Unidade 6 - equações_parte_2 (2º grau)

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Autoras: 
Gisela Pinto e Luciana Pena Página: 1 
 
Unidade 6 
Parte 2 
Equações envolvendo expressões polinomiais do 2º grau 
 
 
 
 
Metas 
Esta aula é sobre a noção matemática de equações polinomiais do 2º grau. 
 
Objetivos 
Ao final desta aula você deve: 
 identificar uma equação polinomial do 2º grau; 
 reconhecer a raiz de uma equação polinomial de 2º grau; 
 saber determinar as raízes de uma equação polinomial de 2º grau. 
 
 
 
Autoras: 
Gisela Pinto e Luciana Pena Página: 2 
Equação do 2º Grau: identificação e coeficientes 
Lembra do Luiz, que precisava descobrir em quanto tempo a planta que ele observava 
atingiria 1m de altura? Ele agora está com um outro problema. O canteiro onde ele cultiva 
algumas de suas plantas tem formato retangular e mede 20 m2 de área. Ele sabe que um 
dos lados tem 1 metro a mais que o outro, mas não se recorda das medidas exatas dos 
lados do canteiro e nem tem ao seu alcance nenhum instrumento de medida como fita 
métrica ou trena. Vamos tentar ajudá-lo? Para isso, responda às perguntas a seguir. 
a) Você conseguiria desenhar uma figura que representasse o canteiro de Luiz? 
b) Tente descobrir as medidas dos lados, “chutando” valores para os lados e 
verificando se dá certo. 
c) Se o menor dos lados desse retângulo tem x metros de comprimento, como você 
poderia expressar a medida do outro lado? E da área? 
d) Escreva uma equação que represente a situação desse problema. Efetue as 
operações presentes nela e reduza os termos semelhantes. 
e) Você sabe resolver essa equação? Ela é do mesmo tipo que vimos na aula 6 parte 
1? 
 
 
 
Fonte: https://encrypted-
tbn0.gstatic.com/images?q=tbn:ANd9GcRqq88z20E8usnQfDlVEarmWCdNZlzLGZ7n
Sna2_i7wPgqoAzDVhA, acessado em 08 de abril de 2013. 
 
 
 
Vamos conversar sobre as perguntas acima? 
https://encrypted-tbn0.gstatic.com/images?q=tbn:ANd9GcRqq88z20E8usnQfDlVEarmWCdNZlzLGZ7nSna2_i7wPgqoAzDVhA
https://encrypted-tbn0.gstatic.com/images?q=tbn:ANd9GcRqq88z20E8usnQfDlVEarmWCdNZlzLGZ7nSna2_i7wPgqoAzDVhA
https://encrypted-tbn0.gstatic.com/images?q=tbn:ANd9GcRqq88z20E8usnQfDlVEarmWCdNZlzLGZ7nSna2_i7wPgqoAzDVhA
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Gisela Pinto e Luciana Pena Página: 3 
a) Uma possível figura para o problema é essa. 
 
 
 
b) Vamos “chutar” valores. Por exemplo, se o lado menor vale 3m, então o maior 
vale 4m, e a área ficaria sendo 3 x 4 = 12 m2. Então não pode ser 3m, fica pouco. 
Poderia ser então 10m, vamos testar? Se o lado menor vale 10 m, então o maior 
mede 11 m e então a área é 10 x 11 = 11m2. Também não deu, passou muito. Seria 
5m? Bem, se o lado menor mede 5m, então o maior mede 6m e a área seria 5 x 6 
= 30 m2, também não deu. E se o lado maior mede 5m? Aí o menor mediria 4m e 
a área seria 4 x 5 = 20m2! Agora deu certo! Acabamos de determinar as medidas 
dos lados desse canteiro de estudos, um lado mede 4m e o outro mede 5m! 
c) Bem, se o menor lado mede x m, então o lado maior mede x + 1 m. A área é o 
produto desses lados, então seria identificada por .( 1)x x . 
 
