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+ 3): g(x) = x – 1 f(x) = 2x + 3 Então: g(f(x)) = (2x + 3) -1 = 2x + 2 * * Aula 6 – Funções Função Funções Compostas Exemplos: Sejam as funções reais definidas por f(u)=4u+2 e g(x)=7x- 4. Determine as funções compostas: f(g(x)) e g(f(x)). * * Aula 6 – Funções Função Funções Compostas f(u)=4u+2 e g(x)=7x- 4 1 - f(g(x)) → g(x) é o u da f(u) f(g(x)) = 4.(7x-4) + 2 = 28x-14 2- g(f(x)) → f(u) é o x da g(x) g(fx)) = 7 (4u+2) – 4 = 28u+10 * * Aula 6 – Funções Função FUNÇÃO INVERSA Dada uma função bijetora f:A B, denomina-se função inversa de f à função g:B A tal que se f(a)=b, então g(b)=a, quaisquer que sejam a em A e b em B. Denotamos a função inversa de f por f -1. * * Aula 6 – Funções * * Aula 6 – Funções Função FUNÇÃO INVERSA f(x)=2x f-1 é calculada substituindo o y pelo x e vice-versa e colocando o y em evidência novamente: y = 2x x = 2y 2y = x y=x/2 = g(x) * * Aula 6 – Funções Função FUNÇÃO INVERSA g(x)=x/2 g-1 é calculada substituindo o y pelo x e vice-versa e colocando o y em evidência novamente: y = x/2 x = y/2 y/2 = x y=2x = f(x) * * Aula 6 – Funções Função - Função afim Uma função definida por f: R→R chama-se afim quando existem constantes a, b que pertencem ao conjunto dos reais tais que f(x)= ax + b para todo x R. A lei que define função afim é: * * Aula 6 – Funções Função - Função afim Na f(x) = ax + b, a e b são números reais e a ≠ 0. O número a é chamado coeficiente de x e b é chamado de constante. * * Aula 6 – Funções Função - Função afim Exemplos: f(x) = 5x – 3 , onde a = 5 e b = -3 f(x) = -2x – 7 , onde a = -2 e b = -7 f(x) = x/3 + 2/5 , onde a = 1/3 e b = 2/5 f(x) = 11x , onde a = 11 e b = 0 * * Aula 6 – Funções Função - Função afim O gráfico de uma função afim é uma reta não perpendicular ao eixo Ox. * * Aula 6 – Funções Função - Função afim Casos Particulares: funções linear e constante. Função linear Uma função definida por f: R→R chama-se linear quando existe uma constante a ∈ R tal que f(x) = ax para todo x ∈ R. A lei que define uma função linear é a seguinte: * * Aula 6 – Funções Função - Função afim O gráfico da função linear é uma reta, não perpendicular ao eixo Ox e que cruza a origem do plano cartesiano. * * Aula 6 – Funções Função - Função afim Função constante Uma função definida por f: R→R chama-se constante quando existe uma constante b R tal que f(x) = b para todo x ∈ R. A lei que define uma função constante é: * * Aula 6 – Funções Função - Função afim O gráfico de uma função constante, é uma reta paralela ou coincidente ao eixo Ox q que cruza o eixo Oy no ponto de ordenada b. * * Aula 6 – Funções Função - Função afim O gráfico de uma função constante, é uma reta paralela ou coincidente ao eixo Ox q que cruza o eixo Oy no ponto de ordenada b. * * Aula 6 – Funções Função - Gráficos O gráfico de uma função de 1° grau y = ax + b, com a 0 é uma reta oblíqua aos eixos Ox e Oy. Exemplo: Construir o gráfico da função y = 3x - 1 Atribuímos valores para x e calculamos o valor de y. Desta maneira obtemos diversos pares ordenados que podem ser plotamos no plano cartesiano. * * Aula 6 – Funções Função - Gráficos y = 3x – 1 Pares: (-2,-7); (-1,-4); 0,-1); (1,2); (2,5); (3,8) * * Aula 6 – Funções Função - Gráficos y = 3x - 1 * * Aula 6 – Funções Função Variação de sinal da Função de 1° Grau Estudar o sinal de uma função qualquer y = f(x) é determinar os valores de x para os quais y é positivo, os valores de x para os quais y é zero e os valores de x para os quais y é negativo. * * Aula 6 – Funções Função Variação de sinal da Função de 1° Grau Consideremos uma função y = ax + b e vamos estudar seu sinal. Quando y=0, a reta corta o eixo x: 0 = ax+b ax = -b x = -b/a Neste ponto, y=0 * * Aula 6 – Funções Função Chamamos o valor de x, quando y=o de raiz da função. 