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ilimitadas, pois nenhum disco as conte´m. Chama-se de compacta uma regia˜o que e´ fechada e limitada. A u´nica regia˜o compacta entre os exemplos acima e´ D3. Vejamos agora um u´ltimo exemplo. Considere a regia˜o do plano definida por D5 = { (x, y) ∈ R2 ∣∣∣ x ≥ 0 e x ≤ y ≤ ecosx} , ilustrada na Figura 8. x y x0 y0 Figura 8: Regia˜o D5. Essa regia˜o pode ser escrita como um conjunto onde x varia num intervalo nu- me´rico e y varia entre duas func¸o˜es de x, i.e., D5 = { (x, y) ∈ R2 ∣∣∣ 0 ≤ x ≤ x0 e x ≤ y ≤ ecosx} , onde x0 e´ a soluc¸a˜o de x = e cosx. Tambe´m e´ poss´ıvel descrever D5 como a unia˜o de dois conjuntos onde y varia num intervalo nume´rico e x varia entre duas func¸o˜es de y, i.e., D5 = R1 ∪R2 onde R1 = { (x, y) ∈ R2 ∣∣∣ 0 ≤ y ≤ y0 e 0 ≤ x ≤ y} , e 9 R2 = { (x, y) ∈ R2 ∣∣∣ y0 ≤ y ≤ e e 0 ≤ x ≤ cos−1 (ln y)} . sendo y0 = x0 e e = exp (1) = 2, 718281828459045 · · · . Exerc´ıcio 3.1 Considere as regio˜es exibidas na Figura 9. (a) Explicite os conjuntos as definem. (b) Classifique-as quanto a`s noc¸o˜es de: aberto, fechado, limitado. Lembre-se: fechado e limitado e´ dito compacto. x y 2 x y 4−4 2 −2 x y x y Figura 9: Regio˜es do exerc´ıcio 4.1. Exerc´ıcio 3.2 Descreva as regio˜es abaixo na forma D = { (x, y) ∈ R2 ∣∣∣ a ≤ x ≤ b e f(x) ≤ y ≤ g(x)} , explicitando a, b, f e g. Fac¸a um esboc¸o dessas regio˜es e encontre a projec¸a˜o orto- gonal no eixo x. • D = { (x, y) ∈ R2 ∣∣∣ |x| ≤ y ≤ 1− x2} • D = { (x, y) ∈ R2 ∣∣∣ |x| ≤ y ≤ √1− x2} 10 Exerc´ıcio 3.3 Escreva a fronteira de cada uma das regio˜es acima como a unia˜o de duas curvas C1 e C2, C1 ∪ C2, onde cada curva dessas curvas e´ dada por{ (x, y) ∈ R2 ∣∣∣ y = f(x) e a ≤ x ≤ b} . Em cada caso explicite a, b e f . 4 Topologia no espac¸o As noc¸o˜es definidas acima (aberto, fechado e limitado) podem ser generalizadas para regio˜es no espac¸o considerando que a distaˆncia entre os pontos A = (xa, ya, za) e B = (xb, yb, zb) e´ dada por d(A,B) = √ (xb − xa)2 + (yb − ya)2 + (zb − za)2. (11) Consequentemente, a noc¸a˜o de disco e´ naturalmente estendida para a noc¸a˜o de bola. Assim, definimos a bola fechada de centro C = (xc, yc, zc) e raio r > 0 como o conjunto dos pontos P = (x, y, z) em R3 tais que d(C,P ) ≤ r, (12) ou seja (x− xc)2 + (y − yc)2 + (z − zc)2 ≤ r2. (13) Uma ilustrac¸a˜o dessa bola pode ser vista na Figura 10. x y z C xc yc zc Figura 10: Bola fechada de centro C e raio r > 0. 11