c-lculo II

Apostila de Cálculo II 
 
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Apostila de Cálculo II 
 
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Antiderivada e Integral Indefinida 
 
 
Uma antiderivada ou primitiva da função f no intervalo [ ]b,a , é uma função F, tal 
que: 
 
( ) ( )xfx
dx
dF
= para todo x [ ]ba,∈ 
 
 
Notação de Leibniz: 
 
Outra notação empregada para designar a operação de primitivação de uma 
função f , no intervalo [ ]ba, é ∫ , notação de Leibniz. 
 O símbolo ∫ ( esse alongado de soma ), é o sinal da integral. 
 
 ( ) ( )xfdxf(x)
dx
d
=∫ 
 
Exemplo: 
 
 Se a derivada em relação a x da função f (x) = x2+4 é 
 
xxxfDxxf
dx
df 202)()(' =+=== , 
 
então: Uma primitiva de x2
dx
df
= é f(x) = x2 + 0 = x2 ; 
 
 outra primitiva é f(x) = x2 – 2 , outra primitiva é f(x) = x2 + 3 , 
 
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Assim, a função f ( x ) = x2 + C é primitiva de f (x) = x2 + 4, onde C é 
uma constante arbitrária, chamada constante de integração. Variando o valor de C, 
obtém-se uma infinidade de primitivas. 
A integral ∫ += C)x(fdx)x('f , é chamada integral indefinida e representa uma 
família de
 
 primitivas.
 No caso, f(x) = x2 + C é uma família de parábolas. 
Numa família de curvas, os seus gráficos diferem entre si apenas por uma 
translação vertical . 
 
Significado geométrico da constante de integração “C “: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Geometricamente:
 a constante de integração “C”, representa a ordenada do ponto 
onde a curva corta o eixo 0y. 
 
 
 
x 
 
y 
y = f (x ) + C1 
y = f (x ) + C2 
 
C1 
y = f (x ) + C3 
 
y = f ( x ) + C4 
 
C3 
 
C2 
 
C4 
 
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Propriedades da integral indefinida: 
 
 
∫ ∫ ℜ∈= Condedx,f(x)Cf(x)dxC ; 
 
[ ] ∫ ∫±=∫ ± dxg(x)dxf(x)dxg(x)f(x) 
 
Tabela das integrais indefinidas fundamentais: 
 
Definição: Seja I ⊂ R; a função G é uma primitiva de ƒƒƒƒ em I , se e somente se: 
 
 
 
( ) ( ) Ixparaxf
dx
Gxd
∈∀= 
 
1. 1nparaC
1n
uduu
1n
n
−≠∫ +
+
=
+
 
2 ∫ +==∫ − Culn
u
duduu 1 
 
3 ∫ += Cadualna uu 
 ∫ += Cedue uu 
4 Csenuduucos +=∫ 
5 ∫ +−= Cucosdusenu 
6 Cutgduusec 2 +=∫ 
7 ∫ +−= Cugcotduueccos 2 
8 Cusecduutg.usec +=∫ 
9 ∫ +−= Cuseccosduugcot.useccos 
10 CucosarcCusenarc
u1
du
2
+−=∫ +=
−
 
ou 
 
 CucosCusen
u1
du 11
2
+−=∫ +=
−
−−
 
11 CugcotarcCutgarc
u1
du
2 +−=+=∫ + ou 
 
CugcotCutg
u1
du 11
2 +−=+=∫ +
−−
 
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Obs: f -1 (x) indica função inversa de f (x). 
 
 
 
 
MÉTODOS DE INTEGRAÇÃO: 
 
 
 
1) Integração por Mudança de Diferencial 
 
 As fórmulas para integrais indefinidas tem objetivo limitado, pois não se pode 
usá-las diretamente para calcular integrais como por exemplo dx 1x∫ + . 
Pode-se usar o seguinte artifício para resolvê-la: Seja u= x+1. Logo du=dx e com a 
mudança de variável fica-se com C 
2
3
u
 u 
2
3
2
1
+=∫ . Voltando a variável inicial 
( ) C 1x 
3
2dx 1x 2
3
++=∫ + . 
 Após fazer a substituição u = g (x) pode ser necessário inserir um fator 
constante k no integrando para se obter uma forma adequada ∫ du f(u) . Deve-se 
multiplicar por 
k
1
 para manter a igualdade. 
 