d) Já que sabemos que a expressão algébrica que representa a área desse canteiro é 
.( 1)x x , e como sabemos que a área mede 20 m2, a equação é .( 1) 20x x  . 
Efetuando o produto, ficamos com 2 20x x  . 
e) Essa equação é diferente da que vimos na parte 1 da aula 6, ela não é uma equação 
do 1º grau. Veja: 
2 220 20 0x x x x      
Observe que quando organizamos todos os seus termos em um só dos membros, ficamos 
com um polinômio do 2º grau nesse membro. Isso indica que esta equação é uma equação 
polinomial do 2º grau. 
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Gisela Pinto e Luciana Pena Página: 4 
Uma equação polinomial do 2º grau, ou mais resumidamente, uma equação do 2º grau, 
é uma equação que quando escrita de maneira que todos os seus termos estejam em um 
único membro, e todos tenham sido reduzidos, neste membro fica um polinômio do 2º 
grau. Representando isso algebricamente, a equação do 2º grau tem a forma geral 
2 0ax bx c   , onde a, b, c são números reais com 0a  . Esta condição é necessária 
para que não se anule o termo que tem grau 2. Se esse termo se anula, a equação deixa de 
ser do 2º grau. 
Identificar os coeficientes a, b e c em uma equação do 2º grau é fundamental para a sua 
resolução. Precisamos ficar atentos para o seguinte: o coeficiente a é o que acompanha o 
termo em x2; o coeficiente b é o que acompanha o termo em x e o termo sem x, chamado 
de termo independente, é o coeficiente c. 
Vamos praticar um pouco esse reconhecimento? 
a) Na equação 22 3 9 0x x   , os coeficientes são 2; 3; 9a b c    . 
b) Na equação 2 4 1 0x x   , os coeficientes são 1; 4; 1a b c    . 
c) Na equação 23 2 0x x   , os coeficientes são 1; 2; 3a b c    . 
d) Na equação 24 1 3x x  , organizando, temos 2 24 1 3 3 4 1 0x x x x      os 
coeficientes são 3; 4; 1a b c     . 
e) Na equação 22 0x  , os coeficientes são 1; 0; 2a b c    . 
f) Na equação 2 0x x   , os coeficientes são 1; 1; 0a b c    . 
g) Na equação 23 0x  , os coeficientes são 3; 0; 0a b c   . 
h) Na equação 2 23 1 2 3 5x x x x     , organizando, temos 
2 23 1 2 3 5 0x x x x      . Reduzindo os termos semelhantes, encontramos 
22 5 4 0x x    . Então os coeficientes são 2; 5; 4a b c    . 
i) Na equação ( 1) 2( 2) 5x x x    , há operações a serem realizadas. Resolvendo, 
ficamos com 2 2 4 5x x x    . Organizando a equação, obtemos 2 9 0x x  
, e os coeficientes são 1; 1; 9a b c    . 
 
