Aula 2 fadiga 3 E N

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Prof. Dr. Cassius Terra Ruchert
DEFORMAÇÃO-VIDA (e x N)
EESC-USP
Deformação - Vida Vs. Tensão Vida
100 103 106 N
Tensão
Metodologia
Def. - Vida Metodologia
Tensão - Vida
Fadiga de 
baixo ciclo(FBC)
Fadiga de alto ciclo
FAC
EESC-USP
Nominal Vs Tensão Local

e
n
L
Carregamento

e
Descarregamento
Descarr. (Local)
Descarr. (Nominal)
• Ainda que a tensão nominal esteja dentro do intervalo elástico, a tensão 
local nos entalhes pode ser mais alta que a tensão de escoamento.
A região do entalhe experimenta deformação permanente no 
descarregamento.
•
Tensão 
Nominal n
Tensão 
Local
L
EESC-USP
Comportamento do Material
d0 l0
A0
Antes do Carreg.
A
l
d
Após Carreg.
Tensão 
Tensão de Eng. S = P/A0
Tensão Verd.  = P/A
EESC-USP
Comportamento do Material
d0 l0
A0
Antes do Carreg.
A
l
d
Após Carreg.
Deformação
0
e Eng. de Def.
l
l
l
l-l
0
0 






 
0
ln
d
 Verdadeira Def.
0
l
l
l
l
l
l
e
EESC-USP
Def. de Eng. & Def. Verdadeira
Comparação entre Tensão – Def. Verd. e de Eng.
T
e
n
s
ã
o
 d
e
 E
n
g
. 
, 
S
T
e
n
s
ã
o
 
V
e
rd
. 
, 

Sy
Def. de Eng. , e
Def. Verd. , e
E=S/e
x
x
Falha
Emp. acontece
em Su
Eng. S-e
Verd. -e
f
 

e  ln 1 e 
  S
A0
A
 S 1 e 
ef
EESC-USP
Relação Monotônica entre Tensão-Def.
Descarregamento. 
elástico
E E
•
P
eep
ee
et
Def. total et
Def. Elast. ee
Def. Plast. ep
et= ee+ ep
ee=/E
EESC-USP
Deformação Plástica
1.0
H
n
L
o
g
 T
e
n
s
ã
o
 V
e
rd
, 
(l
o
g

)
Log Def. Plast, (logep)
H – Coeficiente de resistência
n - Expoente de encruamento
 
 
p
n
n
p
nH
H
or
H
e
e
e
logloglog
 
1
p



EESC-USP
Deform. Elástica, Plástica & Total 
 
 
 
 
pet
p
e
eee
e
e



 Total
H
Plástica
E
Elástica
n
1
n
1
H
 
E








e t
Relação tensão – Def.
De Ramberg-Osgood 
EESC-USP
Comportamento Cíclico dos Materiais
EESC-USP
Comportamento Cíclico dos Materiais
Laço de histerese: 
Resposta do Material a carregamentos cíclicos inelásticos 
ea =e/2 = amplitude de def.
a = /2 amplitude de tensão
ee - parte elástica
ep – parte plástica
 
e
2

e
e
2

e
p
2
; 
e
e
 
E
ep ee
e

E

e
EESC-USP
Comportamento Transiente – Encruamento
+
-
e
Tempo
1
2
3
4
5
(a) Amplitude de deform. Const.

e
1
3
5
2
4
Tempo
1
2
3
4
5
+
-

(b) Resposta da tensão
(aumentando o nível de tensão)
(c) Resposta Tensão-Def. 
EESC-USP
Comportamento Transiente – Amolecimento
+
-
e
Tempo
1
2
3
4
5
Tempo

1
2
3
4
5

e
1
2
3
4
5
(a) Ampl. De def. cíclica
(b) Resposta Tensão
(diminuindo o nível de tensão)
(c) Resposta cíclica tensão-def.
EESC-USP
Encruamento Vs. Amolecimento
 
 
amolece teciclicamen material 
0,1nou 
12,1/ Se
endurece teciclicamen material 
0,2nou 
4,1/ Se
u










y
yu


Postulado de Manson: Baseado em observações experimentais.
usando as propriedades estáticas do material (limite de resist. e 
de escoamento e expoente de encruamento, n), pode ser previsto 
se o material irá encruar ou amolecer. 
n
1
H
 
