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Matemática Financeira
Moderna
Capítulo 3
SÉRIES FINITAS DE PAGAMENTOS COM CAPITALIZAÇÃO INSTANTÂNEA
Série uniforme postecipada
Para encontrar o montante de uma série de pagamentos, basta levar a valor futuro cada um dos pagamentos, capitalizando-os a juros compostos. 
O montante acumulado S, após n depósitos discretos R, remunerados à taxa de juros contínuos r, será dado por: 
Essa sequência constitui uma série em progressão geométrica de razão , cuja soma será dada por:
Série uniforme postecipada
O montante será dado por:
O valor atual será dado por:
Série uniforme postecipada
Determinar o montante de uma série de 20 pagamentos mensais vencidos no valor de $ 150.00, sabendo-se que a taxa de juros contínuos mensal é 2%.
Qual seria o montante acumulado se fosse taxa de juros compostos?
Série uniforme postecipada
Da mesma forma que na série com capitalização discreta, a série antecipada encontra-se defasada de um período. Portanto, o montante acumulado, após n depósitos discretos remunerados à taxa de juros contínuos r, será dado pelo produto da expressão por er:
Série uniforme postecipada
O valor atual será dado por:
Série uniforme postecipada
Determinar o montante de uma série de 30 pagamentos mensais antecipados no valor de $ 200.00, sabendo-se que a taxa de juros contínuos mensal é 1%.
Qual seria o montante acumulado se fosse taxa de juros compostos?
Série uniforme antecipada
Calcular o montante acumulado no período de 12 meses de um conjunto de prestações mensais no valor de $ 650.00 mais uma entrada de $ 1000.00, sabendo-se que a taxa de juros contínuos mensal é de 1.5%.
Série uniforme antecipada
Série em progressão aritmética: gradiente crescente
O montante acumulado S, após n depósitos discretos remunerados à taxa de juros contínuos r, será dado por:
Multiplicando-se a equação acima por er e subtraindo-se a nova equação da original, obtemos uma equação cuja razão é er. Calculando-se a soma dos termos da PG obtida, chegamos na fórmula do montante.
O valor do montante será dado por:
O valor atual será dado por:
Série em progressão aritmética: gradiente crescente
Suponha um fluxo de prestações mensais em que o primeiro depósito é $ 200.00 e os demais crescem à razão de $ 300.00 por período de capitalização. Se a taxa de juros contínuos mensal for de 3%, calcular o montante acumulado após cinco anos.
Série em progressão aritmética: gradiente crescente
O montante acumulado S, após n depósitos discretos remunerados à taxa de juros contínuos r, será dado por:
Multiplicando-se a equação acima por er e subtraindo-se a nova equação da original, obtemos uma equação cuja razão é er. Calculando-se a soma dos termos da PG obtida, chegamos na fórmula do montante.
Série em progressão aritmética: gradiente crescente
O valor do montante será dado por:
O valor atual será dado por:
Série em progressão aritmética: gradiente crescente
Suponha um fluxo de prestações mensais em que o primeiro depósito é $ 4800.00, e os demais decrescem à razão de $ 100.00 por período de capitalização. Se a taxa de juros contínuos mensal for de 2%, calcular montante acumulado após quatro anos.
Série em progressão aritmética: gradiente crescente
Série em progressão aritmética: valor inicial diferente da razão
Uma série em PA crescente, cujo primeiro termo é diferente da razão da PA, pode ser decomposta em uma série gradiente mais uma série uniforme de modo que o montante da série em PA será igual à soma dos montantes da série gradiente e da série uniforme:
Se os pagamentos forem antecipados, basta multiplicar a expressão anterior por er.
No caso de uma série decrescente, adotando-se o mesmo procedimento, o montante será dado por:
Série em progressão aritmética: valor inicial diferente da razão
Suponha que, a partir do próximo mês, sejam feitos 25 depósitos mensais consecutivos em um fundo de renda fixa que paga uma taxa de juros contínuos mensal de 1.2%. Calcular o montante acumulado, sabendo-se que o primeiro depósito é de $ 500.00 e que os demais crescem $ 50.00 por mês.
