\ue09f
é o Módulo de Deformação Volumétrica 
do Material
Se \u3c3 \u2265 0, então \u3b5v \u2265 0 e se \u3c3 \u2264 0, então \u3b5v \u2264 0. Isto implica em dizer 
que 1 - 2\u3bd \u2265 0 \u2192 \u3bd \u2264 0,5. Este valor é um limite para o coeficiente de 
Poisson, isto é, não há material com este coeficiente maior do que 0,5.
Medidas de deformações planas - rosetas
As deformações lineares em um ponto podem ser medidas com o uso de 
extensômetros. O extensômetros elétricos propiciam medidas precisas das 
deformações através do registro das variações da corrente elétrica (quando o 
extensômetro se deforma, a resistência elétrica e, por conseguinte, a corrente 
elétrica são alteradas).
A determinação do estado de tensão em um ponto (estado plano de tensões) pode 
ser feita a partir de medidas de deformações com a utilização de rosetas de 
deformação. Uma roseta de deformação é composta de um conjunto de 
extensômetros elétricos dispostos em um dado plano e segundo direções 
conhecidas. 
Colando-se uma roseta com 3 extensômetros sobre a superfície de um elemento 
estrutural faz-se a leitura das deformações lineares segundo estas 3 direções e 
calcula-se as componentes do estado de deformações.
ESTADOS DE TENSÃO E DE DEFORMAÇÃO
23
Cálculo da deformação linear em uma dada direção \u3b8a:
\ue0cf=[ \ue0cf x
\ue0b9 xy
2
\ue0b9xz
2
\ue0b9 xy
2
\ue0cf y
\ue0b9yz
2
\ue0b9xz
2
\ue0b9 yz
2
\ue0cfz
]\u22c5{nxn ynz }
como se trata de um problema de estado plano de tensões,
\ue0c9 xy=\ue0c9 xz=0 e, portanto, \ue0b9 xy=\ue0b9xz=0
assim, 
\ue0cf=[ \ue0cf x \ue0b9 xy2 0\ue0b9 xy2 \ue0cf y 0
0 0 \ue0cf z
]\u22c5{cos\ue0beasen\ue0bea0 }={\ue0cfx\u22c5cos\ue0bea\ue083\ue0b9 xy2 \u22c5sen\ue0bea\ue0b9xy2 \u22c5cos\ue0bea\ue083\ue0cf y sen\ue0bea
0
}
ESTADOS DE TENSÃO E DE DEFORMAÇÃO
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x
\u3b8a
\u3b8b
\u3b8c
\ue0cf\ue0bea=\ue09e\ue0cfx\u22c5cos\ue0bea\ue083\ue0b9 xy\u22c5sen\ue0bea ;
\ue0b9 xy
2
\u22c5cos\ue0bea\ue083\ue0cf y\u22c5sen\ue0bea ; 0\ue09f\u22c5{cos\ue0beasen\ue0bea0 }
\ue0cf\ue0bea=\ue0cf x\u22c5cos
2\ue0bea\ue083
\ue0b9 xy
2 \u22c5sen\ue0bea\u22c5cos\ue0bea\ue083
\ue0b9 xy
2 \u22c5cos\ue0bea\u22c5sen\ue0bea\ue083\ue0cf y sen
2\ue0bea
\ue0cf\ue0bea=\ue0cf x\u22c5cos
2\ue0bea\ue083\ue0cf y sen
2\ue0bea\ue083
\ue0b9 xy
2
\u22c5sen 2\ue0bea
analogamente para os ângulos \u3b8b e \u3b8c, vem
\ue0cf\ue0beb=\ue0cf x\u22c5cos
2\ue0beb\ue083\ue0cf y sen
2\ue0beb\ue083
\ue0b9 xy
2
\u22c5sen 2\ue0beb
\ue0cf\ue0bec=\ue0cfx\u22c5cos
2\ue0bec\ue083\ue0cf y sen
2\ue0bec\ue083
\ue0b9 xy
2
\u22c5sen 2\ue0bec
Tem-se, assim, um sistema com 3 equações e 3 incógnitas, cuja solução oferece 
como resultado os valores das componentes de deformação no plano (\u3b5x, \u3b5y e \u3b3xy).