E








e t
onde, n é dado por
EESC-USP
Laço de Histerese do Cobre 
Laço de Histerese estabiliz.
em e =0.0084
Material exibe endureci-
mento na condição de 
recozido.
EESC-USP
Laço de histerese 
estabilizado em e =0.0078
Material exibe amolecimento
Cíclico na condição
parcialmente recozido
Laço de Histerese do Cobre
EESC-USP
Laço de Histerese do Cobre
Laço de histerese estab. 
em e =0.0099
Material exibe amolecimento
cíclico na cond. de traba-
lhado a frio.
EESC-USP
e
- Aplicar uma amplitude de def. de e/2.
- O transiente de tensão é seguido de um
laço de histerese estabilizado
- Estabeleça o laço de histerese
estabilizado para este nível de def.
- Repetir o procedimento com 
uma diferente amplitude de def.
- Unir as pontas dos laços de histerese 
estabilizados.
- A CURVA TENSÃO DEF. do Material.
Determinação da Curva Tensão-Deformação 
Cíclica
EESC-USP
Encruamento/amolecimento
EESC-USP
RELAÇÃO TENSÃO-DEFORMAÇÃO CÍCLICA
  n
1
H'
Plast, Def.
E
, Elast. Def.
 Total Def.




e
e
eeee
p
e
pet
 
 
 
 np' e H
H' – Coef. de Resist. cíclica
n' - Expoente de encruamento cíclico.
n
1
H'E
 que maneira De








e t
EESC-USP
RELAÇÃO TENSÃO-DEFORMAÇÃO CÍCLICA
1.0
H'
n'
L
o
g
 T
e
n
s
ã
o
 c
íc
li
c
a
, 
(l
o
g

)
Log Def. Ciclica, (logep)
 
 
p
n
p
ou
e
e
e
lognH'loglog
H'
 
H'
n
1
p




EESC-USP
CURVA DE HISTERESE ESTABILIZADA
Hipótese de Massing:
- Para materiais exibindo comportamento simétrico 
em tração e compressão.
-Curva de histerese pode ser ESTIMADA a partir
da curva Tensão - Def. cíclica estabilizada.
- Dobrar os valores de tensão e def. da curva
estabilizada da curva tensão- def. cíclica.
EESC-USP
CURVA DE HISTERESE ESTABILIZADA
Segundo a hipótese de Massing: Dada uma curva tensão – def. cíclica, 
obter o ponto B sobre a curva 
dobrando o valor correspondente ao ponto A na curva T X Def. 
cíclica

e
Curva tensão - def.
cíclica estabilizada
0.002
270
A
(a)

e
540
0.0040
Curva de histerese
estabilizada
B
(b)

e
e=0.004
 = 540
0
Laço de histerese
estabilizada
B
(c)
EESC-USP
EQUAÇÕES PARA O LAÇO DE HISTERESE
Seguindo a hipótese de Massing:
n
1
H'E
 Relembre








ee t
2
e2e
/2
ee/2
Eq. da
histerese n
1
n
1
2H'
 2
E
 
2H'2E2
 que maneira De







 








 





e
e
EESC-USP
Curvas Deformação-Vida
Usando a amplitude de tensão verdadeira (/2), os 
dados Tensão-vida (S-N) podem ser plotados 
linearmente na escala log-log,
 

2
 
f

2N
f 
b
 (2.37)
ciclo) 
2
1
 reverso um (falhar para reversos 2Nf 
ff fadiga, a a verdadeirresist.  







 fadiga a resist. de expoente b
fadiga a resist. de coef. f
Propriedade de 
fadiga do material
EESC-USP
Curvas Tensão-Deformação
Manson & Coffin encontraram que os dados def.-vida (ep-N) 
Podem ser também linearizados na coord. log-log.
 
