A maior rede de estudos do Brasil

Grátis
135 pág.
resmat2007a

Pré-visualização | Página 15 de 27

com a sec¸a˜o transversal e´ a linha neutra (LN).
M > 0
{
Fibras superiores a` LN sa˜o comprimidas / encurtadas
Fibras inferiores a` LN sa˜o tracionadas / alongadas
69
Se Sd
xd
Se
Sd
Tracao~
~
~Compressao
�����������������
�����������������
�����������������
�����������������
�����������������
�����������������
�����������������
�����������������
�����������������
�����������������
�����������������
�����������������
�����������������
�����������������
������������������
������������������
������������������
������������������
������������������
������������������
������������������
������������������
������������������
������������������
������������������
������������������
������������������
������������������
������������������
������������������
������������������
������������������
������������������
������������������
������������������
������������������
������������������
������������������
������������������
������������������
������������������
������������������
������������������
������������������
������������������
������������������
������������������
������������������
������������������
������������������
������������������
������������������
������������������
������������������
������������������
������������������
LN
y = E.S.
M > 0
�����
�����
�����
�����
�����
�����
�����
�����
�����
�����
�����
�����
�����
�����
�����
�����
�����
�����
�����
�����
�����
�����
�����
�����
�����
�����
�����
�����
�����
�����
�����
�����
�����
�����
�����
�����
�����
�����
�����
�����
�����
�����
�����
�����
�����
�����
����������
����������
����������
����������
����������
����������
����������
����������
����������
����������
����������
����������
����������
����������
����������
����������
����������
����������
����������
����������
����������
����������
����������
����������
�����
�����
�����
�����
�����
�����
�����
�����
�����
�����
�����
�����
�����
�����
�����
�����
�����
�����
�����
�����
�����
�����
�����
�����
�����
�����
�����
�����
�����
�����
�����
�����
�����
�����
�����
�����
�����
�����
�����
�����
�����
�����
�����
�����
�����
�����
�����
�����
�����
�����
�����
�����
�����
�����
�����
�����
�����
�����
�����
�����
�����
�����
�����
�����
�����
�����
�����
�����
�����
�����
�����
�����
�����
�����
�����
�����
�����
�����
�����
�����
�����
�����
�����
�����
�����
�����
�����
�����
�����
�����
�����
�����
�����
�����
�����
�����
�����
�����
�����
�����
�����
�����
�����
�����
�����
�����
�����
�����
�����
�����
�����
�����
�����
�����
�����
�����
�����
�����
�����
�����
�����
�����
�����
�����
�����
�����
�����
�����
�����
�����
�����
�����
�����
�����
�����
�����
�����
�����
�����
�����
�����
�����
�����
�����
�����
�����
�����
�����
�����
�����
�����
�����
Superficie
neutra
M
N
d
o
θ
Superficie
neutra
ds = dx~
�����
�����
�����
�����
�����
�����
�����
�����
�����
�����
�����
�����
�����
�����
�����
�����
�����
�����
�����
�����
�����
�����
�����
�����
�����
�����
�����
�����
�����
�����
�����
�����
�����
�����
�����
�����
�����
�����
�����
�����
�����
�����
Figura 3.47: Elemento de volume sob flexa˜o
Seja o elemento de volume gene´rico, limitado pelas sec¸o˜es Se e Sd, de comprimento
elementar dx.
Na configurac¸a˜o deformada, dθ e´ o aˆngulo entre Se e Sd, o ponto O e´ o centro de
curvatura e OM = ON = ρ e´ o raio de curvatura da linha ela´stica na superf´ıcie
