Grátis
135 pág.

Denunciar
Pré-visualização | Página 15 de 27
com a sec¸a˜o transversal e´ a linha neutra (LN). M > 0 { Fibras superiores a` LN sa˜o comprimidas / encurtadas Fibras inferiores a` LN sa˜o tracionadas / alongadas 69 Se Sd xd Se Sd Tracao~ ~ ~Compressao ����������������� ����������������� ����������������� ����������������� ����������������� ����������������� ����������������� ����������������� ����������������� ����������������� ����������������� ����������������� ����������������� ����������������� ������������������ ������������������ ������������������ ������������������ ������������������ ������������������ ������������������ ������������������ ������������������ ������������������ ������������������ ������������������ ������������������ ������������������ ������������������ ������������������ ������������������ ������������������ ������������������ ������������������ ������������������ ������������������ ������������������ ������������������ ������������������ ������������������ ������������������ ������������������ ������������������ ������������������ ������������������ ������������������ ������������������ ������������������ ������������������ ������������������ ������������������ ������������������ ������������������ ������������������ ������������������ ������������������ LN y = E.S. M > 0 ����� ����� ����� ����� ����� ����� ����� ����� ����� ����� ����� ����� ����� ����� ����� ����� ����� ����� ����� ����� ����� ����� ����� ����� ����� ����� ����� ����� ����� ����� ����� ����� ����� ����� ����� ����� ����� ����� ����� ����� ����� ����� ����� ����� ����� ����� ���������� ���������� ���������� ���������� ���������� ���������� ���������� ���������� ���������� ���������� ���������� ���������� ���������� ���������� ���������� ���������� ���������� ���������� ���������� ���������� ���������� ���������� ���������� ���������� ����� ����� ����� ����� ����� ����� ����� ����� ����� ����� ����� ����� ����� ����� ����� ����� ����� ����� ����� ����� ����� ����� ����� ����� ����� ����� ����� ����� ����� ����� ����� ����� ����� ����� ����� ����� ����� ����� ����� ����� ����� ����� ����� ����� ����� ����� ����� ����� ����� ����� ����� ����� ����� ����� ����� ����� ����� ����� ����� ����� ����� ����� ����� ����� ����� ����� ����� ����� ����� ����� ����� ����� ����� ����� ����� ����� ����� ����� ����� ����� ����� ����� ����� ����� ����� ����� ����� ����� ����� ����� ����� ����� ����� ����� ����� ����� ����� ����� ����� ����� ����� ����� ����� ����� ����� ����� ����� ����� ����� ����� ����� ����� ����� ����� ����� ����� ����� ����� ����� ����� ����� ����� ����� ����� ����� ����� ����� ����� ����� ����� ����� ����� ����� ����� ����� ����� ����� ����� ����� ����� ����� ����� ����� ����� ����� ����� ����� ����� ����� ����� ����� ����� Superficie neutra M N d o θ Superficie neutra ds = dx~ ����� ����� ����� ����� ����� ����� ����� ����� ����� ����� ����� ����� ����� ����� ����� ����� ����� ����� ����� ����� ����� ����� ����� ����� ����� ����� ����� ����� ����� ����� ����� ����� ����� ����� ����� ����� ����� ����� ����� ����� ����� ����� Figura 3.47: Elemento de volume sob flexa˜o Seja o elemento de volume gene´rico, limitado pelas sec¸o˜es Se e Sd, de comprimento elementar dx. Na configurac¸a˜o deformada, dθ e´ o aˆngulo entre Se e Sd, o ponto O e´ o centro de curvatura e OM = ON = ρ e´ o raio de curvatura da linha ela´stica na