Roseta 45° (são medidas as deformações \u3b50°, \u3b545° e \u3b590°)
fazendo o eixo x na direção 0° e o eixo y na direção 90°,
ESTADOS DE TENSÃO E DE DEFORMAÇÃO
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90°
45°
0°
\ue0cfx=\ue0cf0°
\ue0cf y=\ue0cf90 °
\ue0cf45°=\ue0cf x\u22c5cos
2\ue09e45 °\ue09f\ue083\ue0cf y\u22c5sen ²\ue09e45° \ue09f\ue083
\ue0b9 xy
2
\u22c5sen \ue09e2\u22c545° \ue09f
\ue0cf45°=\ue0cf x\u22c5
1
2
\ue083\ue0cf y\u22c5
1
2
\ue083
\ue0b9 xy
2
\ue0b9 xy=2\u22c5\ue0cf45°\u2212\ue09e\ue0cfx\ue083\ue0cf y\ue09f
Roseta 60° (são medidas as deformações \u3b50°, \u3b560° e \u3b5120°)
fazendo o eixo x na direção 0°
\ue0cfx=\ue0cf0°
\ue0cf60°=\ue0cf x\u22c5cos
2\ue09e60 °\ue09f\ue083\ue0cf y\u22c5sen ² \ue09e60 °\ue09f\ue083
\ue0b9xy
2
\u22c5sen\ue09e2\u22c560 °\ue09f=\ue0cf x\u22c5
1
4
\ue083\ue0cf y\u22c5
3
4
\ue083
\ue0b9xy
2
\u22c5\ue08d3
2
\ue0cf120°=\ue0cfx\u22c5cos
2\ue09e120° \ue09f\ue083\ue0cf y\u22c5sen ² \ue09e120°\ue09f\ue083
\ue0b9xy
2
\u22c5sen\ue09e2\u22c5120°\ue09f=\ue0cf x\u22c5
1
4
\ue083\ue0cf y\u22c5
3
4
\ue083
\ue0b9xy
2
\u22c5\ue09e\u2212\ue08d3
2
\ue09f
resolvendo o sistema de equações, vem:
ESTADOS DE TENSÃO E DE DEFORMAÇÃO
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0°
60°
120°
\ue0b9 xy=
2
\ue08d3
\u22c5\ue09e\ue0cf60°\u2212\ue0cf120°\ue09f
\ue0cf y=
2
3
\u22c5\ue09e\ue0cf60 °\ue083\ue0cf120°\u2212
\ue0cf0°
2
\ue09f
Conhecidas as componentes de deformação no plano xy e sabendo que se trata de 
um estado plano de tensões (\u3c3z = 0, \u3c4xz = \u3c4yz = 0), pode-se determinar as 
componentes do estado tensional e a componente de deformação perpendicular ao 
plano xy (\u3b5z) utilizando a lei de Hooke generalizada.