1º Caso: a>0 – Função Crescente * * Aula 6 – Funções Função Chamamos o valor de x, quando y=o de raiz da função. 1º Caso: a<0 – Função Decrescente * * Aula 6 – Funções Função Exemplo: Estudar o sinal da função y = 2x-1 a = 2 → a > 0 – função crescente! Raiz: 2x-1=0 → x= ½ - Para x>1/2, y é positivo - Para x<1/2, y é negativo * * Aula 6 – Funções Função Exemplo: Estudar o sinal da função y = -2x + 5 a = -2 → a < 0 – função decrescente! Raiz: -2x+5=0 → x= 5/2 - Para x>5/2, y é negativo - Para x<5/2, y é positivo * f atribui a cada pessoa do mundo, a sua idade * Sabemos que numa função injetora, elementos distintos do domínio, possuem imagens distintas, ou seja: * Para f: pois duas pessoas distintas podem ter a mesma idade * Para f: pois duas pessoas distintas podem ter a mesma idade não existem dois países distintos com a mesma capital. * Para f: pois duas pessoas distintas podem ter a mesma idade não existem dois países distintos com a mesma capital. dois números naturais distintos, possuem os seus dobros também distintos. * f(x) = ax + b onde a e b são números reais e a 0. O número a é chamado coeficiente de x e b é chamado de constante. * Exemplos: f(x) = 5x – 3 , onde a = 5 e b = -3 f(x) = -2x – 7 , onde a = -2 e b = 7 f(x) = x/3 + 2/5 , onde a = 1/3 e b = 2/5 f(x) = 11x , onde a = 11 e b = 0 * O gráfico de uma função de 1° grau y = ax + b, com a 0 é uma reta oblíqua aos eixos Ox e Oy. * O gráfico de uma função de 1° grau y = ax + b, com a 0 é uma reta oblíqua aos eixos Ox e Oy. * O gráfico de uma função de 1° grau y = ax + b, com a 0 é uma reta oblíqua aos eixos Ox e Oy. * Variação de sinal da Função de 1° Grau Estudar o sinal de uma função qualquer y = f(x) é determinar os valores de x para os quais y é positivo, os valores de x para os quais y é zero e os valores de x para os quais y é negativo. Consideremos uma função y = ax + b e vamos estudar seu sinal. Sabemos que essa função se anula para x = -b/a (raiz). Há dois casos possíveis: * Variação de sinal da Função de 1° Grau Estudar o sinal de uma função qualquer y = f(x) é determinar os valores de x para os quais y é positivo, os valores de x para os quais y é zero e os valores de x para os quais y é negativo. Consideremos uma função y = ax + b e vamos estudar seu sinal. Sabemos que essa função se anula para x = -b/a (raiz). Há dois casos possíveis: * Há dois casos possíveis: Conclusão: y é positivo para valores de x maiores que a raiz; y é negativo para valores de x menores que a raiz. Conclusão: y é positivo para valores de x menores que a raiz; y é negativo para valores de x maiores que a raiz. 0 y<0 ● x y>0 y -b/a + - x>-b/a X<-b/a x y y<0 y>0 + - 0 x>-b/a X<-b/a -b/a ● 1°) a > 0 (função crescente) y > 0 ax + b > 0 x > -b/a y < 0 ax + b < 0 x < -b/a * Há dois casos possíveis: Conclusão: y é positivo para valores de x maiores que a raiz; y é negativo para valores de x menores que a raiz. Conclusão: y é positivo para valores de x menores que a raiz; y é negativo para valores de x maiores que a raiz. 0 y<0 ● x y>0 y -b/a + - x>-b/a X<-b/a x y y<0 y>0 + - 0 x>-b/a X<-b/a -b/a ● 1°) a > 0 (função crescente) y > 0 ax + b > 0 x > -b/a y < 0 ax + b < 0 x < -b/a * Estudar o sinal das funções: * Estudar o sinal das funções: *