 
Resolução da equação do 2º grau 
A equação do 2º grau pode ser resolvida usando uma técnica conhecida como “completar 
quadrados”. Vamos ver alguns exemplos? 
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a) Vamos resolver a equação 24 0x  . Vamos pensar em qual é o número que 
elevado ao quadrado e multiplicado por 4 resulta em zero. Para responder a esta 
questão, vamos usar a mesma técnica de operações inversas que usamos na 
resolução das equações de 1º grau, 2 2 2
0
4 0 0
4
x x x     . Entretanto, neste 
momento, vamos precisar pensar em tirar o expoente 2 da incógnita x. Para isso, 
vamos usar a operação inversa à potenciação, que é a radiciação. Veja! 
2 20 0 0x x x      
b) Vamos resolver a equação 2 4 0x   . 
2 24 0 4 4 2x x x x          
Obs.: Quando vamos resolver 2 4x  , estamos pensando em quais são os números que 
elevados ao quadrado resultam em 4. Há duas possibilidades, pode ser 2 ou -2. Para 
indicar essas duas possibilidades, usamos o símbolo  . Então, quando dizemos que 
2x   , significa que 2x  ou 2x   . 
c) Vamos resolver a equação 2 4 0x x  . Como temos o fator x em todos os termos 
do 1º membro e o outro está zerado, então podemos usar a técnica de fatoração 
conhecida como fator comum em evidência e a propriedade da multiplicação de 
reais que indica que o produto é nulo se pelo menos um dos fatores é nulo. Assim, 
veja: 
2 4 0 .( 4) 0x x x x     
Desta forma, temos um produto igual a zero, ou seja, pelo menos um dos fatores 
deve ser igual a zero para que o produto possa ser nulo. Temos então: 
0x  ou 4 0 4x x    . 
d) Vamos resolver a equação 2( 5) 0x  . Esse caso é semelhante ao que mostramos 
no item b. 
2( 5) 0 5 0 5 0 5x x x x           
e) Vamos resolver a equação 2( 5) 9 0x   . Veja! 
2 2( 5) 9 0 ( 5) 9 5 9 5 3 5 3x x x x x                 
Obtivemos duas soluções: 
1 15 3 8x x    ou 2 25 3 2x x    . 
Agora tente você! 
Atividade 1 
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Resolva as equações que aparecem abaixo. 
2
2
) 1 0
) 4 0
a x
b x
 
  
2
2
) ( 5) 0
) ( 3) 0
c x
d x
 
  
2
2
) ( 2) 1 0
) ( 4) 8 0
e x
f x
  
   
2
2
2
2
) ( 1) 2 0
) ( 7) 8 0
) ( 2) 9 0
) ( 5) 3 0
g x
h x
i x
j x
  
  
  
  
 
2
2
2
2
) 2( 1) 4 0
) 3( 5) 1 0
) 6( 2) 10 0
)12( 12) 12 0
kx
l x
m x
n x
  
  
  
  
 
2
2
2
2
) ( 1) 4 0
) 2( 4) 8 0
) 3( 2) 9 0
) 7( 4) 7 0
o x
p x
q x
r x
   
   
   
   
 
 
Resolvendo equações do 2º Grau na forma geral: a fórmula de 
Bháskhara 
Essas equações do 2º grau que acabamos de ver estavam escritas no que chamamos de 
forma canônica: 2( ) 0a x m n   . A sua resolução dispensa fórmula, pode ser feita de 
modo imediato conforme vimos. Por outro lado, quando a equação está na chamada forma 
geral, ou seja, 2 0ax bx c   , para resolver temos duas opções: ou a reescrevemos na 
forma canônica, usando para isso uma técnica conhecida como “completar quadrados”, 
ou usamos a chamada Fórmula de Bháskhara, que é a fórmula decorrente de se passar a 
equação da forma geral para a canônica e resolver. Essa fórmula usa os coeficientes da 
equação do 2º grau. Veja abaixo a fórmula que, para facilitar, dividimos em duas etapas. 
2 4b ac   
2
b
x
a
  
 
Então para resolver uma equação do 2º grau na forma geral, vamos identificar os seus 
coeficientes e substitui-los na Fórmula de Bháskhara, realizando os cálculos. Vamos ver 
alguns exemplos? 
a) 2 2 15 0x x   
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Gisela Pinto e Luciana Pena Página: 7 
2
2 2
1
2
2 15 0
1
2
15
4 2 4.1.( 15) 4 60 64
2 64 2 8
2 2.1 2
2 8 6
3
2 2
2 8 10
5
2 2
x x
a
b
c
b ac
b
x
a
x
x
  


 
        
      
  
 
  
  
   
 
Então o conjunto solução dessa equação é {3; 5}S   . 
Bem, precisamos ter bastante atenção para não errarmos nas contas ou nos sinais. Vamos 
fazer mais uma? 
b) 23 4 1 0x x    
2
2 2
1
2
3 4 1 0
3
4
1
4 4 4.( 3).( 1) 16 12 4
4 4 4 2
2 2.( 3) 6
4 2 2 1
6 6 3
4 2 6
1
6 6
x x
a
b
c
b ac
b
x
a
x
x
   
