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deformações. Se no plano xy tem-se um estado plano de tensões, as deformações neste memo plano se comportarão como em um estado plano de deformações porém a deformação principal z=− E ⋅ x x será, em geral, diferente de zero. ESTADOS DE TENSÃO E DE DEFORMAÇÃO 21 Nos planos principais, as deformações são: 1= 1 E − E ⋅ 2 3 2= 2 E − E ⋅31 3= 3 E − E ⋅ 1 2 12=23=31=0 A deformação volumétrica no ponto é dada por: v= V V = V f −V i V i onde V i=dx⋅dy⋅dz V f=dx⋅dy⋅dz⋅1x ⋅1 y⋅1 z v=1x ⋅1 y⋅1z −1=1 x yzx⋅ y x⋅z y⋅ z x⋅ y⋅ z−1 Devido à hipótese das pequenas deformações, os produtos de deformações são valores desprezíveis na presença das deformações. Assim, a deformação volumétrica pode ser escrita, de forma aproximada, como v= x y z= I 1=123 ou, devido à Lei de Hooke, v= x y z⋅ 1−2⋅ E ESTADOS DE TENSÃO E DE DEFORMAÇÃO 22 dy dx dz dy+εy.dy dx+εx.dx dz+εz.dz Observação:Para o Estado Triaxial Uniforme, σx = σy = σz = σ, temos: x= y= z=⋅ 1−2⋅ E e v= 3⋅1−2⋅ E ⋅= K onde K= E 3⋅1−2⋅ é o Módulo de Deformação Volumétrica do Material Se σ ≥ 0, então εv ≥ 0 e se σ ≤ 0, então εv ≤ 0. Isto implica em dizer que 1 - 2ν ≥ 0 → ν ≤ 0,5. Este valor é um limite para o coeficiente de Poisson, isto é, não há material com este coeficiente maior do que 0,5. Medidas de deformações planas - rosetas As deformações lineares em um ponto podem ser medidas com o uso de extensômetros. O extensômetros elétricos propiciam medidas precisas das deformações através do registro das variações da corrente elétrica (quando o extensômetro se deforma, a resistência elétrica e, por conseguinte, a corrente elétrica são alteradas). A determinação do estado de tensão em um ponto (estado plano de tensões) pode ser feita a partir de medidas de deformações com a utilização de rosetas de deformação. Uma roseta de deformação é composta de um conjunto de extensômetros elétricos dispostos em um dado plano e segundo direções conhecidas. Colando-se uma roseta com 3 extensômetros sobre a superfície de um elemento estrutural faz-se a leitura das deformações lineares segundo estas 3 direções e calcula-se as componentes do estado de deformações. ESTADOS DE TENSÃO E DE DEFORMAÇÃO 23 Cálculo da deformação linear em uma dada direção θa: =[ x xy 2 xz 2 xy 2 y yz 2 xz 2 yz 2 z ]⋅{nxn ynz } como se trata de um problema de estado plano de tensões, xy= xz=0 e, portanto, xy=xz=0 assim, =[ x xy2 0 xy2 y 0 0 0 z ]⋅{cosasena0 }={x⋅cosa xy2 ⋅senaxy2 ⋅cosa y sena 0 } ESTADOS DE TENSÃO E DE DEFORMAÇÃO 24 x θa θb θc a=x⋅cosa xy⋅sena ; xy 2 ⋅cosa y⋅sena ; 0⋅{cosasena0 } a= x⋅cos 2a xy 2 ⋅sena⋅cosa xy 2 ⋅cosa⋅sena y sen 2a a= x⋅cos 2a y sen 2a xy 2 ⋅sen 2a analogamente para os ângulos θb e θc, vem b= x⋅cos 2b y sen 2b xy 2 ⋅sen 2b c=x⋅cos 2c y sen 2c xy 2 ⋅sen 2c Tem-se, assim, um sistema com 3 equações e 3 incógnitas, cuja solução oferece como resultado os valores das componentes de deformação no plano (εx, εy e γxy). Roseta 45° (são medidas as deformações ε0°, ε45° e ε90°) fazendo o eixo x na direção 0° e o eixo y na direção 90°, ESTADOS DE TENSÃO E DE DEFORMAÇÃO 25 90° 45° 0° x=0° y=90 ° 45°= x⋅cos 245 ° y⋅sen ²45° xy 2 ⋅sen 2⋅45° 45°= x⋅ 1 2 y⋅ 1 2 xy 2 xy=2⋅45°−x y Roseta 60° (são medidas as deformações ε0°, ε60° e ε120°) fazendo o eixo x na direção 0° x=0° 60°= x⋅cos 260 ° y⋅sen ² 60 ° xy 2 ⋅sen2⋅60 °= x⋅ 1 4 y⋅ 3 4 xy 2 ⋅3 2 120°=x⋅cos 2120° y⋅sen ² 120° xy 2 ⋅sen2⋅120°= x⋅ 1 4 y⋅ 3 4 xy 2 ⋅−3 2 resolvendo o sistema de equações, vem: ESTADOS DE TENSÃO E DE DEFORMAÇÃO 26 0° 60° 120° xy= 2 3 ⋅60°−120° y= 2 3 ⋅60 °120°− 0° 2 Conhecidas as componentes de deformação no plano xy e sabendo que se trata de um estado plano de tensões (σz = 0, τxz = τyz = 0), pode-se determinar as componentes do estado tensional e a componente de deformação perpendicular ao plano xy (εz) utilizando a lei de Hooke generalizada. x= x E − E ⋅ y y= y E − E ⋅ x z= − E ⋅ x x xy= xy G multiplicando a expressão de εx por ν e somendo-a com a expressão de εy, ⋅x y= y E ⋅1− 2 , y= E 1−2 ⋅ y⋅ x e x= E 1− 2 ⋅x⋅ y xy=G .⋅ xy substituindo os valores de σx e de σy na expressão de εz, vem z=− E ⋅E 1− ² ⋅ x y ⋅1 z=− 1−2 ⋅x y ESTADOS DE TENSÃO E DE DEFORMAÇÃO 27 Energia Potencial de Deformação No Estado Simples de Tensão, temos: - Força elementar resultante na direção x: dF x= x⋅dA= x⋅dy⋅dz - Deslocamento correspondente: d x= x⋅dx - Energia potencial acumulada no volume elementar: dU x= 1 2 ⋅dF x⋅d x= 1 2 ⋅ x⋅ x⋅dx.⋅dy⋅dz= x⋅x 2 ⋅dV No Estado Geral de Tensão (usando o PSE), temos: dU= 1 2 ⋅ x⋅x y⋅ y z⋅ z xy⋅xy yz⋅ yzzx⋅ zx⋅dV ou, usando a Lei de Hooke Generalizada, dU dV = 1 2 E ⋅[ x 2 y 2 z 2−2⋅ x⋅ y y⋅ z z⋅ x] 1 2G ⋅xy 2 yz 2 zx 2 . Em termos das tensões principais, dU dV = 1 2 E ⋅[1 2 2 2 3 2−2⋅ 1⋅ 2 2⋅ 33⋅1] . Suponhamos cada estado de tensão como a superposição de dois outros estados tais que: e que a variação do volume do estado (1) seja a mesma do estado resultante, isto é, a variação do volume do estado (2) seja nula. Assim, a deformação volumétrica do estado (2) é ESTADOS DE TENSÃO E DE DEFORMAÇÃO 28 σx σx dx dzdy dUx dΔdΔx dFx dF σ1 σ3 σ2 = σ σ σ + σ1' σ3' σ2' (1) (2) εv’ = ε1’ + ε2’ + ε3’ = 0 ⇒ (σ1’ + σ2’ + σ3’).(1 - 2ν) = 0 Como esta relação é válida para qualquer material (qualquer valor de ν), σ1’ + σ2’ + σ3’ = 0 De acordo com a suposição acima, σ1 = σ + σ1’ σ2 = σ + σ2’ σ3 = σ + σ3’ Somando as expressões acima membro a membro, temos: σ1 + σ2 + σ3 = 3 σ + σ1’ + σ2’ + σ3’ = 3 σ Daí, concluímos que as componentes dos estados (1) e (2) são: = 123 3 , 1 '=1− , 2 '=2− e 3 '= 3− . Como o estado (1) não realiza trabalho nos deslocamentos originados pelas forças do estado (2) e vice-versa, podemos afirmar: dU dV = dU v dV dU d dV onde Uv é a energia de variação da volume e Ud é a energia de variação da forma (energia de distorção) Substituindo as componentes de tensão do estado (1) na expressão da energia de deformação, temos: dU v dV =3⋅2⋅1−2⋅ 2 E dU v dV =1 2 3 2⋅1−2⋅ 6 E ou ESTADOS DE TENSÃO E DE DEFORMAÇÃO 29 dU v dV = x y z 2⋅1−2⋅ 6 E ou dU v dV = I 1 2⋅1−2⋅ 6 E onde I1 é o primeiro invariante de tensão. dU d dV = dU dV − dU v dV , dU d dV =[1− 2 2 2−3 2 3−1 2]⋅16 E ou dU d dV =[ x− y 2 y− z 2 z− x 2]⋅1 6 E xy 2 yz 2 zx 2 2G Observação: Para o estado simples de tensão, σ1 = σ, σ2 = σ3 = 0 (tração) ou σ1 = σ2 = 0, σ3 = σ (compressão), temos dU v dV = 2⋅1−2⋅ 6 E e dU d dV = 2⋅1 3 E dU dV = dU v dV dU d dV = 2 2 E =⋅ 2 . Para o estado de cisalhamento puro, σ1 = - σ3 = σ, σ2 = 0, temos: dU v dV =0 e dU d dV = 2⋅1 E . Para o estado triaxial uniforme, σ1 = σ2 = σ3 = σ, temos: dU v dV =3⋅2⋅1−2⋅ 2 E e dU d dV =0 . ESTADOS DE TENSÃO E DE DEFORMAÇÃO 30