c-lculo II
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Apostila de Cálculo II

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Apostila de Cálculo II

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Antiderivada e Integral Indefinida

Uma antiderivada ou primitiva da função f no intervalo [ ]b,a , é uma função F, tal
que:

( ) ( )xfx
dx
dF

= para todo x [ ]ba,∈

Notação de Leibniz:

Outra notação empregada para designar a operação de primitivação de uma

função f , no intervalo [ ]ba, é ∫ , notação de Leibniz.
 O símbolo ∫ ( esse alongado de soma ), é o sinal da integral.

 ( ) ( )xfdxf(x)
dx
d

=∫

Exemplo:

 Se a derivada em relação a x da função f (x) = x2+4 é

xxxfDxxf
dx
df 202)()(' =+=== ,

então: Uma primitiva de x2
dx
df

= é f(x) = x2 + 0 = x2 ;

 outra primitiva é f(x) = x2 – 2 , outra primitiva é f(x) = x2 + 3 ,

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Assim, a função f ( x ) = x2 + C é primitiva de f (x) = x2 + 4, onde C é
uma constante arbitrária, chamada constante de integração. Variando o valor de C,
obtém-se uma infinidade de primitivas.
A integral ∫ += C)x(fdx)x('f , é chamada integral indefinida e representa uma
família de

 primitivas.
 No caso, f(x) = x2 + C é uma família de parábolas.

Numa família de curvas, os seus gráficos diferem entre si apenas por uma
translação vertical .

Significado geométrico da constante de integração “C “:

Geometricamente:
 a constante de integração “C”, representa a ordenada do ponto

onde a curva corta o eixo 0y.

x

y
y = f (x ) + C1

y = f (x ) + C2

C1
y = f (x ) + C3

y = f ( x ) + C4

C3

C2

C4

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Propriedades da integral indefinida:

∫ ∫ ℜ∈= Condedx,f(x)Cf(x)dxC ;

[ ] ∫ ∫±=∫ ± dxg(x)dxf(x)dxg(x)f(x)

Tabela das integrais indefinidas fundamentais:

Definição: Seja I ⊂ R; a função G é uma primitiva de ƒƒƒƒ em I , se e somente se:

( ) ( ) Ixparaxf
dx
Gxd

∈∀=

1. 1nparaC
1n

uduu
1n

n
−≠∫ +

+
=

+

2 ∫ +==∫ − Culn
u

duduu 1

3 ∫ += Cadualna uu
 ∫ += Cedue uu
4 Csenuduucos +=∫

5 ∫ +−= Cucosdusenu

6 Cutgduusec 2 +=∫

7 ∫ +−= Cugcotduueccos 2

8 Cusecduutg.usec +=∫

9 ∫ +−= Cuseccosduugcot.useccos

10 CucosarcCusenarc
u1

du
2

+−=∫ +=
−

ou

 CucosCusen
u1

du 11
2

+−=∫ +=
−

−−

11 CugcotarcCutgarc
u1

du
2 +−=+=∫ + ou

CugcotCutg
u1

du 11
2 +−=+=∫ +

−−

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Obs: f -1 (x) indica função inversa de f (x).

MÉTODOS DE INTEGRAÇÃO:

1) Integração por Mudança de Diferencial

 As fórmulas para integrais indefinidas tem objetivo limitado, pois não se pode
usá-las diretamente para calcular integrais como por exemplo dx 1x∫ + .
Pode-se usar o seguinte artifício para resolvê-la: Seja u= x+1. Logo du=dx e com a

mudança de variável fica-se com C

2
3

u
 u

2
3

2
1

+=∫ . Voltando a variável inicial

( ) C 1x
3
2dx 1x 2

3
++=∫ + .

 Após fazer a substituição u = g (x) pode ser necessário inserir um fator
constante k no integrando para se obter uma forma adequada ∫ du f(u) . Deve-se
multiplicar por

k
1

 para manter a igualdade.

