Aula_06

+ 3):
g(x) = x \u2013 1 		f(x) = 2x + 3 
 Então: g(f(x)) = (2x + 3) -1 = 2x + 2
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Aula 6 \u2013 Funções
Função
Funções Compostas
Exemplos: Sejam as funções reais definidas por f(u)=4u+2 e g(x)=7x- 4. Determine as funções compostas:
 f(g(x)) e g(f(x)).
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Aula 6 \u2013 Funções
Função
Funções Compostas
f(u)=4u+2 e g(x)=7x- 4
1 - f(g(x)) \u2192 g(x) é o u da f(u)
f(g(x)) = 4.(7x-4) + 2 = 28x-14
2- g(f(x)) \u2192 f(u) é o x da g(x)
g(fx)) = 7 (4u+2) \u2013 4 = 28u+10
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Aula 6 \u2013 Funções
Função
FUNÇÃO INVERSA
Dada uma função bijetora f:A B, denomina-se função inversa de f à função g:B A tal que se f(a)=b, então g(b)=a, quaisquer que sejam a em A e b em B. 
Denotamos a função inversa de f por f -1.
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Aula 6 \u2013 Funções
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Aula 6 \u2013 Funções
Função
FUNÇÃO INVERSA
f(x)=2x 
f-1 	 é calculada substituindo o y pelo x e vice-versa e colocando o y em evidência novamente:
		y = 2x 
			x = 2y 
				2y = x 
					y=x/2 = g(x)
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Aula 6 \u2013 Funções
Função
FUNÇÃO INVERSA
g(x)=x/2 
g-1 	 é calculada substituindo o y pelo x e vice-versa e colocando o y em evidência novamente:
		y = x/2 
			x = y/2 
				y/2 = x 
					y=2x = f(x)
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Aula 6 \u2013 Funções
Função - Função afim
Uma função definida por f: R\u2192R chama-se afim quando existem constantes a, b que pertencem ao conjunto dos reais tais que f(x)= ax + b para todo x R. 
A lei que define função afim é: 
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Função - Função afim
 Na f(x) = ax + b, a e b são números reais e a \u2260 0.
O número a é chamado coeficiente de x e b é chamado de constante.
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Aula 6 \u2013 Funções
Função - Função afim
Exemplos:
f(x) = 5x \u2013 3 , onde a = 5 e b = -3
f(x) = -2x \u2013 7 , onde a = -2 e b = -7
f(x) = x/3 + 2/5 , onde a = 1/3 e b = 2/5
f(x) = 11x , onde a = 11 e b = 0
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Aula 6 \u2013 Funções
Função - Função afim
O gráfico de uma função afim é uma reta não perpendicular ao eixo Ox.
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Aula 6 \u2013 Funções
Função - Função afim
Casos Particulares: funções linear e constante.
Função linear
Uma função definida por f: R\u2192R chama-se linear quando existe uma constante a \u2208 R tal que f(x) = ax para todo x \u2208 R. A lei que define uma função linear é a seguinte:
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Aula 6 \u2013 Funções
Função - Função afim
O gráfico da função linear é uma reta, não perpendicular ao eixo Ox e que cruza a origem do plano cartesiano.
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Aula 6 \u2013 Funções
Função - Função afim
Função constante
Uma função definida por f: R\u2192R chama-se constante quando existe uma constante b R tal que f(x) = b para todo x \u2208 R. 
A lei que define uma função constante é:
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Aula 6 \u2013 Funções
Função - Função afim
O gráfico de uma função constante, é uma reta paralela ou coincidente ao eixo Ox q que cruza o eixo Oy no ponto de ordenada b.
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Aula 6 \u2013 Funções
Função - Função afim
O gráfico de uma função constante, é uma reta paralela ou coincidente ao eixo Ox q que cruza o eixo Oy no ponto de ordenada b.
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Aula 6 \u2013 Funções
Função - Gráficos
	O gráfico de uma função de 1° grau y = ax + b, com a 0 é uma reta oblíqua aos eixos Ox e Oy.
Exemplo: Construir o gráfico da função y = 3x - 1
Atribuímos valores para x e calculamos o valor de y. Desta maneira obtemos diversos pares ordenados que podem ser plotamos no plano cartesiano.
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Aula 6 \u2013 Funções
Função - Gráficos
y = 3x \u2013 1
Pares: (-2,-7); (-1,-4); 0,-1); (1,2); (2,5); (3,8)
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Aula 6 \u2013 Funções
Função - Gráficos
y = 3x - 1
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Aula 6 \u2013 Funções
Função
Variação de sinal da Função de 1° Grau
Estudar o sinal de uma função qualquer y = f(x) é determinar os valores de x para os quais y é positivo, os valores de x para os quais y é zero e os valores de x para os quais y é negativo.
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Aula 6 \u2013 Funções
Função
Variação de sinal da Função de 1° Grau
Consideremos uma função y = ax + b e vamos estudar seu sinal. 
Quando y=0, a reta corta o eixo x:
0 = ax+b
ax = -b
x = -b/a						
					 Neste ponto, y=0
						
