Aula 18 - Desconto

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Matemática Financeira e Raciocínio Lógico p/ SEFAZ-DF (Auditor
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Guilherme Neves
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1.	 Operação de Desconto .................................................................................................................................... 2	
2.	 Desconto Racional Simples (por dentro) .......................................................................................................... 6	
3.	 Desconto Comercial Simples (por fora) .......................................................................................................... 12	
4.	 Taxa efetiva ................................................................................................................................................... 14	
5.	 Desconto Bancário ......................................................................................................................................... 17	
6.	 Relação entre os descontos simples por fora e por dentro ............................................................................. 19	
7.	 Lista de Questões de Concursos Anteriores .................................................................................................... 22	
8.	 Gabaritos ....................................................................................................................................................... 39	
9.	 Lista de Questões de Concursos Anteriores com Comentários ....................................................................... 41	
10.	 Considerações Finais .................................................................................................................................... 103	
 
 
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Oi, pessoal. 
Aqui quem vos fala é o professor Guilherme Neves outra vez!! 
Vamos começar a nossa aula sobre Descontos Simples? 
1. OPERAÇÃO DE DESCONTO 
Imagine que você tem uma dívida de R$ 10.000,00 para ser paga daqui a dois anos. Mas você foi 
aprovado no seu tão sonhado concurso e decidiu liquidar a sua divida com o primeiro salário. 
É justo você pagar R$ 10.000,00 mesmo pagando dois anos antes da data combinada? É óbvio que 
não! Daí surge a pergunta: Quanto eu devo pagar hoje a minha dívida de R$ 10.000,00? 
Essa é uma situação típica de uma operação de desconto. Desconto é o abatimento que se faz no 
valor de uma dívida quando ela é negociada antes da data de vencimento. 
Notas promissórias, duplicatas, letras de câmbio são alguns documentos que atestam dívidas e são 
chamados títulos de créditos. Esses títulos apresentam os seguintes conceitos de valores: 
 
 
Valor Nominal, Valor de Face, 
Valor Futuro (N) 
É o valor que está escrito no título. É o 
valor que deve ser pago na data do 
vencimento. 
Valor Atual, Valor Presente, 
Valor Líquido, Valor Descontado (A) 
O valor líquido é obtido pela diferença 
entre o valor nominal e o desconto. 
 
Desconto (D) 
Desconto é o abatimento que se faz no 
valor de uma dívida quando ela é 
negociada antes da data de 
vencimento. É a diferença entre o 
valor nominal e o valor atual. 
 
Para caracterizar uma operação de desconto, devemos saber qual é o tempo de antecipação do 
pagamento. Esse tempo de antecipação será denotado pela letra “n”. 
 
 
 
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E já que estamos “transportando” uma quantia no tempo, devemos saber qual é a taxa percentual 
que fará esse transporte. A taxa do desconto será denotada pela letra “i”. 
 
 
O cálculo do desconto pode ser feito por dois critérios. Existe o desconto racional, também 
chamado de desconto por dentro. O desconto racional é o desconto “teoricamente” correto. 
Existe também o desconto comercial ou desconto por fora. É o desconto sem fundamentação 
teórica, mas muito praticado no mercado financeiro. 
Pode ainda ser simples ou composto. Isso gera quatro tipos de descontos: 
 
è Desconto Racional Simples 
è Desconto Racional Composto 
è Desconto Comercial Simples 
è Desconto Comercial Composto 
 
 
Existe uma diferença entre o desconto comercial e o chamado desconto bancário. O 
desconto bancário leva em conta também despesas administrativas (ou impostos) 
cobradas pelos bancos para a efetivação da operação de desconto. Ou seja, o desconto 
bancário é uma modalidade de desconto comercial, acrescida de taxas e despesas 
administrativas. 
 
Para se responder qualquer questão sobre descontos, devemos saber qual é a modalidade do 
desconto (racional ou comercial) e o regime da operação (simples ou composto). Nesta aula, 
falaremos apenas dos descontos simples. 
 
 
 
 
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Quando a questão nada falar acerca do regime trabalhado, adotaremos a convenção de 
usar o regime simples. 
 
E quanto à modalidade do desconto? Adiante falaremos que o desconto racional simples equivale 
a uma operação de juros simples. Então se o enunciado deixar claro que a taxa percentual de 
desconto é na realidade uma taxa de juros, devemos inferir que se trata de uma operação de 
desconto racional. 
Caso contrário, trata-se de uma operação de desconto comercial. Essa convenção também será 
utilizada quando estudarmos os descontos compostos. 
 
Não importa qual o tipo de desconto que estamos trabalhando: o valor atual sempre será igual ao 
valor nominal menos o desconto. Esse raciocínio é válido para os quatro tipos de desconto. 
𝐴 = 𝑁 − 𝐷 
 
Voltando ao nosso exemplo. Você tinha uma dívida de R$ 10.000,00. E quando você foi ao banco 
negociar a dívida, seu gerente disse que você ia ter um desconto de R$ 2.000,00. Logicamente, 
você irá pagar R$ 8.000,00. 
 
𝐴 = 𝑁 − 𝐷 = 10.000 − 2.000 = 8.000 
 
Alternativamente, podemos dizer que o desconto é a diferença entre os valores nominal e atual. 
𝐷 = 𝑁 − 𝐴 
 
Voltemos ao nosso exemplo. Você tinha uma dívida de R$ 10.000,00. Foi ao banco e eles disseram 
que a dívida poderia ser quitada hoje por R$ 8.000,00. 
Podemos, então, concluir que o desconto dado pelo banco foi de R$ 2.000,00. 
𝐷 = 10.000 − 8.000 = 2.000 
 
Falarei agora separadamente sobre cada um dos tipos de descontos e em seguida resolverei 
questões diversas de concursos passados. Comecemos pelo desconto racional simples ou desconto 
simples por dentro. 
 
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Então para deixar bem clara a situação: Existe uma dívida para ser paga em alguma data futura. O 
valor dessa dívida é chamado de VALOR NOMINAL (N). 
 
Quero antecipar o pagamento dessa dívida. 
 
Obviamente, se eu antecipar o pagamento da dívida, pagarei um valor menor do que ovalor 
nominal. 
 
O valor que será acordado para que o pagamento seja antecipado será denominado VALOR ATUAL 
(A). A diferença entre o valor nominal e o valor atual é denominada DESCONTO (D). 
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2. DESCONTO RACIONAL SIMPLES (POR DENTRO) 
A operação de desconto racional simples, por definição, é equivalente a uma operação de juros 
simples. 
 
Enquanto que na operação de juros simples, o nosso objetivo é projetar um valor presente para o 
futuro, na operação de desconto racional simples teremos como objetivo projetar o Valor Nominal 
para a data atual. 
 
O desconto simples por dentro ou desconto simples racional é obtido aplicando-se a taxa de 
desconto ao valor atual do título, ou seja, corresponde ao juro simples sobre o valor atual durante 
o tempo que falta para o vencimento do título. 
 
Já que o desconto racional simples equivale à operação de juros simples, podemos fazer um 
desenho comparativo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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O valor atual do desconto racional simples corresponde ao capital inicial da operação 
de juros simples. 
 
 O valor nominal do desconto racional simples corresponde ao montante da operação 
de juros simples. 
 
 O desconto da operação de desconto racional simples corresponde ao juro da operação 
de juros simples. 
 
Correspondência entre os elementos das operações 
Juros Simples Desconto Racional Simples 
Capital Inicial (C) Valor Atual (A) 
Montante (M) Valor Nominal (N) 
Juro (J) Desconto (D) 
 
Assim, as fórmulas da operação de desconto racional simples são originadas a partir das fórmulas 
da operação de juros simples. Basta fazer a substituição dos termos correspondentes. 
Juros Simples Desconto Racional Simples (por dentro) 
𝐽 = 𝐶 ∙ 𝑖 ∙ 𝑛 𝐷 = 𝐴 ∙ 𝑖 ∙ 𝑛 
𝑀 = 𝐶 ∙ (1 + 𝑖𝑛) 𝑁 = 𝐴 ∙ (1 + 𝑖𝑛) 
𝑀 = 𝐶 + 𝐽 𝑁 = 𝐴 + 𝐷 
 
 
 
 
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E não podemos nos esquecer que a taxa e o tempo devem estar sempre na mesma unidade! 
 
De acordo com as fórmulas explicitadas acima, só podemos calcular o desconto racional simples se 
soubermos o valor atual. Vamos então deduzir uma fórmula para calcular o desconto racional 
simples em função do valor nominal. 
Da fórmula 𝑁 = 𝐴 ∙ (1 + 𝑖𝑛) podemos deduzir que: 
𝐴 =
𝑁
1 + 𝑖𝑛 
 
Vamos substituir esta expressão na fórmula 𝐷 = 𝐴 ∙ 𝑖 ∙ 𝑛. 
𝐷 =
𝑁
1 + 𝑖𝑛
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7
∙ 𝑖 ∙ 𝑛 
 
𝐷 =
𝑁 ∙ 𝑖 ∙ 𝑛
1 + 𝑖𝑛 
 
Assim, há apenas 4 fórmulas básicas que precisamos saber para resolver questões sobre desconto 
racional simples. 
 
 
𝑁 = 𝐴 + 𝐷 
 
𝐷 = 𝐴 ∙ 𝑖 ∙ 𝑛 
 
𝑁 = 𝐴 ∙ (1 + 𝑖𝑛) 
 
𝐷 =
𝑁 ∙ 𝑖 ∙ 𝑛
1 + 𝑖𝑛 
 
 
 
 
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Em uma operação de desconto racional com antecipação de 5 meses, o valor descontado foi 
de R$ 8.000,00 e a taxa de desconto foi 5% ao mês. Qual o valor de face desse título? 
a) R$ 10.000,00 
b) R$ 10.666,67 
c) R$ 32.000,00 
d) R$ 40.000,00 
e) R$ 160.000,00 
 
Resolução 
Lembre-se sempre que uma operação de desconto racional equivale a uma operação de juros 
simples, de tal forma que o valor atual equivale ao capital inicial e o valor nominal equivale ao 
montante. 
Além disso, a questão usou alguns “apelidos” do valor atual e do valor nominal. Vamos 
relembrar: 
 
Então, já que a questão está pedindo o valor de face, queremos, portanto, o valor nominal. Já 
os R$ 8.000,00 que a questão chamou de valor descontado nós estamos acostumados a 
chamá-lo de valor atual. 
De posse dessas informações, podemos desenhar o diagrama abaixo. 
 
Utilizaremos a fórmula 𝑁 = 𝐴 ∙ (1 + 𝑖𝑛) que é idêntica à fórmula do montante em juros 
simples. 
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A taxa é igual a 5% = 0,05 ao mês. 
𝑁 = 𝐴 ∙ (1 + 𝑖𝑛) 
𝑁 = 8.000 ∙ (1 + 0,05 ∙ 5) = 10.000 
A resposta é a alternativa A. 
Outra maneira de resolver a questão seria calcular o valor do desconto. 
𝐷 = 𝐴 ∙ 𝑖 ∙ 𝑛 
𝐷 = 8.000 ∙ 0,05 ∙ 5 = 2.000 
E agora podemos calcular o valor nominal. 
𝑁 = 𝐴 + 𝐷 
𝑁 = 8.000 + 2.000 = 10.000 
Gabarito: A 
 
 
José tomou emprestado R$ 10.000,00, pretendendo saldar a dívida após dois anos. A taxa de 
juros combinada foi de 30% a.a. Qual valor José pagaria a dívida 5 meses antes do 
vencimento combinado sem prejuízo para o banco se nesta época a taxa de juros simples 
anual fosse 24% e fosse utilizado desconto simples racional? 
a) R$ 16.000,00 
b) R$ 13.800,00 
c) R$ 17.600,00 
d) R$ 14545,45 
e) R$ 14.800,00 
 
Resolução 
Primeiramente vamos resumir os dados do enunciado. 
O valor do empréstimo é o valor atual da operação. A = 10.000,00 
Taxa de juros do empréstimo: 30% a.a. 
Tempo para pagamento do empréstimo: 2 anos. 
Prazo de antecipação do pagamento do empréstimo: 5 meses 
Taxa de desconto racional: 24% a.a. 
 
O próximo passo é saber quanto José se comprometeu a pagar daqui a 2 anos. Queremos 
saber o montante em uma operação de juros simples. Esse valor do montante será o valor 
nominal da dívida (que depois será renegociada). 
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𝑀 = 𝐶 ∙ (1 + 𝑖𝑛) 
𝑀 = 10.000 ∙ (1 + 0,30 ∙ 2) = 16.000 
 
Ou seja, o valor nominal da dívida é igual a R$ 16.000,00. De posse desse valor, deixe-me 
“recontar” o enunciado. 
 
José tem uma dívida de R$ 16.000,00 para ser paga daqui a 2 anos. Quanto José deve pagar 
se ele quer antecipar o pagamento 5 meses antes do vencimento a uma taxa de juros simples 
de 24% a.a.? 
 
Ou seja, temos agora uma operação de desconto racional simples, já que existe uma dívida 
que será antecipada usando uma taxa de juros simples. Comentei anteriormente que o 
desconto racional simples EQUIVALE, ou seja, é a mesma coisa que uma operação de juros 
simples. 
 
Temos um valor nominal N = 16.000,00 que será antecipado 5 meses a uma taxa de juros 
simples igual a 24% a.a. = 2% a.m. Observe que para transformar a taxa anual para taxa 
mensal basta dividir por 12. Queremos saber o valor atual do desconto racional simples. 
 
𝑁 = 𝐴 ∙ (1 + 𝑖𝑛) 
𝐴 =
𝑁
1 + 𝑖𝑛 
 
𝐴 =
16.000
1 + 0,02 ∙ 5 =
16.000
1,1 = 14.545,45 
 
Gabarito: DGuilherme Neves
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3. DESCONTO COMERCIAL SIMPLES (POR FORA) 
Vimos que o desconto racional simples equivale a uma operação de juros simples. Na operação de 
juros simples, a taxa de juros incide sobre o capital inicial. Obviamente, no desconto racional 
simples (que equivale ao juro simples) a taxa incide sobre o valor atual. 
 
Imagine que você fosse aplicar alguma quantia no banco e o gerente te dissesse que a taxa de 
juros iria incidir sobre o montante (valor final). Estranho ou não? Pois é justamente o que acontece 
no desconto comercial simples. A taxa não incide sobre o valor atual como em uma operação de 
juros simples. No caso do desconto comercial a taxa incide sobre o valor nominal (valor futuro). É 
justamente por isso que o desconto comercial simples não é o “teoricamente” correto, mas é 
usado em larga escala no mercado financeiro. 
Os elementos da operação de desconto comercial simples são os mesmos do desconto racional 
simples. A única coisa que vai mudar é o fato de a taxa incidir sobre o valor nominal. Portanto, o 
desconto comercial simples será dado por 
𝐷 = 𝑁 ∙ 𝑖 ∙ 𝑛 
Em qualquer tipo de desconto, o valor atual é igual ao valor nominal menos o desconto. 
𝐴 = 𝑁 − 𝐷 
 
Substituindo a primeira expressão na segunda: 
 
𝐴 = 𝑁 − 𝑁 ∙ 𝑖 ∙ 𝑛 
Colocando N em evidência, temos: 
𝐴 = 𝑁 ∙ (1 − 𝑖𝑛) 
 
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Uma duplicata, de valor nominal R$ 16.500,00, será descontada 50 dias antes do vencimento, 
à taxa de 0,02% ao dia. Se for utilizado o desconto simples bancário, o valor de resgate será: 
a) R$ 14.850,00 
b) R$ 16.119,29 
c) R$ 16.335,00 
d) R$ 16.665,32 
e) R$ 18.233,50 
 
Resolução 
O desconto simples bancário é, nesse caso, o mesmo que o desconto comercial simples (por 
fora). Nesse caso, podemos utilizar a fórmula 
𝐴 = 𝑁 ∙ (1 − 𝑖𝑛) 
 
Perceba que a taxa e o tempo estão na mesma unidade de tempo. Portanto, não há 
alterações a fazer nos dados do enunciado. 
𝐴 = 16.500 ∙ =1 −
0,02
100 ∙ 50> 
 
𝐴 = 16.335 
Poderíamos também ter calculado o valor do desconto. 
𝐷 = 𝑁 ∙ 𝑖 ∙ 𝑛 
 
𝐷 = 16.500 ∙
0,02
100 ∙ 50 = 165 
E agora podemos calcular o valor atual. 
𝐴 = 𝑁 − 𝐷 = 16.500 − 165 = 16.335 
Gabarito: C 
 
 
 
 
 
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4. TAXA EFETIVA 
 
Há dois tipos de desconto simples: racional (por dentro) e comercial (por fora). 
O desconto racional é o desconto teoricamente correto. Ele equivale a uma operação de juros 
simples. 
O desconto comercial é um desconto teoricamente incorreto e é usado para enganar as pessoas. 
Em outras palavras, o desconto comercial foi criado para que os bancos ganhem mais dinheiro sem 
que você perceba. 
Vamos entender a situação. Imagine que você tem um cheque no valor de R$ 1.000,00 que 
vencerá daqui a 2 meses. Você precisa receber dinheiro hoje. Você então vai ao banco e negocia 
para descontar este cheque hoje. O banco então informa que haverá uma taxa de desconto 
comercial simples de 10% ao mês. 
 
Ora, 10% de 1.000 é igual a R$ 100,00. Como são 2 meses, então o banco descontará 200 reais e 
você receberá apenas R$ 800,00. 
Agora vem a pergunta: quanto na verdade o banco está cobrando de juros, ou seja, qual a taxa 
efetiva desta operação? 
Vamos reler o problema com outros olhos: você fez um empréstimo de R$ 800,00 e prometeu 
pagar R$ 1000,00 ao banco daqui a dois meses. Qual a taxa de juros? 
Você pagará 200 reais de juros em dois meses. Vamos utilizar a fórmula dos juros simples para 
calcular a taxa. 
𝐽 = 𝐶 ∙ 𝑖 ∙ 𝑛 
 
200 = 800 ∙ 𝑖 ∙ 2 
 
200 = 1.600 ∙ 𝑖 
 
𝑖 =
200
1.600 ∙ 100% = 12,5%	𝑎𝑜	𝑚ê𝑠 
 
 
Assim, o banco anuncia para você que fará um desconto de 10% ao mês, mas na verdade ele está 
cobrando juros de 12,5% ao mês. 
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Ficou claro? 
 