Exercício Resolvido:

Calcular dx 75x∫ +
 Seja u= 5x + 7 e du= 5 dx . Como du contém o fator 5, a integral a
resolver não está na forma ∫ du f(u) . Pode-se fazer então

dx 5 . 7 x 5.
5
1

 dx . .5
5
1

 7 x 5 dx 7 x 5 ∫ +



=


∫ +=∫ + . Agora tem –se

2
3

u

5
1du u

5
1 2

3

2
1

=∫ . Voltando a variável original ( ) C75x 15
2

 dx 75x 3 ++=∫ +

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Exercícios: Calcular as integrais:

1) ∫ dx4x cos

2) ( ) dx 1x2 73∫ +

3) ( ) dx 1x3
1x

63

2

∫
+−

−

x

4) dx x6 - 7 .x 3 2∫

5) dx
x

x cos∫

6) dx5x sen x.5cos 3∫

7) dx
x

1
x

11 2
3




∫ 



+

−

8) ∫ + dx 6x) (1 sen

9) dx
2x cos
4x sen∫

10) dx
4x sen .4x tg

1∫

2) Integração por Substituição Algébrica

 Este método consiste em substituir uma expressão por uma variável, com a
finalidade de eliminar um radical, eliminar adições e subtrações do denominador, etc.
O problema é resolvido na nova variável.

Exercício Resolvido:

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Calcular a integral I = dx
23x

9x∫
−

 Fazendo
3
dtdx

3
2t

xt2x3 =⇒+=∴=−

ctln2t
t

dt2dt
t
t

3
dt

t
3

2t9
I ++=∫+∫=∫




 +
=∴

 Voltando para a variável x:

 I = dx
2x3

x9∫
−

 = 3x – 2 + 2 ln (3x – 2 ) + c

1) Método da Integração por Partes

Sejam u e v duas funções de x. Da fórmula da derivada do produto, tem-se que:

∫ ∫ ∫=

=

+=

du v - (u.v) d dv u

du v - u.v) ( d dv u

 du v dv u d(u.v)

Esta técnica de integração consiste em substituir a integral que se deseja calcular
por outra integral, de preferência mais simples do que a integral original. A primeira
coisa a ser feita na aplicação desta fórmula é a escolha para os termos u e dv, que
deve seguir os seguintes critérios.

a) Você deve ser capaz de calcular a integral ∫ dv para encontrar a expressão de v.
Se não conseguir calcular esta integral, faça outra escolha para u e dv.

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b) Você deverá obter uma integral ∫ du v que seja mais simples ou pelo menos
semelhante à integral original; afinal de contas, esta é a integral que você
efetivamente calculará. Em geral, a integral ∫ du v será mais simples quando a
expressão u é simplificada pela diferenciação.
Exemplos:
1) Calcular a integral ∫ dx ex x .

Não use as expressões u=ex e dv=xdx, pois a nova integral torna-se mais complexa
do que a original; use as expressões u=x e dv=ex dx e o problema se resolve
facilmente. Então:

xx

x

e dx e vdx du

dx e dv x u

=∫==

==

 ( ) C1e C x.edx e-e x.dx e . x xxxxxx +−=+−=∫∫ = xe

2) Calcular a integral ∫ dx x sen x

Basta usar as expressões u=x e dv = sen x dx

 xcos vdx du

dx x sen dv x u

−==

==

 Csen xx.cos- dx x cos- xcos x.- dx x sen . x +−=∫∫ = x

3) Calcular a integral ∫ dx e x 3x2

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Use as expressões dx e dv e x u 3x2 == ; neste caso a integral subsequente deverá
ser calculada aplicando-se novamente a fórmula de integração por partes.

3x3x

3x2

e
3
1

 dx e vdx 2x du

dx e dv x u

=∫==

==

 dxex
3
2

e
3
1

. xdx 2x e
3
1

e
3
1

. xdx e.x 3x3x23x3x23x2 ∫−=∫−=∫

 Reaplica-se o método na integral do último termo dxex 3x∫ :

3x3x

3x

e
3
1

 dx e vdx du

dx e dv x u

=∫==

==

3x3x3x3x3x e
9
1

e
3
1

. xdx e
3
1

e
3
1

. xdx e.x −=∫−=∫