e
p
2
 e
f

2N
f






c
 (2.38)
plástica def. de amplitude 
2
p

e







fadiga em edutillidad de expoente c
fadiga. em dutilidade de coef. fe
Propriedade de 
Fadiga do material
 e f

 e
f
ciclo) 
2
1
 reverso um (falhar para reversos 2Nf 
EESC-USP
Curva Tensão - Deformação
Como podemosrelacionar a vida a Ampl. De Def. Total e/2?
(2.39) 
2E
 
2
 
22
 
2
 Relembre,
e
pe
e
eee








Relação
Tensão-vida
 
    (2.41) 2N2N
E
 
2
 
(2.40) 2N
E2
 
2.39 & 2.37 De
c
ff
b
f
f
b
f
fe








ee
e
elástica plástica
EESC-USP
Note Eqns 2.37 e 2.38 são lineares no plano log-log
 bf
fe N2
E2
'

e
2Nf10
0
E
f '
b
2
ee
 cff
p
N2
2
'e
e
2Nf10
0
'fe
c
2
pe
Def. – Vida Elástica Def. – Vida plástica
EESC-USP
Relação Tensão – Vida Total
2
ee
2
pe 2
e
ee/2
ep/2
e/2
2Nf
 bf
fe N2
E2
'

e
 cff
p
N2
2
'e
e
   cff
b
f
f N2N2
E
 
2
'
'
e


e
EESC-USP
Vida de Transição 
Plástica
ee/2
ep/2
e/2
2Nf
Dominante
Elástica
Dominante
plástica
Total
Elástica
2Nt

22
 :2N2N Em
pe
tf
ee 




f
'
E
2N
t
 
b
 e
f
' 2N
t
 
c 2N
t

e
f
' E

f
'






1
bc
EESC-USP
Vida de Transição
Def. 
Total
Def.
Elástica
Def.
Plástica
600100
106
100
2
N
t
Aços
BHN
Duro 2Nt é pequena – mais de 2Nf é elástica
Mole  2Nt é grande – mais de 2Nf é plástica
2Nt
ee/2
ep/2
e/2
EESC-USP
Resistência e Dutilidade
Normalizado (material dútil)
Temperado (material duro)
Dútil tem melhor vida em alto e
Duro tem melhor vida em baixo e
2Nf , log

e/
2
, 
 l
o
g
100 108
100
10-4
EESC-USP
Propriedades de Fadiga
1. Nem todos os materiais podem ser representados por 
equações de quatro parâmetros (i. e., ligas de Al & Ti)
2. Parâmetros obtidos pelo ajuste da curva – portanto, a 
acuracidade depende dos números de pontos usados ou 
disponíveis.
3. Parâmetros aplicáveis à um dado intervado de dados –
fora do intervalo pode dar um grande erro
4. Conveniência estritamente matemática – sem base física.
b, c, f´, ef´: Constantes empíricas
Relação: H´ = f´/( ef´)
n’
n´ = b/c
Tensão-Def. Cíclica
EESC-USP
Propriedades de Fadiga
Na ausência de “dados cíclicos”, os parâmetros de fadiga 
podem ser obtidos por estimativas grosseira a partir das 
“propriedades monotônicas”
f´  f f  Su + 50 ksi para aços com BHN < 500
Su+345 [MPa]
b varia com – 0,05 a – 0,12 com uma média de – 0,085 
( a mesma que nós temos no modelo tensão-vida)
ef´  ef
RA-1
1
ln onde f e
c varia entre – 0.5 to – 0.7
Para metais mutio dútil c  - 0.6
Para metais muito resist. c  - 0.5
EESC-USP
Exemplos
A partir dos dados monotônicos e ciclicos de 
tensão-Def.
Determine as constantes cíclicas de tensão-def 
& def. – vida)
Dados monotônicos: Sy=158 ksi E = 28.410
3 ksi
Su=168 ksi f = 228 ksi
%RA = 52 ef = 0.734
EESC-USP
50
68
122
256
350
488
1,364
1,386
3,540
3,590
9,100
35,200
140,000
162.5
162
155
143.5
143.5
136.5
130.5
126.5
121
119
114
106
84.5
0.0393
0.0393
0.02925
0.01975
0.0196
0.01375
0.00980
0.00980
0.00655
0.00630
0.00460
0.00360
0.00295
Reversos para
Falhar, 2Nf
Ampl. De tensão
/2 (ksi)
Ampl. de 
Def. Total, 
e/2
Ampl. Def. Plástica, 
ep/2*
0.0336
0.0336
0.0238
0.0147
0.0145
0.00894
0.00521
0.00534
0.00229
0.00211
0.00059
0.00000
0.00000
 