O banco prefere te dizer que a taxa de desconto comercial é de 10% a.m. em vez de dizer que são 
juros de 12,5% ao mês. 
Qual o passo a passo então para resolver uma questão de taxa efetiva em uma operação de 
desconto comercial simples? 
i) Calcule o desconto normalmente usando a fórmula do desconto comercial simples: 𝑁 ∙ 𝑖F ∙ 𝑛, 
onde N é o valor nominal do título e 𝑖F é a taxa de desconto comercial simples. 
ii) Utilize a fórmula de juros simples, substituindo o capital pelo valor atual e o juro pelo valor do 
desconto. 
Caso você ache muito trabalhoso aplicar os dois passos anteriores, existe uma fórmula para 
calcular a taxa efetiva. Ei-la: 
𝑖G =
𝑖F
1 − 𝑖F ∙ 𝑛
 
No nosso exemplo, 𝑖F = 10% = 0,10 e 𝑛 = 2. 
𝑖G =
0.10
1 − 0,10 ∙ 2 =
0,10
0,80 =
1
8 = 0,125 = 12,5%	𝑎𝑜	𝑚ê𝑠 
 
 
Em suas operações de desconto de duplicatas, um banco cobra uma taxa mensal de 2,5% de 
desconto simples comercial. Se o prazo de vencimento for de 2 meses, a taxa mensal efetiva 
nessa operação, cobrada pelo banco, será de, aproximadamente, 
(A) 5,26% 
(B) 3,76% 
(C) 3,12% 
(D) 2,75% 
(E) 2,63% 
Resolução 
A questão envolve o cálculo da taxa efetiva em uma operação de desconto simples comercial. 
Basta aplicar a fórmula descrita anteriormente: 
𝑖G =
𝑖F
1 − 𝑖F ∙ 𝑛
 
 
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𝑖G =
0,025
1 − 0,025 ∙ 2 =
0,025
0,95 
 
𝑖G =
25
950 ∙ 100% ≅ 2,63% 
Como resolver esta questão se você tivesse esquecido a fórmula? 
Imagine que o valor nominal do título fosse de R$ 100,00. Assim, o valor do desconto seria: 
𝐷 = 𝑁 ∙ 𝑖 ∙ 𝑛 
𝐷 = 100 ∙
2,5
100 ∙ 2 = 5 
Desta forma, o valor atual seria 𝐴 = 𝑁 − 𝐷 = 100 − 5 = 95. 
Basta agora pensar em uma operação de juros simples. 
Vou aplicar o capital de 95 reais por 2 meses e obter um montante de 100 reais (o juro é 5 
reais). Qual o valor da taxa de juros simples? 
𝐽 = 𝐶 ∙ 𝑖 ∙ 𝑛 
5 = 95 ∙ 𝑖 ∙ 2 
5 = 190 ∙ 𝑖 
𝑖 =
5
190 ≅ 2,63% 
Gabarito: E 
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5. DESCONTO BANCÁRIO 
 
O desconto bancário leva em conta também despesas administrativas cobradas pelos bancos para 
a efetivação da operação de desconto. Ou seja, o desconto bancário é uma modalidade de 
desconto comercial, acrescida de taxas e despesas administrativas. 
 
Podemosafirmar que o valor líquido recebido (V) é igual ao valor nominal menos as despesas 
administrativas e menos o desconto por fora. 
As despesas administrativas são calculadas como se não houvesse desconto por fora, ou seja, o 
percentual incidirá sobre o valor nominal. 
Da mesma forma, o desconto por fora será efetuado como se não houvesse despesas 
administrativas. 
𝐴 = 𝑁 − 𝐷J − 𝐷K 
onde A é o valor atual, N é o valor nominal, 𝐷J é o desconto por fora (comercial) e 𝐷K são as 
despesas administrativas e taxas cobradas pelo banco. 
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Uma empresa descontou um título com valor nominal igual a R$12.000,00, quatro meses 
antes de seu vencimento, mediante uma taxa de desconto simples igual a 3% ao mês. 
Sabendo que empresa pagará ainda uma tarifa de 8% sobre o valor nominal, a empresa 
deverá receber, em reais, 
(A) 12.000,00 
(B) 10.000,00 
(C) 9.600,00 
(D) 9.200,00 
(E) 9.000,00 
Resolução 
Podemos afirmar que o valor líquido recebido (V) é igual ao valor nominal menos as despesas 
administrativas e menos o desconto por fora. As despesas administrativas são calculadas 
como se não houvesse desconto por fora, ou seja, o percentual incidirá sobre o valor 
nominal. Da mesma forma, o desconto por fora será efetuado como se não houvesse 
despesas administrativas. 
𝐴 = 𝑁 − 𝐷L − 𝐷M 
𝐴 = 𝑁 − 𝑁 ∙ 𝑖 ∙ 𝑛 −
8
100 ∙ 𝑁 
𝐴 = 12.000 − 12.000 ∙
3
100 ∙ 4 −
8
100 ∙ 12.000 
 
𝑉 = 12.000 − 1.440 − 960 
 
𝑉 = 9.600 
Gabarito: C 
 
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6. RELAÇÃO ENTRE OS DESCONTOS SIMPLES POR FORA E POR DENTRO 
 
Como o desconto simples comercial (por fora) é calculado sobre o valor nominal, ao passo que o 
desconto simples racional é calculado sobre o valor atual, é fácil constatar que, quando calculados 
nas mesmas condições, o desconto simples por fora será sempre maior do que o por dentro. Isso 
porque o valor nominal é sempre maior do que o valor atual. 
Acompanhe o raciocínio: Quanto maior o desconto, menor o valor atual do título. Pode-se concluir 
que o valor atual do desconto simples comercial é sempre menor do que no desconto simples por 
dentro (por isso é tão utilizado no mercado financeiro: experimente trocar um cheque e veja onde 
é incidida a taxa – no valor nominal). 
Assim, considerando-se uma mesma taxa de desconto, é mais vantajoso para o adquirente do 
título (o banco, ou uma empresa de factoring, por exemplo) utilizar o desconto bancário (daí o 
“apelido” do desconto comercial) do que o desconto racional. 
Bom... Chega de filosofia! Vamos ao que interessa. Vejamos a seguir qual é a relação entre os 
descontos simples por fora e por dentro, quando calculados nas mesmas condições, ou seja, à 
mesma taxa de desconto e pelo mesmo prazo para o vencimento do título. 
Sejam 𝐷O o desconto comercial simples e 𝐷P o desconto racional simples. 
Vimos que 
𝐷P =
𝑁 ∙ 𝑖 ∙ 𝑛
1 + 𝑖 ∙ 𝑛 	𝑒	𝐷O = 𝑁 ∙ 𝑖 ∙ 𝑛 
Observe que o numerador da fórmula de 𝐷P é 𝑁 ∙ 𝑖 ∙ 𝑛, que por sua vez é igual a 𝐷O. Portanto, 
𝐷P =
𝑁 ∙ 𝑖 ∙ 𝑛4R5R6
ST
1 + 𝑖 ∙ 𝑛 
 
𝐷P =
𝐷O
1 + 𝑖 ∙ 𝑛 
Portanto, 
𝐷O = 𝐷P ∙ (1 + 𝑖𝑛) 
 
Uma maneira para não confundir quem multiplica o fator (1 + 𝑖𝑛) é fácil. Ora, o número (1 + 𝑖𝑛) 
é maior que 1. Assim, ao multiplicar algo por (1 + 𝑖𝑛), este número aumentará. 
Vimos que, nas mesmas condições, 𝐷P < 𝐷O. Assim, devemos aumentar 𝐷P para que ele fique 
igual a 𝐷O e, assim, você percebe que devemos multiplicar 𝐷P por (1 + 𝑖𝑛). 
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Uma nota promissória sofre um desconto simples comercial de R$ 981,00, três meses antes 
do seu vencimento, a uma taxa de desconto de 3% ao mês. Caso fosse um desconto racional, 
calcule o valor do desconto correspondente à mesma taxa. 
a) R$ 1.000,00 
b) R$ 950,00 
c) R$ 927,30 
d) R$ 920,00 
e) R$ 900,00 
 
Resolução 
 
Basta aplicar a fórmula que relaciona os dois tipos de desconto. 
𝐷O = 𝐷P ∙ (1 + 𝑖𝑛) 
O enunciado nos forneceu o valor do desconto comercial simples (por fora) que é igual a R$ 
981,00, a taxa que é igual a 3% = 0,03 ao mês e o tempo de antecipação que é igual a 3 
meses. 
981 = 𝐷P ∙ (1 + 0,03 ∙ 3) 
 
981 = 𝐷P ∙ 1,09 
 
𝐷P = 900 
Outra maneira de resolver seria a seguinte. Tem uma coisa que não muda de uma operação 
de desconto para a outra: o valor nominal. O valor nominal é o que está escrito na nota 
promissória!! 
Vamos calcular o valor nominal através da fórmula de desconto comercial simples. 
𝐷O = 𝑁 ∙ 𝑖 ∙ 𝑛 
981 = 𝑁 ∙
3
100 ∙ 3 
 
𝑁 =
981
0,09 = 10.900 
Vamos agora calcular o valor do desconto racional. Ora, não podemos aplicar a fórmula 
𝐷P = 𝐴 ∙ 𝑖 ∙ 𝑛 porque não sabemos o valor atual. 
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103 
Há duas outras fórmulas que podem ser usadas. 
𝑖)	𝑁 = 𝐴 ∙ (1 + 𝑖𝑛) 
10.900 = 𝐴 ∙ (1 + 0,03 ∙ 3) 
10.900 = 𝐴 ∙ 1,09 
𝐴 = 10.000 
Como o valor nominal é de 10.900 e o valor atual é 10.000, então o desconto racional é de 
900 reais. 
𝑖𝑖)	𝐷P =
𝑁 ∙ 𝑖 ∙ 𝑛
1 + 𝑖 ∙ 𝑛 
𝐷P =
10.900 ∙ 0,03 ∙ 3
1 + 0,03 ∙ 3 =
981
1,09 = 900 
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7. LISTA DE QUESTÕES DE CONCURSOS ANTERIORES 
 
1. (VUNESP 2019/TJ-SP Administrador Judiciário) 
O valor atual de um título descontado 3 meses antes de seu vencimento foi igual a R$ 19.100,00. A 
taxa de desconto utilizada foi de 18% ao ano, segundo uma operação de desconto comercial 
simples. Se a taxa de desconto tivesse sido de 14,4% ao ano, então o valor atual desse título seria 
de 
a) R$ 19.200,00 
b) R$ 19.160,00 
c) R$ 19.250,00 
d) R$ 19.120,00 
e) R$ 19.280,00 
2. (VUNESP 2018/Prefeitura de São Paulo) 
Um lojista vendeu R$ 1.500,00 de produtos em três cheques pré-datados de R$ 500,00 cada um, 
para 30, 60 e 90 dias, respectivamente. Necessitando antecipar os recebimentos, ele faz uma 
operação de desconto comercial à taxa de 6% ao mês. Então, o valor recebido após o desconto é 
de: 
a) R$ 1.380,00. 
b) R$ 1.350,00. 
c) R$ 1.320,00. 
d) R$ 1.410,00. 
e) R$ 1.440,00. 
3. (VUNESP 2018/Prefeitura de São Bernardo do Campo) 
Um título de valor N será descontado 4 meses antes do vencimento à taxa de desconto simples de 
3% ao mês. Considere Vr o valor líquido do resgate se a modalidade da operação for de desconto 
racional; e Vc o valor líquido do resgate se a modalidade da operação for de desconto comercial. 
Comparando os valores de Vr e Vc, assinale a alternativaque melhor representa a relação entre 
eles. 
a) Vc = 1,50 Vr. 
b) Vc = 1,25 Vr. 
c) Vc = 0,98 Vr. 
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d) Vc = 0,87 Vr. 
e) Vc = 0,45 Vr. 
4. (VUNESP 2014/DESENVOLVE-SP) 
Uma operação de desconto bancário foi feita com um título cujo valor de face é de R$ 10.000,00 e 
vencimento em 120 dias. Se a taxa de desconto utilizada foi de 84% a.a. e o valor da operação foi 
de R$ 7.000,00, de quanto foi a tarifa cobrada pelo banco? 
a) Zero. 
b) 1%. 
c) 2%. 
d) 5%. 
e) 7%. 
 
5. (FCC 2019/BANRISUL) 
Uma duplicata é descontada em um banco 4 meses antes de seu vencimento, segundo uma 
operação de desconto comercial simples, com uma taxa de desconto de 24% ao ano. O valor do 
desconto dessa operação foi de R$ 1.800,00. Caso a taxa de desconto utilizada tivesse sido de 18% 
ao ano, o valor presente teria sido, em R$, de 
(A) 20.680,00. 
(B) 22.560,00. 
(C) 20.700,00. 
(D) 23.500,00. 
(E) 21.150,00. 
 
6. (FCC 2016/ELETROSUL) 
No dia de hoje, uma pessoa recebe o montante decorrente de uma aplicação financeira de R$ 
5.000,00, realizada 2 anos antes, a uma taxa de juros composta de 20% ao ano. Também hoje, essa 
pessoa paga antecipadamente, com desconto, uma dívida que vence em 5 meses, com valor final 
de R$ 6.000,00, a uma taxa de juros simples de 3% ao mês. 
 Considerando essas duas operações, ao final do dia essa pessoa terá um fluxo de caixa, em R$, de 
a) 1.950,41. 
b) 1.824,35. 
c) 2.024,35. 
d) 1.782,61. 
e) 1.982,61. 
7. (FCC 2016/Prefeitura de Teresina) 
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O valor recebido, na data de hoje, por uma empresa que descontou um título de valor nominal de 
R$ 23.650,00 que vence daqui a 4 meses é igual a R$ 21.285,00. Sabe-se que foi utilizada a 
operação do desconto comercial simples a uma taxa de desconto mensal igual a 𝑖. Caso fosse 
utilizada a operação do desconto racional simples, também a uma taxa de desconto mensal igual 
a 𝑖, verifica-se que o valor do desconto, em R$, seria de 
a) 2.200,00. 
b) 2.365,00. 
c) 2.150,00. 
d) 2.050,00. 
e) 2.250,00. 
8. (FCC 2016/TRF 3ª Região) 
A tabela abaixo fornece os valores recebidos por uma empresa, na data de hoje, correspondentes 
aos descontos de 3 títulos em um banco. A taxa de desconto utilizada pelo banco é de 18% ao ano 
para qualquer operação. 
 
Se a soma dos valores nominais dos 3 títulos é igual a R$ 50.000,00, então X é, em R$, igual a 
(A) 9.960,65.
 
(B) 10.056,15.
 
(C) 9.769,65. 
(D) 10.247,15. 
(E) 9.865,15. 
9. (FCC 2016/COPERGÁS) 
Uma empresa consegue, por meio do desconto de 2 títulos em um banco, receber o valor total de 
R$ 40.180,00. A taxa de desconto do banco é de 18% ao ano para qualquer operação de desconto 
e ambos os títulos foram descontados 4 meses antes de seus vencimentos. Sabe-se que para o 
primeiro título utilizou-se a operação de desconto racional simples e, para o segundo, a operação 
de desconto comercial simples. Se o valor nominal do segundo título é igual a R$ 22.000,00, então 
o valor nominal do primeiro título é, em reais, igual a 
a) 21.200,00. 
b) 22.790,00. 
c) 19.080,00. 
d) 22.260,00. 
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e) 20.670,00. 
10. (FCC 2016/Pref. de Teresina) 
Se um título de valor nominal igual a R$ 22.500,00 for descontado em um banco 3 meses antes de 
seu vencimento, então apresentará um valor de desconto igual a R$ 1.350,00. Considerando que 
as operações neste banco sejam somente do desconto comercial simples e com a mesma taxa de 
desconto, obtém-se que se este mesmo título for descontado 4 meses antes de seu vencimento o 
seu valor atual será, em reais, 
a) 22.050,00 
b) 20.500,00 
c) 21.150,00 
d) 21.600,00 
e) 20.700,00 
 
11. (FCC 2015/TCE-SP) 
Considere que um título é descontado em um banco 3 meses antes de seu vencimento a uma taxa 
de desconto de 18% ao ano. Sabe-se que foi utilizada a operação de desconto racional simples e o 
valor presente do título foi igual a R$ 12.000,00. Um outro título de valor nominal igual ao dobro 
do valor nominal do primeiro título também é descontado 3 meses antes de seu vencimento a uma 
taxa de desconto de 18% ao ano. Se para este outro título foi utilizada a operação de desconto 
comercial simples, então o valor presente deste outro título é de 
a) R$ 23.435,70. 
b) R$ 22.920,00. 
c) R$ 23.951,40. 
d) R$ 24.830,00. 
e) R$ 24.448,00. 
12. (FCC 2015/SEFAZ-PI) 
Três meses antes de seus vencimentos, dois títulos foram descontados em um banco, com taxa de 
desconto de 48% ao ano. Sabe-se que o valor nominal do primeiro título era o dobro do valor 
nominal do segundo. Para o primeiro, utilizou-se a operação de desconto comercial simples e, para 
o segundo, a de desconto racional simples. Se a soma dos descontos foi igual a R$ 1.215,00, então, 
o módulo da diferença entre os dois valores líquidos recebidos foi 
a) R$ 3.035,00 
b) R$ 3.500,00 
c) R$ 3.830,00 
d) R$ 3.965,00 
e) R$ 9.285,00 
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13. (FCC 2014/TRF 3ª Região) 
Duas duplicatas de valores nominais iguais são descontadas em um banco a uma taxa de 24,0% ao 
ano. Sabe-se que a primeira duplicata foi descontada 4 meses antes de seu vencimento, segundo 
uma operação de desconto racional simples, e o valor do desconto foi igual a R$ 1.200,00. A 
segunda duplicata foi descontada 5 meses antes de seu vencimento, segundo uma operação de 
desconto comercial simples. A porcentagem que o valor presente da segunda duplicata representa 
do valor presente da primeira duplicata é, em %, de 
a) 94,0. 
b) 97,2. 
c) 90,0. 
d) 96,0. 
e) 92,4. 
 
14. (FCC 2015/SEFAZ-PI) 
A taxa de desconto utilizada em um banco para as operações de desconto de títulos é de 24% ao 
ano. Se um título é descontado neste banco 3 meses antes de seu vencimento, verifica-se que o 
valor do desconto comercial simples supera o valor do desconto racional simples em R$ 73,80. O 
valor atual do título, considerando o desconto comercial simples, é igual a 
a) R$ 19.768,20 
b) R$ 20.238,20 
c) R$ 20.285,20 
d) R$ 20.332,20 
e) R$ 20.426,20 
15. (FCC 2015/MANAUSPREV) 
Em um banco, descontando-se um título 3 meses antes de seu vencimento e utilizando uma 
operação de desconto racional simples, a uma taxa de desconto de 2% ao mês, o valor do desconto 
é igual a R$ 1.590,00. Supondo como segunda opção que este mesmo título seja descontado 
utilizando uma operação de desconto comercial simples, também a uma taxa de desconto de 2% 
ao mês, tem-se que o valor presente encontrado para a primeira opção supera, em reais, o valor 
presente encontrado para a segunda opção em 
a) 80,10. 
b) 120,60. 
c) 95,40. 
d) 109,00. 
e) 90,00. 
16. (FCC 2014/TRT 19ª Região) 
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Um título foi apresentado em uma instituição financeira para desconto três meses antes do seu 
vencimento. O valor nominal da duplicata era de R$250.000,00 e a taxa de desconto comercial 
simples utilizada pelo banco foi de 3,65% ao mês. A taxa efetiva da operação no período foi, em %, 
de, aproximadamente, 
a) 12,30. 
b) 10,95. 
c) 8,76. 
d) 13,38. 
e) 7,87. 
17. (FCC 2014/TRT 13ª Região) 
Um empresário apresentou em um banco uma duplicata para desconto seis meses antes do seu 
vencimento. O título tinha valor nominal de R$145.000,00 e a taxa de desconto comercial simples 
utilizada pelo gerente da agência foi de 1,75% ao mês. A taxa efetiva da operação no período foi, 
em %, aproximadamente, 
a) 9,59. 
b) 12,98. 
c) 10,50. 
d) 11,73. 
e) 10,97. 
18. (FCC 2014/TRT 13ª Região) 
Um título com valor nominal de R$ 10.000,00 é resgatado três meses antes do vencimento, pelo 
valor líquido de R$ 8.500,00. A taxa de desconto comercial praticada nessa operação é de 
a) 17,65% no período. 
b) 5,00% ao mês. 
c) 5,57% ao mês. 
d) 4,77% ao mês. 
e) 16,50% no período. 
19. (FCC 2014/METRO SP) 
Dois títulos de valores nominais iguais são descontados por uma empresa, em um banco, 45 dias 
antes de seus vencimentos, a uma taxa de desconto de 24% ao ano e considerando a convenção 
do ano comercial. O primeiro título foi descontado utilizando-se uma operação de desconto 
racional simples e o segundo utilizando-se uma operação de desconto comercial simples. Se a 
soma dos valores dos descontos dos dois títulos foi igual a R$ 1.218,00, então a soma dos 
respectivos valores atuais foi igual a 
a) R$ 39.582,00. 
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b) R$ 39.782,00. 
c) R$ 38.782,00. 
d) R$ 39.182,00. 
e) R$ 39.982,00. 
20. (FCC 2013/SERGIPE GAS) 
Dois títulos, com a soma de seus valores nominais igual a R$ 48.100,00, são descontados em um 
banco 4 meses antes de seus vencimentos. O primeiro título foi descontado por meio de uma 
operação de desconto comercial simples e o segundo título foi descontado por meio de uma 
operação de desconto racional simples. Verificou-se que a soma dos respectivos valores atuais 
apresentou um valor igual a R$ 43.500,00. Se, em ambos os casos, a taxa de desconto considerada 
foi de 2,5% ao mês, o valor do desconto do título de maior valor nominal foi, em R$, igual a 
a) 2.600,00. 
b) 2.500,00. 
c) 2.250,00. 
d) 2.400,00. 
e) 2.100,00. 
21. (FCC 2013/PGE-BA) 
Uma duplicata foi descontada 3 meses antes de seu vencimento, segundo uma operação de 
desconto comercial simples, a uma taxa de desconto de 24% ao ano, e o valor atual do título foi 
igual a R$ 22.419,00. Caso fosse utilizada a operação de desconto racional simples, também a uma 
taxa de desconto de 24% ao ano, a soma dos valores dos descontos encontrados pelas duas 
operações seria igual a 
a) R$ 3.144,00. 
b) R$ 3.079,00. 
c) R$ 2.862,00. 
d) R$ 2.781,00. 
e) R$ 2.401,00. 
22. (FCC 2010/SERGIPE GAS) 
Descontado 2 meses antes de seu vencimento, um título apresentou um desconto no valor de R$ 
1.125,00. Se a operação realizada foi a do desconto racional simples, a uma taxa de desconto de 
30% ao ano, o valor nominal deste título é de 
a) R$ 21.000,00. 
b) R$ 21.855,00. 
c) R$ 22.685,00. 
d) R$ 23.100,00. 
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e) R$ 23.625,00. 
23. (FCC 2010/SEFAZ-SP) 
O valor do desconto de um título, em um banco, é igual a 2,5% de seu valor nominal. Sabe-se que 
este título foi descontado 50 dias antes de seu vencimento, segundo uma operação de desconto 
comercial simples e considerando a convenção do ano comercial. A taxa anual de desconto 
correspondente é igual a 
a) 12% 
b) 15% 
c) 18% 
d) 20% 
e) 24% 
 
