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Autovalores e Autovetores
Americo Cunha
De´bora Mondaini
Ricardo Sa´ Earp
Departamento de Matema´tica
Pontif´\u131cia Universidade Cato´lica do Rio de Janeiro
1 Autovalores e Autovetores
Seja A uma matriz real n× n. Dizemos que um nu´mero \u3bb e´ autovalor de A, se
existe v 6= 0 tal que
Av = \u3bbv.
Nesse caso v e´ dito um autovetor de A, associado ao autovalor \u3bb.
Exemplo 1.1 Considere a matriz
A =
[
2 1
1 2
]
.
O vetor v =
[
1
\u22121
]
e´ um autovetor de A com autovalor \u3bb = 1, pois
Av =
[
2 1
1 2
][
1
\u22121
]
=
[
1
\u22121
]
= 1
[
1
\u22121
]
.
Ja´ o vetor v =
[
1
0
]
na\u2dco e´ autovetor de A, pois
Av =
[
2 1
1 2
][
1
0
]
=
[
2
1
]
6= \u3bb
[
1
0
]
.
Agora vamos apresentar um me´todo sistema´tico para calcular os autovalores de
uma matriz. Pela definic¸a\u2dco de autovalor sabemos que
Av = \u3bbv\u21d4
Av \u2212 \u3bbv = 0\u21d4
(A\u2212 \u3bbI) v = 0.
1
Como v 6= 0, a u´ltima equac¸a\u2dco e´ satisfeita se e somente se det (A\u2212 \u3bbI) = 0.
Esse determinante e´ um polino\u2c6mio de grau n na varia´vel \u3bb. Assim vemos que os
autovalores de A sa\u2dco as ra´\u131zes da func¸a\u2dco p(\u3bb) = det (A\u2212 \u3bbI), denominada polino\u2c6mio
caracter´\u131stico de A. O polino\u2c6mio caracter´\u131stico possui sempre n ra´\u131zes complexas
(possivelmente com multiplicidade) da forma a+ ib, onde a, b \u2208 R e i = \u221a\u22121. Ja´ os
autovetores de A, associados ao autovalores \u3bb, sa\u2dco as soluc¸o\u2dces na\u2dco nulas do sistema
linear homoge\u2c6neo (A\u2212 \u3bbI) v = 0.
Exemplo 1.2 Considere a matriz
A =
[
0 1
1 0
]
.
O polino\u2c6mio caracter´\u131stico e´ dado por
p(\u3bb) = det (A\u2212 \u3bbI)
= det
\uf8eb\uf8ed[ 0 1
1 0
]
\u2212 \u3bb
[
1 0
0 1
]\uf8f6\uf8f8
= det
[
\u2212\u3bb 1
1 \u2212\u3bb
]
= \u3bb2 \u2212 1.
Logo, seus autovalores sa\u2dco \u3bb1 = 1 e \u3bb2 = \u22121.
Para \u3bb = 1 temos que (A\u2212 \u3bbI) v = 0 equivale a
[
1 \u22122
\u22122 4
][
vx
vy
]
=
[
0
0
]
,
donde concluimos que vx = 2vy.
Um poss´\u131vel autovetor associado a \u3bb = 1 e´ v1 =
[
2
1
]
.
Para \u3bb = \u22121 temos que (A\u2212 \u3bbI) v = 0 equivale a
[
\u22124 \u22122
\u22122 \u22121
][
vx
vy
]
=
[
0
0
]
,
donde concluimos que vx = vy/2.
Um poss´\u131vel autovetor associado a \u3bb = \u22121 e´ v2 =
[
\u22121
2
]
.
2
Exemplo 1.3 Considere a matriz
B =
\uf8ee\uf8ef\uf8f0 4 2 22 4 2
2 2 4
\uf8f9\uf8fa\uf8fb .
O polino\u2c6mio caracter´\u131stico e´ dado por
p(\u3bb) = det (B \u2212 \u3bbI)
= det
\uf8eb\uf8ec\uf8ec\uf8ed
\uf8ee\uf8ef\uf8f0 4 2 22 4 2
2 2 4
\uf8f9\uf8fa\uf8fb\u2212 \u3bb
\uf8ee\uf8ef\uf8f0 1 0 00 1 0
0 0 1
\uf8f9\uf8fa\uf8fb
\uf8f6\uf8f7\uf8f7\uf8f8
= det
\uf8ee\uf8ef\uf8f0 4\u2212 \u3bb 2 22 4\u2212 \u3bb 2
2 2 4\u2212 \u3bb
\uf8f9\uf8fa\uf8fb
= \u3bb3 \u2212 12\u3bb2 + 36\u3bb\u2212 32.