 

 
         
      
  
 
  
  
 
  
  
 
 
Então, o conjunto solução dessa equação é 
1
1,
3
S
 
  
 
. 
Mais uma! 
c) 21 2 0x x   
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Gisela Pinto e Luciana Pena Página: 8 
2
2 2
1
2
1 2 0
1
2
1
4 ( 2) 4.(1).(1) 4 4 0
( 2) 0 2 0
2 2.1 2
2 0 2
1
2 2
2 0 2
1
2 2
x x
a
b
c
b ac
b
x
a
x
x
  

 

        
      
  

  

  
 
Notou algo interessante nesse exemplo? Observe que o valor de  (delta) foi zero! E o 
que isso produziu de diferente na solução dessa equação? As soluções da equação foram 
iguais, ou seja, na prática, obtivemos uma única solução! E sabe por que razão isso 
ocorreu? 
Na fórmula de Bháskhara, o valor da raiz de  é o que é somado e subtraído de –b para 
dividir por 2a e encontrar as raízes (soluções) da equação. Nesse caso, quando =0, 
ficamos com 0 , que resulta em zero mesmo. Daí, somar ou subtrair zero de um número 
qualquer não o altera, por isso as raízes ficam iguais. 
E se  for negativo? O que será que acontece? Vamos lembrar que não existe raiz 
quadrada de número negativo dentro do conjunto dos números reais! Vamos ver? É o 
nosso próximo exemplo! 
d) 2 6 10 0x x   
2
2 2
6 10 0
1
6
10
4 ( 6) 4.(1).(10) 36 40 4
( 6) 4
2 2.1
x x
a
b
c
b ac
b
x
a
  

 

         
      
 
 
Mas quanto vale 4 ? Dentro do conjunto dos números reais, essa raiz não existe, ou 
seja, não tem resposta. Como a solução da equação depende do valor desta raiz, então ela 
também não existe, ou seja, o conjunto solução dessa equação é um conjunto vazio! 
{ }S  . 
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Gisela Pinto e Luciana Pena Página: 9 
Pelo que observamos, a quantidade de soluções para uma equação do 2º grau pode variar 
entre 2, 1 ou nenhuma solução conforme , também chamado de discriminante da 
equação do 2º grau, seja positivo, nulo ou negativo. Em resumo, 
 0  - a equação apresenta duas soluções distintas 
 0  - a equação apresenta apenas 1 solução (duas iguais) 
 0  - a equação não apresenta solução nenhuma 
Vamos fazer, para finalizar esta seção, mais um exemplo que nos mostra a diferença entre 
não ter solução ou a solução ser irracional.  pode ser um número positivo que não tenha 
raiz quadrada racional, mas ainda assim a equação terá solução, que será irracional. Veja: 
e) 22 4 1 0x x    
2
2 2
2 4 1 0
2
4
1
4 4 4.( 2).( 1) 16 8 8
4 8 4 8
2 2.( 2) 4
x x
a
b
c
b ac
b
x
a
   
 

 
         
      
  
 
 
8 não é exata, mas existe, o que é bem diferente da raiz de um número negativo. A 8 
pode ser simplificada para 2 2 . Voltando na resolução da equação, ficamos com: 
4 8 4 2 2
4 4
x
   
 
 
 
Simplificando tudo por 2, temos: 
2 2
2
x
 


, ou seja, as soluções são: 
1
2
2 2 2 2
2 2
2 2 2 2
2 2
x
x
  
 

  
 

 
E o conjunto solução é 
2 2 2 2
,
2 2
S
   
  
  
. 
Agora é a sua vez de resolver equações do 2º grau. 
 