 
24. (FCC 2010/Banco do Brasil) 
Um título descontado 2 meses antes de seu vencimento, segundo uma operação de desconto 
racional simples e com a utilização de uma taxa de desconto de 18% ao ano, apresenta um valor 
atual igual a R$ 21.000,00. Um outro título de valor nominal igual ao dobro do valor nominal do 
primeiro título é descontado 5 meses antes de seu vencimento, segundo uma operação de 
desconto comercial simples e com a utilização de uma taxa de desconto de 2% ao mês. O valor 
atual deste segundo título é de 
(A) R$ 42.160,80. 
(B) R$ 41.529,60. 
(C) R$ 40.664,40. 
(D) R$ 39.799,20. 
(E) R$ 38.934,00. 
25. (FCC 2010/Pref. de São Paulo) 
Dois títulos de valores nominais iguais são descontados 45 dias antes de seus vencimentos. Em um 
dos títulos foi utilizada a operação do desconto racional simples e no outro, a operação do 
desconto comercial simples. Em ambos os casos, considerou-se a taxa de desconto de 3% ao mês e 
a convenção do mês comercial. Se o valor do desconto correspondente ao título em que se utilizou 
a operação do desconto racional simples foi igual a R$ 900,00, então o valor do desconto do outro 
título foi igual a 
(A) R$ 909,00. 
(B) R$ 918,00. 
(C) R$ 922,50. 
(D) R$ 931,50. 
(E) R$ 940,50. 
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26. (CESPE 2017/Prefeitura de São Luís) 
 
Texto 11A3DDD 
 
Buscando melhorar suas vendas, uma loja de materiais de construção passou a vender seus 
produtos pelo “valor de vitrine”, por meio de cheque pré-datado para três meses a contar da data 
da compra. Um cliente comprou materiais que, pelo valor de vitrine, ficou em R$ 1.000, e preferiu 
antecipar o pagamento, pagando à vista com desconto equivalente à taxa juros simples de 2% ao 
mês. 
 
Ainda com referência à situação apresentada no texto 11A3DDD, se for utilizado o desconto 
racional simples, o cliente deverá pagar, à vista, 
 
a) menos de R$ 920. 
b) mais de R$ 920 e menos de R$ 940. 
c) mais de R$ 940 e menos de R$ 960. 
d) mais de R$ 960 e menos de R$ 980. 
e) mais de R$ 980. 
27. (CESPE 2017/Prefeitura de São Luís ) 
 
Texto 11A3DDD 
 
Buscando melhorar suas vendas, uma loja de materiais de construção passou a vender seus 
produtos pelo “valor de vitrine”, por meio de cheque pré-datado para três meses a contar da data 
da compra. Um cliente comprou materiais que, pelo valor de vitrine, ficou em R$ 1.000, e preferiu 
antecipar o pagamento, pagando à vista com desconto equivalente à taxa juros simples de 2% ao 
mês. 
 
Na situação apresentada no texto 11A3DDD, se for utilizado o desconto comercial simples, o 
cliente deverá pagar, à vista, o valor de 
 
a) R$ 980. 
b) R$ 994. 
c) R$ 998. 
d) R$ 940. 
e) R$ 960. 
 
28. (CESPE 2018/CAGE-RS) 
 
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No regime de jurossimples, um título com valor nominal de R$ 38.290,20 vence em 6 meses. A 
taxa de juros usada na negociação é de 24% ao ano e o resgate do título será feito dois meses 
antes de seu vencimento. 
 
Considerando o desconto racional, assinale a opção correspondente ao cálculo correto do valor a 
ser resgatado nessa situação. 
𝒂)
𝟑𝟖. 𝟐𝟗𝟎, 𝟐𝟎
\𝟏 + 𝟎, 𝟐𝟒𝟏𝟐 _
𝟒 
 
𝒃)	𝟑𝟖. 𝟐𝟗𝟎, 𝟐𝟎 × =𝟏 −
𝟎, 𝟐𝟒
𝟏𝟐 × 𝟐> 
 
𝒄)
𝟑𝟖. 𝟐𝟗𝟎, 𝟐𝟎
𝟏 + 𝟎, 𝟐𝟒𝟏𝟐 × 𝟐
 
 
𝒅)
𝟑𝟖. 𝟐𝟗𝟎, 𝟐𝟎
𝟏 + 𝟎, 𝟐𝟒𝟏𝟐 × 𝟒
	 
 
𝒆)
𝟑𝟖. 𝟐𝟗𝟎, 𝟐𝟎
\𝟏 + 𝟎, 𝟐𝟒𝟏𝟐 _
𝟐 
 
29. (CESPE 2018/CAGE-RS) 
Um comerciante contratou um estagiário, estudante 
 universitário, para cuidar dos registros das 
informações financeiras no sistema da loja. O banco do qual o comerciante é cliente oferece o 
serviço de desconto de cheques, cobrando a taxa de desconto comercial simples de 7,5% ao mês. 
Todavia, o sistema da loja só registra a taxa efetiva dessas operações. 
Nessa situação, se o comerciante depositar um cheque no valor de R$ 100 para ser descontado 
com antecedência de 1 mês, a taxa efetiva registrada pelo sistema da loja será 
A) inferior a 6,5%. 
 
B) superior a 6,5% e inferior a 7,5%. 
 
C) superior a 7,5% e inferior a 8,5%. 
 
D) superior a 8,5% e inferior a 9,5%. 
 
E) superior a 9,5%. 
30. (CESPE 2014/TJ-CE) 
Um título de valor nominal de R$ 20.000,00 foi descontado à taxa de desconto comercial simples 
de 5% ao mês. Sabendo-se que o valor do desconto foi de R$ 4.000,00, é correto afirmar que a taxa 
efetiva dessa operação é igual a 
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a) 6,25% ao mês 
b) 6,75% ao mês 
c) 7,25% ao mês 
d) 5,55% ao mês 
e) 5,75% ao mês 
(CESPE 2013/TCU 2013) 
Na contração de determinada empresa por certo órgão público, ficou acordado que o 
administrador pagaria R$ 200.000,00 para a contração do serviço, mais quatro parcelas iguais no 
valor de R$ 132.000,00 cada a serem pagas, respectivamente, no final do primeiro, segundo, 
terceiro e quarto anos consecutivos à assinatura do contrato. Considere que a empresa tenha 
concluído satisfatoriamente o serviço dois anos após a contração e que tenha sido negociada a 
antecipação das duas últimas parcelas para serem pagas juntamente com a segunda parcela. 
Com base nessa situação hipotética, julgue os itens a seguir. 
31. Se for decidida a utilização de desconto racional simples a uma taxa de 10% ao ano para 
pagamento das duas últimas parcelas, o valor total do desconto será́ superior a R$ 
35.000,00. 
32. Se for utilizado desconto comercial simples a uma taxa de 10% ao ano para pagamento 
das duas últimas parcelas, o valor total a ser pago à empresa no final do segundo ano será́ 
inferior a R$ 350.000,00. 
 
33. (CESPE 2013/ANP) 
Um produto é vendido em 12 parcelas mensais de R$ 175,00 sem entrada ou à vista por R$ 
1.970,00. Pedro não tinha o montante necessário para comprar o produto à vista, mas seu filho, 
Luke, possuía o valor necessário disponível em uma poupança, que remunerava à taxa de 0,5% 
a.m. Assim, Pedro propôs a seu filho um empréstimo, em que pagaria os mesmos juros que a loja 
cobra na venda do produto. 
 
Caso Luke empreste o dinheiro a seu pai e este decida, no momento do pagamento da oitava 
parcela, pagar também a décima segunda com um desconto simples racional à taxa de 0,5% 
a.m., o valor do desconto obtido será superior a R$ 3,50. 
34. (CESPE 2014/Câmara dos Deputados) 
 
No caso de ter havido uma venda a prazo no valor de R$ 200,00, com promessa de pagamento 
em 2 meses e taxa de juros de 10% a.m., se a venda tivesse sido à vista, o seu valor seria inferior a 
R$ 180,00. 
35. (CESPE 2015/CGE-PI) 
 
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Considerando que um título de valor nominal de R$ 2.300,00 será resgatado 5 meses antes do 
seu vencimento e, na operação, será usado o desconto comercial simples, julgue o item 
subsequente. 
 
Se, na operação em questão, forem estabelecidas taxa de desconto comercial simples de 3% ao 
mês e a cobrança de uma taxa de 3% incidente sobre o valor nominal, então o valor líquido 
liberado será inferior a R$ 1.900,00. 
36. (CESPE 2013/ TCE-ES ) 
 
Texto para a questão. 
 
Uma pessoa aplicou determinado capital durante cinco meses à taxa de juros simples de 4% ao 
mês, para saldar uma dívida de R$ 12.000,00, quatro meses antes do seu vencimento, à taxa de 
desconto comercial simples de 5% ao mês. 
 
Se o montante auferido pela aplicação corresponder ao valor atual da dívida na data de seu 
pagamento — valor descontado —, então o capital inicial aplicado terá sido 
 
a) superior a R$ 5.500 e inferior a R$ 6.500. 
b) superior a R$ 6.500 e inferior a R$ 7.500. 
c) superior a R$ 7.500 e inferior a R$ 8.500. 
d) superior a R$ 8.500. 
e) inferior a R$ 5.500. 
 
37. (CESPE 2013/ANP) 
 
Uma loja de roupas está em promoção: pagamento com cheque para noventa dias ou 
pagamento à vista, com 10% de desconto sobre o preço da vitrine. 
 
A taxa mensal de desconto comercial simples concedida a quem comprar roupas na loja, 
pagando à vista, será inferior a 3,5%. 
38. (CESPE 2013/ANP) 
 
Uma loja de roupas está em promoção: pagamento com cheque para noventa dias ou 
pagamento à vista, com 10% de desconto sobre o preço da vitrine. 
 
A taxa mensal de desconto racional simples concedida a quem comprar roupas na loja, com 
pagamento à vista, é superior a 3,5%. 
39. (CESPE 2013/TCE-ES ) 
Texto para a questão. 
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Uma pessoa aplicou determinado capital durante cinco meses à taxa de juros simples de 4% ao 
mês, para saldar uma dívida de R$ 12.000,00, quatro meses antes do seu vencimento, à taxa de 
desconto comercial simples de 5% ao mês. 
 
Nessa situação, a taxa mensal efetiva para o desconto comercial foi de 
 
a) 6%. 
b) 6,25%. 
c) 5%. 
d) 5,5%. 
e) 5,85%. 
(CESPE 2010/ABIN) 
Considerando que uma promissória de valor nominal de R$ 5.000,00 tenha sido descontada 5 
meses antes do seu vencimento, em um banco cuja taxa de desconto comercial simples (por fora) 
é de 5% ao mês, julgue os itens subsequentes. 
40. A taxa efetiva mensal dessa operação foi inferior a 6%. 
41. O valor recebido (valor descontado) foi inferior a R$ 3.800,00. 
 
 
42. (CESPE 2010/CEF) 
Se, ao descontar uma promissória com valor de face de R$ 5.000,00, seu detentor receber o valor 
de R$ 4.200,00, e se o prazo dessa operação for de 2 meses, então a taxa mensal de desconto 
simples por fora será igual a 
a) 5% 
b) 6% 
c) 7% 
d) 8% 
e) 9% 
 
43. (CESPE 2008/PM-CE) 
Caso um título de R$ 15.000,00 seja resgatado 3 meses antes de seu vencimento, sob o regime de 
juros simples e à taxa de juros de 12% ao ano, então o valor do desconto racional, ou por dentro, 
será superior a R$ 450,00. 
 
 
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44. (CESPE 2007/ISS-Vitória) 
Considere que uma pessoa pretenda quitar, 4 meses antes do vencimento, um título de valor 
nominal de R$ 7.800,00. Nesse caso, se for usado o desconto racional simples à taxa de 60% ao 
ano, a pessoa deve pagar menos de R$ 6.300,00. 
 
45. (CESPE 2009/IBRAM) 
Com relação a desconto, julgue o item abaixo. 
Considere que um título de valor nominal igual a R$ 5.000,00, com vencimento em um ano, esteja 
sendo liquidado dois meses antes. Nesse caso, se a taxa nominal de juros simples corrente é de 
36% ao ano e se o desconto considerado é o racional (ou por dentro), então a quantia que o 
devedor está deixando de pagar por liquidar o título antecipadamente é inferior a R$ 290,00. 
46. (CESGRANRIO 2018/PETROBRAS) 
Um cliente de uma loja de eletrodomésticos deseja antecipar duas parcelas iguais de R$ 1.000,00 
de seu financiamento, com vencimento para, respectivamente, 30 e 60 dias a partir de hoje. 
Considerando-se uma taxa de desconto de 2% a.m., desconto comercial simples e calendário 
comercial, quanto será exigido do cliente para quitar as duas parcelas? 
 
(A) R$ 1.940,00 
(B) R$ 1.940,40 
(C) R$ 1.941,93 
(D) R$ 1.960,00 
(E) R$ 2.000,00 
 
47. (CESGRANRIO 2011/BNDES) 
 
Considere uma nota promissória de valor nominal N e termo de 2 anos, emitida no dia de hoje. 
Qual deve ser a taxa aproximada de desconto mensal, a ser paga daqui a seis meses, para que o 
valor de resgate seja a metade do valor nominal, considerando o desconto racional simples? 
(A) 3,333% a.m. 
(B) 4,167% a.m. 
(C) 5,556% a.m. 
(D) 7,667% a.m. 
(E) 8,333% a.m. 
 
 
 
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48. (CESGRANRIO 2010/Petrobras) 
 
Um título sofreu desconto racional simples 3 meses antes do seu vencimento. A taxa utilizada na 
operação foi 5% ao mês. Se o valor do desconto foi R$ 798,00, é correto afirmar que o valor de 
face desse título, em reais, era 
(A) menor do que 5.400,00. 
(B) maior do que 5.400,00 e menor do que 5.600,00. 
(C) maior do que 5.600,00 e menor do que 5.800,00. 
(D) maior do que 5.800,00 e menor do que 6.000,00. 
(E) maior do que 6.000,00. 
 
49. (CESGRANRIO 2006/PROMINP) 
Qual é o valor atual, em reais, de um título cujo valor de face é R$ 2.000,00, descontado dois 
meses antes do vencimento (desconto simples por fora), sendo a taxa de desconto de 10% ao 
mês? 
(A) 1.600,00 
(B) 1.620,00 
(C) 1.680,00 
(D) 1.720,00 
(E) 1.800,00 
 
50. (CESGRANRIO 2010/Petrobras) 
Um cheque pré-datado para daqui a 3 meses, no valor de R$ 400,00, sofrerá desconto comercial 
simples hoje. Se a taxa de desconto é de 12% ao mês, o valor a ser recebido (valor descontado), em 
reais, será igual a 
(A) 400,00 
(B) 352,00 
(C) 256,00 
(D) 144,00 
(E) 48,00 
 
 
 
 
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51. (CESGRANRIO 2009/BNDES) 
Uma promissória sofrerá desconto comercial 2 meses e 20 dias antes do vencimento, à taxa 
simples de 18% ao ano. O banco que descontará a promissória reterá, a título de saldo médio, 7% 
do valor de face durante o período que se inicia na data do desconto e que termina na data do 
vencimento da promissória. Há ainda IOF de 1% sobre o valor nominal. Para que o valor líquido, 
recebido no momento do desconto, seja R$ 4.620,00, o valor nominal, em reais, desprezando-se os 
centavos, deverá ser 
(A) 5.104 
(B) 5.191 
(C) 5.250 
(D) 5.280 
(E) 5.344 
52. (CESGRANRIO 2008/Petrobras) 
A fim de antecipar o recebimento de cheques pré-datados, um lojista paga 2,5% a.m. de desconto 
comercial. Em março, ele fez uma promoção de pagar somente depois do Dia das Mães e recebeu 
um total de R$120.000,00 em cheques pré-datados, com data de vencimento para 2 meses depois. 
Nesta situação, ele pagará, em reais, um desconto total de 
(A) 6.000,00 
(B) 5.200,00 
(C) 5.000,00 
(D) 4.500,00 
(E) 4.000,00 
53. (CESGRANRIO 2011/BNDES) 
Uma nota promissória com valor nominal de R$ 150.000,00 foi descontada em um banco 100 dias 
antes do vencimento, à taxa de desconto de 2% a.m., mais 5% sobre o valor nominal, a título de 
despesas bancárias. 
Considerando a sistemática de desconto bancário simples e ano comercial, o valor descontado é, 
aproximadamente, 
(A) R$ 132.500,00 
(B) R$ 135.150,00 
(C) R$ 137.200,00 
(D) R$ 140.000,00 
(E) R$ 142.800,00 
54. (CESGRANRIO 2014/EPE) 
No controle e acompanhamento do orçamento de caixa, uma empresa comprovou a existência de 
uma sobra de dinheiro, elevada e consistente, para o próximo ano. 
Em decorrência, a empresa decidiu pagar, antecipadamente, a dívida bancária de R$ 350.000,00, 
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vencível dentro de 4 meses, contados do dia do pagamento antecipado, com uma taxa de 
desconto comercial, negociada com o banco, a juros simples, de 30% ao ano. 
Nesse contexto, o valor pago na quitação dessa dívida, nos termos do desconto comercial simples 
(desconto por fora) negociado, em reais, foi de 
(A) 245.000,00 
(B) 315.000,00 
(C) 318.182,00 
(D) 323.750,00 
(E) 341.250,00 
55. (CESGRANRIO 2012/Petrobras) 
Um título com valor de face de R$ 4.000,00 que tenha sido resgatado a uma taxa de desconto 
bancário simples de 3% ao mês, um mês antes do vencimento, terá o valor presente, em reais, de 
(A) 2.800,00 
(B) 3.880,00 
(C) 3.883,50 
(D) 4.120,00 
(E) 4.173,20 
56. (CESGRANRIO 2013/BNDES) 
Um comerciante descontou um cheque pré-datado para 30 dias, no valor de R$ 30.000,00, tendo o 
banco cobrado uma taxa de desconto simples de 5,00% ao mês. 
Qual é o valor, em reais, emprestado ao lojista, e qual é a taxa efetiva de juros simples ao mês 
cobrada do cliente, respectivamente? 
(A) 28.500,00 e 5,00% 
(B) 28.500,00 e 5,26% 
(C) 30.000,00 e 5,00% 
(D) 30.000,00 e 5,26% 
(E) 30.000,00 e 5,52% 
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 39 
103 
 
8. GABARITOS 
 
 
01. E 
02. C 
03. C 
04. C 
05. E 
06. E 
07. C 
08. A 
09. E 
10. E 
11. C 
12. A 
13. B 
14. E 
15. C 
16. A 
17. D 
18. B 
19. E 
20. B 
21. D 
22. E 
23. C 
24. E 
25. E 
26. C 
27. D 
28. C 
29. C 
30. A 
31. Errado 
32. Errado 
33. Errado 
34. Certo 
35. Certo 
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36. C 
37. Certo 
38. Certo 
39. B 
40. Errado 
41. Certo 
42. D 
43. Errado 
44. Errado 
45. Certo 
46. A 
47. C 
48. E 
49. A 
50. C 
51. C 
52. A 
53. A 
54. B 
55. B 
56. B 
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103 
 
9. LISTA DE QUESTÕES DE CONCURSOS ANTERIORES COM COMENTÁRIOS 
 
1. (VUNESP 2019/TJ-SP Administrador Judiciário) 
O valor atual de um título descontado 3 meses antes de seu vencimento foi igual a R$ 19.100,00. A 
taxa de desconto utilizada foi de 18% ao ano, segundo uma operação de desconto comercial 
simples. Se a taxa de desconto tivesse sido de 14,4% ao ano, então o valor atual desse título seria 
de 
a) R$ 19.200,00 
b) R$ 19.160,00 
c) R$ 19.250,00 
d) R$ 19.120,00 
e) R$ 19.280,00 
Resolução 
 
Na primeira operação de desconto comercial simples, temos que 𝐴 = 19.100, 𝑛 = 3	𝑚𝑒𝑠𝑒𝑠 e a 
taxa é de 𝑖 = 18%/12 = 1,5% ao mês. Vamos calcular o valor nominal do título. 
 
