c-lculo II
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Apostila de Cálculo II
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Apostila de Cálculo II
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Antiderivada e Integral Indefinida
Uma antiderivada ou primitiva da função f no intervalo [ ]b,a , é uma função F, tal
que:
( ) ( )xfx
dx
dF
= para todo x [ ]ba,\u2208
Notação de Leibniz:
Outra notação empregada para designar a operação de primitivação de uma
função f , no intervalo [ ]ba, é \u222b , notação de Leibniz.
O símbolo \u222b ( esse alongado de soma ), é o sinal da integral.
( ) ( )xfdxf(x)
dx
d
=\u222b
Exemplo:
Se a derivada em relação a x da função f (x) = x2+4 é
xxxfDxxf
dx
df 202)()(' =+=== ,
então: Uma primitiva de x2
dx
df
= é f(x) = x2 + 0 = x2 ;
outra primitiva é f(x) = x2 \u2013 2 , outra primitiva é f(x) = x2 + 3 ,
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Assim, a função f ( x ) = x2 + C é primitiva de f (x) = x2 + 4, onde C é
uma constante arbitrária, chamada constante de integração. Variando o valor de C,
obtém-se uma infinidade de primitivas.
A integral \u222b += C)x(fdx)x('f , é chamada integral indefinida e representa uma
família de
primitivas.
No caso, f(x) = x2 + C é uma família de parábolas.
Numa família de curvas, os seus gráficos diferem entre si apenas por uma
translação vertical .
Significado geométrico da constante de integração \u201cC \u201c:
Geometricamente:
a constante de integração \u201cC\u201d, representa a ordenada do ponto
onde a curva corta o eixo 0y.
x
y
y = f (x ) + C1
y = f (x ) + C2
C1
y = f (x ) + C3
y = f ( x ) + C4
C3
C2
C4
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Propriedades da integral indefinida:
\u222b \u222b \u211c\u2208= Condedx,f(x)Cf(x)dxC ;
[ ] \u222b \u222b±=\u222b ± dxg(x)dxf(x)dxg(x)f(x)
Tabela das integrais indefinidas fundamentais:
Definição: Seja I \u2282 R; a função G é uma primitiva de \u192\u192\u192\u192 em I , se e somente se:
( ) ( ) Ixparaxf
dx
Gxd
\u2208\u2200=
1. 1nparaC
1n
uduu
1n
n
\u2212\u2260\u222b +
+
=
+
2 \u222b +==\u222b \u2212 Culn
u
duduu 1
3 \u222b += Cadualna uu
\u222b += Cedue uu
4 Csenuduucos +=\u222b
5 \u222b +\u2212= Cucosdusenu
6 Cutgduusec 2 +=\u222b
7 \u222b +\u2212= Cugcotduueccos 2
8 Cusecduutg.usec +=\u222b
9 \u222b +\u2212= Cuseccosduugcot.useccos
10 CucosarcCusenarc
u1
du
2
+\u2212=\u222b +=
\u2212
ou
CucosCusen
u1
du 11
2
+\u2212=\u222b +=
\u2212
\u2212\u2212
11 CugcotarcCutgarc
u1
du
2 +\u2212=+=\u222b + ou
CugcotCutg
u1
du 11
2 +\u2212=+=\u222b +
\u2212\u2212
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Obs: f -1 (x) indica função inversa de f (x).
MÉTODOS DE INTEGRAÇÃO:
1) Integração por Mudança de Diferencial
As fórmulas para integrais indefinidas tem objetivo limitado, pois não se pode
usá-las diretamente para calcular integrais como por exemplo dx 1x\u222b + .
Pode-se usar o seguinte artifício para resolvê-la: Seja u= x+1. Logo du=dx e com a
mudança de variável fica-se com C
2
3
u
u
2
3
2
1
+=\u222b . Voltando a variável inicial
( ) C 1x
3
2dx 1x 2
3
++=\u222b + .
Após fazer a substituição u = g (x) pode ser necessário inserir um fator
constante k no integrando para se obter uma forma adequada \u222b du f(u) . Deve-se
multiplicar por
k
1
para manter a igualdade.
Exercício Resolvido:
Calcular dx 75x\u222b +
Seja u= 5x + 7 e du= 5 dx . Como du contém o fator 5, a integral a
resolver não está na forma \u222b du f(u) . Pode-se fazer então
dx 5 . 7 x 5.