\ue0cfx=
\ue0c8 x
E
\u2212\ue0c3
E
\u22c5\ue0c8 y
\ue0cf y=
\ue0c8 y
E
\u2212\ue0c3
E
\u22c5\ue0c8 x
\ue0cf z=
\u2212\ue0c3
E
\u22c5\ue09e\ue0c8 x\ue083\ue0c8 x \ue09f
\ue0b9 xy=
\ue0c9 xy
G
multiplicando a expressão de \u3b5x por \u3bd e somendo-a com a expressão de \u3b5y, 
\ue0c3\u22c5\ue0cfx\ue083\ue0cf y=
\ue0c8 y
E
\u22c5\ue09e1\u2212\ue0c3 2\ue09f , 
\ue0c8 y=
E
1\u2212\ue0c32
\u22c5\ue09e\ue0cf y\ue083\ue0c3\u22c5\ue0cf x\ue09f e \ue0c8 x=
E
1\u2212\ue0c3 2
\u22c5\ue09e\ue0cfx\ue083\ue0c3\u22c5\ue0cf y \ue09f
\ue0c9 xy=G .\u22c5\ue0b9 xy
substituindo os valores de \u3c3x e de \u3c3y na expressão de \u3b5z, vem
\ue0cf z=\u2212
\ue0c3
E
\u22c5E
1\u2212\ue0c3 ²
\u22c5\ue09e\ue0cf x\ue083\ue0cf y \ue09f\u22c5\ue09e1\ue083\ue0c3\ue09f
\ue0cf z=\u2212
\ue0c3
1\u2212\ue0c32
\u22c5\ue09e\ue0cfx\ue083\ue0cf y\ue09f
ESTADOS DE TENSÃO E DE DEFORMAÇÃO
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Energia Potencial de Deformação
No Estado Simples de Tensão, temos:
- Força elementar resultante na direção x: 
dF x=\ue0c8 x\u22c5dA=\ue0c8 x\u22c5dy\u22c5dz 
- Deslocamento correspondente:
d\ue0ad x=\ue0cf x\u22c5dx
- Energia potencial acumulada no volume elementar:
dU x=
1
2
\u22c5dF x\u22c5d\ue0ad x=
1
2
\u22c5\ue0c8 x\u22c5\ue0cf x\u22c5dx.\u22c5dy\u22c5dz=
\ue0c8 x\u22c5\ue0cfx
2
\u22c5dV
No Estado Geral de Tensão (usando o PSE), temos:
dU= 1
2
\u22c5\ue09e\ue0c8 x\u22c5\ue0cfx\ue083\ue0c8 y\u22c5\ue0cf y\ue083\ue0c8 z\u22c5\ue0cf z\ue083\ue0c9 xy\u22c5\ue0b9xy\ue083\ue0c9 yz\u22c5\ue0b9 yz\ue083\ue0c9zx\u22c5\ue0b9 zx\ue09f\u22c5dV
ou, usando a Lei de Hooke Generalizada,
dU
dV
= 1
2 E
\u22c5[\ue0c8 x
2\ue083\ue0c8 y
2\ue083\ue0c8 z
2\u22122\ue0c3\u22c5\ue09e\ue0c8 x\u22c5\ue0c8 y\ue083\ue0c8 y\u22c5\ue0c8 z\ue083\ue0c8 z\u22c5\ue0c8 x\ue09f]\ue083
1
2G
\u22c5\ue09e\ue0c9xy
2 \ue083\ue0c9 yz
2 \ue083\ue0c9 zx
2 \ue09f .
Em termos das tensões principais,
dU
dV
= 1
2 E
\u22c5[\ue0c81
2\ue083\ue0c8 2
2\ue083\ue0c8 3
2\u22122\ue0c3\u22c5\ue09e\ue0c8 1\u22c5\ue0c8 2\ue083\ue0c8 2\u22c5\ue0c8 3\ue083\ue0c83\u22c5\ue0c81\ue09f] .
Suponhamos cada estado de tensão como a superposição de dois outros estados 
tais que:
 
 
e que a variação do volume do estado (1) seja a mesma do estado resultante, isto é, 
a variação do volume do estado (2) seja nula.