 
e
p
2

e
2

e
e
2

e
2


2E
EESC-USP
Exemplo (Cont.)

2
 
f
' 2N
f
 
b
e
p
2
 e
f
' 2N
f
 
c

f
'  222 ksi b  - 0.076
e
f
'  0.811 c  - 0.732
c
log 2Nf
lo
g
 

e p
/2
b
log 2Nf
lo
g
 


/2
EESC-USP
Para determinar H´ e n´ (Dois métodos)
 n'p
p
H' 
2
 plástica, def. ampl. a 
e 
2
 entre, potência de curva uma ajuste (A)
e
e




H´ = 216 ksi n´=0,094
y = 0,0939x + 2,6081
2,32
2,34
2,36
2,38
2,4
2,42
2,44
2,46
2,48
2,5
2,52
2,54
-3,5 -3 -2,5 -2 -1,5 -1 -0,5 0
Série1
Linear (Série1)
n
1
H'2
1
2E2






 



 e
EESC-USP
 
 
ksi 227
0,811
222
H' 
0,104
0,732-
0,076-
b/cn' 
'
'
H' Relembre (B)
0,104
n'
f
f



e

EESC-USP
Exemplo (Cont.)
0,0001
0,001
0,01
0,1
1
1 100 10000 1000000
Def. Elástica
Def. Plástica
Def. Total
Potência (Def.
Plástica)
Potência (Def.
Elástica)
Reversos para falhar, 2Nf
A
m
p
l.
 d
e
 D
e
f.
 ,
 
e/
2
EESC-USP
Efeito da Tensão Média na Metodologia 
Deformação - Vida
Os efeitos da tensão média são significante para vida em alto ciclo, 
HCF.
Para altas amplitudes de deformação, FBC, a relaxação de tensão 
ocorre e eventualmente a tensão média tende a zero.
FBC
FAC
Log 2Nf
L
o
g
 
e/
2
Tensão Média Compressiva
Completamente Reverso (tensão média zero)
Tensão média trativa
EESC-USP
1
2
3
4
5
6
7
8
e
Tempo
1
2
3
4
5
6
7
8
e

e
e
em
m1
m4
Relaxação da tensão média não é devido ao amolecimento 
por deformação;
O relaxamento da tensão média pode ocorre em materiais 
ciclicamente estáveis e devido a existência de deformação
plástica localizada.
EESC-USP
Modelo de Morrow Para Efeito da Tensão Média







 

f
m
a
ar
f
m
ar
a
1
1
 
b
f
m
f
b
f
b
f
m
f NNN fazendo
/1
*
/1
a
1.....21



























 
  b
ff N2ar  
  b
fmf N2a   
 Primeiramente rearranjamos esta equação.
 b
f N
*
a
2 
EESC-USP
    2N2N
E
 
2
c*
f
b*f
a
ee e 
Esta mesma modificação pode ser aplicada para a curva e x N. 
Onde a vida Nf, para uma dada combinação de ea e m é obtida a partir 
de N*:
c
f
b
f NN )2(-1)2(-1E
 
2
c/b
f
m
f
f
mf
a 


















 e e
e
b
f
m
f NN
/1
*
1












Substituindo N*, obtem-se uma única equação para a família de 
curvas e x N.
EESC-USP
A figura a seguir apresenta dados de ea x Nf para diferentes valores de 
m. As curvas tracejadas foram obtidas utilizando a equação anterior.
EESC-USP
- Podemos notar que a equação e x N* é a mesma que a anteriormente apresentada para 
m = 0.
-Assim, N* seria a vida calculada como se não existisse tensão média e a equação abaixo 
fornece a vida Nf que foi ajustada para incluir o efeito da tensão média.
b
f
m
f NN
/1
*
1