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Aula 6 \u2013 Funções
Função
	Chamamos o valor de x, quando y=o de raiz da função.
1º Caso: a>0 \u2013 Função Crescente	
												
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Aula 6 \u2013 Funções
Função
	Chamamos o valor de x, quando y=o de raiz da função.
1º Caso: a<0 \u2013 Função Decrescente	
												
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Aula 6 \u2013 Funções
Função
Exemplo: Estudar o sinal da função y = 2x-1
a = 2 \u2192 a > 0 \u2013 função crescente!
Raiz: 2x-1=0 \u2192 x= ½
- Para x>1/2, y é positivo
- Para x<1/2, y é negativo
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Aula 6 \u2013 Funções
Função
Exemplo: Estudar o sinal da função y = -2x + 5
a = -2 \u2192 a < 0 \u2013 função decrescente!
Raiz: -2x+5=0 \u2192 x= 5/2
- Para x>5/2, y é negativo
- Para x<5/2, y é positivo
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f atribui a cada pessoa do mundo, a sua idade
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Sabemos que numa função injetora, elementos distintos do domínio, possuem imagens distintas, ou seja: 
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Para f: pois duas pessoas distintas podem ter a mesma idade
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Para f: pois duas pessoas distintas podem ter a mesma idade
não existem dois países distintos com a mesma capital. 
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Para f: pois duas pessoas distintas podem ter a mesma idade
não existem dois países distintos com a mesma capital. dois números naturais distintos, possuem os seus dobros também distintos. 
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f(x) = ax + b onde a e b são números reais e a 0.
O número a é chamado coeficiente de x e b é chamado de constante.
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Exemplos:
f(x) = 5x \u2013 3 , onde a = 5 e b = -3
f(x) = -2x \u2013 7 , onde a = -2 e b = 7
f(x) = x/3 + 2/5 , onde a = 1/3 e b = 2/5
f(x) = 11x , onde a = 11 e b = 0
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O gráfico de uma função de 1° grau y = ax + b, com a 0 é uma reta oblíqua aos eixos Ox e Oy.
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O gráfico de uma função de 1° grau y = ax + b, com a 0 é uma reta oblíqua aos eixos Ox e Oy.
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O gráfico de uma função de 1° grau y = ax + b, com a 0 é uma reta oblíqua aos eixos Ox e Oy.
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Variação de sinal da Função de 1° Grau
 
Estudar o sinal de uma função qualquer y = f(x) é determinar os valores de x para os quais y é positivo, os valores de x para os quais y é zero e os valores de x para os quais y é negativo.
Consideremos uma função y = ax + b e vamos estudar
seu sinal. Sabemos que essa função se anula para 
x = -b/a (raiz). Há dois casos possíveis:
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Variação de sinal da Função de 1° Grau
 
Estudar o sinal de uma função qualquer y = f(x) é determinar os valores de x para os quais y é positivo, os valores de x para os quais y é zero e os valores de x para os quais y é negativo.
Consideremos uma função y = ax + b e vamos estudar
seu sinal. Sabemos que essa função se anula para 
x = -b/a (raiz). Há dois casos possíveis:
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Há dois casos possíveis:
Conclusão: y é positivo para valores de x maiores que a raiz; y é negativo para valores de x menores que a raiz.
Conclusão: y é positivo para valores de x menores que a raiz; y é negativo para valores de x maiores que a raiz.
0
y<0
\u25cf
x
y>0
y
-b/a
+
-
x>-b/a
X<-b/a
x
y
y<0
y>0
+
-
0
x>-b/a
X<-b/a
-b/a
\u25cf
1°) a > 0 (função crescente) y > 0 \uf0e8 ax + b > 0 \uf0e8 x > -b/a
y < 0 \uf0e8 ax + b < 0 \uf0e8 x < -b/a
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Há dois casos possíveis:
Conclusão: y é positivo para valores de x maiores que a raiz; y é negativo para valores de x menores que a raiz.
Conclusão: y é positivo para valores de x menores que a raiz; y é negativo para valores de x maiores que a raiz.
0
y<0
\u25cf
x
y>0
y
-b/a
+
-
x>-b/a
X<-b/a
x
y
y<0
y>0
+
-
0
x>-b/a
X<-b/a
-b/a
\u25cf
1°) a > 0 (função crescente) y > 0 \uf0e8 ax + b > 0 \uf0e8 x > -b/a
y < 0 \uf0e8 ax + b < 0 \uf0e8 x < -b/a
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Estudar o sinal das funções:
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Estudar o sinal das funções:
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