Assim, a deformação volumétrica do estado (2) é
ESTADOS DE TENSÃO E DE DEFORMAÇÃO
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\u3c3x \u3c3x
dx
dzdy
dUx
d\u394d\u394x
dFx
dF
\u3c31
\u3c33
\u3c32
= \u3c3
\u3c3
\u3c3
+ \u3c31'
\u3c33'
\u3c32'
(1) (2)
\u3b5v\u2019 = \u3b51\u2019 + \u3b52\u2019 + \u3b53\u2019 = 0 \u21d2 (\u3c31\u2019 + \u3c32\u2019 + \u3c33\u2019).(1 - 2\u3bd) = 0
Como esta relação é válida para qualquer material (qualquer valor de \u3bd),
\u3c31\u2019 + \u3c32\u2019 + \u3c33\u2019 = 0
De acordo com a suposição acima,
\u3c31 = \u3c3 + \u3c31\u2019
\u3c32 = \u3c3 + \u3c32\u2019
\u3c33 = \u3c3 + \u3c33\u2019
Somando as expressões acima membro a membro, temos:
\u3c31 + \u3c32 + \u3c33 = 3 \u3c3 + \u3c31\u2019 + \u3c32\u2019 + \u3c33\u2019 = 3 \u3c3
Daí, concluímos que as componentes dos estados (1) e (2) são:
\ue0c8=
\ue0c81\ue083\ue0c82\ue083\ue0c83
3
,
\ue0c81 '=\ue0c81\u2212\ue0c8 ,
\ue0c82 '=\ue0c82\u2212\ue0c8 e
\ue0c83 '=\ue0c8 3\u2212\ue0c8 .
Como o estado (1) não realiza trabalho nos deslocamentos originados pelas forças 
do estado (2) e vice-versa, podemos afirmar:
dU
dV
=
dU v
dV
\ue083
dU d
dV
onde Uv é a energia de variação da volume e
Ud é a energia de variação da forma (energia de distorção)
Substituindo as componentes de tensão do estado (1) na expressão da energia de 
deformação, temos:
dU v
dV
=3\u22c5\ue0c82\u22c51\u22122\u22c5\ue0c3
2 E
dU v
dV
=\ue09e\ue0c81\ue083\ue0c8 2\ue083\ue0c8 3\ue09f
2\u22c51\u22122\u22c5\ue0c3
6 E
ou
ESTADOS DE TENSÃO E DE DEFORMAÇÃO
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dU v
dV
=\ue09e\ue0c8 x\ue083\ue0c8 y\ue083\ue0c8 z\ue09f
2\u22c51\u22122\u22c5\ue0c3
6 E
ou 
dU v
dV
= I 1
2\u22c51\u22122\u22c5\ue0c3
6 E
onde I1 é o primeiro invariante de tensão.
dU d
dV
= dU
dV
\u2212
dU v
dV
,
dU d
dV =[\ue09e\ue0c81\u2212\ue0c8 2\ue09f
2\ue083\ue09e\ue0c8 2\u2212\ue0c83\ue09f
2\ue083\ue09e\ue0c8 3\u2212\ue0c81\ue09f
2]\u22c51\ue083\ue0c36 E
ou
dU d
dV
=[\ue09e\ue0c8 x\u2212\ue0c8 y\ue09f
2\ue083\ue09e\ue0c8 y\u2212\ue0c8 z\ue09f
2\ue083\ue09e\ue0c8 z\u2212\ue0c8 x \ue09f
2]\u22c51\ue083\ue0c3
6 E
\ue083
\ue09e\ue0c9 xy
2 \ue083\ue0c9 yz
2 \ue083\ue0c9 zx
2 \ue09f
2G
Observação:
Para o estado simples de tensão, \u3c31 = \u3c3, \u3c32 = \u3c33 = 0 (tração) ou \u3c31 = \u3c32 = 0, \u3c33 = \u3c3 
(compressão), temos
dU v
dV
=\ue0c8 2\u22c51\u22122\u22c5\ue0c3
6 E
e
dU d
dV
=\ue0c8 2\u22c51\ue083\ue0c3
3 E
dU
dV
=
dU v
dV
\ue083
dU d
dV
= \ue0c8
2
2 E
=\ue0c8\u22c5\ue0cf
2
.
Para o estado de cisalhamento puro, \u3c31 = - \u3c33 = \u3c3, \u3c32 = 0, temos:
dU v
dV
=0 e 
dU d
dV
=\ue0c8 2\u22c51\ue083\ue0c3
E
.
Para o estado triaxial uniforme, \u3c31 = \u3c32 = \u3c33 = \u3c3, temos:
dU v
dV
=3\u22c5\ue0c82\u22c51\u22122\u22c5\ue0c3
2 E
e 
dU d
dV
=0 .
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