 
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Gisela Pinto e Luciana Pena Página: 10 
Atividade 2 
Resolva as seguintes equações do 2º grau, identifique os coeficientes e determine as 
raízes, se existirem. 
 
a) x² 5x 6 0   
b) x² 2x 8 0   
c) x² 4x 5 0   
d) x² 6x 5 0    
e) 3x² 7x 2 0    
f) 4x² 9 12x  
g) 2x² 12x 18   
h) 25x² 20x – 4 
i) x² 3x – 6 8   
j) 4x² x 1 x 3x²    
k)  4 x x 4 x    
 
Atividade 3 
Resolva os problemas: 
a) Um azulejista usou 2000 azulejos quadrados e iguais para revestir 45 2m de parede. 
Qual é a medida do lado de cada azulejo? 
 
b) Se você multiplicar um número positivo por ele mesmo e , do resultado, subtrair 9, 
você obterá 112. Qual é o número? 
 
c) Num Congresso havia 50 pessoas entre homens e mulheres. Descubra quantas 
mulheres e quantos homens estavam presentes, sabendo que o produto das quantidades 
dos dois grupos é igual a 621 e que a quantidade de mulheres é maior do que a quantidade 
de homens. 
 
Atividade 4 
As equações seguintes estão escritas na forma normal reduzida. Calcule o discriminante 
 de cada uma e identifique o tipo de raízes que cada equação apresenta. 
a) 2 6 4 0x x   
b) 29 6 1 0x x   
c) 25 3 1 0x x   
 
Atividade 5 
Quais os valores reais de y para que as expressões 2y 3 e 2y 1  sejam iguais? 
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Gisela Pinto e Luciana Pena Página: 11 
 
Atividade 6 
a) Determine o conjunto-solução da equação 
1
3
5
x
x
  

 
 
b) Verifique se o número  2 3 é raiz da equação 2 4 1 0x x   . 
 
c) Na equação 2 12 0x mx   , uma das raízes é 6. Qual é o valor de m? 
 
 
 
Finalizamos mais uma aula. Desta vez, conversamos sobre as equações polinomiais do 2º 
grau, aprendendo a identificar esse tipo de equação, seus coeficientes e a aplicar a fórmula 
resolutiva, bem como resolver equações incompletas ou na forma canônica. Vimos ainda 
como determinar quantas raízes terá a equação sem necessariamente resolvê-la por 
completo, a partir do estudo do determinante. 
Aproveite para estudar bem e se ficarem com dúvidas, procurem o seu tutor no pólo! 
Ah, uma sugestão de visita na internet: uma apresentação compartilhada através do site 
prezzi.com1. Essa apresentação conta a história da equação do 2° grau e a proposta de 
solução de Al-Khawãrizmi. Vocês podem ter acesso à apresentação através do seguinte 
endereço: http://prezi.com/pp29jki12aws/copy-of-historia-da-equacao-do-2-grau/, 
porém antes é necessário fazer o cadastro no site. As apresentações encontradas neste site 
são consideradas de alto impacto, pois permitem o uso de movimento, zoom, filmes, etc. 
Abraços e até a próxima! 
 
 
1 Para saber mais sobre este site, consulte o link: 
http://www.youtube.com/watch?feature=player_embedded&v=Npn4hqqdnzE. 
 
http://prezi.com/pp29jki12aws/copy-of-historia-da-equacao-do-2-grau/
Autoras: 
Gisela Pinto e Luciana Pena Página: 12 
Gabarito das AtividadesAtividade 1 
Resolva as equações que aparecem abaixo. 
2 2) 1 0 1 1 1a x x x x          
 
2 2) 4 0 4 4b x x x         
não existem raízes reais 
 
2) ( 5) 0 5 0 5 0 0 5 5c x x x x x              
 
2) ( 3) 0 3 0 3 0 0 3 3d x x x x x               
 
2 2 2
1
2
) ( 2) 1 0 ( 2) 0 1 ( 2) 1 2 1 2 1 2 1
2 1 3
2 1 1
e x x x x x x
x
x
                    
  
  
 
2 2 2
1
2
) ( 4) 8 0 ( 4) 0 8 ( 4) 8 4 8 4 2 2 4 2 2
4 2 2
4 2 2
f x x x x x x
x
x
                     
  
  
 
2 2 2
1
2
) ( 1) 2 0 ( 1) 0 2 ( 1) 2 1 2 1 2
1 2
1 2
g x x x x x
x
x
                
 
 
 
 
2 2 2) ( 7) 8 0 ( 7) 0 8 ( 7) 8 7 8h x x x x                
Não existem raízes reais. 
 
