nocoes_topologia

ilimitadas, pois
nenhum disco as conte´m.
Chama-se de compacta uma regia\u2dco que e´ fechada e limitada. A u´nica regia\u2dco
compacta entre os exemplos acima e´ D3.
Vejamos agora um u´ltimo exemplo. Considere a regia\u2dco do plano definida por
D5 =
{
(x, y) \u2208 R2
\u2223\u2223\u2223 x \u2265 0 e x \u2264 y \u2264 ecosx} ,
ilustrada na Figura 8.
x
y
x0
y0
Figura 8: Regia\u2dco D5.
Essa regia\u2dco pode ser escrita como um conjunto onde x varia num intervalo nu-
me´rico e y varia entre duas func¸o\u2dces de x, i.e.,
D5 =
{
(x, y) \u2208 R2
\u2223\u2223\u2223 0 \u2264 x \u2264 x0 e x \u2264 y \u2264 ecosx} ,
onde x0 e´ a soluc¸a\u2dco de x = e
cosx. Tambe´m e´ poss´\u131vel descrever D5 como a unia\u2dco de
dois conjuntos onde y varia num intervalo nume´rico e x varia entre duas func¸o\u2dces de
y, i.e., D5 = R1 \u222aR2 onde
R1 =
{
(x, y) \u2208 R2
\u2223\u2223\u2223 0 \u2264 y \u2264 y0 e 0 \u2264 x \u2264 y} ,
e
9
R2 =
{
(x, y) \u2208 R2
\u2223\u2223\u2223 y0 \u2264 y \u2264 e e 0 \u2264 x \u2264 cos\u22121 (ln y)} .
sendo y0 = x0 e e = exp (1) = 2, 718281828459045 · · · .
Exerc´\u131cio 3.1 Considere as regio\u2dces exibidas na Figura 9.
(a) Explicite os conjuntos as definem.
(b) Classifique-as quanto a`s noc¸o\u2dces de: aberto, fechado, limitado.
Lembre-se: fechado e limitado e´ dito compacto.
x
y
2 x
y
4\u22124
2
\u22122
x
y
x
y
Figura 9: Regio\u2dces do exerc´\u131cio 4.1.
Exerc´\u131cio 3.2 Descreva as regio\u2dces abaixo na forma
D =
{
(x, y) \u2208 R2
\u2223\u2223\u2223 a \u2264 x \u2264 b e f(x) \u2264 y \u2264 g(x)} ,
explicitando a, b, f e g. Fac¸a um esboc¸o dessas regio\u2dces e encontre a projec¸a\u2dco orto-
gonal no eixo x.
\u2022 D =
{
(x, y) \u2208 R2
\u2223\u2223\u2223 |x| \u2264 y \u2264 1\u2212 x2}
\u2022 D =
{
(x, y) \u2208 R2
\u2223\u2223\u2223 |x| \u2264 y \u2264 \u221a1\u2212 x2}
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Exerc´\u131cio 3.3 Escreva a fronteira de cada uma das regio\u2dces acima como a unia\u2dco
de duas curvas C1 e C2, C1 \u222a C2, onde cada curva dessas curvas e´ dada por{
(x, y) \u2208 R2
\u2223\u2223\u2223 y = f(x) e a \u2264 x \u2264 b} .
Em cada caso explicite a, b e f .
4 Topologia no espac¸o
As noc¸o\u2dces definidas acima (aberto, fechado e limitado) podem ser generalizadas
para regio\u2dces no espac¸o considerando que a dista\u2c6ncia entre os pontos A = (xa, ya, za)
e B = (xb, yb, zb) e´ dada por
d(A,B) =
\u221a
(xb \u2212 xa)2 + (yb \u2212 ya)2 + (zb \u2212 za)2. (11)
Consequentemente, a noc¸a\u2dco de disco e´ naturalmente estendida para a noc¸a\u2dco de
bola. Assim, definimos a bola fechada de centro C = (xc, yc, zc) e raio r > 0 como o
conjunto dos pontos P = (x, y, z) em R3 tais que
d(C,P ) \u2264 r, (12)
ou seja
(x\u2212 xc)2 + (y \u2212 yc)2 + (z \u2212 zc)2 \u2264 r2. (13)
Uma ilustrac¸a\u2dco dessa bola pode ser vista na Figura 10.
x
y
z
C
xc
yc
zc
Figura 10: Bola fechada de centro C e raio r > 0.
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