Lista e Resolução de Integrais Multiplas

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CDI - II – Prof.ª VIVIAN GOMES 
 
LISTA 5 – APLICAÇÕES DE INTEGRAIS 
 
1) Determine a massa e o 𝐶𝑀 da lâmina que ocupa a região 𝐷 e tem função 
densidade 𝜌. 𝐷 é uma região triangular com vértices (0,0), (2,1), (0,3) e 
𝜌 𝑥, 𝑦 = 𝑥 + 𝑦. Resp: 𝑚 = 6 e 𝐶𝑀 = 
3
4
,
3
2
 
 
2) Uma lâmina ocupa a parte do disco 𝑥² + 𝑦² ≤ 1 do 1º quadrante. Determinaro 𝐶𝑀 
se a densidade em qualquer ponto for proporcional à distância do ponto ao eixo 𝑥. 
Resp: 𝑚 = 𝑘/3, 𝐶𝑀 = 
3
8
,
3𝜋
16
 
 
3) Determine o 𝐶𝑀 da lâmina do exercício 𝟐 se a densidade em qualquer ponto for 
proporcional ao quadrado da distância do ponto à origem. Resp: 𝑚 =
𝑘𝜋
8
, 
𝐶𝑀 = 
8
5𝜋
,
8
5𝜋
 
 
4) Encontre o centroide da região no 1º quadrante limitada pelo eixo 𝑥, pela parábola 
𝑦² = 2𝑥 e pela reta 𝑥 + 𝑦 = 4. Resp: 𝑚 =
14
3
 e 𝐶𝑀 =
64
35
,
5
7
 
 
5) Encontre o 𝐶𝑀 e o momento de inércia em relação ao eixo 𝑥 de uma placa fina 
limitada pelas curvas 𝑥 = 𝑦² e 𝑥 = 2𝑦 − 𝑦² se a densidade no ponto (𝑥,𝑦) for 
𝜌(𝑥, 𝑦) = 𝑦 + 1. 
 
6) Determine o volume da região no 1º octante limitada pelos planos coordenados, 
pelo plano 𝑦 + 𝑧 = 2 e pelo cilindro 𝑥 = 4 − 𝑦². Resp: 
20
3
 
 
7) Seja 𝐷 a região limitada pelos paraboloides 𝑧 = 8 − 𝑥² − 𝑦² e 𝑧 = 𝑥² + 𝑦². Calcule 
o volume de 𝐷, usando a ordem de integração 𝑑𝑧𝑑𝑦𝑑𝑥. Resp: 16𝜋 
 
8) Determine o volume da região entre o cilindro 𝑧 = 𝑦² e o plano 𝑥𝑦 que é limitada 
pelos planos 𝑥 = 0, 𝑥 = 1, 𝑦 = −1 e 𝑦 = 1. Resp: 
2
3
 
 
9) Determine o volume do sólido limitado pelo paraboloide 𝑥 = 𝑦² + 𝑧² e pelo plano 
𝑥 = 16. Resp: 128𝜋 
 
10) Um cubo sólido no 1º octante é limitado pelos planos coordenados e pelos planos 
𝑥 = 1, 𝑦 = 1 e 𝑧 = 1. Sua densidade é 𝜌(𝑥,𝑦, 𝑧) = 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 + 1. 
Encontre: a) A massa do sólido. Resp: 𝑚 =
5
2
 
 b) O 𝐶𝑀. Resp: 
8
15
,
8
15
,
8
15
 
 c) Os momentos de inércia. Resp: 𝐼𝑥 = 𝐼𝑦 + 𝐼𝑧 =
11
6
 
 
 
 
 
Questão 1: Resposta
Questão 3: Resposta
Questão 5: Resposta
Questão 7: Resposta
Questão 9: Resposta