2 2 2) ( 2) 9 0 ( 2) 0 9 ( 2) 9 2 9i x x x x                
Não existem raízes reais 
 
Autoras: 
Gisela Pinto e Luciana Pena Página: 13 
2 2 2
2
2
) ( 5) 3 0 ( 5) 0 3 ( 5) 3 5 3 5 3
5 3
5 3
j x x x x x
x
x
                
 
 
 
 
2 2 2 2
1
2
4
) 2( 1) 4 0 2( 1) 4 ( 1) ( 1) 2 1 2 1 2
2
1 2
1 2
k x x x x x x
x
x
                  
 
 
 
 
2 2 2 1 1) 3( 5) 1 0 3( 5) 1 ( 5) 5
3 3
l x x x x                
Não existem raízes reais. 
 
2 2 2 2
1
2
10 5
) 6( 2) 10 0 6( 2) 10 ( 2) ( 2)
6 3
5 5 15
2 2 2
3 3 3
15
2
3
15
2
3
m x x x x
x x x
x
x
            
         
 
 
 
 
2 2 2 212)12( 12) 12 0 12( 12) 12 ( 12) ( 12) 1 12 1
12
n x x x x x

                   
Não existem raízes reais. 
 
2 2 2 24) ( 1) 4 0 ( 1) 4 ( 1) ( 1) 4 1 4
1
o x x x x x                   

 
Não existem raízes reais. 
 
2 2 2 2
1
2
8
) 2( 4) 8 0 2( 4) 8 ( 4) ( 4) 4
2
4 4 4 2 4 2
4 2 6
4 2 2
p x x x x
x x x
x
x

               

          
  
  
 
 
Autoras: 
Gisela Pinto e Luciana Pena Página: 14 
2 2 2 2
1
2
9
) 3( 2) 9 0 3( 2) 9 ( 2) ( 2) 3
3
2 3 2 3
2 3
2 3
q x x x x
x x
x
x

               

       
  
  
 
 
2 2 2 27) 7( 4) 7 0 7( 4) 7 ( 4) ( 4) 1 4 1
7
r x x x x x                   

 
Não existem raízes reais. 
 
Atividade 2 
Resolva as seguintes equações do 2º grau, identifique os coeficientes e determine as 
raízes, se existirem. 
 
a) x² 5x 6 0   
2 2
1
2
1, 5, 6
4 ( 5) 4.1.6 25 24 1
( 5) 1 5 1
2 2.1 2
5 1
3
2
5 1
2
2
a b c
b ac
b
x
a
x
x
   
        
      
  

 

 
 
 
b) x² 2x 8 0   
2 2
1
2
1, 2, 8
4 (2) 4.1.( 8) 4 32 36
2 36 2 6
2 2.1 2
2 6
2
2
2 6
4
2
a b c
b ac
b
x
a
x
x
   
        
      
  
 
 
 
  
 
 
 
 
 
Autoras: 
Gisela Pinto e Luciana Pena Página: 15 
c) x² 4x 5 0   
2 2
1
2
1, 4, 5
4 ( 4) 4.1.( 5) 16 20 36
( 4) 36 4 6
2 2.1 2
4 6
5
2
4 6
1
2
a b c
b ac
b
x
a
x
x
    
         
      
  

 

  
 
 
d) x² 6x 5 0    
2 2
1
2
1, 6, 5
4 (6) 4.( 1).( 5) 36 20 16
6 16 6 4
2 2.( 1) 2
6 4
1
2
6 4
5
2
a b c
b ac
b
x
a
x
x
    
         
      
  
 
 
 

 
 

