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deformações.
Se no plano xy tem-se um estado plano de tensões, as deformações neste memo 
plano se comportarão como em um estado plano de deformações porém a 
deformação principal  z=−

E
⋅ x x  será, em geral, diferente de zero.
ESTADOS DE TENSÃO E DE DEFORMAÇÃO
21
Nos planos principais, as deformações são:
1=
1
E
−
E
⋅ 2 3
2=
 2
E
−
E
⋅31
3=
3
E
−
E
⋅ 1 2
12=23=31=0
A deformação volumétrica no ponto é dada por:
v=
V
V
=
V f −V i
V i
onde 
V i=dx⋅dy⋅dz
V f=dx⋅dy⋅dz⋅1x ⋅1 y⋅1 z
v=1x ⋅1 y⋅1z −1=1 x yzx⋅ y x⋅z y⋅ z x⋅ y⋅ z−1
Devido à hipótese das pequenas deformações, os produtos de deformações são 
valores desprezíveis na presença das deformações. Assim, a deformação 
volumétrica pode ser escrita, de forma aproximada, como
v= x y z= I 1=123
ou, devido à Lei de Hooke,
v= x y z⋅
1−2⋅
E
ESTADOS DE TENSÃO E DE DEFORMAÇÃO
22
dy
dx dz
dy+εy.dy
dx+εx.dx
dz+εz.dz
Observação:Para o Estado Triaxial Uniforme, σx = σy = σz = σ, temos:
x= y= z=⋅
1−2⋅
E
e
v=
3⋅1−2⋅
E
⋅= 
K
onde K=
E
3⋅1−2⋅
é o Módulo de Deformação Volumétrica 
do Material
Se σ ≥ 0, então εv ≥ 0 e se σ ≤ 0, então εv ≤ 0. Isto implica em dizer 
que 1 - 2ν ≥ 0 → ν ≤ 0,5. Este valor é um limite para o coeficiente de 
Poisson, isto é, não há material com este coeficiente maior do que 0,5.
Medidas de deformações planas - rosetas
As deformações lineares em um ponto podem ser medidas com o uso de 
extensômetros. O extensômetros elétricos propiciam medidas precisas das 
deformações através do registro das variações da corrente elétrica (quando o 
extensômetro se deforma, a resistência elétrica e, por conseguinte, a corrente 
elétrica são alteradas).
A determinação do estado de tensão em um ponto (estado plano de tensões) pode 
ser feita a partir de medidas de deformações com a utilização de rosetas de 
deformação. Uma roseta de deformação é composta de um conjunto de 
extensômetros elétricos dispostos em um dado plano e segundo direções 
conhecidas. 
Colando-se uma roseta com 3 extensômetros sobre a superfície de um elemento 
estrutural faz-se a leitura das deformações lineares segundo estas 3 direções e 
calcula-se as componentes do estado de deformações.
ESTADOS DE TENSÃO E DE DEFORMAÇÃO
23
Cálculo da deformação linear em uma dada direção θa:
=[  x
 xy
2
xz
2
 xy
2
 y
yz
2
xz
2
 yz
2
z
]⋅{nxn ynz }
como se trata de um problema de estado plano de tensões,
 xy= xz=0 e, portanto,  xy=xz=0
assim, 
=[  x  xy2 0 xy2  y 0
0 0  z
]⋅{cosasena0 }={x⋅cosa xy2 ⋅senaxy2 ⋅cosa y sena
0
}
ESTADOS DE TENSÃO E DE DEFORMAÇÃO
24
x
θa
θb
θc
a=x⋅cosa xy⋅sena ;
 xy
2
⋅cosa y⋅sena ; 0⋅{cosasena0 }
a= x⋅cos
2a
 xy
2 ⋅sena⋅cosa
 xy
2 ⋅cosa⋅sena y sen
2a
a= x⋅cos
2a y sen
2a
 xy
2
⋅sen 2a
analogamente para os ângulos θb e θc, vem
b= x⋅cos
2b y sen
2b
 xy
2
⋅sen 2b
c=x⋅cos
2c y sen
2c
 xy
2
⋅sen 2c
Tem-se, assim, um sistema com 3 equações e 3 incógnitas, cuja solução oferece 
como resultado os valores das componentes de deformação no plano (εx, εy e γxy).
Roseta 45° (são medidas as deformações ε0°, ε45° e ε90°)
fazendo o eixo x na direção 0° e o eixo y na direção 90°,
ESTADOS DE TENSÃO E DE DEFORMAÇÃO
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90°
45°
0°
x=0°
 y=90 °
45°= x⋅cos
245 ° y⋅sen ²45° 
 xy
2
⋅sen 2⋅45° 
45°= x⋅
1
2
 y⋅
1
2

 xy
2
 xy=2⋅45°−x y
Roseta 60° (são medidas as deformações ε0°, ε60° e ε120°)
fazendo o eixo x na direção 0°
x=0°
60°= x⋅cos
260 ° y⋅sen ² 60 °
xy
2
⋅sen2⋅60 °= x⋅
1
4
 y⋅
3
4

xy
2
⋅3
2
120°=x⋅cos
2120°  y⋅sen ² 120°
xy
2
⋅sen2⋅120°= x⋅
1
4
 y⋅
3
4

xy
2
⋅−3
2

resolvendo o sistema de equações, vem:
ESTADOS DE TENSÃO E DE DEFORMAÇÃO
26
0°
60°
120°
 xy=
2
3
⋅60°−120°
 y=
2
3
⋅60 °120°−
0°
2