Logo, seus autovalores sa\u2dco \u3bb1 = \u3bb2 = 2 e \u3bb3 = 8.
Para \u3bb = 2 temos que (A\u2212 \u3bbI) v = 0 equivale a
\uf8ee\uf8ef\uf8f0 2 2 22 2 2
2 2 2
\uf8f9\uf8fa\uf8fb
\uf8ee\uf8ef\uf8f0 vxvy
vz
\uf8f9\uf8fa\uf8fb =
\uf8ee\uf8ef\uf8f0 00
0
\uf8f9\uf8fa\uf8fb ,
donde concluimos que vx + vy + vz = 0.
Nesse caso temos um plano de autovetores. Dois poss´\u131veis autovetores ortogonais,
associado a \u3bb = 2, sa\u2dco dados por v1 =
\uf8ee\uf8ef\uf8f0 \u221211
0
\uf8f9\uf8fa\uf8fb e v2 =
\uf8ee\uf8ef\uf8f0 \u22121\u22121
2
\uf8f9\uf8fa\uf8fb.
Para \u3bb = 8 temos que (A\u2212 \u3bbI) v = 0 equivale a
\uf8ee\uf8ef\uf8f0 \u22124 2 22 \u22124 2
2 2 \u22124
\uf8f9\uf8fa\uf8fb
\uf8ee\uf8ef\uf8f0 vxvy
vz
\uf8f9\uf8fa\uf8fb =
\uf8ee\uf8ef\uf8f0 00
0
\uf8f9\uf8fa\uf8fb ,
donde concluimos que 2vx \u2212 vy \u2212 vz = 0 e vx \u2212 2vy + vz = 0.
Um poss´\u131vel autovetor associado a \u3bb = 4 e´ v3 =
\uf8ee\uf8ef\uf8f0 11
1
\uf8f9\uf8fa\uf8fb.
Observe que os vetores v1, v2 e v3 formam uma base ortogonal de autovetores.
3
Exerc´\u131cio 1.1 Mostre que o polino\u2c6mio caracter´\u131tico de uma matriz 2×2 e´ da forma
p(\u3bb) = \u3bb2 \u2212 tr(A)\u3bb+ det(A),
onde tr(A) e det(A) denotam o trac¸o e o determinante de A respectivamente.
Lembre-se que o trac¸o de uma matriz e´ a soma dos elementos da diagonal principal.
Exerc´\u131cio 1.2 Encontre matrizes reais 2× 2 e 3× 3, que na\u2dco possuam autovalores
reais. Calcule os autovetores associados a esses autovalores complexos.
2 Teorema Espectral
Seja A uma matriz real n× n. Se A e´ sime´trica, i.e., A = AT , enta\u2dco existe uma
base ortonormal de Rn formada por autovetores de A. Uma conseque\u2c6ncia disso e´
que a matriz A admite uma decomposic¸a\u2dco da forma A = V \u39bV T , onde \u39b e´ uma
matriz real diagonal e V e´ uma matriz real ortogonal, i.e., V V T = V TV = I.
Vejamos agora uma maneira de construir as matrizes dessa decomposic¸a\u2dco. Vamos
fixar as ideias no caso 2× 2.
Primeiro olhemos para o produto
AV = A
\uf8ee\uf8ef\uf8f0 | |v1 v2
| |
\uf8f9\uf8fa\uf8fb
=
\uf8ee\uf8ef\uf8f0 | |Av1 Av2
| |
\uf8f9\uf8fa\uf8fb ,
e em seguida para o produto
V \u39b =
\uf8ee\uf8ef\uf8f0 | |v1 v2
| |
\uf8f9\uf8fa\uf8fb[ \u3bb1 0
0 \u3bb2
]
=
\uf8ee\uf8ef\uf8f0 | |\u3bb1v1 \u3bb2v2
| |
\uf8f9\uf8fa\uf8fb .
