Resumo sobre Integrais Múltiplas

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UFNT 
Cálculo Diferencial de Diferentes Variáveis 
Prof. Rogério 
Aluno: Wellington da Silva da Costa 
 
Resumo Sobre Integrais Múltiplas (p. 284 a 306) 
 
 
 As Integrais Múltiplas incluem duas ou mais variáveis cujas aplicações se dá no cálculo 
de áreas, volumes e em definições de grandezas físicas. 
 Primeiramente temos as Integrais Definidas que podem resultar em Integrais Duplas ou 
Múltiplas, onde se assemelha a derivadas parciais, pois uma das variáveis se mantém constante 
enquanto a outra é utilizada no cálculo. Dessa forma a integração parcial resulta em uma função 
de duas ou mais variáveis que em seguida será utilizada para a integração da outra variável que 
anteriormente foi considerada como constante, segundo a regra abaixo que considera a 
integração em relação a x primeiro: 
∫ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥 = 𝑔(𝑥, 𝑦) 
∫ 𝑔(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦 = ∬ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥 𝑑𝑦 
 Da mesma maneira pode-se integrar primeiro em relação a y e tratar x como constante 
para que em seguida a função gerada ser utilizada para integrar em relação a x. 
 Em sequência, para funções de duas ou mais variáveis onde cada valor de y for fixo e a 
função ser integrada em x, forma-se a Integral Definida: 
∫
𝑎(𝑦)
𝑏(𝑦)
𝑓(𝑥, 𝑦) 𝑑𝑥 
 Nesse sentido, uma integral parcial definida parte do Teorema fundamental do Cálculo 
(TFC- fornece relação entre integral e derivada) para cálcular uma das variáveis mantendo as 
outras constantes. 
Exemplo: ∫
0
𝑥
5𝑥𝑦 𝑑𝑦 = 5𝑥
𝑦2
2
{
𝑦 = 𝑥
𝑦 = 0 = 5𝑥 (
𝑥2
2
) − 5𝑥 (
02
2
) = (
5𝑥3
2
) 
 Pode-se calcular a integral definida com a mudança de variável, mudando, porém, os 
limites de integração. 
 Assim, quando é obtido funções que dependem somente de x ou somente de y temos as 
funções F(x) e G(y) respectivamente, que são integráveis: 
∫
𝑥=𝑐
𝑥=𝑑
𝐹(𝑥) 𝑑𝑥 = ∫
𝑥=𝑐
𝑥=𝑑
[∫
𝑔(𝑥)
ℎ(𝑥)
𝑓(𝑥, 𝑦) 𝑑𝑦] 𝑑𝑥 
∫
𝑦=𝑐
𝑦=𝑑
𝐺(𝑦) 𝑑𝑦 = ∫
𝑦=𝑐
𝑦=𝑑
[∫
𝑎(𝑦)
𝑏(𝑦)
𝑓(𝑥, 𝑦) 𝑑𝑥] 𝑑𝑦 
 São conhecidas como Integrais Duplas ou Integrais Iteradas. 
INTEGRAL DUPLA SOBRE UMA REGIÃO 
Assim como a integral definida de uma variável que precisa de uma função e um 
intervalo, onde é definida a área negativa ou positiva de uma região plana limitada pelo gráfico, 
a Integral Definida de duas variáveis se assemelha pela presença de um intervalo em duas 
dimensões para as variáveis, obtendo uma região D no plano, Figura 1. 
Figura 1: Região D no plano 
 
Fonte: Cálculo para um curso de Química Volume 2, p.293. 
 
 Assim, para uma função de duas variáveis, que definirá a Integral Dupla de 𝑓(𝑥, 𝑦) sobre 
a região D, é demonstrada, de forma genérica, da seguinte forma: 
∬
𝐷
𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝐴 
 Com base na equação genérica, se 𝑓(𝑥, 𝑦) ≥ 0 em D, então obteremos o volume do 
sólido delimitado em cima pelo gráfico f, em baixo pela região D e nos lados pelo cilindro, 
como mostra a Figura 2: 
Figura 2: Porções da região D, figuras sólidas. 
 
Fonte: Cálculo para um curso de Química Volume 2, p.294. 
Há diferentes situações para que o cálculo de uma Integral Dupla sobre uma região D seja 
analisado e efetuado. 
Situação 1: Região D retangular: 𝐷 = {(𝑥, 𝑦) ∈ ℝ2 ∶ 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏 𝑒 𝑐 ≤ 𝑦 ≤ 𝑑}. 
Figura 3: Região D retangular 
 
Fonte: Cálculo para um curso de Química Volume 2, p.294. 
A equação generalizada se demonstra como: 
∫
𝑐
𝑑
[∫
𝑎
𝑏
𝑓(𝑥, 𝑦) 𝑑𝑥] 𝑑𝑦 
 
Situação 2: x variando entre valores constantes e y entre funções contínuas. 
𝐷 = {(𝑥, 𝑦) ∈ ℝ2 ∶ 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏 𝑒 𝑦1(𝑥) ≤ 𝑦 ≤ 𝑦2(𝑥)}. Em que 𝑦1 𝑒 𝑦2 são funções contínuas 
em [a, b]. 
Figura 4: x constante e y variando entre funções contínuas. 
 
Fonte: Cálculo para um curso de Química Volume 2, p.297. 
A equação dessa situação se dá da seguinte forma: 
∫
𝑎
𝑏
∫
𝑦1(𝑥)
𝑦2(𝑥)
𝑓(𝑥, 𝑦) 𝑑𝑦𝑑𝑥 
 
 
Situação 3: y variando entre valores constantes e x entre funções contínuas. 
𝐷 = {(𝑥, 𝑦) ∈ ℝ2 ∶ 𝑒 𝑥1(𝑦) ≤ 𝑥 ≤ 𝑥2(𝑦) 𝑒 𝑐 ≤ 𝑦 ≤ 𝑑}. Em que 𝑥1 𝑒 𝑥2 são funções 
contínuas em [a, b]. 
Figura 5: y constante e x variando entre funções contínuas. 
 
Fonte: Cálculo para um curso de Química Volume 2, p.300. 
 
A equação generalizada da situação 3 é demonstrada da seguinte forma: 
∫
𝑐
𝑑
∫
𝑥1(𝑦)
𝑥2(𝑦)
𝑓(𝑥, 𝑦) 𝑑𝑥𝑑𝑦 
 
Algumas observações importantes: 
1. Quando f for contínuo em D, a ordem da integração é irrelevante, pois o resultado será o 
mesmo, porém a integral mais externa deve sempre estar com os valores constantes. 
2. É importante esboçar o gráfico da região de integração antes de tentar calcular uma integral 
dupla. 
3. A natureza da função f(x,y) determina as vezes a ordem de integração. Se inverter a ordem 
para calcular uma integral pode ser extremamente mais fácil do que a primeira ordem de 
realização do cálculo.