 
 
e) 3x² 7x 2 0    
2 2
1
2
3, 7, 2
4 ( 7) 4.3.2 49 24 25
( 7) 25 7 5
2 2.3 6
7 5
2
6
7 5 1
6 3
a b c
b ac
b
x
a
x
x
   
        
      
  

 

 
 
 
f) 4x² 9 12x 4x² -12x 9 0     
2 2
4, 12, 9
4 ( 12) 4.4.9 144 144 0
( 12) 0 12 0 12 3
2 2.4 8 8 2
a b c
b ac
b
x
a
   
        
      
    
 
 
Autoras: 
Gisela Pinto e Luciana Pena Página: 16 
g) 2x² 12x 18 2x² +12x 18 = 0     
Simplificando tudo por 2, ficamos com 
x² + 6x + 9 = 0 
2 2
1, 6, 9
4 (6) 4.1.9 36 36 0
6 0 6 0 6
3
2 2.1 2 2
a b c
b ac
b
x
a
  
       
       
     
 
 
h) 225x² 20x – 4 25x 20 4 0x     
2 2
25, 20, 4
4 ( 20) 4.25.4 400 400 0
( 20) 0 20 0 20 2
2 2.25 50 50 5
a b c
b ac
b
x
a
   
        
      
    
 
 
i) 2 2x² 3x – 6 8 x 3 6 8 0 3 2 0x x x            
2 2
1
2
1, 3, 2
4 (3) 4.1.2 9 8 1
3 1 3 1
2 2.1 2
3 1
1
2
3 1
2
2
a b c
b ac
b
x
a
x
x
  
       
      
  
 
  
 
  
 
 
j) 2 2 24x² x 1 x 3x² 4 3 1 0 2 1 0x x x x x x              
2 2
1, 2, 1
4 ( 2) 4.1.1 4 4 0
( 2) 0 2 0 2
1
2 2.1 2 2
a b c
b ac
b
x
a
   
        
      
    
 
 
k)   2 2 24 x x 4 x 4 + x 4 4 4 0 5 4 0x x x x x x x               
Autoras: 
Gisela Pinto e Luciana Pena Página: 17 
2 2
1
2
1, 5, 4
4 ( 5) 4.1.4 25 16 9
( 5) 9 5 3
2 2.1 2
5 3
4
2
5 3
1
2
a b c
b ac
b
x
a
x
x
   
        
      
  

 

 
 
 
Atividade 3 
Resolva os problemas a seguir. 
a) Um azulejista usou 2000 azulejos quadrados e iguais para revestir 45 2m de parede. 
Qual é a medida do lado de cada azulejo? 
Resolução: Se x é a medida do lado do quadrado, então sua área é x2 e então teremos a 
equação 22000 45x  . Vamos resolver essa equação. 
2 2 2
1 2
45 9 9 3
2000 45
2000 400 400 20
3 3
20 20
x x x x x
x ou x
          
  
 
A segunda resposta não serve pois como x representa a medida do lado do azulejo, deve 
ser positiva. Então o azulejo tem 
3
20
m de lado. 
 
b) Se você multiplicar um número positivo por ele mesmo e , do resultado, subtrair 9, 
você obterá 112. Qual é o número? 
Se chamamos o número desconhecido de x, então obtemos a equação . 9 112x x  . 
Resolvendo: 
2 2 2. 9 112 9 112 112 9 121 121 11x x x x x x x                
Então, como o número deve ser positivo (veja no enunciado do problema), ele é 11. 
 
c) Num Congresso havia 50 pessoas entre homens e mulheres. Descubra quantas 
mulheres e quantos homens estavam presentes, sabendo que o produto das quantidades 
dos dois grupos é igual a 621 e que a quantidade de mulheres é maior do que a quantidade 
de homens. 
Autoras: 
Gisela Pinto e Luciana Pena Página: 18 
Se são x mulheres, então são 50 – x homens presentes ao Congresso. Como o produto da 
quantidade de pessoas dos dois grupos é igual a 621, obtemos a equação .(50 ) 621x x 
. Vamos resolver a equação. 
2 2
2 2
1
1
.(50 ) 621 50 621 50 621 0
1, 50, 621
4 50 4.( 1).( 621) 2500 2484 16
50 16 50 4
2 2.( 1) 2
50 4 46
23
2 2
50 4 54
27
2 2
x x x x x x
a b c
b ac
b
x
a
x
x
         