neutra. A curvatura e´:
κ =
1
ρ
=
dθ
ds
' dθ
dx
Considerando ds ' dx para vigas horizontais ou de pequena inclinac¸a˜o e para
pequenas deformac¸o˜es.
Uma paralela a ”Se” pelo ponto N mostra (sombreado) os encurtamento das fibras
superiores e os alongamentos das fibras inferiores a` superf´ıcie neutra. Estas de-
formac¸o˜es longitudinais du sa˜o mostradas na fig(3.48b) . As figs3.48(c) e 3.48(d)
mostram as correspondentes deformac¸o˜es espec´ıficas ²x e tenso˜es normais σx.
Seja uma camada de fibras gene´rica, paralela a` superf´ıcie neutra, de ordenada y em
relac¸a˜o a` LN (−ds ≤ y ≤ di).
������������������
������������������
������������������
������������������
������������������
������������������
������������������
������������������
������������������
������������������
������������������
������������������
������������������
������������������
������������������
������������������
������������������
������������������
������������������
������������������
������������������
������������������
�����������������
�����������������
�����������������
�����������������
�����������������
�����������������
�����������������
�����������������
�����������������
�����������������
�����������������
�����������������
�����������������
�����������������
LN
y = E.S.
i
s
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
y
ds
di
o
x
σ
σ
σs
i
a) b) d)c)
dθ
εx
Figura 3.48: Diagramas de deformac¸a˜o longitudinal, especif´ıca e tenso˜es
70
du = dθ y
²x =
du
dx
=
dθ
dx
y
σx = E²x = E
dθ
dx
y
Func¸o˜es Diretamente proporcionais a y (variac¸a˜o linear), sendo σx = K y, e K =
E dθ
dx
= K . E para calcular a constante K e determinar a posic¸a˜o da LN, lembramos
da sec¸a˜o 3:
Esforc¸o normal
N =
∫
A
σxdA =
∫
A
KydA = K
∫
A
ydA = 0
para valores arbitra´rios de K, temos
∫
A
ydA = 0
A ordenada do baricentro em relac¸a˜o a` LN:
y =
∫
A ydA
A
= 0
Conclu´ımos que a LN passa pelo baricentro da sec¸a˜o.
Momento fletor Mz =
∫
A y σx dA =
∫
A y K y dA = K
∫
A y
2 dA =M ,
onde:
∫
A y
2 dA = I (momento de ine´rcia da sec¸a˜o em relac¸a˜o a` LN)
enta˜o: K I =M → K =M/I →
σx =
M
I
y (3.77)
(I = Iz = J = Jz → dimensional L4, unidade mm4 ou cm4)
71
Observac¸a˜o:
• O diagrama de tenso˜es da fig3.48(d) e´ a vista longitudinal do so´lido de tenso˜es
(fig3.49 para um sec¸a˜o retangular). Nas aplicac¸o˜es, o diagrama de tenso˜es e´
suficiente para representar a variac¸a˜o das tenso˜es normais na sec¸a˜o transversal.
LN
C’
C
B’
BA’
A’
D
D’
o
Figura 3.49: So´lido de tenso˜es
• Ca´lculo das Tenso˜es Extremas (Ma´ximas)
y = −ds→ σs = M
I
(−ds) = − M
I/ds
y = di→ σi = M
I
(di) =
M
I/di
Fazendo I/ds = Ws, I/di = Wi - Mo´dulos de resisteˆncia a` flexa˜o (dimensional L3),
Obtemos σs = −M/Ws e σ =M/Wi→ σmax =M/W em valor absoluto.
M > 0
{
σs = Max. Tensa˜o de compressa˜o
σi = Max. Tensa˜o de trac¸a˜o
M < 0
{
σs = Max. Tensa˜o de trac¸a˜o
σi = Max. Tensa˜o de compressa˜o
2. Tenso˜es Normais na Flexa˜o Simples e Reta
Sa˜o va´lidas as mesmas propriedades da flexa˜o pura e reta. Como o momento fletor e´
varia´vel, nas aplicac¸o˜es e´ necessa´rio analisar 2 sec¸o˜es cr´ıticas: momentos fletor maximo
positivo(+) e negativo(-). Caso particular: sec¸a˜o sime´trica em relac¸a˜o a` LN →basta
analisar uma sec¸a˜o cr´ıtica (momento fletor ma´ximo absoluto).
72
3.3.3 Exerc´ıcios
1. A viga representada na fig3.50 tem sec¸a˜o constante, circular com diaˆmetro 0,25 m.
Dados L = 1,5

Crie agora seu perfil grátis para visualizar sem restrições.