O teorema da decomposic¸a\u2dco espectral nos diz que se A e´ real e sime´trica, enta\u2dco
A = V \u39bV T \u21d4 AV = V \u39b, uma vez que V e´ ortogonal.
Comparando as equac¸o\u2dces acima para AV e V \u39b podemos notar que Avi = \u3bbiAvi,
ou seja a matriz \u39b tem os autovalores de A (que sempre sa\u2dco nu´meros reais, vide
exerc´\u131cio abaixo) na diagonal principal e a matriz V tem autovetores unita´rios de A
em suas colunas, dispostos de maneira compat´\u131vel com a ordenac¸a\u2dco dos autovalores
em \u39b.
Exerc´\u131cio 2.1 Mostre que os autovalores de uma matriz n×n real sime´trica sempre
sa\u2dco nu´meros reais.
4
3 Identificac¸a\u2dco de Co\u2c6nicas via Autovalores
Considere a co\u2c6nica representada pela equac¸a\u2dco
9x2 \u2212 4xy + 6y2 + 30x\u2212 40y = 5.
Na equac¸a\u2dco acima os termos lineares x e y esta\u2dco associados a translac¸a\u2dco da co\u2c6nica
com relac¸a\u2dco a` origem do sistema de coordenadas. Ja´ o termo cruzado xy indica que
essa co\u2c6nica esta´ rotacionada com relac¸a\u2dco aos eixos coordenados.
Observe que a equac¸a\u2dco acima pode ser escrita na forma
[
x y
] [ 9 \u22122
\u22122 6
][
x
y
]
+
[
30\u2212 40
] [ x
y
]
= 5,
donde percebemos que toda co\u2c6nica esta´ associada a uma matriz real sime´trica Q.
Neste caso temos
Q =
[
9 \u22122
\u22122 6
]
,
cujos autovalores sa\u2dco \u3bb1 = 10 e \u3bb2 = 5, com autovetores unita´rios associados,
respectivamente, iguais a v1 =
1\u221a
5
[
2
\u22121
]
e v2 =
1\u221a
5
[
1
2
]
.
Pelo teorema da decomposic¸a\u2dco espectral sabemos que
[
9 \u22122
\u22122 6
]
=
[
2/
\u221a
5 1/
\u221a
5
\u22121/
\u221a
5 2/
\u221a
5
][
10 0
0 5
][
2/
\u221a
5 \u22121/
\u221a
5
1/
\u221a
5 2/
\u221a
5
]
,
e que
[
2/
\u221a
5 1/
\u221a
5
\u22121/
\u221a
5 2/
\u221a
5
][
2/
\u221a
5 \u22121/
\u221a
5
1/
\u221a
5 2/
\u221a
5
]
=
[
1 0
0 1
]
.
Assim, definindo
[
x\u2032
y\u2032
]
=
[
2/
\u221a
5 \u22121/
\u221a
5
1/
\u221a
5 2/
\u221a
5
][
x
y
]
,
podemos escrever a equac¸a\u2dco da co\u2c6nica como
[
x\u2032 y\u2032
] [ 10 0
0 5
][
x\u2032
y\u2032
]
+
[
30\u2212 40
] [ 2/\u221a5 1/\u221a5
\u22121/
\u221a
5 2/
\u221a
5
][
x\u2032
y\u2032
]
= 5,
que equivale a
5
10x\u20322 + 5y\u20322 + 20
\u221a
5x\u2032 \u2212 10
\u221a
5y\u2032 = 5.
Completando quadrado em x\u2032 e y\u2032 chegamos a equac¸a\u2dco
10(x\u2032 +
\u221a
5)2 + 5(y\u2032 \u2212
\u221a
5)2 = 80,
que pode ser simplificada
(x\u2032 +
\u221a
5)2
(2
\u221a
2)2
+
(y\u2032 \u2212\u221a5)2
(4)2
= 1.
No sistema de coordenadas x\u2032y\u2032 reconhecemos que a equac¸a\u2dco da co\u2c6nica e´ uma
elipse, com semi-eixos a = 2
\u221a
2 e b = 4 e centrada em x\u2032 = \u2212
\u221a
5 e y\u2032 =
\u221a
5, que
corresponde ao ponto com coordenadas x = \u22121 e y = 3 no sistema cartesiano usual.
Veja a Figura 1.
C
x
y
x\u2032
y\u2032
Figura 1: Elipse fora da origem rotacionada.