𝐴 = 𝑁 ∙ (1 − 𝑖𝑛) 
 
19.100 = 𝑁 ∙ (1 − 3 ∙ 0,015) 
 
19.100 = 0,955 ∙ 𝑁 
 
𝑁 =
19.100
0,955 
 
Vamos igualar a quantidade de casas decimais e apagar as vírgulas. 
 
𝑁 =
19.100,000
0,955 =
19.100.000
955 
 
Para efetuar rapidamente essa divisão, basta perceber que 191 × 5 = 955. Logo, teríamos 
 
 
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103 
𝑁 =
191 × 100.000
191 × 5 =
100.000
5 = 20.000 
 
 
Vamos agora aplicar a fórmula do desconto comercial simples 𝐷 = 𝑁 ∙ 𝑖 ∙ 𝑛 com uma taxa de 
14,4% ao ano, que equivale a 𝑖 = 14,4%/12 = 1,2% ao mês. 
 
𝐷 = 𝑁 ∙ 𝑖 ∙ 𝑛 
 
𝐷 = 20.000 ∙
1,2
100 ∙ 3 
 
𝐷 = 720 
 
Assim, o valor atual seria: 
 
𝐴 = 𝑁 − 𝐷 
 
𝐴 = 20.000 − 720 
 
𝐴 = 19.280 
Gabarito: E 
 
2. (VUNESP 2018/Prefeitura de São Paulo) 
Um lojista vendeu R$ 1.500,00 de produtos em três cheques pré-datados de R$ 500,00 cada um, 
para 30, 60 e 90 dias, respectivamente. Necessitando antecipar os recebimentos, ele faz uma 
operação de desconto comercial à taxa de 6% ao mês. Então, o valor recebido após o desconto é 
de: 
a) R$ 1.380,00. 
b) R$ 1.350,00. 
c) R$ 1.320,00. 
d) R$ 1.410,00. 
e) R$ 1.440,00. 
Resolução 
Os prazos dos cheques pré-datados são de 1, 2 e 3 meses. Vamos calcular o desconto de cada 
cheque (o valor nominal de cada cheque é de 500 reais) utilizando a fórmula do desconto 
comercial simples 𝐷 = 𝑁 ∙ 𝑖 ∙ 𝑛. 
 
𝐷ghijk = 𝐷l + 𝐷m + 𝐷n 
 
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Os valores nominais e as taxas são iguais nos três descontos. 
 
𝐷ghijk = 𝑁 ∙ 𝑖 ∙ 𝑛l + 𝑁 ∙ 𝑖 ∙ 𝑛m + 𝑁 ∙ 𝑖 ∙ 𝑛n 
 
Para facilitar os cálculos, podemos colocar 𝑁 ∙ 𝑖 em evidência. 
 
𝐷ghijk = 𝑁 ∙ 𝑖 ∙ (𝑛l + 𝑛m + 𝑛n) 
 
𝐷ghijk = 500 ∙
6
100 ∙ (1 + 2 + 3) 
 
𝐷ghijk = 5 ∙ 6 ∙ 6 = 180 
 
O desconto total é de 180 reais. Assim, o valor recebido após o desconto é de 
 
1.500 − 180 = 1.320 
Gabarito: C 
 
 
3. (VUNESP 2018/Prefeitura de São Bernardo do Campo) 
Um título de valor N será descontado 4 meses antes do vencimento à taxa de desconto simples de 
3% ao mês. Considere Vr o valor líquido do resgate se a modalidade da operação for de desconto 
racional; e Vc o valor líquido do resgate se a modalidade da operação for de desconto comercial. 
Comparando os valores de Vr e Vc, assinale a alternativa que melhor representa a relação entre 
eles. 
a) Vc = 1,50 Vr. 
b) Vc = 1,25 Vr. 
c) Vc = 0,98 Vr. 
d) Vc = 0,87 Vr. 
e) Vc = 0,45 Vr. 
Resolução 
O valor líquido de resgate é o valor atual na operação de desconto. 
 
No desconto racional simples, a relação entre o valor nominal e atual é: 
 
𝑁 = 𝐴 ∙ (1 + 𝑖𝑛) 
 
O valor atual foi chamado de 𝑉o. Logo, 
 
𝑁 = 𝑉o ∙ (1 + 0,03 ∙ 4) 
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𝑁 = 𝑉o ∙ 1,12 
 
No desconto comercial simples, a relação entre o valor nominal e atual é: 
 
𝐴 = 𝑁 ∙ (1 − 𝑖𝑛) 
 
O valor atual foi chamado de 𝑉F. Logo, 
 
𝑉F = 𝑁 ∙ (1 − 0,03 ∙ 4) 
 
𝑉F = 𝑁 ∙ 0,88 
 
𝑁 =
𝑉F
0,88 
 
Como o valor nominal é o mesmo nas duas operações, temos: 
 
1,12 ∙ 𝑉o =
𝑉F
0,88 
 
𝑉F = 1,12 ∙ 𝑉o ∙ 0,88 
 
𝑉F = 0,9856 ∙ 𝑉o	 
 
Arredondando para duas casas decimais, a resposta é a alternativa C. 
 
Gabarito: C 
 
4. (VUNESP 2014/DESENVOLVE-SP) 
Uma operação de desconto bancário foi feita com um título cujo valor de face é de R$ 10.000,00 e 
vencimento em 120 dias. Se a taxa de desconto utilizada foi de 84% a.a. e o valor da operação foi 
de R$ 7.000,00, de quanto foi a tarifa cobrada pelo banco? 
a) Zero. 
b) 1%. 
c) 2%. 
d) 5%. 
e) 7%. 
Resolução 
O desconto bancário é um desconto comercial em que há ainda o desconto de tarifas bancárias. 
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𝐴 = 𝑁 − 𝐷 − 𝑡𝑎𝑥𝑎𝑠 
 
𝐴 = 𝑁 − 𝑁 ∙ 𝑖 ∙ 𝑛 − 𝑇 
A questão, de forma confusa, tentou dizer que o valor atual foi igual a 7 mil reais. 
O ano comercial possui 360 dias. Portanto, o prazo de 120 dias equivale a 1/3 do ano. 
 
7.000 = 10.000 − 10.000 ∙
84
100 ∙
1
3 − 𝑇 
 
7.000 = 10.000 − 2.800 − 𝑇 
 
𝑇 = 200 
 
A tarifa foi de 200 reais. Como o valor de face é de 10.000 reais, então a tarifa, em termos 
percentuais, é igual a: 
200
10.000 = 0,02 = 2% 
Gabarito: C 
 
 
5. (FCC 2019/BANRISUL) 
Uma duplicata é descontada em um banco 4 meses antes de seu vencimento, segundo uma 
operação de desconto comercial simples, com uma taxa de desconto de 24% ao ano. O valor do 
desconto dessa operação foi de R$ 1.800,00. Caso a taxa de desconto utilizada tivesse sido de 18% 
ao ano, o valor presente teria sido, em R$, de 
(A) 20.680,00. 
(B) 22.560,00. 
(C) 20.700,00. 
(D) 23.500,00. 
(E) 21.150,00. 
Resolução 
Na primeira situação, a taxa mensal é de: 
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𝑖 =
24%
12 = 2% 
 
Vamos aplicar a fórmula do desconto comercial simples. 
 
𝐷 = 𝑁 ∙ 𝑖 ∙ 𝑛 
 
1.800 = 𝑁 ∙
2
100 ∙ 4 
 
1.800 = 𝑁 ∙
8
100 
 
8𝑁 = 180.000 
 
𝑁 = 22.500 
 
Vamos agora calcular o valor do desconto se a taxa fosse de 18% ao ano. A taxa mensal nesse caso 
é de: 
𝑖 =
18%
12 = 1,5% 
 
Portanto, o valor do desconto comercial simples é: 
𝐷 = 𝑁 ∙ 𝑖 ∙ 𝑛 
 
𝐷 = 22.500 ∙
1,5
100 ∙ 4 
 
𝐷 = 1.350 
 
Portanto, o valor atual seria: 
 
𝐴 = 𝑁 − 𝐷 
 
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103 
𝐴 = 22.500 − 1.350 
 
𝐴 = 21.150 
Gabarito: E 
 
6. (FCC 2016/ELETROSUL) 
No dia de hoje, uma pessoa recebe o montante decorrente de uma aplicação financeira de R$ 
5.000,00, realizada 2 anos antes, a uma taxa de juros composta de 20% ao ano. Também hoje, essa 
pessoa paga antecipadamente, com desconto, uma dívida que vence em 5 meses, com valor final 
de R$ 6.000,00, a uma taxa de juros simples de 3% ao mês. 
 Considerando essas duas operações, ao final do dia essa pessoa terá um fluxo de caixa, em R$, de 
a) 1.950,41. 
b) 1.824,35. 
c) 2.024,35. 
d) 1.782,61. 
e) 1.982,61. 
Resolução 
Ainda não estudamos a operação de juros compostos, mas já vamos adiantar a fórmula para 
calcular o montante na capitalização composta: 𝑀 = 𝐶 ∙ (1 + 𝑖)s. 
Nessa questão, temos duas operações: uma de juros compostos e uma de desconto simples. 
i) Operação de juros compostos 
A pessoa aplicou um capital de 5 mil reais (𝐶 = 5.000) durante dois anos a uma taxa de juros 
compostos de 20% ao ano. Vamos aplicar a fórmula do montante na capitalização composta. 
𝑀 = 𝐶 ∙ (1 + 𝑖)s 
 
𝑀 = 5.000 ∙ (1 + 0,20)m 
 
𝑀 = 5.000 ∙ 1,44 = 7.200 
 
ii) Operação de desconto simples 
 
O sujeito possui uma dívida de 6 mil reais que vence em 5 meses. Como a questão que fala que 
temos uma TAXA DE JUROS SIMPLES de 3% ao mês, então o desconto se dará através de um 
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103 
desconto racional simples (lembre-se que o desconto racional equivale a uma operação de juros 
simples). 
Vamos calcular o valor atual. 
𝑁 = 𝐴 ∙ (1 + 𝑖𝑛) 
 
6.000 = 𝐴 ∙ (1 + 0,03 ∙ 5) 
 
6.000 = 1,15𝐴 
 
𝐴 =
6.000
1,15 ≅ 5.217,39 
 
Assim, a pessoa RECEBE 7.200 reais e PAGA 5.217,39 reais. Seu saldo é de: 
7.200 − 5.217,39 = 1.982,61	𝑟𝑒𝑎𝑖𝑠 
Gabarito: E 
 
7. (FCC 2016/Prefeitura de Teresina) 
O valor recebido, na data de hoje, por uma empresa que descontou um título de valor nominal de 
R$ 23.650,00 que vence daqui a 4 meses é igual a R$ 21.285,00. Sabe-se que foi utilizada a 
operação do desconto comercial simples a uma taxa de desconto mensal igual a 𝑖. Caso fosse 
utilizada a operação do desconto racional simples, também a uma taxa de desconto mensal igual 
a 𝑖, verifica-se que o valor do desconto, em R$, seria de 
a) 2.200,00. 
b) 2.365,00. 
c) 2.150,00. 
d) 2.050,00. 
e) 2.250,00. 
Resolução 
Quando queremos comparar duas operações de desconto, há algo que nunca muda: o valor 
nominal. Ora, o valor nominal é o valor da dívida!! O valor nominal independe da modalidade de 
desconto. 
 
Na primeira situação, temos um título de 23.650 reais (valor nominal) que vence daqui a 4 meses. 
Esse título foi desconto hoje por 21.285 reais (valor atual). Portanto, o desconto foi de: 
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𝐷 = 𝑁 − 𝐴 
 
𝐷 = 23.650 − 21.285 
 
𝐷 = 2.365	𝑟𝑒𝑎𝑖𝑠 
 
Vamos aplicar a fórmula do desconto comercial simples. 
 
𝐷 = 𝑁 ∙ 𝑖 ∙ 𝑛 
 
2.365 = 23.650 ∙ 4 ∙ 𝑖 
 
Observe que não vale a pena multiplicar 23.650 por 5, pois 23.650 é múltiplo de 2.365. 
 
2.365
23.650 = 4𝑖 
 
0,1 = 4𝑖 
 
𝑖 = 0,025 
 
Vamos agora calcular o valor do desconto se a operação fosse de desconto racional simples. 
Sabemos que o valor nominal é de 23.650 reais e a taxa é 𝑖 = 0,025. 
Vamos primeiro calcular o valor atual. 
𝑁 = 𝐴 ∙ (1 + 𝑖𝑛) 
 
23.650 = 𝐴 ∙ (1 + 0,025 ∙ 4) 
 
23.650 = 𝐴 ∙ 1,1 
 
𝐴 =
23.650
1,1 = 21.500 
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Portanto, o desconto racional simples é de: 
𝐷P = 23.650 − 21.500 
 
𝐷P = 2.150	𝑟𝑒𝑎𝑖𝑠 
 
Depois de calculada a taxa, também poderíamos utilizar a fórmula que relaciona os descontos. 
 
𝐷O = 𝐷P ∙ (1 + 𝑖𝑛) 
 
2.365 = 𝐷P ∙ (1 + 0,025 ∙ 4) 
 
2.365 = 𝐷P ∙ 1,1 
 
𝐷P = 2.150 
 
Gabarito: C 
 
8. (FCC 2016/TRF 3ª Região) 
A tabela abaixo fornece os valores recebidos por uma empresa, na data de hoje, correspondentes 
aos descontos de 3 títulos em um banco. A taxa de desconto utilizada pelo banco é de 18% ao ano 
para qualquer operação. 
 
Se a soma dos valores nominais dos 3 títulos é igual a R$ 50.000,00, então X é, em R$, igual a 
(A) 9.960,65.
 
(B) 10.056,15.
 
(C) 9.769,65. 
(D) 10.247,15. 
(E) 9.865,15. 
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103 
Resolução 
A taxa em todas as operações é de 18% ao ano = 1,5% ao mês. 
Título 1 
Valor atual: A = 19.000 
No desconto racional simples, é válida a seguinte relação: 
𝑁l 	= 	𝐴(1 + 𝑖𝑛) 
 
𝑁l = 19.000 ∙ (1 + 0,015 × 2) = 19.570 
 
Título 3 
Valor atual: A = 18.500 
No desconto comercial simples, é válida a seguinte relação: 
𝐴 = 𝑁m(1 − 𝑖𝑛) 
 
18.500 = 𝑁m(1 − 0,015 × 5) 
 
𝑁m =
18.500
0,925 = 20.000 
A soma dos valores nominais dos 3 títulos é igual a R$ 50.000,00. O valor nominal do primeiro 
título é 19.570 reais e o valor nominal do terceiro título é 20.000 reais. 
Assim, o valor nominal do segundo título é 50.000 – 19.570 – 20.000 = 10.430. 
Título 2 
Valor nominal: N3 = 10.430. 
Queremos saber o valor atual (valor recebido). 
No desconto comercial simples, é válida a seguinte relação. 
𝐴 = 𝑁n(1 − 𝑖𝑛) 
 
𝐴 = 10.430 ∙ (1 − 0,015 × 3) = 9.960,65 
 
Gabarito: A 
 
9. (FCC 2016/COPERGÁS) 
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 52 
103 
Uma empresa consegue, por meio do desconto de 2 títulos em um banco, receber o valor total de 
R$ 40.180,00. A taxa de desconto do banco é de 18% ao ano para qualquer operação de desconto 
e ambos os títulos foram descontados 4 meses antes de seus vencimentos. Sabe-se que para o 
primeiro título utilizou-se a operação de desconto racional simples e, para o segundo, a operação 
de desconto comercial simples. Se o valor nominal do segundo título é igual a R$ 22.000,00, então 
o valor nominal do primeiro título é, em reais, igual a 
a) 21.200,00. 
b) 22.790,00. 
c) 19.080,00. 
d) 22.260,00. 
e) 20.670,00. 
Resolução 
Vamos calcular a taxa mensal. Para tanto, basta dividir a taxa anual por 12. 
𝑖 =
18%
12 = 1,5%	𝑎𝑜	𝑚ê𝑠 
Vamos começar com o segundo título. Seu valor nominal é de 22 mil reais, o prazo de antecipação 
é de 4 meses, a taxa é de 1,5% ao mês e a operação é um desconto comercial simples. 
𝐷O = 𝑁 ∙ 𝑖 ∙ 𝑛 
 
𝐷O = 22.000 ∙
1,5
100 ∙ 4 
 
𝐷O = 1.320 
 
Assim, o valor atual do segundo título é igual a: 
𝐴O = 𝑁 − 𝐷O 
 
𝐴O = 22.000 − 1.320 
 
𝐴O = 20.680 
 
A soma dos dois valores atuais é R$ 40.180,00 e um deles vale R$ 20.680,00. Assim, o valor atual 
do primeiro título é: 
𝐴P = 40.180− 20.680 
 
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𝐴P = 19.500 
 
A operação do primeiro título é um desconto racional simples. Vamos calcular o valor do desconto. 
𝐷P = 𝐴P ∙ 𝑖 ∙ 𝑛 
 
𝐷P = 19.500 ∙
1,5
100 ∙ 4 
 
𝐷P = 1.170 
 
Já sabemos o valor atual do primeiro título e também sabemos o desconto. Facilmente podemos 
calcular seu valor nominal. 
𝑁P = 𝐴P + 𝐷P 
 
𝑁P = 19.500 + 1.170 
 
𝑁P = 20.670 
Gabarito: E 
 
10. (FCC 2016/Pref. de Teresina) 
Se um título de valor nominal igual a R$ 22.500,00 for descontado em um banco 3 meses antes de 
seu vencimento, então apresentará um valor de desconto igual a R$ 1.350,00. Considerando que 
as operações neste banco sejam somente do desconto comercial simples e com a mesma taxa de 
desconto, obtém-se que se este mesmo título for descontado 4 meses antes de seu vencimento o 
seu valor atual será, em reais, 
a) 22.050,00 
b) 20.500,00 
c) 21.150,00 
d) 21.600,00 
e) 20.700,00 
Resolução 
Na primeira situação do desconto comercial simples, temos um valor nominal de 22.500 reais, um 
prazo de 3 meses e desconto igual a 1.350 reais. Vamos calcular a taxa. 
 
