Apostila de Cálculo II 1 Apostila de Cálculo II 2 Antiderivada e Integral Indefinida Uma antiderivada ou primitiva da função f no intervalo [ ]b,a , é uma função F, tal que: ( ) ( )xfx dx dF = para todo x [ ]ba,∈ Notação de Leibniz: Outra notação empregada para designar a operação de primitivação de uma função f , no intervalo [ ]ba, é ∫ , notação de Leibniz. O símbolo ∫ ( esse alongado de soma ), é o sinal da integral. ( ) ( )xfdxf(x) dx d =∫ Exemplo: Se a derivada em relação a x da função f (x) = x2+4 é xxxfDxxf dx df 202)()(' =+=== , então: Uma primitiva de x2 dx df = é f(x) = x2 + 0 = x2 ; outra primitiva é f(x) = x2 – 2 , outra primitiva é f(x) = x2 + 3 , Apostila de Cálculo II 3 Assim, a função f ( x ) = x2 + C é primitiva de f (x) = x2 + 4, onde C é uma constante arbitrária, chamada constante de integração. Variando o valor de C, obtém-se uma infinidade de primitivas. A integral ∫ += C)x(fdx)x('f , é chamada integral indefinida e representa uma família de primitivas. No caso, f(x) = x2 + C é uma família de parábolas. Numa família de curvas, os seus gráficos diferem entre si apenas por uma translação vertical . Significado geométrico da constante de integração “C “: Geometricamente: a constante de integração “C”, representa a ordenada do ponto onde a curva corta o eixo 0y. x y y = f (x ) + C1 y = f (x ) + C2 C1 y = f (x ) + C3 y = f ( x ) + C4 C3 C2 C4 Apostila de Cálculo II 4 Propriedades da integral indefinida: ∫ ∫ ℜ∈= Condedx,f(x)Cf(x)dxC ; [ ] ∫ ∫±=∫ ± dxg(x)dxf(x)dxg(x)f(x) Tabela das integrais indefinidas fundamentais: Definição: Seja I ⊂ R; a função G é uma primitiva de ƒƒƒƒ em I , se e somente se: ( ) ( ) Ixparaxf dx Gxd ∈∀= 1. 1nparaC 1n uduu 1n n −≠∫ + + = + 2 ∫ +==∫ − Culn u duduu 1 3 ∫ += Cadualna uu ∫ += Cedue uu 4 Csenuduucos +=∫ 5 ∫ +−= Cucosdusenu 6 Cutgduusec 2 +=∫ 7 ∫ +−= Cugcotduueccos 2 8 Cusecduutg.usec +=∫ 9 ∫ +−= Cuseccosduugcot.useccos 10 CucosarcCusenarc u1 du 2 +−=∫ += − ou CucosCusen u1 du 11 2 +−=∫ += − −− 11 CugcotarcCutgarc u1 du 2 +−=+=∫ + ou CugcotCutg u1 du 11 2 +−=+=∫ + −− Apostila de Cálculo II 5 Obs: f -1 (x) indica função inversa de f (x). MÉTODOS DE INTEGRAÇÃO: 1) Integração por Mudança de Diferencial As fórmulas para integrais indefinidas tem objetivo limitado, pois não se pode usá-las diretamente para calcular integrais como por exemplo dx 1x∫ + . Pode-se usar o seguinte artifício para resolvê-la: Seja u= x+1. Logo du=dx e com a mudança de variável fica-se com C 2 3 u u 2 3 2 1 +=∫ . Voltando a variável inicial ( ) C 1x 3 2dx 1x 2 3 ++=∫ + . Após fazer a substituição u = g (x) pode ser necessário inserir um fator constante k no integrando para se obter uma forma adequada ∫ du f(u) . Deve-se multiplicar por k 1 para manter a igualdade. Exercício Resolvido: Calcular dx 75x∫ + Seja u= 5x + 7 e du= 5 dx . Como du contém o fator 5, a integral a resolver não está na forma ∫ du f(u) . Pode-se fazer então dx 5 . 