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Apostila de Cálculo II
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Apostila de Cálculo II
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Antiderivada e Integral Indefinida
Uma antiderivada ou primitiva da função f no intervalo [ ]b,a , é uma função F, tal
que:
( ) ( )xfx
dx
dF
= para todo x [ ]ba,∈
Notação de Leibniz:
Outra notação empregada para designar a operação de primitivação de uma
função f , no intervalo [ ]ba, é ∫ , notação de Leibniz.
O símbolo ∫ ( esse alongado de soma ), é o sinal da integral.
( ) ( )xfdxf(x)
dx
d
=∫
Exemplo:
Se a derivada em relação a x da função f (x) = x2+4 é
xxxfDxxf
dx
df 202)()(' =+=== ,
então: Uma primitiva de x2
dx
df
= é f(x) = x2 + 0 = x2 ;
outra primitiva é f(x) = x2 – 2 , outra primitiva é f(x) = x2 + 3 ,
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Assim, a função f ( x ) = x2 + C é primitiva de f (x) = x2 + 4, onde C é
uma constante arbitrária, chamada constante de integração. Variando o valor de C,
obtém-se uma infinidade de primitivas.
A integral ∫ += C)x(fdx)x('f , é chamada integral indefinida e representa uma
família de
primitivas.
No caso, f(x) = x2 + C é uma família de parábolas.
Numa família de curvas, os seus gráficos diferem entre si apenas por uma
translação vertical .
Significado geométrico da constante de integração “C “:
Geometricamente:
a constante de integração “C”, representa a ordenada do ponto
onde a curva corta o eixo 0y.
x
y
y = f (x ) + C1
y = f (x ) + C2
C1
y = f (x ) + C3
y = f ( x ) + C4
C3
C2
C4
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Propriedades da integral indefinida:
∫ ∫ ℜ∈= Condedx,f(x)Cf(x)dxC ;
[ ] ∫ ∫±=∫ ± dxg(x)dxf(x)dxg(x)f(x)
Tabela das integrais indefinidas fundamentais:
Definição: Seja I ⊂ R; a função G é uma primitiva de ƒƒƒƒ em I , se e somente se:
( ) ( ) Ixparaxf
dx
Gxd
∈∀=
1. 1nparaC
1n
uduu
1n
n
−≠∫ +
+
=
+
2 ∫ +==∫ − Culn
u
duduu 1
3 ∫ += Cadualna uu
∫ += Cedue uu
4 Csenuduucos +=∫
5 ∫ +−= Cucosdusenu
6 Cutgduusec 2 +=∫
7 ∫ +−= Cugcotduueccos 2
8 Cusecduutg.usec +=∫
9 ∫ +−= Cuseccosduugcot.useccos
10 CucosarcCusenarc
u1
du
2
+−=∫ +=
−
ou
CucosCusen
u1
du 11
2
+−=∫ +=
−
−−
11 CugcotarcCutgarc
u1
du
2 +−=+=∫ + ou
CugcotCutg
u1
du 11
2 +−=+=∫ +
−−
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Obs: f -1 (x) indica função inversa de f (x).
MÉTODOS DE INTEGRAÇÃO:
1) Integração por Mudança de Diferencial
As fórmulas para integrais indefinidas tem objetivo limitado, pois não se pode
usá-las diretamente para calcular integrais como por exemplo dx 1x∫ + .
Pode-se usar o seguinte artifício para resolvê-la: Seja u= x+1. Logo du=dx e com a
mudança de variável fica-se com C
2
3
u
u
2
3
2
1
+=∫ . Voltando a variável inicial
( ) C 1x
3
2dx 1x 2
3
++=∫ + .
Após fazer a substituição u = g (x) pode ser necessário inserir um fator
constante k no integrando para se obter uma forma adequada ∫ du f(u) . Deve-se
multiplicar por
k
1
para manter a igualdade.
Exercício Resolvido:
Calcular dx 75x∫ +
Seja u= 5x + 7 e du= 5 dx . Como du contém o fator 5, a integral a
resolver não está na forma ∫ du f(u) . Pode-se fazer então
dx 5 . 7 x 5.