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𝐷 = 𝑁 ∙ 𝑖 ∙ 𝑛 
 
1.350 = 22.500 ∙ 𝑖 ∙ 3 
 
1.350 = 67.500 ∙ 𝑖 
 
𝑖 =
1.350
67.500 = 0,02 
 
Vamos calcular o valor do desconto com o prazo igual a 4 meses. 
𝐷 = 𝑁 ∙ 𝑖 ∙ 𝑛 
 
𝐷 = 22.500 ∙ 0,02 ∙ 4 
 
𝐷 = 1.800 
 
Assim, o valor atual para n = 4 é: 
𝐴 = 𝑁 − 𝐷 = 22.500 − 1.800 
 
𝐴 = 20.700 
Gabarito: E 
 
11. (FCC 2015/TCE-SP) 
Considere que um título é descontado em um banco 3 meses antes de seu vencimento a uma taxa 
de desconto de 18% ao ano. Sabe-se que foi utilizada a operação de desconto racional simples e o 
valor presente do título foi igual a R$ 12.000,00. Um outro título de valor nominal igual ao dobro 
do valor nominal do primeiro título também é descontado 3 meses antes de seu vencimento a uma 
taxa de desconto de 18% ao ano. Se para este outro título foi utilizada a operação de desconto 
comercial simples, então o valor presente deste outro título é de 
a) R$ 23.435,70. 
b) R$ 22.920,00. 
c) R$ 23.951,40. 
d) R$ 24.830,00. 
e) R$ 24.448,00. 
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Resolução 
 
Vamos calcular a taxa mensal. Para tanto, basta dividir a taxa anual por 12. 
𝑖 =
18%
12 = 1,5%	𝑎𝑜	𝑚ê𝑠 
Na primeira situação, temos um desconto racional simples (prazo de 3 meses, taxa de 1,5% ao mês 
e valor atual igual a 12 mil reais). Vamos calcular o valor do desconto. 
𝐷P = 𝐴P ∙ 𝑖 ∙ 𝑛 
 
𝐷P = 12.000 ∙
1,5
100 ∙ 3 
 
𝐷P = 540	𝑟𝑒𝑎𝑖𝑠 
 
O valor nominal é a soma do valor presente com o valor do desconto. 
𝑁 = 𝐴P + 𝐷P 
 
𝑁 = 12.000 + 540 
 
𝑁 = 12.540 
 
Vamos agora trabalhar com um título cujo valor nominal é o dobro, ou seja, 𝑁O = 2 × 12.540 =
25.080 reais. 
A operação será de desconto comercial simples (taxa de 1,5% ao mês e prazo de 3 meses). 
𝐷O = 𝑁O ∙ 𝑖 ∙ 𝑛 
 
𝐷O = 25.080 ∙
1,5
100 ∙ 3 
 
𝐷O = 1.128,60 
 
Portanto, o valor presente (atual) do segundo título é: 
𝐴O = 𝑁O − 𝐷O 
 
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𝐴O = 25.080 − 1.128,60 
 
𝐴O = 23.951,40 
 
Gabarito: C 
12. (FCC 2015/SEFAZ-PI) 
Três meses antes de seus vencimentos, dois títulos foram descontados em um banco, com taxa de 
desconto de 48% ao ano. Sabe-se que o valor nominal do primeiro título era o dobro do valor 
nominal do segundo. Para o primeiro, utilizou-se a operação de desconto comercial simples e, para 
o segundo, a de desconto racional simples. Se a soma dos descontos foi igual a R$ 1.215,00, então, 
o módulo da diferença entre os dois valores líquidos recebidos foi 
a) R$ 3.035,00 
b) R$ 3.500,00 
c) R$ 3.830,00 
d) R$ 3.965,00 
e) R$ 9.285,00 
Resolução 
Vamos calcular a taxa mensal dividindo a taxa anual por 12. 
𝑖 =
48%
12 = 4%	𝑎𝑜	𝑚ê𝑠 
São dois títulos. O valor nominal do primeiro título é o dobro do valor nominal do segundo. Assim, 
vamos assumir que 𝑥 é o valor nominal do SEGUNDO título e 2𝑥 é o valor nominal do primeiro 
título. 
O primeiro título sofreu um desconto comercial simples. 
𝐷l = 𝑁𝑜𝑚𝑖𝑛𝑎𝑙 × 𝑡𝑎𝑥𝑎 × 𝑡𝑒𝑚𝑝𝑜 
 
𝐷l = 2𝑥 ∙
4
100 ∙ 3 
 
𝐷l = 0,24𝑥 
 
O segundo título sofreu um desconto racional simples. 
Sabemos que o desconto racional é rapidamente calculado pela seguinte fórmula. 
𝐷m = 𝐴𝑡𝑢𝑎𝑙 × 𝑡𝑎𝑥𝑎 × 𝑡𝑒𝑚𝑝𝑜 = 𝐴 ∙ 𝑖 ∙ 𝑛 
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Entretanto, não sabemos o valor atual. Por isso, vamos utilizar a outra fórmula que permite 
calcular o valor do desconto racional em função do valor nominal. 
𝐷m =
𝑁 ∙ 𝑖 ∙ 𝑛
1 + 𝑖𝑛 
 
𝐷m =
𝑥 ∙ 0,04 ∙ 3
1 + 0,04 ∙ 3 
 
𝐷m =
0,12𝑥
1,12 
 
A soma dos dois descontos é igual a 1.215 reais. 
 
𝐷l + 𝐷m = 1.215 
 
0,24𝑥 +
0,12𝑥
1,12 = 1.215 
 
Vamos multiplicar todos os termos por 1,12. 
 
1,12 ∙ 0,24𝑥 + 1,12 ∙
0,12𝑥
1,12 = 1.215 ∙ 1,12 
 
0,2688𝑥 + 0,12𝑥 = 1.360,80 
 
0,3888𝑥 = 1.360,80 
 
𝑥 = 3.500 
 
Vamos agora calcular os valores atuais. 
 
𝐴l = 𝑁l − 𝐷l 
 
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𝐴l = 2𝑥 − 0,24𝑥 = 1,76𝑥 
 
𝐴l = 1,76 × 3.500 = 6.160	 
𝐴m = 𝑁m − 𝐷m 
 
𝐴m = 𝑥 −
0,12𝑥
1,12 
 
𝐴m = 3.500 −
0,12 ∙ 3.500
1,12 = 3.125	 
 
Queremos calcular a diferença entre os valores atuais. 
 
𝐴l − 𝐴m = 6.160 − 3.125 
 
𝐴l − 𝐴m = 3.035 
 
Gabarito: A 
 
 
13. (FCC 2014/TRF 3ª Região) 
Duas duplicatas de valores nominais iguais são descontadas em um banco a uma taxa de 24,0% ao 
ano. Sabe-se que a primeira duplicata foi descontada 4 meses antes de seu vencimento, segundo 
uma operação de desconto racional simples, e o valor do desconto foi igual a R$ 1.200,00. A 
segunda duplicata foi descontada 5 meses antes de seu vencimento, segundo uma operação de 
desconto comercial simples. A porcentagem que o valor presente da segunda duplicata representa 
do valor presente da primeira duplicata é, em %, de 
a) 94,0. 
b) 97,2. 
c) 90,0. 
d) 96,0. 
e) 92,4. 
Resolução 
Vamos calcular a taxa mensal dividindo a taxa anual por 12. 
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𝑖 =
24%
12 = 2%	𝑎𝑜	𝑚ê𝑠 
A primeira duplicata sofre um desconto de 1.200 reais. O prazo foi de 4 meses e o desconto foi 
racional simples. 
𝐷P = 𝐴P ∙ 𝑖 ∙ 𝑛 
 
1.200 = 𝐴P ∙
2
100 ∙ 4 
 
1.200 × 100 = 𝐴P ∙ 8 
 
𝐴P = 15.000 
O valor nominal é a soma do valor atual com o desconto. 
𝑁 = 𝐴P + 𝐷P 
 
𝑁 = 15.000 + 1.200 
 
𝑁 = 16.200 
 
As duas duplicatas possuem o mesmo valor nominal. 
Assim, a segunda duplicata, de valor nominal N = 16.200 reais, sofre um desconto comercial 
simples (taxa de 2% ao ano e prazo de 5 meses). 
𝐷O = 𝑁 ∙ 𝑖 ∙ 𝑛 
 
𝐷O = 16.200 ∙
2
100 ∙ 5 
 
𝐷O = 1.620 
 
Vamos calcular o valor atual da segunda duplicata. 
 
𝐴O = 𝑁 − 𝐷O 
 
𝐴O = 16.200 − 1.620 = 14.580 
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Queremos saber quantos por cento o valor presente da segunda duplicata representa do valor 
presente da primeira duplicata. Para tanto, devemos dividir o valor presente da segunda duplicata 
pelo valor presente da primeira duplicata. 
 
𝐴O
𝐴P
=
14.580
15.000 = 0,972 = 97,2% 
Gabarito: B 
 
14. (FCC 2015/SEFAZ-PI) 
A taxa de desconto utilizada em um banco para as operações de desconto de títulos é de 24% ao 
ano. Se um título é descontado neste banco 3 meses antes de seu vencimento, verifica-se que o 
valor do desconto comercial simples supera o valor do desconto racional simples em R$ 73,80. O 
valor atual do título, considerando o desconto comercial simples, é igual a 
a) R$ 19.768,20 
b) R$ 20.238,20 
c) R$ 20.285,20 
d) R$ 20.332,20 
e) R$ 20.426,20 
Resolução 
Vamos calcular a taxa mensal dividindo a taxa anual por 12. 
𝑖 =
24%
12 = 2%	𝑎𝑜	𝑚ê𝑠 
Quando queremos comparar um desconto comercial simples com um desconto racional simples, 
podemos utilizar a fórmula seguinte, se os parâmetros (valor nominal, taxa e prazo) forem iguais 
nos dois casos: 
𝐷O = 𝐷P ∙ (1 + 𝑖𝑛) 
 
Assim, 
𝐷O = 𝐷P ∙ (1 + 0,02 ∙ 3) 
 
𝐷O = 𝐷P ∙ 1,06 
 
Atente para o fato de que só foi possível utilizar essa fórmula porque os valores parâmetros são 
iguais nos dois descontos. 
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Sabemos ainda que a diferença entre os descontos é R$ 73,80. 
 
𝐷O − 𝐷P = 73,80 
 
𝐷P ∙ 1,06xyyzyy{
ST
− 𝐷P = 73,80 
 
0,06 ∙ 𝐷P = 73,80 
 
𝐷P =
73,80
0,06 
 
𝐷P = 1.230 
 
Vamos calcular o valor do desconto comercial simples. 
𝐷O − 𝐷P = 73,80 
 
𝐷O − 1.230 = 73,80 
 
𝐷O = 1.303,80 
 
Queremos calcular o valor atual considerando o desconto comercial simples. Vamos aplicar a 
fórmula do desconto comercial simples. 
 
𝐷O = 𝑁 ∙ 𝑖 ∙ 𝑛 
 
1.303,80 = 𝑁 ∙ 0,02 ∙ 3 
 
1.303,80 = 𝑁 ∙ 0,06 
 
𝑁 = 21.730 
 
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O valor atual utilizando o desconto comercial simples é: 
𝐴O = 𝑁 − 𝐷O 
 
𝐴O = 21.730 − 1.303,80 
 
𝐴O = 20.426,20 
 
Gabarito: E 
 
15. (FCC 2015/MANAUSPREV) 
Em um banco, descontando-se um título 3 meses antes de seu vencimento e utilizando uma 
operação de desconto racional simples, a uma taxa de desconto de 2% ao mês, o valor do desconto 
é igual a R$ 1.590,00. Supondo como segunda opção que este mesmo título seja descontado 
utilizando uma operação de desconto comercial simples, também a uma taxa de desconto de 2% 
ao mês, tem-se que o valor presente encontrado para a primeira opção supera, em reais, o valor 
presente encontrado para a segunda opção em 
a) 80,10. 
b) 120,60. 
c) 95,40. 
d) 109,00. 
e) 90,00. 
Resolução 
Quando queremos comparar um desconto comercial simples com um desconto racional simples, 
podemos utilizar a fórmula seguinte, se os parâmetros (valor nominal, taxa e prazo) forem iguais 
nos dois casos: 
𝐷O = 𝐷P ∙ (1 + 𝑖𝑛) 
 
O valor do desconto racional simples é 1.590 reais, a taxa é de 2% ao mês e o prazo é de 3 meses. 
𝐷O = 1.590 ∙ (1 + 0,02 ∙ 3) 
 
𝐷O = 1.685,40 
 
Queremos calcular a diferença entre os valores atuais (valor presente do desconto racional menos 
valor presente do desconto comercial). 
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𝐴P − 𝐴O = 
 
= (𝑁 − 𝐷P) − (𝑁 − 𝐷O) 
 
= 𝑁 − 𝐷P − 𝑁 + 𝐷O 
 
= 𝐷O − 𝐷P 
 
= 1.685,40 − 1.590 
 
= 95,40 
Gabarito: C 
 
16. (FCC 2014/TRT 19ª Região) 
Um título foi apresentado em uma instituição financeira para desconto três meses antes do seu 
vencimento. O valor nominal da duplicata era de R$250.000,00 e a taxa de desconto comercial 
simples utilizada pelo banco foi de 3,65% ao mês. A taxa efetiva da operação no período foi, em %, 
de, aproximadamente, 
a) 12,30. 
b) 10,95. 
c) 8,76. 
d) 13,38. 
e) 7,87. 
Resolução 
A maneira mais rápida de calcular a taxa efetiva é com o uso da fórmula. 
𝑖G =
𝑖F
1 − 𝑖F ∙ 𝑛
 
 
𝑖G =
0,0365
1 − 0,0365 ∙ 3 
 
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𝑖G =
0,0365
0,8905 
 
𝑖G =
365
8.905 
 
Para transformar essa taxa em porcentagem, devemos multiplicá-la por 100%. 
 
𝑖G =
365
8.905 × 100% 
 
𝑖G ≅ 4,098%	𝑎𝑜	𝑚ê𝑠 
 
Como a questão falou “taxa efetiva no período”, fica subentendido que queremos calcular a taxa 
no período de 3 meses, ou seja, a taxa trimestral. Vamos multiplicar a taxa acima por 3. 
 
𝑖G ≅ 4,098% × 3	𝑎𝑜	𝑡𝑟𝑖𝑚𝑒𝑠𝑡𝑟𝑒 
 
𝑖G ≅ 12,294%	𝑎𝑜	𝑡𝑟𝑖𝑚𝑒𝑠𝑡𝑟𝑒 
 
Vamos agora resolver utilizando o conceito da taxa efetiva. O primeiro passo é calcular o valor 
atual no desconto comercial. 
𝐴 = 𝑁 ∙ (1 − 𝑖𝑛) 
 
𝐴 = 250.000 ∙ (1 − 0,0365 ∙ 3) 
 
𝐴 = 222.625 
 
A taxa efetiva é a taxa de juros que transforma o valor atual de 222.625 reais em um montante de 
250.000 reais. Nessa operação, o juro é de 𝐽 = 250.000 − 222.625 = 27.375. 
 
Como queremos calcular a taxa trimestral, vamos colocar 𝑛 = 1	𝑡𝑟𝑖𝑚𝑒𝑠𝑡𝑟𝑒. 
 
𝐽 = 𝐶 ∙ 𝑖 ∙ 𝑛 
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27.375 = 222.625 ∙ 𝑖 ∙ 1 
 
𝑖 =
27.375
222.625 
 
𝑖 =
27.375
222.625 × 100% 
 
𝑖 = 12,296%	𝑎𝑜	𝑡𝑟𝑖𝑚𝑒𝑠𝑡𝑟𝑒 
 
Gabarito: A 
 
17. (FCC 2014/TRT 13ª Região)Um empresário apresentou em um banco uma duplicata para desconto seis meses antes do seu 
vencimento. O título tinha valor nominal de R$145.000,00 e a taxa de desconto comercial simples 
utilizada pelo gerente da agência foi de 1,75% ao mês. A taxa efetiva da operação no período foi, 
em %, aproximadamente, 
a) 9,59. 
b) 12,98. 
c) 10,50. 
d) 11,73. 
e) 10,97. 
Resolução 
Vamos resolver pelos dois métodos. 
i) Aplicação direta da fórmula 
𝑖G =
𝑖F
1 − 𝑖F ∙ 𝑛
 
 
𝑖G =
0,0175
1 − 0,0175 ∙ 6 
 
𝑖G =
0,0175
0,895 
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103 
 
𝑖G =
175
8.950 
 
Para transformar essa taxa em porcentagem, devemos multiplicá-la por 100%. 
 
𝑖G =
175
8.950 × 100% 
 
𝑖G ≅ 1,955%	𝑎𝑜	𝑚ê𝑠 
 
Como a questão falou “taxa efetiva no período”, fica subentendido que queremos calcular a taxa 
no período de 6 meses, ou seja, a taxa semestral. Vamos multiplicar a taxa acima por 6. 
 
𝑖G ≅ 1,955% × 6	𝑎𝑜	𝑠𝑒𝑚𝑒𝑠𝑡𝑟𝑒 
 
𝑖G ≅ 11,73%	𝑎𝑜	𝑠𝑒𝑚𝑒𝑠𝑡𝑟𝑒 
 
ii) Aplicação do conceito 
 
O primeiro passo é calcular o valor atual no desconto comercial. 
𝐴 = 𝑁 ∙ (1 − 𝑖𝑛) 
 
𝐴 = 145.000 ∙ (1 − 0,0175 ∙ 6) 
 
𝐴 = 129.775 
 
A taxa efetiva é a taxa de juros que transforma o valor atual de 129.775 reais em um montante de 
145.000 reais. Nessa operação, o juro é de 𝐽 = 145.000 − 129.775 = 15.225. 
 
Como queremos calcular a taxa trimestral, vamos colocar 𝑛 = 1	𝑠𝑒𝑚𝑒𝑠𝑡𝑟𝑒. 
 
𝐽 = 𝐶 ∙ 𝑖 ∙ 𝑛 
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15.225 = 129.775 ∙ 𝑖 ∙ 1 
 
𝑖 =
15.225
129.775 
 
𝑖 =
15.225
129.775 × 100% 
 
𝑖 = 11,73%	𝑎𝑜	𝑠𝑒𝑚𝑒𝑠𝑡𝑟𝑒 
 
Gabarito: D 
 
18. (FCC 2014/TRT 13ª Região) 
Um título com valor nominal de R$ 10.000,00 é resgatado três meses antes do vencimento, pelo 
valor líquido de R$ 8.500,00. A taxa de desconto comercial praticada nessa operação é de 
a) 17,65% no período. 
b) 5,00% ao mês. 
c) 5,57% ao mês. 
d) 4,77% ao mês. 
e) 16,50% no período. 
Resolução 
O desconto é a diferença entre o valor nominal e o valor atual. 
𝐷 = 𝑁 − 𝐴 
 
𝐷 = 10.000 − 8.500 
 
𝐷 = 1.500 
 
Vamos aplicar a fórmula do desconto comercial simples (a questão não explicitou o regime). 
 
