Uma técnica de integração bastante utilizada em cálculo diferencial e integral é o método da mudança de variável para integração. Assim, após uma m...
Uma técnica de integração bastante utilizada em cálculo diferencial e integral é o método da mudança de variável para integração. Assim, após uma mudança de variável é possível aplicar métodos básicos de integração.
Frente a isso, utilize o método da mudança de variável para resolver a integral10 2x/x²+1
Alternativas
a) In (1.x²)+c.
b) In (1-x² )+c/2.
c) 1+ x² -c.
d) In (2).
e) 1-x² +c.
💡 1 Resposta
Ed 
Para resolver a integral ∫1/(x²+1)dx, podemos utilizar o método da mudança de variável. Fazemos a substituição x = tan(t), e, portanto, dx = sec²(t)dt. Substituindo na integral, temos: ∫1/(x²+1)dx = ∫1/(tan²(t)+1)sec²(t)dt = ∫cos²(t)/sin²(t)+cos²(t)dt = ∫(1-sin²(t))/sin²(t)dt + ∫cos²(t)dt = ∫csc²(t)dt + ∫cos²(t)dt = -cot(t) + ∫(1+cos(2t))/2 dt = -cot(t) + (t/2 + (1/4)sin(2t)) + C Substituindo x = tan(t), temos que cot(t) = 1/x, e, portanto: ∫1/(x²+1)dx = -cot(t) + (t/2 + (1/4)sin(2t)) + C = -1/x + (1/2)arctan(x) + (1/4)x√(x²+1) + C Portanto, a alternativa correta é a letra b) In(1-x²)+c/2.
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