Aula_01

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MATEMÁTICA DISCRETA – AULA 1
PROFESSORA HELGA BODSTEIN, D.Sc. 
Aula 1
Teoria dos Conjuntos
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Conteúdo
Introdução
A Importância da Matemática Discreta
Teoria dos Conjuntos 
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Aula 1 - Teoria dos Conjuntos
“Um profissional de computação que possui conhecimentos em matemática é capaz de resolver 
problemas profundos, oferecendo soluções claras, organizadas, criativas e eficientes.” (Silva, 2005)
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Aula 1 - Teoria dos Conjuntos
Introdução à Matemática Discreta
A Matemática 
Valoriza o pensamento abstrato, a formalização, a capacidade de reconhecer estruturas semelhantes sob um manto de detalhes irrelevantes.
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Aula 1 - Teoria dos Conjuntos
Introdução à Matemática Discreta
Fazer Matemática 
Não é trabalhar com números, e sim, com abstrações do mundo real, envolvam ou não estas abstrações quantidades exatas e mensuráveis.
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Aula 1 - Teoria dos Conjuntos
Introdução à Matemática Discreta
Finalidades da Matemática 
 Apresentar informações em uma forma assimilável,
 Prover métodos (estruturas) convenientes para resolver 
problemas,
Predizer o comportamento de sistemas reais.
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Aula 1 - Teoria dos Conjuntos
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Aula 1 - Teoria dos Conjuntos
Introdução à Matemática Discreta
A Matemática Discreta
Possui como ênfase os estudos matemáticos baseados em conjuntos contáveis, finitos ou infinitos.
O estudo da Matemática Discreta irá permitir o desenvolvimento da maturidade matemática (habilidade de entender e criar argumentos matemáticos).
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Aula 1 - Teoria dos Conjuntos
Introdução à Matemática Discreta
A Matemática Discreta
Fundamento para várias áreas da computação, como:
 Algorítmos
 Bancos de Dados
 Linguagens de Programação
 Sistemas Operacionais
 etc.
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Aula 1 - Teoria dos Conjuntos
Introdução à Matemática Discreta
A Matemática Discreta
Background para solução de problemas em outras áreas, como:
Pesquisa Operacional
Engenharia
Biologia
Ciências Sociais
etc.
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Introdução à Teoria dos Conjuntos
Conjuntos
O que estes grupos têm em comum?????
Buquê de Rosas				Grupo de pessoas
			 Dúzia de ovos
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Introdução à Teoria dos Conjuntos
Conjuntos - Coleção não ordenada de objetos (denominados elementos ou membros do conjunto).
	Normalmente todos os objetos em um conjunto gozam de uma mesma propriedade (além da de pertencer ao conjunto!).
	Qualquer objeto que contenha a propriedade é um elemento do conjunto e qualquer objeto que não tem a propriedade não é um elemento. 
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Introdução à Teoria dos Conjuntos
Buquê de Rosas				Grupo de pessoas
			 Dúzia de ovos
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Introdução à Teoria dos Conjuntos
Conceitos
Pertinência – Notação:
	Qualquer objeto que seja elemento de um conjunto é dito pertencer aquele conjunto, ou ainda, o elemento x possui o predicado P.
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Introdução à Teoria dos Conjuntos
Exemplos: 
Uma rosa pertence ao 			 
conjunto buquê de rosas.
		  			Uma pessoa pertence ao 
					conjunto grupo de pessoas
Um ovo pertence ao 			
conjunto dúzia de ovos.			 
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Introdução à Teoria dos Conjuntos
Conceitos
	Se o elemento x não pertence ao conjunto, denota-se por , que também pode ser equivalente a dizer que x não está no conjunto, ou ainda que x não possui o predicado P.
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Introdução à Teoria dos Conjuntos
Exemplos: 
Uma rosa não pertence ao 		 
conjunto grupo de pessoas.
		  			Uma pessoa não pertence 					ao conjunto dúzia de ovos.
Um ovo não pertence ao 			 
conjunto buquê de rosas.
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Introdução à Teoria dos Conjuntos
Notação
Usamos letras maiúsculas para denotarem conjuntos e chaves para indicá-los.
- Para o conjunto das vogais, temos:
A = {a,e,i,o,u}
Em relação aos elementos i e h, podemos afirmar que:
i  A e h  A.