 
Exercício Resolvido:
 
 
Calcular dx 75x∫ + 
 Seja u= 5x + 7 e du= 5 dx . Como du contém o fator 5, a integral a 
resolver não está na forma ∫ du f(u) . Pode-se fazer então 
dx 5 . 7 x 5. 
5
1
 dx . .5 
5
1
 7 x 5 dx 7 x 5 ∫ +


=

∫ +=∫ + . Agora tem –se 
 
2
3
u
 
5
1du u
5
1 2
3
2
1
=∫ . Voltando a variável original ( ) C75x 15
2
 dx 75x 3 ++=∫ + 
 
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Exercícios: Calcular as integrais: 
 
1) ∫ dx4x cos 
 
2) ( ) dx 1x2 73∫ + 
 
3) ( ) dx 1x3
1x
63
2
∫
+−
−
x
 
 
4) dx x6 - 7 .x 3 2∫ 
 
5) dx 
x
x cos∫ 
 
6) dx5x sen x.5cos 3∫ 
 
7) dx 
x
1
x
11 2
3


∫ 


+
−
 
 
8) ∫ + dx 6x) (1 sen 
 
9) dx 
2x cos
4x sen∫ 
 
10) dx 
4x sen .4x tg
1∫ 
 
 
 
 
2) Integração por Substituição Algébrica 
 
 Este método consiste em substituir uma expressão por uma variável, com a 
finalidade de eliminar um radical, eliminar adições e subtrações do denominador, etc. 
O problema é resolvido na nova variável. 
 
Exercício Resolvido: 
 
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Calcular a integral I = dx
23x
9x∫
−
 
 
 Fazendo 
3
dtdx
3
2t
xt2x3 =⇒+=∴=− 
 
 
 
ctln2t
t
dt2dt
t
t
3
dt
t
3
2t9
I ++=∫+∫=∫


 +
=∴
 
 
 Voltando para a variável x: 
 
 I = dx
2x3
x9∫
−
 = 3x – 2 + 2 ln (3x – 2 ) + c 
 
 
 
1) Método da Integração por Partes 
 
Sejam u e v duas funções de x. Da fórmula da derivada do produto, tem-se que: 
 
 
∫ ∫ ∫=
=
+=
du v - (u.v) d dv u
du v - u.v) ( d dv u
 du v dv u d(u.v) 
 
 
 
Esta técnica de integração consiste em substituir a integral que se deseja calcular 
por outra integral, de preferência mais simples do que a integral original. A primeira 
coisa a ser feita na aplicação desta fórmula é a escolha para os termos u e dv, que 
deve seguir os seguintes critérios. 
 
a) Você deve ser capaz de calcular a integral ∫ dv para encontrar a expressão de v. 
Se não conseguir calcular esta integral, faça outra escolha para u e dv. 
 
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b) Você deverá obter uma integral ∫ du v que seja mais simples ou pelo menos 
semelhante à integral original; afinal de contas, esta é a integral que você 
efetivamente calculará. Em geral, a integral ∫ du v será mais simples quando a 
expressão u é simplificada pela diferenciação. 
Exemplos: 
1) Calcular a integral ∫ dx ex x . 
 
Não use as expressões u=ex e dv=xdx, pois a nova integral torna-se mais complexa 
do que a original; use as expressões u=x e dv=ex dx e o problema se resolve 
facilmente. Então: 
 
 
xx
x
e dx e vdx du
dx e dv x u
=∫==
==
 
 
 ( ) C1e C x.edx e-e x.dx e . x xxxxxx +−=+−=∫∫ = xe 
 
 
2) Calcular a integral ∫ dx x sen x 
 
Basta usar as expressões u=x e dv = sen x dx 
 
 xcos vdx du
dx x sen dv x u
−==
==
 
 
 Csen xx.cos- dx x cos- xcos x.- dx x sen . x +−=∫∫ = x 
 
 
3) Calcular a integral ∫ dx e x 3x2 
 
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Use as expressões dx e dv e x u 3x2 == ; neste caso a integral subsequente deverá 
ser calculada aplicando-se novamente a fórmula de integração por partes. 
 
 
3x3x
3x2
e
3
1
 dx e vdx 2x du
dx e dv x u
=∫==
==
 
 
 dxex 
3
2
e 
3
1
. xdx 2x e 
3
1
e 
3
1
. xdx e.x 3x3x23x3x23x2 ∫−=∫−=∫ 
 
 Reaplica-se o método na integral do último termo dxex 3x∫ : 
 
 
3x3x
3x
e
3
1
 dx e vdx du
dx e dv x u
=∫==
==
 
 
 
3x3x3x3x3x e 
9
1
e 
3
1
. xdx e 
3
1
e 
3
1
. xdx e.x −=∫−=∫