𝐷 = 𝑁 ∙ 𝑖 ∙ 𝑛 
 
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1.500 = 10.000 ∙ 𝑖 ∙ 3 
 
1.500 = 30.000 ∙ 𝑖 
 
𝑖 =
1.500
30.000 
 
𝑖 =
1.500
30.000 × 100% 
 
𝑖 = 5%	𝑎𝑜	𝑚ê𝑠 
Gabarito: B 
 
19. (FCC 2014/METRO SP) 
Dois títulos de valores nominais iguais são descontados por uma empresa, em um banco, 45 dias 
antes de seus vencimentos, a uma taxa de desconto de 24% ao ano e considerando a convenção 
do ano comercial. O primeiro título foi descontado utilizando-se uma operação de desconto 
racional simples e o segundo utilizando-se uma operação de desconto comercial simples. Se a 
soma dos valores dos descontos dos dois títulos foi igual a R$ 1.218,00, então a soma dos 
respectivos valores atuais foi igual a 
a) R$ 39.582,00. 
b) R$ 39.782,00. 
c) R$ 38.782,00. 
d) R$ 39.182,00. 
e) R$ 39.982,00. 
Resolução 
Vamos calcular a taxa mensal dividindo a taxa anual por 12. 
 
𝑖 =
24%
12 = 2%	𝑎𝑜	𝑚ê𝑠 
O tempo é de 45 dias = 1,5 meses. 
Quando queremos comparar um desconto comercial simples com um desconto racional simples, 
podemos utilizar a fórmula seguinte, se os parâmetros (valor nominal, taxa e prazo) forem iguais 
nos dois casos: 
𝐷O = 𝐷P ∙ (1 + 𝑖𝑛) 
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Assim, 
𝐷O = 𝐷P ∙ (1 + 0,02 ∙ 1,5) 
 
𝐷O = 𝐷P ∙ 1,03 
 
Atente para o fato de que só foi possível utilizar essa fórmula porque os valores parâmetros são 
iguais nos dois descontos. 
 
Sabemos ainda que a soma dos descontos foi igual a 1.218 reais. 
 
𝐷O + 𝐷P = 1.218 
 
𝐷P ∙ 1,03xyyzyy{
ST
+ 𝐷P = 1.218 
 
2,03 ∙ 𝐷P = 1.218 
 
𝐷P = 600 
 
Vamos calcular o desconto comercial simples. 
𝐷O + 𝐷P = 1.218 
 
𝐷O + 600 = 1.218 
 
𝐷O = 618 
 
Vamos utilizar a fórmula do desconto comercial para calcular o valor nominal. 
 
𝐷O = 𝑁 ∙ 𝑖 ∙ 𝑛 
 
618 = 𝑁 ∙ 0,02 ∙ 1,5 
 
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𝑁 = 20.600 
 
Queremos calcular a soma dos valores atuais. 
 
𝐴O + 𝐴P = 
 
= (𝑁 − 𝐷O) + (𝑁 − 𝐷P) 
 
= 2𝑁 − 𝐷O − 𝐷P 
 
= 2 × 20.600 − 618 − 600 
 
= 39.982 
Gabarito: E 
 
20. (FCC 2013/SERGIPE GAS) 
Dois títulos, com a soma de seus valores nominais igual a R$ 48.100,00, são descontados em um 
banco 4 meses antes de seus vencimentos. O primeiro título foi descontado por meio de uma 
operação de desconto comercial simples e o segundo título foi descontado por meio de uma 
operação de desconto racional simples. Verificou-se que a soma dos respectivos valores atuais 
apresentou um valor igual a R$ 43.500,00. Se, em ambos os casos, a taxa de desconto considerada 
foi de 2,5% ao mês, o valor do desconto do título de maior valor nominal foi, em R$, igual a 
a) 2.600,00. 
b) 2.500,00. 
c) 2.250,00. 
d) 2.400,00. 
e) 2.100,00. 
Resolução 
A soma dos valores nominais é 48.100 reais e a soma dos valores atuais é 43.500. 
|𝑁O + 𝑁P = 48.100𝐴O + 𝐴P = 43.500
 
 
Vamos aplicar as fórmulas dos valores atuais. 
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𝐴O = 𝑁O ∙ (1 − 𝑖𝑛) = 𝑁O ∙ (1 − 0,025 ∙ 4) = 0,9𝑁O 
 
𝐴P =
𝑁P
1 + 𝑖𝑛 =
𝑁P
1 + 0,025 ∙ 4 =
𝑁P
1,1 
 
A soma desses valores atuais é 43.500. 
𝐴O + 𝐴P = 43.500 
 
0,9𝑁O +
𝑁P
1,1 = 43.500 
 
Vamos multiplicar todos os termos por 1,1. 
0,99𝑁O + 𝑁P = 47.850 
 
Vamos agora multiplicar essa equação por (-1) e montar um sistema com a primeira equação. 
 
| 𝑁O + 𝑁P = 48.100−0,99𝑁O − 𝑁P = −47.850
 
 
Somando as duas equações, temos: 
0,01𝑁O = 250 
 
𝑁O =
250
0,01 = 25.000 
Como a soma dos valores nominais é 48100, então o outro valor nominal vale: 
𝑁P = 48.100 − 25.000 
 
𝑁P = 23.100	 
Queremos calcular o desconto do título de maior valor nominal. 
O título de maior valor nominal vale 25 mil reais e foi aplicado um desconto comercial. 
𝐷O = 𝑁O ∙ 𝑖 ∙ 𝑛	 
 
𝐷O = 25.000 ∙ 0,025 ∙ 4 = 2.500	 
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Gabarito: B 
21. (FCC 2013/PGE-BA) 
Uma duplicata foi descontada 3 meses antes de seu vencimento, segundo uma operação de 
desconto comercial simples, a uma taxa de desconto de 24% ao ano, e o valor atual do título foi 
igual a R$ 22.419,00. Caso fosse utilizada a operação de desconto racional simples, também a uma 
taxa de desconto de 24% ao ano, a soma dos valores dos descontos encontrados pelas duas 
operações seria igual a 
a) R$ 3.144,00. 
b) R$ 3.079,00. 
c) R$ 2.862,00. 
d) R$ 2.781,00. 
e) R$ 2.401,00. 
Resolução 
Vamos calcular a taxa mensal. 
𝑖 =
24%
12 = 2%	𝑎𝑜	𝑚ê𝑠 
A primeira operação foi de desconto comercial simples. 
𝐴O = 𝑁 ∙ (1 − 𝑖𝑛) 
 
22.419 = 𝑁 ∙ (1 − 0,02 ∙ 3) 
 
22.419 = 0,94𝑁 
 
𝑁 = 23.850 
 
Assim, o desconto comercial é: 
𝐷O = 𝑁 − 𝐴O 
 
𝐷O = 23.850 − 22.419 
 
𝐷O = 1.431 
 
Vamos agora calcular o desconto racional simples. Como o valor nominal é o mesmo para os dois 
descontos, podemos utilizar a fórmula que relaciona os dois descontos. 
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𝐷O = 𝐷P ∙ (1 + 𝑖𝑛) 
 
1.431 = 𝐷P ∙ (1 + 0,02 ∙ 3) 
 
1.431 = 𝐷P ∙ 1,06 
 
𝐷P = 1.350 
 
A soma dos descontos é: 
𝐷O + 𝐷P = 1.431 + 1.350 = 2.781 
Gabarito: D 
 
 
22. (FCC 2010/SERGIPE GAS) 
Descontado 2 meses antes de seu vencimento, um título apresentou um desconto no valor de R$ 
1.125,00. Se a operação realizada foi a do desconto racional simples, a uma taxa de desconto de 
30% ao ano, o valor nominal deste título é de 
a) R$ 21.000,00. 
b) R$ 21.855,00. 
c) R$ 22.685,00. 
d) R$ 23.100,00. 
e) R$ 23.625,00. 
Resolução 
Vamos calcular a taxa mensal. 
𝑖 =
30%
12 = 2,5%	𝑎𝑜	𝑚ê𝑠 
Sabemos que o desconto racional simples foi de 1.125 reais. Vamos aplicar a fórmula. 
 
𝐷 = 𝐴 ∙ 𝑖 ∙ 𝑛 
 
1.125 = 𝐴 ∙ 0,025 ∙ 2 
 
1.125 = 𝐴 ∙ 0,05 
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𝐴 = 22.500 
 
Para calcular o valor nominal, basta calcular 𝐴 + 𝐷. 
 
𝑁 = 𝐴 + 𝐷 
 
𝑁 = 22.500 + 1.125 
 
𝑁 = 23.625 
Gabarito: E 
 
23. (FCC 2010/SEFAZ-SP) 
O valor do desconto de um título, em um banco, é igual a 2,5% de seu valor nominal. Sabe-se que 
este título foi descontado 50 dias antes de seu vencimento, segundo uma operação de desconto 
comercial simples e considerando a convenção do ano comercial. A taxa anual de desconto 
correspondente é igual a 
a) 12% 
b) 15% 
c) 18% 
d) 20% 
e) 24% 
Resolução 
A taxa do desconto comercial simples é incidida sobre o valor nominal. Assim, o valor do desconto 
comercial simples é dado por 𝐷 = 𝑁 ∙ 𝑖 ∙ 𝑛. O enunciado nos informou que o valor do desconto é 
2,5% de seu valor nominal. Dessa forma, 
𝐷 =
2,5
100 ∙ 𝑁 
 
𝑁 ∙ 𝑖 ∙ 𝑛 =
2,5
100 ∙ 𝑁 
 
𝑖 ∙ 50 =
2,5
100 
 
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𝑖 =
2,5
5000 	𝑎𝑜	𝑑𝑖𝑎 
 
Como queremos saber a taxa anual, e considerando a convenção do ano comercial (360 dias), a 
taxa anual de desconto será: 
 
𝑖 =
2,5
5.000 ∙ 360 =
900
5.000 ∙ 100% = 18% 
Gabarito: C 
 
24. (FCC 2010/Banco do Brasil) 
Um título descontado 2 meses antes de seu vencimento, segundo uma operação de desconto 
racional simples e com a utilização de uma taxa de desconto de 18% ao ano, apresenta um valor 
atual igual a R$ 21.000,00. Um outro título de valor nominal igual ao dobro do valor nominal do 
primeiro título é descontado 5 meses antes de seu vencimento, segundo uma operação de 
desconto comercial simples e com a utilização de uma taxa de desconto de 2% ao mês. O valor 
atual deste segundo título é de 
(A) R$ 42.160,80. 
(B) R$ 41.529,60. 
(C) R$ 40.664,40. 
(D) R$ 39.799,20. 
(E) R$ 38.934,00. 
 
Resolução 
Vejamos a situação inicial. 
Um título descontado 2 meses antes de seu vencimento, segundo uma operação de desconto 
racional simples e com a utilização de uma taxa de desconto de 18% ao ano, apresenta um valor 
atual igual a R$ 21.000,00. 
 
Vamos aplicar a fórmula que relaciona o valor nominal com o valor atual no desconto racional 
simples. Se a taxa é de 18% ao ano, podemos reescrevê-la como: 
 
𝑖 =
18%
12 = 1,5%	𝑎𝑜	𝑚ê𝑠 
 
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𝑁 = 𝐴 ∙ (1 + 𝑖 ∙ 𝑛) 
 
𝑁 = 21.000 ∙ (1 + 0,015 ∙ 2) 
 
𝑁 = 21.630 
 
O valor nominal do título é de R$ 21.630,00. 
 
A segunda situação é a seguinte. 
 
Um outro título de valor nominal igual ao dobro do valor nominal do primeiro título é descontado 
5 meses antes de seu vencimento, segundo uma operação de desconto comercial simples e com a 
utilização de uma taxa de desconto de 2% ao mês. 
 
O valor nominal deste outro título é de 2 ∙ 21.630 = 43.260 
 
Vamos aplicar a fórmula que relaciona o valor atual com o valor nominal no desconto comercial 
simples. 
𝐴 = 𝑁 ∙ (1 − 𝑖𝑛) = 43.260 ∙ (1 − 0,02 ∙ 5) = 38.934 
Gabarito: E 
 
25. (FCC 2010/Pref. de São Paulo) 
Dois títulos de valores nominais iguais são descontados 45 dias antes de seus vencimentos. Em um 
dos títulos foi utilizada a operação do desconto racional simples e no outro, a operação do 
desconto comercial simples. Em ambos os casos, considerou-se a taxa de desconto de 3% ao mês e 
a convenção do mês comercial. Se o valor do desconto correspondente ao título em que se utilizou 
a operação do desconto racional simples foi igual a R$ 900,00, então o valor do desconto do outro 
título foi igual a 
(A) R$ 909,00. 
(B) R$ 918,00. 
(C) R$ 922,50. 
(D) R$ 931,50. 
(E) R$ 940,50. 
 
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Resolução 
 
Existe uma relação importantíssima entre o desconto racional simples e o desconto comercial 
simples. 
 
Chamarei de DC o desconto comercial e DR o desconto racional. 
 
Lembre-se que 45 dias = 1,5 meses e que a taxa de 3% ao mês escrita sob a forma unitária é 0,03. 
 
𝐷O = 𝐷P ∙ (1 + 𝑖 ∙ 𝑛) 
𝐷O = 900 ∙ (1 + 0,03 ∙ 1,5) 
𝐷O = 940,50 
Gabarito: E 
 
26. (CESPE 2017/Prefeitura de São Luís) 
 
Texto 11A3DDD 
 
Buscando melhorar suas vendas, uma loja de materiais de construção passou a vender seus 
produtos pelo “valor de vitrine”, por meio de cheque pré-datado para três meses a contar da data 
da compra. Um cliente comprou materiais que, pelo valor de vitrine, ficou em R$ 1.000, e preferiu 
antecipar o pagamento, pagando à vista com desconto equivalente à taxa juros simples de 2% ao 
mês. 
 
Ainda com referênciaà situação apresentada no texto 11A3DDD, se for utilizado o desconto 
racional simples, o cliente deverá pagar, à vista, 
 
a) menos de R$ 920. 
b) mais de R$ 920 e menos de R$ 940. 
c) mais de R$ 940 e menos de R$ 960. 
d) mais de R$ 960 e menos de R$ 980. 
e) mais de R$ 980. 
 
Resolução 
 
Queremos calcular o valor atual em uma operação de desconto racional simples. 
 
𝑵 = 𝑨 ∙ (𝟏 + 𝒊𝒏) 
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𝑨 =
𝑵
(𝟏 + 𝒊𝒏) 
 
𝑨 =
𝟏. 𝟎𝟎𝟎
(𝟏 + 𝟎, 𝟎𝟐 ∙ 𝟑) =
𝟏. 𝟎𝟎𝟎
𝟏, 𝟎𝟔 ≅ 𝟗𝟒𝟑, 𝟑𝟗 
 
Gabarito: C 
27. (CESPE 2017/Prefeitura de São Luís) 
 
Texto 11A3DDD 
 
Buscando melhorar suas vendas, uma loja de materiais de construção passou a vender seus 
produtos pelo “valor de vitrine”, por meio de cheque pré-datado para três meses a contar da data 
da compra. Um cliente comprou materiais que, pelo valor de vitrine, ficou em R$ 1.000, e preferiu 
antecipar o pagamento, pagando à vista com desconto equivalente à taxa juros simples de 2% ao 
mês. 
 
Na situação apresentada no texto 11A3DDD, se for utilizado o desconto comercial simples, o 
cliente deverá pagar, à vista, o valor de 
 
a) R$ 980. 
b) R$ 994. 
c) R$ 998. 
d) R$ 940. 
e) R$ 960. 
 
Resolução 
 
Queremos calcular o valor atual em uma operação de desconto racional simples. 
 
𝑨 = 𝑵 ∙ (𝟏 − 𝒊𝒏) 
 
𝑨 = 𝟏. 𝟎𝟎𝟎 ∙ (𝟏 − 𝟎, 𝟎𝟐 ∙ 𝟑) = 𝟗𝟒𝟎 
 
 
Gabarito: D 
 
 
28. (CESPE 2018/CAGE-RS) 
 
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103 
No regime de juros simples, um título com valor nominal de R$ 38.290,20 vence em 6 meses. A 
taxa de juros usada na negociação é de 24% ao ano e o resgate do título será feito dois meses 
antes de seu vencimento. 
 
Considerando o desconto racional, assinale a opção correspondente ao cálculo correto do valor a 
ser resgatado nessa situação. 
𝒂)
𝟑𝟖. 𝟐𝟗𝟎, 𝟐𝟎
\𝟏 + 𝟎, 𝟐𝟒𝟏𝟐 _
𝟒 
 
𝒃)	𝟑𝟖. 𝟐𝟗𝟎, 𝟐𝟎 × =𝟏 −
𝟎, 𝟐𝟒
𝟏𝟐 × 𝟐> 
 
𝒄)
𝟑𝟖. 𝟐𝟗𝟎, 𝟐𝟎
𝟏 + 𝟎, 𝟐𝟒𝟏𝟐 × 𝟐
 
 
𝒅)
𝟑𝟖. 𝟐𝟗𝟎, 𝟐𝟎
𝟏 + 𝟎, 𝟐𝟒𝟏𝟐 × 𝟒
	 
 
𝒆)
𝟑𝟖. 𝟐𝟗𝟎, 𝟐𝟎
\𝟏 + 𝟎, 𝟐𝟒𝟏𝟐 _
𝟐 
 
Resolução 
 
A taxa utilizada é anual e o tempo de antecipação foi dado em meses. 
Para transformar a taxa anual para mensal, devemos dividi-la por 12. 
 
𝒊 =
𝟐𝟒%
𝟏𝟐 =
𝟎, 𝟐𝟒
𝟏𝟐 
Observando as alternativas, verificamos que não precisamos efetuar esta divisão. 
 
Queremos calcular o valor resgatado, ou seja, o valor atual. 
 
A relação entre o valor nominal e o valor atual na operação de desconto racional simples é: 
 
𝑵 = 𝑨 ∙ (𝟏 + 𝒊𝒏) 
 
𝑨 =
𝑵
(𝟏 + 𝒊𝒏) 
 
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𝑨 =
𝟑𝟖. 𝟐𝟖𝟎, 𝟐𝟎
\𝟏 + 𝟎, 𝟐𝟒𝟏𝟐 × 𝟐_
 
Gabarito: C 
29. (CESPE 2018/CAGE-RS) 
Um comerciante contratou um estagiário, estudante 
 universitário, para cuidar dos registros das 
informações financeiras no sistema da loja. O banco do qual o comerciante é cliente oferece o 
serviço de desconto de cheques, cobrando a taxa de desconto comercial simples de 7,5% ao mês. 
Todavia, o sistema da loja só registra a taxa efetiva dessas operações. 
Nessa situação, se o comerciante depositar um cheque no valor de R$ 100 para ser descontado 
com antecedência de 1 mês, a taxa efetiva registrada pelo sistema da loja será 
A) inferior a 6,5%. 
 
B) superior a 6,5% e inferior a 7,5%. 
 
C) superior a 7,5% e inferior a 8,5%. 
 
D) superior a 8,5% e inferior a 9,5%. 
 
E) superior a 9,5%. 