superf´ıcie neutra. A curvatura e´: κ = 1 ρ = dθ ds ' dθ dx Considerando ds ' dx para vigas horizontais ou de pequena inclinac¸a˜o e para pequenas deformac¸o˜es. Uma paralela a ”Se” pelo ponto N mostra (sombreado) os encurtamento das fibras superiores e os alongamentos das fibras inferiores a` superf´ıcie neutra. Estas de- formac¸o˜es longitudinais du sa˜o mostradas na fig(3.48b) . As figs3.48(c) e 3.48(d) mostram as correspondentes deformac¸o˜es espec´ıficas ²x e tenso˜es normais σx. Seja uma camada de fibras gene´rica, paralela a` superf´ıcie neutra, de ordenada y em relac¸a˜o a` LN (−ds ≤ y ≤ di). ������������������ ������������������ ������������������ ������������������ ������������������ ������������������ ������������������ ������������������ ������������������ ������������������ ������������������ ������������������ ������������������ ������������������ ������������������ ������������������ ������������������ ������������������ ������������������ ������������������ ������������������ ������������������ ����������������� ����������������� ����������������� ����������������� ����������������� ����������������� ����������������� ����������������� ����������������� ����������������� ����������������� ����������������� ����������������� ����������������� LN y = E.S. i s �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� y ds di o x σ σ σs i a) b) d)c) dθ εx Figura 3.48: Diagramas de deformac¸a˜o longitudinal, especif´ıca e tenso˜es 70 du = dθ y ²x = du dx = dθ dx y σx = E²x = E dθ dx y Func¸o˜es Diretamente proporcionais a y (variac¸a˜o linear), sendo σx = K y, e K = E dθ dx = K . E para calcular a constante K e determinar a posic¸a˜o da LN, lembramos da sec¸a˜o 3: Esforc¸o normal N = ∫ A σxdA = ∫ A KydA = K ∫ A ydA = 0 para valores arbitra´rios de K, temos ∫ A ydA = 0 A ordenada do baricentro em relac¸a˜o a` LN: y = ∫ A ydA A = 0 Conclu´ımos que a LN passa pelo baricentro da sec¸a˜o. Momento fletor Mz = ∫ A y σx dA = ∫ A y K y dA = K ∫ A y 2 dA =M , onde: ∫ A y 2 dA = I (momento de ine´rcia da sec¸a˜o em relac¸a˜o a` LN) enta˜o: K I =M → K =M/I → σx = M I y (3.77) (I = Iz = J = Jz → dimensional L4, unidade mm4 ou cm4) 71 Observac¸a˜o: • O diagrama de tenso˜es da fig3.48(d) e´ a vista longitudinal do so´lido de tenso˜es (fig3.49 para um sec¸a˜o retangular). Nas aplicac¸o˜es, o diagrama de tenso˜es e´ suficiente para representar a variac¸a˜o das tenso˜es normais na sec¸a˜o transversal. LN C’ C B’ BA’ A’ D D’ o Figura 3.49: So´lido de tenso˜es • Ca´lculo das Tenso˜es Extremas (Ma´ximas) y = −ds→ σs = M I (−ds) = − M I/ds y = di→ σi = M I (di) = M I/di Fazendo I/ds = Ws, I/di = Wi - Mo´dulos de resisteˆncia a` flexa˜o (dimensional L3), Obtemos σs = −M/Ws e σ =M/Wi→ σmax =M/W em valor absoluto. M > 0 { σs = Max. Tensa˜o de compressa˜o σi = Max. Tensa˜o de trac¸a˜o M < 0 { σs = Max. Tensa˜o de trac¸a˜o σi = Max. Tensa˜o de compressa˜o 2. Tenso˜es Normais na Flexa˜o Simples e Reta Sa˜o va´lidas as mesmas propriedades da flexa˜o pura e reta. Como o momento fletor e´ varia´vel, nas aplicac¸o˜es e´ necessa´rio analisar 2 sec¸o˜es cr´ıticas: momentos fletor maximo positivo(+) e negativo(-). Caso particular: sec¸a˜o sime´trica em relac¸a˜o a` LN →basta analisar uma sec¸a˜o cr´ıtica (momento fletor ma´ximo absoluto). 72 3.3.3 Exerc´ıcios 1. A viga representada na fig3.50 tem sec¸a˜o constante, circular com diaˆmetro 0,25 m. Dados L = 1,5