7 x 5. 5 1 dx . .5 5 1 7 x 5 dx 7 x 5 ∫ + = ∫ +=∫ + . Agora tem –se 2 3 u 5 1du u 5 1 2 3 2 1 =∫ . Voltando a variável original ( ) C75x 15 2 dx 75x 3 ++=∫ + Apostila de Cálculo II 6 Exercícios: Calcular as integrais: 1) ∫ dx4x cos 2) ( ) dx 1x2 73∫ + 3) ( ) dx 1x3 1x 63 2 ∫ +− − x 4) dx x6 - 7 .x 3 2∫ 5) dx x x cos∫ 6) dx5x sen x.5cos 3∫ 7) dx x 1 x 11 2 3 ∫ + − 8) ∫ + dx 6x) (1 sen 9) dx 2x cos 4x sen∫ 10) dx 4x sen .4x tg 1∫ 2) Integração por Substituição Algébrica Este método consiste em substituir uma expressão por uma variável, com a finalidade de eliminar um radical, eliminar adições e subtrações do denominador, etc. O problema é resolvido na nova variável. Exercício Resolvido: Apostila de Cálculo II 7 Calcular a integral I = dx 23x 9x∫ − Fazendo 3 dtdx 3 2t xt2x3 =⇒+=∴=− ctln2t t dt2dt t t 3 dt t 3 2t9 I ++=∫+∫=∫ + =∴ Voltando para a variável x: I = dx 2x3 x9∫ − = 3x – 2 + 2 ln (3x – 2 ) + c 1) Método da Integração por Partes Sejam u e v duas funções de x. Da fórmula da derivada do produto, tem-se que: ∫ ∫ ∫= = += du v - (u.v) d dv u du v - u.v) ( d dv u du v dv u d(u.v) Esta técnica de integração consiste em substituir a integral que se deseja calcular por outra integral, de preferência mais simples do que a integral original. A primeira coisa a ser feita na aplicação desta fórmula é a escolha para os termos u e dv, que deve seguir os seguintes critérios. a) Você deve ser capaz de calcular a integral ∫ dv para encontrar a expressão de v. Se não conseguir calcular esta integral, faça outra escolha para u e dv. Apostila de Cálculo II 8 b) Você deverá obter uma integral ∫ du v que seja mais simples ou pelo menos semelhante à integral original; afinal de contas, esta é a integral que você efetivamente calculará. Em geral, a integral ∫ du v será mais simples quando a expressão u é simplificada pela diferenciação. Exemplos: 1) Calcular a integral ∫ dx ex x . Não use as expressões u=ex e dv=xdx, pois a nova integral torna-se mais complexa do que a original; use as expressões u=x e dv=ex dx e o problema se resolve facilmente. Então: xx x e dx e vdx du dx e dv x u =∫== == ( ) C1e C x.edx e-e x.dx e . x xxxxxx +−=+−=∫∫ = xe 2) Calcular a integral ∫ dx x sen x Basta usar as expressões u=x e dv = sen x dx xcos vdx du dx x sen dv x u −== == Csen xx.cos- dx x cos- xcos x.- dx x sen . x +−=∫∫ = x 3) Calcular a integral ∫ dx e x 3x2 Apostila de Cálculo II 9 Use as expressões dx e dv e x u 3x2 == ; neste caso a integral subsequente deverá ser calculada aplicando-se novamente a fórmula de integração por partes. 3x3x 3x2 e 3 1 dx e vdx 2x du dx e dv x u =∫== == dxex 3 2 e 3 1 . xdx 2x e 3 1 e 3 1 . xdx e.x 3x3x23x3x23x2 ∫−=∫−=∫ Reaplica-se o método na integral do último termo dxex 3x∫ : 3x3x 3x e 3 1 dx e vdx du dx e dv x u =∫== == 3x3x3x3x3x e 9 1 e 3 1 . xdx e 3 1 e 3 1 . xdx e.x −=∫−=∫