Exerc´\u131cio 3.1 Identifique e desenhe as seguintes co\u2c6nicas:
\u2022 2x2 \u2212 4xy \u2212 y2 \u2212 4x\u2212 8y = \u221214
\u2022 21x2 + 6xy + 13y2 \u2212 114x+ 34y + 73 = 0
\u2022 4x2 \u2212 20xy + 25y2 \u2212 15x\u2212 6y = 0
No caso de uma elipse, indique o centro e os semi-eixos. Caso seja uma hipe´rbole,
o centro e as ass´\u131ntotas. Numa para´bola o ve´rtice.
6
4 Identificac¸a\u2dco de Qua´dricas via Autovalores
Considere a co\u2c6nica representada pela equac¸a\u2dco
4x2 + 4y2 + 4z2 + 4xy + 4xz + 4yz \u2212 x = 3.
Na equac¸a\u2dco acima o termo linear x esta´ associado a translac¸a\u2dco da qua´drica com
relac¸a\u2dco a` origem do sistema de coordenadas. Ja´ os termos cruzados xy, xz e yz
indicam que esta qua´drica esta´ rotacionada com relac¸a\u2dco aos eixos coordenados.
Observe que a equac¸a\u2dco acima pode ser escrita na forma
[
x y z
]\uf8ee\uf8ef\uf8f0 4 2 22 4 2
2 2 4
\uf8f9\uf8fa\uf8fb
\uf8ee\uf8ef\uf8f0 xy
z
\uf8f9\uf8fa\uf8fb+ [ \u22121 0 0 ]
\uf8ee\uf8ef\uf8f0 xy
z
\uf8f9\uf8fa\uf8fb = 3,
donde percebemos que toda co\u2c6nica esta´ associada a uma matriz real sime´trica Q.
Neste caso temos
Q =
\uf8ee\uf8ef\uf8f0 4 2 22 4 2
2 2 4
\uf8f9\uf8fa\uf8fb ,
cujos autovalores (calculados acima) sa\u2dco \u3bb1 = \u3bb2 = 2 e \u3bb3 = 8, com autovetores
unita´rios associados, respectivamente, iguais a v1 =
1\u221a
2
\uf8ee\uf8ef\uf8f0 \u221211
0
\uf8f9\uf8fa\uf8fb, v2 = 1\u221a
6
\uf8ee\uf8ef\uf8f0 \u22121\u22121
2
\uf8f9\uf8fa\uf8fb
e v3 =
1\u221a
3
\uf8ee\uf8ef\uf8f0 11
1
\uf8f9\uf8fa\uf8fb.
Pelo teorema da decomposic¸a\u2dco espectral sabemos que
\uf8ee\uf8ef\uf8f0 4 2 22 4 2
2 2 4
\uf8f9\uf8fa\uf8fb =
\uf8ee\uf8ef\uf8f0 \u22121/
\u221a
2 \u22121/
\u221a
6 1/
\u221a
3
1/
\u221a
2 \u22121/
\u221a
6 1/
\u221a
3
0 2/
\u221a
6 1/
\u221a
3
\uf8f9\uf8fa\uf8fb
\uf8ee\uf8ef\uf8f0 2 0 00 2 0
0 0 8
\uf8f9\uf8fa\uf8fb
\uf8ee\uf8ef\uf8f0 \u22121/
\u221a
2 1/
\u221a
2 0
\u22121/
\u221a
6 \u22121/
\u221a
6 2/
\u221a
6
1/
\u221a
3 1/
\u221a
3 1/
\u221a
3
\uf8f9\uf8fa\uf8fb ,
e que
\uf8ee\uf8ef\uf8f0 \u22121/
\u221a
2 \u22121/
\u221a
6 1/
\u221a
3
1/
\u221a
2 \u22121/
\u221a
6 1/
\u221a
3
0 2/
\u221a
6 1/
\u221a
3
\uf8f9\uf8fa\uf8fb
\uf8ee\uf8ef\uf8f0 \u22121/
\u221a
2 1/
\u221a
2 0
\u22121/
\u221a
6 \u22121/
\u221a
6 2/
\u221a
6
1/
\u221a
3 1/
\u221a
3 1/
\u221a
3
\uf8f9\uf8fa\uf8fb =
\uf8ee\uf8ef\uf8f0 1 0 00