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Introdução à Teoria dos Conjuntos
Ainda para o conjunto das vogais:
{a,e,i,o,u} ou {e,i,a,o,u} ou {i,a,e,o,u} etc.
	Como um conjunto é uma coleção não-ordenada de objetos, a ordem na qual os elementos são escritos não importa!
Dois conjuntos são iguais se contêm os mesmos elementos!
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Aula 1 - Teoria dos Conjuntos
Introdução à Teoria dos Conjuntos
Como definir um conjunto?
1. Listando (ou listando parcialmente) os elementos:
Conjunto das vogais: A = {a,e,i,o,u}
2. Indicando um padrão (normalmente para conjuntos infinitos): 
P = {2, 4, 6, 8, ...}
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Introdução à Teoria dos Conjuntos
Como definir um conjunto?
3. Descrevendo uma propriedade P que caracterize o conjunto de elementos:
A={x|x é um inteiro e 3 < x < 7}
S={x|x é solução para x2 – 4 = 0}
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Introdução à Teoria dos Conjuntos
Conjunto Universo – Notação: U 
	Chama-se Conjunto Universo ou simplesmente Universo de uma Teoria a todos os entes que são considerados como elementos nesta Teoria.
Exemplo: em geometria, o Universo é o conjunto de todos os pontos.
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Introdução à Teoria dos Conjuntos
Conjunto Universo – Notação: U 
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Introdução à Teoria dos Conjuntos
 Conjuntos Importantes
• ∅: ∅ = { }, o conjunto vazio (observe que Φ ≠ {Φ}).
• N : números naturais: {0, 1, 2, 3, . . .}.
• Z : números inteiros: {. . . , − 3, − 2, − 1, 0, 1, 2, 3, . . .} 
• Q : números racionais: {x/y : x ∈ Z e y ∈ Z e y ≠ 0} .
• R: números reais.
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Introdução à Teoria dos Conjuntos
 Conjuntos Importantes
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Introdução à Teoria dos Conjuntos
Conjunto Potencia: P(A)
	Dado um conjunto arbitrário, é possível construir novos conjuntos cujos elementos são partes do conjunto inicial. 
Sendo A um conjunto qualquer, de nota-se por P(A) o conjunto constituído por todos os subconjuntos de A, isto é:			P(A) = { X : X ⊆ A}
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Introdução à Teoria dos Conjuntos
Complemento:
	Dado um conjunto A qualquer, o conjunto complementar de A em relação ao Universo é formado por todos os elementos do Universo que não pertencem ao conjunto A.
	O conjunto complementar de A será:
				 A’ ou Ā.
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Introdução à Teoria dos Conjuntos
Complemento:
	
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Introdução à Teoria dos Conjuntos
Conjuntos Finitos e Infinitos
	Podemos dizer que um conjunto é finito se for possível contar os seus elementos, ou seja, se for o conjunto vazio ou se for possível estabelecer uma correspondência entre os seus elementos.
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Introdução à Teoria dos Conjuntos
Conjuntos Finitos e Infinitos
Exemplo: O conjunto dos números inteiros positivos inferiores a 10:
A = {1,2,3,4,5,6,7,8,9}		CONJUNTO FINITO 
Exemplo: O conjunto dos números pares:
B = {2,4,6,8,10,12,...}		CONJUNTO INFINITO 
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Introdução à Teoria dos Conjuntos
 Operações sobre Conjuntos
• União:
A∪B = {x | x ∈ A ou x ∈ B }
Diagrama de Venn :
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Introdução à Teoria dos Conjuntos
 Operações sobre Conjuntos
• Intersecção:
A∩B = {x | x ∈ A ou x ∈ B }
Diagrama de Venn :
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Introdução à Teoria dos Conjuntos
 Operações sobre Conjuntos
• Intersecção:
Quando a intersecção de dois conjuntos A e B é o conjunto vazio, dizemos que estes conjuntos são disjuntos.
				 A ∩ B = ø
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Introdução à Teoria dos Conjuntos
 Operações sobre Conjuntos
• Diferença:
A-B = {x | x ∈ A ou x  B }
Diagrama de Venn :
A
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Introdução à Teoria dos Conjuntos
Relações entre conjuntos
• Igualdade: Dois conjuntos são iguais se e somente se tiverem os mesmos elementos.
Se um conjunto A for igual a um conjunto B escreve-se:
 A = B 
	Para verificar se dois conjuntos são iguais