Conhecidas as componentes de deformação no plano xy e sabendo que se trata de 
um estado plano de tensões (σz = 0, τxz = τyz = 0), pode-se determinar as 
componentes do estado tensional e a componente de deformação perpendicular ao 
plano xy (εz) utilizando a lei de Hooke generalizada.
x=
 x
E
−
E
⋅ y
 y=
 y
E
−
E
⋅ x
 z=
−
E
⋅ x x 
 xy=
 xy
G
multiplicando a expressão de εx por ν e somendo-a com a expressão de εy, 
⋅x y=
 y
E
⋅1− 2 , 
 y=
E
1−2
⋅ y⋅ x e  x=
E
1− 2
⋅x⋅ y 
 xy=G .⋅ xy
substituindo os valores de σx e de σy na expressão de εz, vem
 z=−

E
⋅E
1− ²
⋅ x y ⋅1
 z=−

1−2
⋅x y
ESTADOS DE TENSÃO E DE DEFORMAÇÃO
27
Energia Potencial de Deformação
No Estado Simples de Tensão, temos:
- Força elementar resultante na direção x: 
dF x= x⋅dA= x⋅dy⋅dz 
- Deslocamento correspondente:
d x= x⋅dx
- Energia potencial acumulada no volume elementar:
dU x=
1
2
⋅dF x⋅d x=
1
2
⋅ x⋅ x⋅dx.⋅dy⋅dz=
 x⋅x
2
⋅dV
No Estado Geral de Tensão (usando o PSE), temos:
dU= 1
2
⋅ x⋅x y⋅ y z⋅ z xy⋅xy yz⋅ yzzx⋅ zx⋅dV
ou, usando a Lei de Hooke Generalizada,
dU
dV
= 1
2 E
⋅[ x
2 y
2 z
2−2⋅ x⋅ y y⋅ z z⋅ x]
1
2G
⋅xy
2  yz
2  zx
2  .
Em termos das tensões principais,
dU
dV
= 1
2 E
⋅[1
2 2
2 3
2−2⋅ 1⋅ 2 2⋅ 33⋅1] .
Suponhamos cada estado de tensão como a superposição de dois outros estados 
tais que:
 
 
e que a variação do volume do estado (1) seja a mesma do estado resultante, isto é, 
a variação do volume do estado (2) seja nula.
Assim, a deformação volumétrica do estado (2) é
ESTADOS DE TENSÃO E DE DEFORMAÇÃO
28
σx σx
dx
dzdy
dUx
dΔdΔx
dFx
dF
σ1
σ3
σ2
= σ
σ
σ
+ σ1'
σ3'
σ2'
(1) (2)
εv’ = ε1’ + ε2’ + ε3’ = 0 ⇒ (σ1’ + σ2’ + σ3’).(1 - 2ν) = 0
Como esta relação é válida para qualquer material (qualquer valor de ν),
σ1’ + σ2’ + σ3’ = 0
De acordo com a suposição acima,
σ1 = σ + σ1’
σ2 = σ + σ2’
σ3 = σ + σ3’
Somando as expressões acima membro a membro, temos:
σ1 + σ2 + σ3 = 3 σ + σ1’ + σ2’ + σ3’ = 3 σ
Daí, concluímos que as componentes dos estados (1) e (2) são:
=
123
3
,
1 '=1− ,
2 '=2− e
3 '= 3− .
Como o estado (1) não realiza trabalho nos deslocamentos originados pelas forças 
do estado (2) e vice-versa, podemos afirmar:
dU
dV
=
dU v
dV

dU d
dV
onde Uv é a energia de variação da volume e
Ud é a energia de variação da forma (energia de distorção)
Substituindo as componentes de tensão do estado (1) na expressão da energia de 
deformação, temos:
dU v
dV
=3⋅2⋅1−2⋅
2 E
dU v
dV
=1 2 3
2⋅1−2⋅
6 E
ou
ESTADOS DE TENSÃO E DE DEFORMAÇÃO
29
dU v
dV
= x y z
2⋅1−2⋅
6 E
ou 
dU v
dV
= I 1
2⋅1−2⋅
6 E
onde I1 é o primeiro invariante de tensão.
dU d
dV
= dU
dV
−
dU v
dV
,
dU d
dV =[1− 2
2 2−3
2 3−1
2]⋅16 E
ou
dU d
dV
=[ x− y
2 y− z
2 z− x 
2]⋅1
6 E

 xy
2  yz
2  zx
2 
2G
Observação:
Para o estado simples de tensão, σ1 = σ, σ2 = σ3 = 0 (tração) ou σ1 = σ2 = 0, σ3 = σ 
(compressão), temos
dU v
dV
= 2⋅1−2⋅
6 E
e
dU d
dV
= 2⋅1
3 E
dU
dV
=
dU v
dV

dU d
dV
= 
2
2 E
=⋅
2
.
Para o estado de cisalhamento puro, σ1 = - σ3 = σ, σ2 = 0, temos:
dU v
dV
=0 e 
dU d
dV
= 2⋅1
E
.
Para o estado triaxial uniforme, σ1 = σ2 = σ3 = σ, temos:
dU v
dV
=3⋅2⋅1−2⋅
2 E
e 
dU d
dV
=0 .
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