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MATEMÁTICA DISCRETA \u2013 AULA 1
PROFESSORA HELGA BODSTEIN, D.Sc.
Aula 1
Teoria dos Conjuntos
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Conteúdo
Introdução
A Importância da Matemática Discreta
Teoria dos Conjuntos
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Aula 1 - Teoria dos Conjuntos
\u201cUm profissional de computação que possui conhecimentos em matemática é capaz de resolver
problemas profundos, oferecendo soluções claras, organizadas, criativas e eficientes.\u201d (Silva, 2005)
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Aula 1 - Teoria dos Conjuntos
Introdução à Matemática Discreta
A Matemática
Valoriza o pensamento abstrato, a formalização, a capacidade de reconhecer estruturas semelhantes sob um manto de detalhes irrelevantes.
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Aula 1 - Teoria dos Conjuntos
Introdução à Matemática Discreta
Fazer Matemática
Não é trabalhar com números, e sim, com abstrações do mundo real, envolvam ou não estas abstrações quantidades exatas e mensuráveis.
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Aula 1 - Teoria dos Conjuntos
Introdução à Matemática Discreta
Finalidades da Matemática
Apresentar informações em uma forma assimilável,
Prover métodos (estruturas) convenientes para resolver
problemas,
Predizer o comportamento de sistemas reais.
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Aula 1 - Teoria dos Conjuntos
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Aula 1 - Teoria dos Conjuntos
Introdução à Matemática Discreta
A Matemática Discreta
Possui como ênfase os estudos matemáticos baseados em conjuntos contáveis, finitos ou infinitos.
O estudo da Matemática Discreta irá permitir o desenvolvimento da maturidade matemática (habilidade de entender e criar argumentos matemáticos).
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Aula 1 - Teoria dos Conjuntos
Introdução à Matemática Discreta
A Matemática Discreta
Fundamento para várias áreas da computação, como:
Algorítmos
Bancos de Dados
Linguagens de Programação
Sistemas Operacionais
etc.
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Aula 1 - Teoria dos Conjuntos
Introdução à Matemática Discreta
A Matemática Discreta
Background para solução de problemas em outras áreas, como:
Pesquisa Operacional
Engenharia
Biologia
Ciências Sociais
etc.
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Aula 1 - Teoria dos Conjuntos
Introdução à Teoria dos Conjuntos
Conjuntos
O que estes grupos têm em comum?????
Buquê de Rosas Grupo de pessoas
Dúzia de ovos
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Aula 1 - Teoria dos Conjuntos
Introdução à Teoria dos Conjuntos
Conjuntos - Coleção não ordenada de objetos (denominados elementos ou membros do conjunto).
Normalmente todos os objetos em um conjunto gozam de uma mesma propriedade (além da de pertencer ao conjunto!).
Qualquer objeto que contenha a propriedade é um elemento do conjunto e qualquer objeto que não tem a propriedade não é um elemento.
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Aula 1 - Teoria dos Conjuntos
Introdução à Teoria dos Conjuntos
Buquê de Rosas Grupo de pessoas
Dúzia de ovos
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Aula 1 - Teoria dos Conjuntos
Introdução à Teoria dos Conjuntos
Conceitos
Pertinência \u2013 Notação:\uf0ce
Qualquer objeto que seja elemento de um conjunto é dito pertencer aquele conjunto, ou ainda, o elemento x possui o predicado P.
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Aula 1 - Teoria dos Conjuntos
Introdução à Teoria dos Conjuntos
Exemplos:
Uma rosa pertence ao \uf0ce
conjunto buquê de rosas.
\uf0ce Uma pessoa pertence ao
conjunto grupo de pessoas
Um ovo pertence ao
conjunto dúzia de ovos. \uf0ce
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Aula 1 - Teoria dos Conjuntos
Introdução à Teoria dos Conjuntos
Conceitos
Se o elemento x não pertence ao conjunto, denota-se por \uf0cf, que também pode ser equivalente a dizer que x não está no conjunto, ou ainda que x não possui o predicado P.
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Aula 1 - Teoria dos Conjuntos
Introdução à Teoria dos Conjuntos
Exemplos:
Uma rosa não pertence ao \uf0cf
conjunto grupo de pessoas.
\uf0cf Uma pessoa não pertence ao conjunto dúzia de ovos.
Um ovo não pertence ao \uf0cf
conjunto buquê de rosas.
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Aula 1 - Teoria dos Conjuntos
Introdução à Teoria dos Conjuntos
Notação
Usamos letras maiúsculas para denotarem conjuntos e chaves para indicá-los.
- Para o conjunto das vogais, temos:
A = {a,e,i,o,u}
Em relação aos elementos i e h, podemos afirmar que:
i \uf0ce A e h \uf0cf A.
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Aula 1 - Teoria dos Conjuntos
Introdução à Teoria dos Conjuntos
Ainda para o conjunto das vogais:
{a,e,i,o,u} ou {e,i,a,o,u} ou {i,a,e,o,u} etc.