5
1
dx . .5
5
1
7 x 5 dx 7 x 5 ∫ +
=
∫ +=∫ + . Agora tem –se
2
3
u
5
1du u
5
1 2
3
2
1
=∫ . Voltando a variável original ( ) C75x 15
2
dx 75x 3 ++=∫ +
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Exercícios: Calcular as integrais:
1) ∫ dx4x cos
2) ( ) dx 1x2 73∫ +
3) ( ) dx 1x3
1x
63
2
∫
+−
−
x
4) dx x6 - 7 .x 3 2∫
5) dx
x
x cos∫
6) dx5x sen x.5cos 3∫
7) dx
x
1
x
11 2
3
∫
+
−
8) ∫ + dx 6x) (1 sen
9) dx
2x cos
4x sen∫
10) dx
4x sen .4x tg
1∫
2) Integração por Substituição Algébrica
Este método consiste em substituir uma expressão por uma variável, com a
finalidade de eliminar um radical, eliminar adições e subtrações do denominador, etc.
O problema é resolvido na nova variável.
Exercício Resolvido:
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Calcular a integral I = dx
23x
9x∫
−
Fazendo
3
dtdx
3
2t
xt2x3 =⇒+=∴=−
ctln2t
t
dt2dt
t
t
3
dt
t
3
2t9
I ++=∫+∫=∫
+
=∴
Voltando para a variável x:
I = dx
2x3
x9∫
−
= 3x – 2 + 2 ln (3x – 2 ) + c
1) Método da Integração por Partes
Sejam u e v duas funções de x. Da fórmula da derivada do produto, tem-se que:
∫ ∫ ∫=
=
+=
du v - (u.v) d dv u
du v - u.v) ( d dv u
du v dv u d(u.v)
Esta técnica de integração consiste em substituir a integral que se deseja calcular
por outra integral, de preferência mais simples do que a integral original. A primeira
coisa a ser feita na aplicação desta fórmula é a escolha para os termos u e dv, que
deve seguir os seguintes critérios.
a) Você deve ser capaz de calcular a integral ∫ dv para encontrar a expressão de v.
Se não conseguir calcular esta integral, faça outra escolha para u e dv.
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b) Você deverá obter uma integral ∫ du v que seja mais simples ou pelo menos
semelhante à integral original; afinal de contas, esta é a integral que você
efetivamente calculará. Em geral, a integral ∫ du v será mais simples quando a
expressão u é simplificada pela diferenciação.
Exemplos:
1) Calcular a integral ∫ dx ex x .
Não use as expressões u=ex e dv=xdx, pois a nova integral torna-se mais complexa
do que a original; use as expressões u=x e dv=ex dx e o problema se resolve
facilmente. Então:
xx
x
e dx e vdx du
dx e dv x u
=∫==
==
( ) C1e C x.edx e-e x.dx e . x xxxxxx +−=+−=∫∫ = xe
2) Calcular a integral ∫ dx x sen x
Basta usar as expressões u=x e dv = sen x dx
xcos vdx du
dx x sen dv x u
−==
==
Csen xx.cos- dx x cos- xcos x.- dx x sen . x +−=∫∫ = x
3) Calcular a integral ∫ dx e x 3x2
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Use as expressões dx e dv e x u 3x2 == ; neste caso a integral subsequente deverá
ser calculada aplicando-se novamente a fórmula de integração por partes.
3x3x
3x2
e
3
1
dx e vdx 2x du
dx e dv x u
=∫==
==
dxex
3
2
e
3
1
. xdx 2x e
3
1
e
3
1
. xdx e.x 3x3x23x3x23x2 ∫−=∫−=∫
Reaplica-se o método na integral do último termo dxex 3x∫ :
3x3x
3x
e
3
1
dx e vdx du
dx e dv x u
=∫==
==
3x3x3x3x3x e
9
1
e
3
1
. xdx e
3
1
e
3
1
. xdx e.x −=∫−=∫