    
         
      
  
 
  
  
 
  
  
 
 
Temos então duas possibilidades: 
Se x=23, são 23 mulheres e 50 – 23 = 27 homens; por outro lado, se x=27, então são 50 
– 27 = 23 homens. Como há mais mulheres que homens, essa segunda possibilidade 
responde ao problema, ou seja, são 27 mulheres e 23 homens. 
 
Atividade 4 
As equações seguintes estão escritas na forma normal reduzida. Calcule o discriminante 
 de cada uma e identifique o tipo de raízes que cada equação apresenta. 
a) 2 6 4 0x x   
2 2
1, 6, 4
4 6 4.1.( 4) 36 16 52
a b c
b ac
   
        
 
Como o discriminante é positivo, então a equação tem duas raízes distintas. 
 
b) 29 6 1 0x x   
2 2
9, 6, 1
4 6 4.9.1 36 36 0
a b c
b ac
  
       
 
Como o discriminante é zero, então a equação tem duas raízes reais iguais, ou seja, uma 
única raiz real. 
 
c) 25 3 1 0x x   
2 2
5, 3, 1
4 ( 3) 4.5.1 9 20 11
a b c
b ac
   
         
 
Autoras: 
Gisela Pinto e Luciana Pena Página: 19 
Como o discriminante é negativo, então a equação não possui raízes reais.Atividade 5 
Quais os valores reais de y para que as expressões 2y 3 e 2y 1  sejam iguais? 
Igualando as duas expressões, ficamos com: 
2y 3 = 2y 1  
Esta é uma equação do 2º grau. Vamos resolver. 
2 2 2
2 2
1
2
y 3 = 2y 1 2 3 1 0 2 4 0
1, 2, 4
4 ( 2) 4.1.( 4) 4 16 20
( 2) 20 2 2 5
2 2.1 2
2 2 5
1 5
2
2 2 5
1 5
2
y y y y
a b c
b ac
b
y
a
y
y
          
    
         
      
  

  

  
 
Esses são os valores de y pedidos no problema. 
 
Atividade 6 
a) Determine o conjunto-solução da equação 
1
3
5
x
x
  

 
2 2
2 2
1
3 ( 3)( 5) 1 3 5 15 1 0 8 16 0
5
1, 8, 16
4 ( 8) 4.1.16 64 64 0
( 8) 0 8 0 8
4
2 2.1 2 2
x x x x x x x x
x
a b c
b ac
b
x
a
                 

   
        
      
    
 
O conjunto solução dessa equação é {4}S  . 
 
b) Verifique se o número  2 3 é raiz da equação 2 4 1 0x x   . 
Para verificarmos se  2 3 é raiz da equação, vamos substituir x por  2 3 e 
verificar se a igualdade fica satisfeita. 
 
2
2 4 1 0 2 3 4(2 3) 1 0x x         
Autoras: 
Gisela Pinto e Luciana Pena Página: 20 
Desenvolvendo o produto notável em  
2
2 3 , obtemos: 
   
2 2
22 3 4(2 3) 1 0 2 2.2. 3 3 8 4 3 1 0
4 4 3 3 8 4 3 1 0 0 0
            
        
 
A igualdade é verdadeira, o que indica que 2 3 é solução para esta equação. 
 
c) Na equação 2 12 0x mx   , uma das raízes é 6. Qual é o valor de m? 
Se uma das raízes dessa equação é x = 6, então substituindo x por 6 encontramos uma 
igualdade verdadeira. Então: 
2 2 2412 0 6 6 12 0 6 36 12 6 24 4
6
x mx m m m m m

                  
 
Logo, o valor de m é – 8.