Série em progressão aritmética: valor inicial diferente da razão
Série em progressão geométrica
Uma série geométrica pode ser representada pelo fluxo de caixa:
Para obtermos o valor acumulado após n períodos de capitalização, devemos levar cada um dos depósitos efetuados a valor futuro utilizando a taxa de juros contínuos r. Dessa forma, podemos escrever:
Série em progressão geométrica
Essa série constitui uma PG cuja razão é 	 . Podemos, portanto, calcular a soma dos termos dessa PG:
Série em progressão geométrica
O montante será dado por:
O valor atual será dado por:
Observe que essa expressão só é válida se , ou seja, a razão da PG deve ser diferente de 1, isto é, .
Série em progressão geométrica
Se a série for antecipada, basta multiplicar tanto o montante quanto o principal por er. Observe que essas fórmulas também poderiam ter sido obtidas substituindo-se (1 + i) na fórmula do montante da série discreta com juros compostos por er. 
Série em progressão geométrica
Calcular o montante e valor atual de uma aplicação capitalizada continuamente à taxa de juros de 4% ao mês, sabendo-se que os pagamentos de $ 230.00 crescem à taxa de 3% ao mês, durante 15 meses.
Montante
Valor atual
Série em progressão geométrica
Devemos considerar, agora, a situação em que 	 . Observe que os depósitos crescem à taxa e decrescem à taxa r. Como ambas as taxas são iguais, o valor futuro de cada um dos depósitos efetuados será igual. Dessa forma, podemos escrever:
Todos os termos dessa série são iguais a e, portanto, o montante será dado por:
Série em progressão geométrica
O valor atual dessa série será dado pela expressão:
Se a série for antecipada, o montante será dado pela expressão:
Já o valor atual será dado por:
Série em progressão geométrica
Suponha que os pagamentos mensais de um empréstimo no valor de $ 2000.00 cresçam à taxa mensal de 1.5%. Sabendo-se que a taxa de juros contínuos é de 1.5% ao mês, determinar o valor da primeira parcela e o montante acumulado após dez pagamentos.
Série em progressão geométrica
Séries contínuas: série uniforme
Nas séries contínuas, os depósitos são uma função contínua do tempo R(t). Para encontrar o valor atual desse tipo de série, devemos obter a soma de todos os depósitos contínuos, sendo que cada um desses depósitos deve ser levado a valor atual do instante t = 0 até o instante t = n, ou seja, cada um dos valores da função R(t) deve ser dividido por ert.
Portanto, temos a função depósitos contínuos a valor atual: R(t) ert. Uma vez que cada um dos valores da função R(t) esteja a valor atual, podemos calcular o valor da soma, ou seja, podemos calcular a integral:
Para o caso da série uniforme, em que R(t) = R, o valor atual pode ser dado por:
O montante será dado por:
Séries contínuas: série uniforme
Observe que, pelo fato de os depósitos serem contínuos, não há diferença entre série antecipada e postecipada.
Calcular o montante e valor atual de uma série de pagamentos contínuos no valor de $ 100.00 pelo prazo de 12 meses, sabendo-se que a taxa de juros contínuos mensal é de 10%.
Séries contínuas: série uniforme
Séries contínuas:
série em progressão aritmética crescente
O termo geral dessa série será dado pela função contínua do tempo:
	em que indica a variação do montante a cada intervalo infinitesimal do tempo. Sendo uma função linear, essa variação infinitesimal é constante e igual à variação discreta no intervalo de 0 a n. 
 1 2 3 ... n-1 n
R
R(1 + α)
R(1 + α)2
R(1 + α)3
R(1 + α)(n-2)
R(1 + α)(n-1)
S
P
R(1 + α)(n-1)