Resolução 
O desconto será de 7,5% ao mês. Como o prazo de antecipação é de apenas 1 mês, o comerciante 
vai pagar um desconto de: 
𝐷O = 𝑁 ∙ 𝑖F ∙ 𝑛 
𝐷O = 100 ∙
7,5
100 ∙ 1 = 7,50 
Assim, o valor atual é: 
𝐴 = 𝑁 − 𝐷 
𝐴 = 100 − 7,50 = 92,50 
Vamos agora calcular a taxa efetiva. Basta ler a questão com outros olhos: o comerciante pegou 
R$ 92,50 emprestados e vai pagar R$ 100,00 daqui a 1 mês. Qual é a taxa de juros? 
Ora, o comerciante vai pagar R$ 7,50 de juros simples. Vamos aplicar a fórmula. 
𝐽 = 𝐶 ∙ 𝑖 ∙ 𝑛 
7,50 = 92,50 ∙ 𝑖 ∙ 1 
𝑖 =
7,50
92,50 ∙ 100% ≅ 8,1%	𝑎.𝑚. 
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Se não gostou de fazer assim, basta aplicar a fórmula que mostramos. 
𝑖G =
𝑖F
1 − 𝑖F ∙ 𝑛
 
 
𝑖G =
0,075
1 − 0,075 ∙ 1 =
0,075
0,925 =
75
925 ∙ 100% ≅ 8,1%	𝑎.𝑚. 
 
Gabarito: C 
 
 
 
30. (CESPE 2014/TJ-CE) 
Um título de valor nominal de R$ 20.000,00 foi descontado à taxa de desconto comercial simples 
de 5% ao mês. Sabendo-se que o valor do desconto foi de R$ 4.000,00, é correto afirmar que a taxa 
efetiva dessa operação é igual a 
a) 6,25% ao mês 
b) 6,75% ao mês 
c) 7,25% ao mês 
d) 5,55% ao mês 
e) 5,75% ao mês 
Resolução 
Precisamos saber o tempo de antecipação. Para isso, vamos utilizar a fórmula do desconto 
comercial simples. 
𝐷O = 𝑁 ∙ 𝑖F ∙ 𝑛 
 
4.000 = 20.000 ∙
5
100 ∙ 𝑛 
 
4.000 = 1.000 ∙ 𝑛 
 
𝑛 = 4 
 
Agora vamos aplicar a fórmula dos juros simples. O valor atual é igual a 20.000 – 4.000 = 16.000. 
𝐽 = 𝐶 ∙ 𝑖 ∙ 𝑛 
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4.000 = 16.000 ∙ 𝑖 ∙ 4 
4.000 = 64.000 ∙ 𝑖 
𝑖 =
4
64 ∙ 100% = 6,25%	𝑎.𝑚. 
 
Gabarito: A 
 
 
 
(CESPE 2013/TCU 2013) 
Na contração de determinada empresa por certo órgão público, ficou acordado que o 
administrador pagaria R$ 200.000,00 para a contração do serviço, mais quatro parcelas iguais no 
valor de R$ 132.000,00 cada a serem pagas, respectivamente, no final do primeiro, segundo, 
terceiro e quarto anos consecutivos à assinatura do contrato. Considere que a empresa tenha 
concluído satisfatoriamente o serviço dois anos após a contração e que tenha sido negociada a 
antecipação das duas últimas parcelas para serem pagas juntamente com a segunda parcela. 
Com base nessa situação hipotética, julgue os itens a seguir. 
31. Se for decidida a utilização de desconto racional simples a uma taxa de 10% ao ano para 
pagamento das duas últimas parcelas, o valor total do desconto será́ superior a R$ 
35.000,00. 
Resolução 
É válida a seguinte expressão para o desconto racional simples. 
 
𝐷 =
𝑁 ∙ 𝑖 ∙ 𝑛
1 + 𝑖 ∙ 𝑛 
Os valores nominais de cada uma das últimas duas parcelas são iguais a 132 mil reais. Como vamos 
antecipar estas duas parcelas para serem pagas juntamente com a segunda parcela, vamos utilizar 
n = 1 e n = 2 (estamos transportando o pagamento da data 3 para a data 2 e o pagamento da data 
4 para a data 2). 
𝐷l =
𝑁 ∙ 𝑖 ∙ 𝑛
1 + 𝑖 ∙ 𝑛 =
132.000 ∙ 0.10 ∙ 1
1 + 0.10 ∙ 1 = 12.000 
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𝐷m =
𝑁 ∙ 𝑖 ∙ 𝑛
1 + 𝑖 ∙ 𝑛 =
132.000 ∙ 0.10 ∙ 2
1 + 0.10 ∙ 2 = 22.000 
O desconto total é igual a 12.000 + 22.000 = 34.000 reais. 
Gabarito: Errado 
32. Se for utilizado desconto comercial simples a uma taxa de 10% ao ano para pagamento 
das duas últimas parcelas, o valor total a ser pago à empresa no final do segundo ano será́ 
inferior a R$ 350.000,00. 
Resolução 
É válida a seguinte expressão para o desconto comercial simples. 
 
𝐷 = 𝑁 ∙ 𝑖 ∙ 𝑛 
Os valores nominais de cada uma das últimas duas parcelas são iguais a 132 mil reais. Como vamos 
antecipar estas duas parcelas para serem pagas juntamente com a segunda parcela, vamos utilizar 
n = 1 e n = 2 (estamos transportando o pagamento da data 3 para a data 2 e o pagamento da data 
4 para a data 2). 
𝐷l = 𝑁 ∙ 𝑖 ∙ 𝑛 = 132.000 ∙ 0.10 ∙ 1 = 13.200 
 
𝐷m = 𝑁 ∙ 𝑖 ∙ 𝑛 = 132.000 ∙ 0.10 ∙ 2 = 26.400 
 
O desconto total é de 13.200 + 26.400 = 39.600 reais. 
Sem desconto o valor total da segunda, terceira e quarta parcelas seria 3 x 132.000 = 396.000. 
Vamos subtrair o desconto de 39.600 reais. O valor a ser pago é 396.000 – 39.600 = 356.400 reais. 
Gabarito: Errado 
33. (CESPE 2013/ANP) 
Um produto é vendido em 12 parcelas mensais de R$ 175,00 sem entrada ou à vista por R$ 
1.970,00. Pedro não tinha o montante necessário para comprar o produto à vista, mas seu filho, 
Luke, possuía o valor necessário disponível em uma poupança, que remunerava à taxa de 0,5% 
a.m. Assim, Pedro propôs a seu filho um empréstimo, em que pagaria os mesmos juros que a loja 
cobra na venda do produto. 
 
Caso Luke empreste o dinheiro a seu pai e este decida, no momento do pagamento da oitava 
parcela, pagar também a décima segunda com um desconto simples racional à taxa de 0,5% 
a.m., o valor do desconto obtido será superior a R$ 3,50. 
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Resolução 
 
Queremos antecipar a 12ª prestação para ser paga no oitavo mês. Assim, o tempo de antecipação 
será de 4 meses. 
 
O valor nominal da prestação é de 175 reais. Queremos calcular o valor do desconto em uma 
operação de desconto simples racional. 
 
Como não temos o valor atual, devemos utilizar a seguinte fórmula: 
 
𝑵 = 𝑨 ∙ (𝟏 + 𝒊𝒏) 
 
𝑨 =
𝑵
𝟏 + 𝒊𝒏 =
𝟏𝟕𝟓
𝟏 + 𝟎, 𝟓𝟏𝟎𝟎 ∙ 𝟒
=
𝟏𝟕𝟓
𝟏, 𝟎𝟐 ≅ 𝟏𝟕𝟏, 𝟓𝟕 
 
Assim, o valor do desconto é: 
𝑫 = 𝑵− 𝑨 = 𝟏𝟕𝟓 − 𝟏𝟕𝟏, 𝟓𝟕 = 𝟑, 𝟒𝟑 
 
O desconto é inferior a R$ 3,50 e o item está errado. 
 
Poderíamos ter utilizado outra fórmula para calcular diretamente o valor do desconto. 
 
𝑫𝑹 =
𝑵 ∙ 𝒊 ∙ 𝒏
𝟏 + 𝒊𝒏 
 
𝑫𝑹 =
𝟏𝟕𝟓 ∙ 𝟎, 𝟓𝟏𝟎𝟎 ∙ 𝟒
𝟏 + 𝟎, 𝟓𝟏𝟎𝟎 ∙ 𝟒
=
𝟑, 𝟓
𝟏, 𝟎𝟐 ≅ 𝟑, 𝟒𝟑 
 
Gabarito: ERRADO 
34. (CESPE 2014/Câmara dos Deputados) 
 
No caso de ter havido uma venda a prazo no valor de R$ 200,00, com promessa de pagamento 
em 2 meses e taxa de juros de 10% a.m., se a venda tivesse sido à vista, o seu valor seria inferior a 
R$ 180,00. 
Resolução 
 
Observe que não foi especificado o tipo de desconto. Entretanto, como se trata de uma operação 
de juros, utilizaremos o desconto racional. Ademais, como não foi especificado o regime, vamos 
utilizar o regime simples. 
 
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Queremos calcular o valor atual em uma operação de desconto racional simples. 
 
𝑵 = 𝑨 ∙ (𝟏 + 𝒊𝒏) 
 
𝑨 =
𝑵
𝟏 + 𝒊𝒏 =
𝟐𝟎𝟎
𝟏 + 𝟏𝟎𝟏𝟎𝟎 ∙ 𝟐
=
𝟐𝟎𝟎
𝟏, 𝟐𝟎 ≅ 𝟏𝟔𝟔, 𝟔𝟕 
 
 
Gabarito: CERTO 
 
35. (CESPE 2015/CGE-PI) 
 
Considerando que um título de valor nominal de R$ 2.300,00 será resgatado 5 meses antes do 
seu vencimento e, na operação, será usado o desconto comercial simples, julgue o item 
subsequente. 
 
Se, na operação em questão, forem estabelecidas taxa de desconto comercial simples de 3% ao 
mês e a cobrança de uma taxa de 3% incidente sobre o valor nominal, então o valor líquido 
liberado será inferior a R$ 1.900,00. 
Resolução 
 
Estamos diante de um desconto bancário, pois devemos descontar uma taxa de 3% sobre o valor 
nominal. 
𝑨 = 𝑵 − 𝑫𝒄 − 𝑫𝒃 
 
𝑨 = 𝑵 − 𝑵 ∙ 𝒊 ∙ 𝒏 −
𝟑
𝟏𝟎𝟎 ∙ 𝑵 
 
𝑨 = 𝟐. 𝟑𝟎𝟎 − 𝟐. 𝟑𝟎𝟎 ∙
𝟑
𝟏𝟎𝟎 ∙ 𝟓 −
𝟑
𝟏𝟎𝟎 ∙ 𝟐. 𝟑𝟎𝟎 
 
𝑨 = 𝟐. 𝟑𝟎𝟎 − 𝟑𝟒𝟓 − 𝟔𝟗 = 𝟏. 𝟖𝟖𝟔 
 
Gabarito: CERTO 
36. (CESPE 2013/ TCE-ES ) 
 
Texto para a questão. 
 
Uma pessoa aplicou determinado capital durante cinco meses à taxa de juros simples de 4% ao 
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mês, para saldar uma dívida de R$ 12.000,00, quatro meses antes do seu vencimento, à taxa de 
desconto comercial simples de 5% ao mês. 
 
Se o montante auferido pela aplicação corresponder ao valor atual da dívida na data de seu 
pagamento — valor descontado —, então o capital inicial aplicado terá sido 
 
f) superior a R$ 5.500 e inferior a R$ 6.500. 
g) superior a R$ 6.500 e inferior a R$ 7.500. 
h) superior a R$ 7.500 e inferior a R$ 8.500. 
i) superior a R$ 8.500. 
j) inferior a R$ 5.500. 
 
Resolução 
Vamos calcular o valor atual da dívida após o desconto. 
 
O desconto é comercial simples. O valor nominal é 12.000 reais, a taxa é de 5% e o prazo de 
antecipação é de 4 meses. 
 
𝑨 = 𝑵 ∙ (𝟏 − 𝒊𝒏) 
 
𝑨 = 𝟏𝟐. 𝟎𝟎𝟎 ∙ (𝟏 − 𝟎, 𝟎𝟓 ∙ 𝟒) = 𝟗. 𝟔𝟎𝟎	𝒓𝒆𝒂𝒊𝒔 
 
O indivíduo vai aplicar uma quantia para que possa ter um montante igual a 9.600 reais e possa 
assim quitar a dívida. 
 
Na operação de juros simples, o montante 9.600 reais, a taxa é de 4% ao mês e o tempo é de 5 
meses. 
 
𝑴 = 𝑪 ∙ (𝟏 + 𝒊𝒏) 
 
𝟗. 𝟔𝟎𝟎 = 𝑪 ∙ (𝟏 + 𝟎, 𝟎𝟒 ∙ 𝟓) 
 
𝟗. 𝟔𝟎𝟎 = 𝑪 ∙ 𝟏, 𝟐 
 
𝑪 = 𝟖. 𝟎𝟎𝟎	𝒓𝒆𝒂𝒊𝒔 
 
Gabarito: C 
37. (CESPE 2013/ANP) 
 
Uma loja de roupas está em promoção: pagamento com cheque para noventa dias ou 
pagamento à vista, com 10% de desconto sobre o preço da vitrine. 
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A taxa mensal de desconto comercial simples concedida a quem comprar roupas na loja, 
pagando à vista, será inferior a 3,5%. 
 
Resolução 
Suponha que o preço da vitrine seja de 100 reais. A loja está oferecendo um desconto de 10% e, 
portanto, venderá o produto por 90 reais. O desconto foi de 10 reais. 
 
Vamos aplicar a fórmula do desconto comercial simples. O tempo de antecipação é de 90 dias, ou 
seja, 3 meses. 
 
𝑫𝑪 = 𝑵 ∙ 𝒊 ∙ 𝒏 
 
𝟏𝟎 = 𝟏𝟎𝟎 ∙ 𝒊 ∙ 𝟑 
 
𝟏𝟎 = 𝟑𝟎𝟎 ∙ 𝒊 
 
𝒊 =
𝟏𝟎
𝟑𝟎𝟎 ∙ 𝟏𝟎𝟎% ≅ 𝟑, 𝟑𝟑%	𝒂𝒐	𝒎ê𝒔 
Gabarito: CERTO 
38. (CESPE 2013/ANP) 
 
Uma loja de roupas está em promoção: pagamento com cheque para noventa dias ou 
pagamento à vista, com 10% de desconto sobreo preço da vitrine. 
 
A taxa mensal de desconto racional simples concedida a quem comprar roupas na loja, com 
pagamento à vista, é superior a 3,5%. 
 
Resolução 
Suponha que o preço da vitrine seja de 100 reais. A loja está oferecendo um desconto de 10% e, 
portanto, venderá o produto por 90 reais. O desconto foi de 10 reais. 
 
Vamos aplicar a fórmula do desconto racional simples. O tempo de antecipação é de 90 dias, ou 
seja, 3 meses. 
𝐷P = 𝐴 ∙ 𝑖 ∙ 𝑛 
 
10 = 90 ∙ 𝑖 ∙ 3 
 
𝑖 =
10
270 ∙ 100% ≅ 3,703%	𝑎𝑜	𝑚ê𝑠 
 
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Gabarito: CERTO 
39. (CESPE 2013/TCE-ES ) 
Texto para a questão. 
 
Uma pessoa aplicou determinado capital durante cinco meses à taxa de juros simples de 4% ao 
mês, para saldar uma dívida de R$ 12.000,00, quatro meses antes do seu vencimento, à taxa de 
desconto comercial simples de 5% ao mês. 
 
Nessa situação, a taxa mensal efetiva para o desconto comercial foi de 
 
a) 6%. 
b) 6,25%. 
c) 5%. 
d) 5,5%. 
e) 5,85%. 
Resolução 
Vamos calcular o valor do desconto. 
𝐷O = 𝑁 ∙ 𝑖 ∙ 𝑛 
𝐷O = 12.000 ∙
5
100 ∙ 4 = 2.400 
Assim, o valor atual é: 
𝐴 = 𝑁 − 𝐷 = 12.000 − 2.400 = 9.600 
Pois bem, a taxa efetiva é a taxa de juros simples que aplicada ao valor atual o transforma no valor 
nominal. 
Em outras palavras, teremos uma operação de juros simples em que o valor atual é o capital e o 
valor nominal é o montante. Podemos ainda dizer que o valor do desconto equivale ao juro da 
operação. 
𝐽 = 𝐶 ∙ 𝑖 ∙ 𝑛 
2.400 = 9.600 ∙ 𝑖 ∙ 4 
2.400
9.600 ∙ 4 = 𝑖 
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𝑖 =
1
4 × 4 =
1
16 = 0,0625 = 6,25% 
Outra maneira seria aplicar diretamente a fórmula da taxa efetiva. 
𝑖G =
𝑖F
1 − 𝑖F ∙ 𝑛
 
 
𝑖G =
0,05
1 − 0,05 ∙ 4 =
0,05
0,80 =
5
80 =
1
16 = 6,25% 
Gabarito: B 
 
(CESPE 2010/ABIN) 
Considerando que uma promissória de valor nominal de R$ 5.000,00 tenha sido descontada 5 
meses antes do seu vencimento, em um banco cuja taxa de desconto comercial simples (por fora) 
é de 5% ao mês, julgue os itens subsequentes. 
40. A taxa efetiva mensal dessa operação foi inferior a 6%. 
41. O valor recebido (valor descontado) foi inferior a R$ 3.800,00. 
Resolução 
Item I. Podemos calcular a taxa efetiva mensal com a seguinte fórmula: 
 
𝑖G =
𝑖
1 − 𝑖𝑛 =
0,05
1 − 0,05 ∙ 5 =
0,05
0,75 =
5
75 ≈ 6,66% 
Gabarito: Errado 
 
Item II. O valor nominal é N = 5.000, a taxa é de 5% ao mês e o período de antecipação é de 5 
meses. O desconto utilizado é comercial simples. 
 
𝐷 = 𝑁 ∙ 𝑖 ∙ 𝑛 = 5.000 ∙
5
100 ∙ 5 = 1.250 
 
Assim, o valor recebido é igual a 5.000 – 1.250 = 3.750 reais. 
 
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Gabarito: Certo 
 
42. (CESPE 2010/CEF) 
Se, ao descontar uma promissória com valor de face de R$ 5.000,00, seu detentor receber o valor 
de R$ 4.200,00, e se o prazo dessa operação for de 2 meses, então a taxa mensal de desconto 
simples por fora será igual a 
a) 5% 
b) 6% 
c) 7% 
d) 8% 
e) 9% 
Resolução 
O valor de face (valor nominal) é de R$ 5.000 e o valor recebido (valor atual) é de R$ 4.200. 
Portanto, o desconto é de 5.000 – 4.200 = 800 reais. Lembre-se que desconto simples por fora é, 
na verdade, o desconto comercial simples. 
𝐷 = 𝑁 ∙ 𝑖 ∙ 𝑛 
 
800 = 5.000 ∙ 𝑖 ∙ 2 
 
800 = 10.000 ∙ 𝑖 
𝑖 =
800
10.000 =
8
100 = 8% 
Gabarito: D 
 
43. (CESPE 2008/PM-CE) 
Caso um título de R$ 15.000,00 seja resgatado 3 meses antes de seu vencimento, sob o regime de 
juros simples e à taxa de juros de 12% ao ano, então o valor do desconto racional, ou por dentro, 
será superior a R$ 450,00. 
 