EESC-USP
Modelo de Morrow Modificado 
   cff
b
f
f
f 2N2N1
E
 
2
e
e  










 m
 

0
E
 

f
E
ef´
Log 2Nf
L
o
g
 
e/
2 Tensão Média Zero
Tensão Média Trativa
- A seguintemodificação é normalmente usada. Neste caso, observa-
se que o efeito da m no termo plástico foi removido.
EESC-USP
EESC-USP
Modelo de Smith, Watson & Topper 
Para o Efeito da Tensão Média
mma
  
2
max
Onde
- Este modelo assume que a vida para qualquer situação de 
tensão média depende do produto:
)(.
"
max N fa he
- E h”(Nf) indica uma função da vida em fadiga Nf.
- Assim, a vida é esperada ser a mesma para carregamentos
completamente reversos (m=0) que tenham o mesmo produto
max.ea.
- Novamente, façamos ar e ear os valores de amplitudes de
tensão e de deformação para m = 0 e que resultem em valores
de Nf similar ao de max . ea.
- Note que para m=0, tem-se que max = ar, e a função h”(Nf)
torna-se max.ea = ar.ear.
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 
    22 2
2
max
cb
fff
b
f
f
a
NN
E


 e e
 b
ffar N2 
Que pode ser rearranjada: 
   cff
b
f
f
NN
E
2'2
'
 
2 ar
ee e 
      2.2.2.max 








c
ff
b
f
fb
ffa
N
E
N N e e
Um procedimento gráfico conveniente é fazer max.ea x Nf usando 
a equação anterior, que necessita somente as constante p/ m =0
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Para qualquer situação envolvendo m diferente de zero, use o 
produto max.ea e econtre Nf.
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Exemplo
 Um disposivo é produzido de aço RQC-100 e submetido a 
carregamentos cíclicos com amplitude de deformação de ea = 0,004 
e uma tensão média de 100 MPa. Quantos ciclos podem ser 
aplicados antes que a falha por fadiga aconteça?
 Utilize as metodologias de Morrow, Morrow modificada e SWT e 
comente os resultados.
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Exercício
 Alguns dados de deformação – vida para tensão média diferente de zero são 
apresentados abaixo para uma liga de Al 2024-T4. 
a) Coloque em gráfico os pontos do parâmetro de SWT, max.ea versus Nf em 
um gráfico de coordenadas log-log. Coloque também a curva esperada 
para as constantes tabeladas e comente o sucesso do parâmetro de SWT 
para este material.
b) Usando a equação modificada de Morrow, coloque a família de curvas 
deformação – vida que corresponde a uma tensão média de 0; 72;142 e 
290 MPa e então coloque os pontos da tabela abaixo e comento a 
concordância dos resultados com estas curvas.
ea a, MPa m, MPa Nf, ciclos
0,00345
0,00232
0,00172
0,00410
0,00303
0,00254
0,00198
0,00148
0,00121
0,00250
0,00149
0,00109
245
165
122
291
215
181
143
105
85,5
178
106
76,5
71,7
71.7
71,7
142
141
144
143
142
144
292
292
287
37.800
244.600
760.000
11.000
30.000
58.500
158.000
437.100
820.000
27.700
200.000
747.000
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0,1
1
10
100 1.000 10.000 100.000 1.000.000
Nf
sa
m
x 
x 
ea 72
143
290
max.ea x Nf
max.ea = (a + m) ea
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Da Tabela: E = 73.000, ’f=1294 MPa, b = -0,142, e’f = 0,327, c = 
-0,645
0,1
1
10
100 1.000 10.000 100.000 1.000.000
Nf
sa
m
x 
x 
ea
72
143
290
dados Tabela
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   cff
b
f
f
f 2N2N1
E
 
2
e
e  










 m
b)