Como um conjunto é uma coleção não-ordenada de objetos, a ordem na qual os elementos são escritos não importa!
Dois conjuntos são iguais se contêm os mesmos elementos!
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Aula 1 - Teoria dos Conjuntos
Introdução à Teoria dos Conjuntos
Como definir um conjunto?
1. Listando (ou listando parcialmente) os elementos:
Conjunto das vogais: A = {a,e,i,o,u}
2. Indicando um padrão (normalmente para conjuntos infinitos):
P = {2, 4, 6, 8, ...}
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Aula 1 - Teoria dos Conjuntos
Introdução à Teoria dos Conjuntos
Como definir um conjunto?
3. Descrevendo uma propriedade P que caracterize o conjunto de elementos:
A={x|x é um inteiro e 3 < x < 7}
S={x|x é solução para x2 \u2013 4 = 0}
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Aula 1 - Teoria dos Conjuntos
Introdução à Teoria dos Conjuntos
Conjunto Universo \u2013 Notação: U
Chama-se Conjunto Universo ou simplesmente Universo de uma Teoria a todos os entes que são considerados como elementos nesta Teoria.
Exemplo: em geometria, o Universo é o conjunto de todos os pontos.
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Introdução à Teoria dos Conjuntos
Conjunto Universo \u2013 Notação: U
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Aula 1 - Teoria dos Conjuntos
Introdução à Teoria dos Conjuntos
Conjuntos Importantes
\u2022 \u2205: \u2205 = { }, o conjunto vazio (observe que \u3a6 \u2260 {\u3a6}).
\u2022 N : números naturais: {0, 1, 2, 3, . . .}.
\u2022 Z : números inteiros: {. . . , \u2212 3, \u2212 2, \u2212 1, 0, 1, 2, 3, . . .}
\u2022 Q : números racionais: {x/y : x \u2208 Z e y \u2208 Z e y \u2260 0} .
\u2022 R: números reais.
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Aula 1 - Teoria dos Conjuntos
Introdução à Teoria dos Conjuntos
Conjuntos Importantes
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Aula 1 - Teoria dos Conjuntos
Introdução à Teoria dos Conjuntos
Conjunto Potencia: P(A)
Dado um conjunto arbitrário, é possível construir novos conjuntos cujos elementos são partes do conjunto inicial.
Sendo A um conjunto qualquer, de nota-se por P(A) o conjunto constituído por todos os subconjuntos de A, isto é: P(A) = { X : X \u2286 A}
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Aula 1 - Teoria dos Conjuntos
Introdução à Teoria dos Conjuntos
Complemento:
Dado um conjunto A qualquer, o conjunto complementar de A em relação ao Universo é formado por todos os elementos do Universo que não pertencem ao conjunto A.
O conjunto complementar de A será:
A\u2019 ou \u100.
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Aula 1 - Teoria dos Conjuntos
Introdução à Teoria dos Conjuntos
Complemento:
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Aula 1 - Teoria dos Conjuntos
Introdução à Teoria dos Conjuntos
Conjuntos Finitos e Infinitos
Podemos dizer que um conjunto é finito se for possível contar os seus elementos, ou seja, se for o conjunto vazio ou se for possível estabelecer uma correspondência entre os seus elementos.
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Aula 1 - Teoria dos Conjuntos
Introdução à Teoria dos Conjuntos
Conjuntos Finitos e Infinitos
Exemplo: O conjunto dos números inteiros positivos inferiores a 10:
A = {1,2,3,4,5,6,7,8,9} CONJUNTO FINITO
Exemplo: O conjunto dos números pares:
B = {2,4,6,8,10,12,...} CONJUNTO INFINITO
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Aula 1 - Teoria dos Conjuntos
Introdução à Teoria dos Conjuntos
Operações sobre Conjuntos
\u2022 União:
A\u222aB = {x | x \u2208 A ou x \u2208 B }
Diagrama de Venn :
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Aula 1 - Teoria dos Conjuntos
Introdução à Teoria dos Conjuntos
Operações sobre Conjuntos
\u2022 Intersecção:
A\u2229B = {x | x \u2208 A ou x \u2208 B }
Diagrama de Venn :
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Aula 1 - Teoria dos Conjuntos
Introdução à Teoria dos Conjuntos
Operações sobre Conjuntos
\u2022 Intersecção:
Quando a intersecção de dois conjuntos A e B é o conjunto vazio, dizemos que estes conjuntos são disjuntos.
A \u2229 B = ø
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Aula 1 - Teoria dos Conjuntos
Introdução à Teoria dos Conjuntos
Operações sobre Conjuntos
\u2022 Diferença:
A-B = {x | x \u2208 A ou x \uf0cf B }
Diagrama de Venn :
A
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Aula 1 - Teoria dos Conjuntos
Introdução à Teoria dos Conjuntos
Relações entre conjuntos
\u2022 Igualdade: Dois conjuntos são iguais se e somente se tiverem os mesmos elementos.
Se um conjunto A for igual a um conjunto B escreve-se:
A = B
Para veri\ufb01car se dois conjuntos são iguais- 1
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