5
1
dx . .5
5
1
7 x 5 dx 7 x 5 \u222b +\uf8f7\uf8f8
\uf8f6\uf8ec\uf8ed
\uf8eb
=\uf8f7\uf8f8
\uf8f6\uf8ec\uf8ed
\uf8eb\u222b +=\u222b + . Agora tem \u2013se
2
3
u
5
1du u
5
1 2
3
2
1
=\u222b . Voltando a variável original ( ) C75x 15
2
dx 75x 3 ++=\u222b +
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Exercícios: Calcular as integrais:
1) \u222b dx4x cos
2) ( ) dx 1x2 73\u222b +
3) ( ) dx 1x3
1x
63
2
\u222b
+\u2212
\u2212
x
4) dx x6 - 7 .x 3 2\u222b
5) dx
x
x cos\u222b
6) dx5x sen x.5cos 3\u222b
7) dx
x
1
x
11 2
3
\uf8f7\uf8f8
\uf8f6\uf8ec\uf8ed
\uf8eb\u222b \uf8f7\uf8f8
\uf8f6\uf8ec\uf8ed
\uf8eb
+
\u2212
8) \u222b + dx 6x) (1 sen
9) dx
2x cos
4x sen\u222b
10) dx
4x sen .4x tg
1\u222b
2) Integração por Substituição Algébrica
Este método consiste em substituir uma expressão por uma variável, com a
finalidade de eliminar um radical, eliminar adições e subtrações do denominador, etc.
O problema é resolvido na nova variável.
Exercício Resolvido:
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Calcular a integral I = dx
23x
9x\u222b
\u2212
Fazendo
3
dtdx
3
2t
xt2x3 =\u21d2+=\u2234=\u2212
ctln2t
t
dt2dt
t
t
3
dt
t
3
2t9
I ++=\u222b+\u222b=\u222b
\uf8f7\uf8f8
\uf8f6\uf8ec\uf8ed
\uf8eb +
=\u2234
Voltando para a variável x:
I = dx
2x3
x9\u222b
\u2212
= 3x \u2013 2 + 2 ln (3x \u2013 2 ) + c
1) Método da Integração por Partes
Sejam u e v duas funções de x. Da fórmula da derivada do produto, tem-se que:
\u222b \u222b \u222b=
=
+=
du v - (u.v) d dv u
du v - u.v) ( d dv u
du v dv u d(u.v)
Esta técnica de integração consiste em substituir a integral que se deseja calcular
por outra integral, de preferência mais simples do que a integral original. A primeira
coisa a ser feita na aplicação desta fórmula é a escolha para os termos u e dv, que
deve seguir os seguintes critérios.
a) Você deve ser capaz de calcular a integral \u222b dv para encontrar a expressão de v.
Se não conseguir calcular esta integral, faça outra escolha para u e dv.
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b) Você deverá obter uma integral \u222b du v que seja mais simples ou pelo menos
semelhante à integral original; afinal de contas, esta é a integral que você
efetivamente calculará. Em geral, a integral \u222b du v será mais simples quando a
expressão u é simplificada pela diferenciação.
Exemplos:
1) Calcular a integral \u222b dx ex x .
Não use as expressões u=ex e dv=xdx, pois a nova integral torna-se mais complexa
do que a original; use as expressões u=x e dv=ex dx e o problema se resolve
facilmente. Então:
xx
x
e dx e vdx du
dx e dv x u
=\u222b==
==
( ) C1e C x.edx e-e x.dx e . x xxxxxx +\u2212=+\u2212=\u222b\u222b = xe
2) Calcular a integral \u222b dx x sen x
Basta usar as expressões u=x e dv = sen x dx
xcos vdx du
dx x sen dv x u
\u2212==
==
Csen xx.cos- dx x cos- xcos x.- dx x sen . x +\u2212=\u222b\u222b = x
3) Calcular a integral \u222b dx e x 3x2
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Use as expressões dx e dv e x u 3x2 == ; neste caso a integral subsequente deverá
ser calculada aplicando-se novamente a fórmula de integração por partes.
3x3x
3x2
e
3
1
dx e vdx 2x du
dx e dv x u
=\u222b==
==
dxex
3
2
e
3
1
. xdx 2x e
3
1
e
3
1
. xdx e.x 3x3x23x3x23x2 \u222b\u2212=\u222b\u2212=\u222b
Reaplica-se o método na integral do último termo dxex 3x\u222b :
3x3x
3x
e
3
1
dx e vdx du
dx e dv x u
=\u222b==
==
3x3x3x3x3x e
9
1
e
3
1
. xdx e
3
1
e
3
1
. xdx e.x \u2212=\u222b\u2212=\u222b