Resolução 
A operação de desconto racional simples, por definição, é equivalente a uma operação de juros 
simples. 
Como temos o valor NOMINAL e queremos calcular o desconto racional, não conseguiremos 
utilizar a fórmula 𝐷P = 𝐴 ∙ 𝑖 ∙ 𝑛, pois precisaríamos do valor atual. 
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Podemos então utilizar a seguinte fórmula. 
𝐷P =
𝑁 ∙ 𝑖 ∙ 𝑛
1 + 𝑖𝑛 
Observe que a taxa é de 12% ao ano e que o tempo de antecipação é de 3 meses. Para que 
possamos utilizar a fórmula acima, devemos ter uma conformidade entre a taxa e o tempo. Como 
a taxa é de 12% ao ano, e o ano tem 12 meses, então a taxa mensal será de 1% (12/12). 
Temos os seguintes dados da questão: 
N = 15.000, i = 0,01, n = 3 meses. 
Logo, o desconto racional simples será 
 
𝐷 =
15.000 ∙ 0,01 ∙ 3
1 + 0,01 ∙ 3 =
450
1,03 ≅ 436,89 
 
Portanto, o item está errado, pois 436,89 < 450,00. 
Poderíamos também ter feito de outra forma: 
𝑁 = 𝐴 ∙ (1 + 𝑖𝑛) 
15.000 = 𝐴 ∙ (1 + 0,01 ∙ 3) 
15.000 = 𝐴 ∙ 1,03 
𝐴 =
15.000
1,03 ≅ 14.563,11 
Assim, o desconto é: 
𝐷 = 𝑁 − 𝐴 = 15.000 − 14.563,11 = 436,89 
Gabarito: Errado 
44. (CESPE 2007/ISS-Vitória) 
Considere que uma pessoa pretenda quitar, 4 meses antes do vencimento, um título de valor 
nominal de R$ 7.800,00. Nesse caso, se for usado o desconto racional simples à taxa de 60% ao 
ano, a pessoa deve pagar menos de R$ 6.300,00. 
Resolução 
 
O que a pessoa deve pagar na antecipação de um título é o que chamamos de valor atual ou valor 
descontado. 
Temos então um título com o valor nominal (N) de R$ 7.800,00 e queremos descontá-lo a uma taxa 
de 60% ao ano. Já que o tempo de antecipação é de quatro meses, devemos transformar a taxa 
anual para taxa mensal. Considerando que o ano tem 12 meses, a taxa de 60% ao ano é 
equivalente a uma taxa de 5% = 0,05 ao mês (60/12 = 5). 
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Sabemos que em um desconto racional simples (por dentro) é válida a seguinte relação: 
 
𝑁 = 𝐴 ∙ (1 + 𝑖. 𝑛) 
Logo, 
 
𝐴 =
𝑁
(1 + 𝑖. 𝑛) =
7.800
1 + 0,05 ∙ 4 =
7.800
1,2 = 6.500,00 
 
Gabarito: Errado 
 
 
45. (CESPE 2009/IBRAM) 
Com relação a desconto, julgue o item abaixo. 
Considere que um título de valor nominal igual a R$ 5.000,00, com vencimento em um ano, esteja 
sendo liquidado dois meses antes. Nesse caso, se a taxa nominal de juros simples corrente é de 
36% ao ano e se o desconto considerado é o racional (ou por dentro), então a quantia que o 
devedor está deixando de pagar por liquidar o título antecipadamente é inferior a R$ 290,00. 
Resolução 
O título será descontado dois meses antes da data de vencimento. E já que a taxa nominal é de 
36% ao ano, devemos transformá-la em uma taxa mensal. O ano possui 12 meses, então a taxa 
mensal é de 3% = 0,03. 
 
A quantia que o devedor está deixando de pagar é o que denominamosdesconto. 
 
Sabemos que é válida a seguinte expressão para o desconto racional. 
 
𝐷 =
𝑁 ∙ 𝑖 ∙ 𝑛
1 + 𝑖 ∙ 𝑛 
 
𝐷 =
5.000 ∙ 0,03 ∙ 2
1 + 0,03 ∙ 2 ≅ 283,02 
 
Como 283,02 < 290,00, então o item está certo. 
Gabarito: Certo 
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46. (CESGRANRIO 2018/PETROBRAS) 
Um cliente de uma loja de eletrodomésticos deseja antecipar duas parcelas iguais de R$ 1.000,00 
de seu financiamento, com vencimento para, respectivamente, 30 e 60 dias a partir de hoje. 
Considerando-se uma taxa de desconto de 2% a.m., desconto comercial simples e calendário 
comercial, quanto será exigido do cliente para quitar as duas parcelas? 
 
(A) R$ 1.940,00 
(B) R$ 1.940,40 
(C) R$ 1.941,93 
(D) R$ 1.960,00 
(E) R$ 2.000,00 
Resolução 
Estamos diante de uma operação de desconto comercial simples. O valor nominal de cada uma das 
parcelas é 𝑁 = 1.000. O tempo de antecipação da primeira parcela é de 1 mês e o tempo de 
antecipação da segunda parcela é de 2 meses. 
O desconto comercial simples é calculado pela fórmula 𝐷O = 𝑁 ∙ 𝑖 ∙ 𝑛. 
Assim, o desconto na primeira parcela é de: 
𝐷O = 1.000 ∙
2
100 ∙ 1 = 20	𝑟𝑒𝑎𝑖𝑠 
Como o desconto é de 20 reais, então o cliente pagará 1.000 – 20 = 980 reais pela primeira parcela. 
O desconto na segunda parcela é de: 
𝐷O = 1.000 ∙
2
100 ∙ 2 = 40	𝑟𝑒𝑎𝑖𝑠 
Como o desconto é de 40 reais, então o cliente pagará 1.000 – 40 = 960 reais pela segunda parcela. 
O valor total para quitar as duas parcelas é de 980 + 960 = 1.940 reais. 
 
Gabarito: A 
 
 
47. (CESGRANRIO 2011/BNDES) 
 
Considere uma nota promissória de valor nominal N e termo de 2 anos, emitida no dia de hoje. 
Qual deve ser a taxa aproximada de desconto mensal, a ser paga daqui a seis meses, para que o 
valor de resgate seja a metade do valor nominal, considerando o desconto racional simples? 
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(A) 3,333% a.m. 
(B) 4,167% a.m. 
(C) 5,556% a.m. 
(D) 7,667% a.m. 
(E) 8,333% a.m. 
Resolução 
Digamos que o valor nominal da nota promissória seja 𝑁 = 100 reais. 
O valor de resgate (valor atual) é a metade do valor nominal. Assim, o valor atual é 𝐴 = 50 reais e 
o desconto é 𝐷 = 100 − 50 = 50 reais. 
A nota promissória vence em 2 anos. Como a nota promissória será paga daqui a 6 meses, então o 
prazo de antecipação é de 18 meses. 
 
Vamos aplicar a fórmula do desconto racional simples. 
𝐷P = 𝐴 ∙ 𝑖 ∙ 𝑛 
50 = 50 ∙ 𝑖 ∙ 18 
𝑖 =
1
18 ≅ 5,55%	𝑎.𝑚. 
Gabarito: C 
48. (CESGRANRIO 2010/Petrobras) 
 
Um título sofreu desconto racional simples 3 meses antes do seu vencimento. A taxa utilizada na 
operação foi 5% ao mês. Se o valor do desconto foi R$ 798,00, é correto afirmar que o valor de 
face desse título, em reais, era 
(A) menor do que 5.400,00. 
(B) maior do que 5.400,00 e menor do que 5.600,00. 
(C) maior do que 5.600,00 e menor do que 5.800,00. 
(D) maior do que 5.800,00 e menor do que 6.000,00. 
(E) maior do que 6.000,00. 
 
Resolução 
A questão exige uma aplicação direta da fórmula do desconto racional simples. 
𝐷 = 𝐴 ∙ 𝑖 ∙ 𝑛 
 
798 = 𝐴 ∙
5
100 ∙ 3 
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798 = 0,15 ∙ 𝐴 
 
𝐴 = 5.320 
 
O problema pede o valor de face (valor nominal). Lembre-se que o valor nominal é igual a soma do 
valor atual com o desconto. 
𝑁 = 𝐴 + 𝐷 = 5.320 + 798 = 6.118 
Gabarito: E 
 
 
 
49. (CESGRANRIO 2006/PROMINP) 
Qual é o valor atual, em reais, de um título cujo valor de face é R$ 2.000,00, descontado dois 
meses antes do vencimento (desconto simples por fora), sendo a taxa de desconto de 10% ao 
mês? 
(A) 1.600,00 
(B) 1.620,00 
(C) 1.680,00 
(D) 1.720,00 
(E) 1.800,00 
Resolução 
Para resolver tal problema, podemos aplicar a fórmula que está imediatamente acima do 
enunciado. Lembre-se que valor de face é o mesmo que valor nominal. 
𝐴 = 𝑁 ∙ (1 − 𝑖 ∙ 𝑛) 
𝐴 = 2.000 ∙ (1 − 0,10 ∙ 2) = 2.000 ∙ 0,80 = 1.600,00 
Gabarito: A 
 
 
 
50. (CESGRANRIO 2010/Petrobras) 
Um cheque pré-datado para daqui a 3 meses, no valor de R$ 400,00, sofrerá desconto comercial 
simples hoje. Se a taxa de desconto é de 12% ao mês, o valor a ser recebido (valor descontado), em 
reais, será igual a 
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(A) 400,00 
(B) 352,00 
(C) 256,00 
(D) 144,00 
(E) 48,00 
Resolução 
Outra questão muito simples sobre descontos. Aplicação direta da fórmula utilizada no problema 
anterior. 
𝐴 = 𝑁 ∙ (1 − 𝑖 ∙ 𝑛) 
𝐴 = 400 ∙ (1 − 0,12 ∙ 3) = 400 ∙ 0,64 = 256,00 
Gabarito: C 
 
51. (CESGRANRIO 2009/BNDES) 
 
Uma promissória sofrerá desconto comercial 2 meses e 20 dias antes do vencimento, à taxa 
simples de 18% ao ano. O banco que descontará a promissória reterá, a título de saldo médio, 7% 
do valor de face durante o período que se inicia na data do desconto e que termina na data do 
vencimento da promissória. Há ainda IOF de 1% sobre o valor nominal. Para que o valor líquido, 
recebido no momento do desconto, seja R$ 4.620,00, o valor nominal, em reais, desprezando-se os 
centavos, deverá ser 
 
(A) 5.104 
(B) 5.191 
(C) 5.250 
(D) 5.280 
(E) 5.344 
 
Resolução 
 
Trata-se de um desconto bancário simples. 
 
O desconto bancário leva em conta também despesas administrativas cobradas pelos bancos 
para a efetivação da operação de desconto. Ou seja, o desconto bancário é uma modalidade de 
desconto comercial, acrescida de taxas e despesas administrativas. 
Podemos afirmar que o valor líquido recebido (V) é igual ao valor nominal menos as despesas 
administrativas e menos o desconto por fora. As despesas administrativas são calculadas como se 
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não houvesse desconto por fora, ou seja, o percentual incidirá sobre o valor nominal. Da mesma 
forma, o desconto por fora será efetuado como se não houvesse despesas administrativas. 
 
𝐴 = 𝑁 − 𝐷F − 𝐷K 
Dc é o desconto por fora e Db são as taxas e as despesas administrativas cobradas pelo banco. 
𝐴 = 𝑁 − 𝑁 ∙ 𝑖 ∙ 𝑛 − 𝐷K 
𝐴 = 𝑁 − 𝑁 ∙ 𝑖 ∙ 𝑛 − 0,07𝑁 − 0,01𝑁 
 
O tempo de antecipação (2 meses e 20 dias) pode ser escrito como 80 dias (30+30+20). 
Observação: O mês comercial possui 30 dias e o ano comercial possui 30x12 = 360 dias. 
Assim, a taxa de 18% = 0,18 ao ano para ser escrita sob a forma de taxa diária deverá ser dividida 
por 360. 
Ou seja, 𝑖 = �,l�
n��
	𝑎𝑜	𝑑𝑖𝑎. 
 
Ufa! Voltemos à nossa expressão. 
𝐴 = 𝑁 − 𝑁 ∙ 𝑖 ∙ 𝑛 − 0,07𝑁 − 0,01𝑁 
O valor líquido recebido foi igual aR$ 4.620,00. 
 
4.620 = 𝑁 − 𝑁 ∙
0,18
360 ∙ 80 − 0,07𝑁 − 0,01𝑁 
 
4.620 = 𝑁 − 0,04 ∙ 𝑁 − 0,07𝑁 − 0,01𝑁 
4.620 = 0,88 ∙ 𝑁 
𝑁 =
4.620
0,88 = 5.250 
 
Gabarito: C 
 
 
52. (CESGRANRIO 2008/Petrobras) 
A fim de antecipar o recebimento de cheques pré-datados, um lojista paga 2,5% a.m. de desconto 
comercial. Em março, ele fez uma promoção de pagar somente depois do Dia das Mães e recebeu 
um total de R$120.000,00 em cheques pré-datados, com data de vencimento para 2 meses depois. 
Nesta situação, ele pagará, em reais, um desconto total de 
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(A) 6.000,00 
(B) 5.200,00 
(C) 5.000,00 
(D) 4.500,00 
(E) 4.000,00 
Resolução 
Quando o problema não fornece informações acerca do regime (simples ou composto), devemos 
utilizar o regime simples. 
Temos, portanto, que descontar um valor nominal de R$ 120.000,00 (este é o valor nominal, pois 
ele que está escrito no cheque) 2 meses antes da data de seu vencimento a uma taxa de 2,5% 
(desconto comercial simples). 
Para calcular o desconto, podemos utilizar diretamente a fórmula (lembre-se que a taxa do 
desconto comercial incide sobre o valor nominal). 
𝐷 = 𝑁 ∙ 𝑖 ∙ 𝑛 
 
𝐷 = 120.000 ∙
2,5
100 ∙ 2 
 
𝐷 = 6.000 
Gabarito: A 
53. (CESGRANRIO 2011/BNDES) 
Uma nota promissória com valor nominal de R$ 150.000,00 foi descontada em um banco 100 dias 
antes do vencimento, à taxa de desconto de 2% a.m., mais 5% sobre o valor nominal, a título de 
despesas bancárias. 
Considerando a sistemática de desconto bancário simples e ano comercial, o valor descontado é, 
aproximadamente, 
(A) R$ 132.500,00 
(B) R$ 135.150,00 
(C) R$ 137.200,00 
(D) R$ 140.000,00 
(E) R$ 142.800,00 
Resolução 
A taxa é de 2% ao mês. Para calcular a taxa diária, basta dividir a taxa mensal por 30. 
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𝑖 =
2%
30 =
0,02
30 	𝑎𝑜	𝑑𝑖𝑎 
O valor atual será igual ao valor nominal menos o desconto comercial menos as despesas 
bancárias. 
𝐴 = 𝑁 − 𝐷F − 𝐷K 
 
𝐴 = 𝑁 − 𝑁 ∙ 𝑖 ∙ 𝑛 − 𝐷K 
 
𝐴 = 𝑁 − 𝑁 ∙ 𝑖 ∙ 𝑛 − 0,05𝑁 
 
𝐴 = 150.000 − 150.000 ∙
0,02
30 ∙ 100 − 0,05 ∙ 150.000 
 
𝐴 = 150.000 − 10.000 − 7.500 
 
𝐴 = 132.500 
Gabarito: A 
54. (CESGRANRIO 2014/EPE) 
No controle e acompanhamento do orçamento de caixa, uma empresa comprovou a existência de 
uma sobra de dinheiro, elevada e consistente, para o próximo ano. 
Em decorrência, a empresa decidiu pagar, antecipadamente, a dívida bancária de R$ 350.000,00, 
vencível dentro de 4 meses, contados do dia do pagamento antecipado, com uma taxa de 
desconto comercial, negociada com o banco, a juros simples, de 30% ao ano. 
Nesse contexto, o valor pago na quitação dessa dívida, nos termos do desconto comercial simples 
(desconto por fora) negociado, em reais, foi de 
(A) 245.000,00 
(B) 315.000,00 
(C) 318.182,00 
(D) 323.750,00 
(E) 341.250,00 
Resolução 
A taxa é de 30% ao ano. Para calcular a taxa mensal, basta dividir a taxa anual por 12. 
𝑖 =
30%
12 = 2,5%	𝑎𝑜	𝑚ê𝑠 
O valor nominal é 𝑁 = 350.000, o prazo de antecipação é de 4 meses. Vamos calcular o desconto 
comercial simples. 
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𝐷 = 𝑁 ∙ 𝑖 ∙ 𝑛 
 
𝐷 = 350.000 ∙
2,5
100 ∙ 4 = 35.000 
O valor pago é o valor atual. 
𝐴 = 𝑁 − 𝐷 = 350.000 − 35.000 = 315.000 
Gabarito: B 
 
 
55. (CESGRANRIO 2012/Petrobras) 
Um título com valor de face de R$ 4.000,00 que tenha sido resgatado a uma taxa de desconto 
bancário simples de 3% ao mês, um mês antes do vencimento, terá o valor presente, em reais, de 
(A) 2.800,00 
(B) 3.880,00 
(C) 3.883,50 
(D) 4.120,00 
(E) 4.173,20 
Resolução 
O valor de face é o valor nominal. Assim, 𝑁 = 4.000 reais. 
O desconto bancário corresponde à operação de desconto comercial. A taxa é de 3% ao mês e o 
tempo é 1 mês. 
𝐷 = 𝑁 ∙ 𝑖 ∙ 𝑛 
𝐷 = 4.000 ∙
3
100 ∙ 1 = 120 
Vamos calcular o valor presente. 
𝐴 = 𝑁 − 𝐷 = 4.000 − 120 = 3.880 
Gabarito: B 
 
 
56. (CESGRANRIO 2013/BNDES) 
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Um comerciante descontou um cheque pré-datado para 30 dias, no valor de R$ 30.000,00, tendo o 
banco cobrado uma taxa de desconto simples de 5,00% ao mês. 
Qual é o valor, em reais, emprestado ao lojista, e qual é a taxa efetiva de juros simples ao mês 
cobrada do cliente, respectivamente? 
(A) 28.500,00 e 5,00% 
(B) 28.500,00 e 5,26% 
(C) 30.000,00 e 5,00% 
(D) 30.000,00 e 5,26% 
(E) 30.000,00 e 5,52% 
Resolução 
O banco utiliza desconto comercial. 
Vamos aplicar a fórmula. 
𝐷 = 𝑁 ∙ 𝑖 ∙ 𝑛 
𝐷 = 30.000 ∙
5
100 ∙ 1 = 1.500 
Assim, o valor atual é: 
𝐴 = 30.000 − 1.500 = 28.500 
A taxa efetiva é sempre maior que a taxa de desconto comercial. Assim, já poderíamos marcar a 
alternativa B. 
Para calcular a taxa efetiva, podemos efetuar uma operação de juros simples. O capital é o valor 
atual de 28.500 reais. O juro é o desconto de 1.500 reais. 
𝐽 = 𝐶 ∙ 𝑖 ∙ 𝑛 
1.500 = 28.500 ∙ 𝑖 ∙ 1 
𝑖 =
1.500
28.500 =
15
285 ≅ 5,26% 
Poderíamos também aplicar a fórmula da taxa efetiva. 
 
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𝑖G =
𝑖F
1 − 𝑖F ∙ 𝑛
 
 
𝑖G =
0,05
1 − 0,05 ∙ 1 =
0,05
0,95 =
5
95 ≅ 5,26% 
Gabarito: B 
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103 
 
10. CONSIDERAÇÕES FINAIS 
Ficamos por aqui, queridos alunos. Espero que tenham gostado da aula. 
Vamos juntos nesta sua caminhada. Lembre-se que vocês podem fazer perguntas e sugestões no 
nosso fórum de dúvidas. 
 
Você também pode me encontrar no instagram @profguilhermeneves ou entrar em contato 
diretamente comigo pelo meu email profguilhermeneves@gmail.com. 
Um forte abraço e até a próxima aula!!! 
Guilherme Neves 
 
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