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Soluções dos Exercícios de Cálculo I - Geraldo Ávila - Cap. 9 (Regra de L'Hospital) e Cáp.10 (Primitivas)
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UNIVERSIDADE FEDERAL DO MARANHÃO CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLOGICAS CURSO DE FÍSICA ALUNO: SAMUEL CANTOÁRIA FERREIRA LISTA 3 REGRA DE L’HÔSPITAL Utilize as regras de L’Hôspital para calcular os limites indicados. 17) lim → 𝑥 ln(𝑒 − 1) Solução: Lim → 𝑥 ln(𝑒 − 1) = lim → ( ) / = lim → /( ) / ² = lim → − = − lim → = lim → 2𝑥 + 𝑥² = 0 18) lim → ( ) Solução: 𝑙𝑖𝑚 → 𝑙𝑛(3𝑥 + 𝑒 ) 𝑥 = 𝑙𝑖𝑚 → 3 + 𝑒 3𝑥 + 𝑒 = 𝑙𝑖𝑚 → 𝑒 3 + 𝑒 = 𝑙𝑖𝑚 → 𝑒 𝑒 = 1 19) lim → − Solução: 𝑙𝑖𝑚 → 1 𝑙𝑛 𝑥 − 𝑥 𝑙𝑛 𝑥 = 𝑙𝑖𝑚 → 1 − 𝑥 𝑙𝑛 𝑥 = 𝑙𝑖𝑚 → −1 1/𝑥 = −1 20) lim → (1 − 𝑥) / Solução: lim → (1 − 𝑥) / = lim → exp ln(1 − 𝑥) 𝑥 = exp lim → − 1 1 − 𝑥 = exp −1 = 1 𝑒 20) lim → 1 − Solução: lim → 1 − 1 𝑥 = lim → exp 𝑥 ln 1 − 1 𝑥 = exp lim → ln 1 − 1 𝑥 1 𝑥 = exp lim → 1 𝑥 1 1 − 1/𝑥 − 1 𝑥 = exp lim → 𝑥 1 − 𝑥 = exp 0 = 1 22) lim → (1/𝑥) Solução: lim → 1 𝑥 = lim → exp tan 𝑥 ln 1 𝑥 = exp lim → ln 1/𝑥 cot 𝑥 = exp lim → − 1 𝑥 1 1/𝑥 − csc 𝑥 = exp lim → sin² 𝑥 1 1 𝑥 = exp lim → sin 𝑥 𝑥 sin 𝑥 = exp lim → sin 𝑥 𝑥 ∗ lim → sin 𝑥 = exp(0 ∗ 1) = exp(0) = 1 23) lim → (1 + 𝑎𝑥²) / ² Solução: lim → (1 + 𝑎𝑥²) ² = lim → exp ln(1 + 𝑎𝑥 ) 𝑥² = exp lim → 2𝑎𝑥 1 + 𝑎𝑥² 2𝑥 = exp lim → 𝑎 1 + 𝑎𝑥² = exp 𝑎 = 𝑒 24) lim →± 1 + Solução: Chame 𝑥 = 1/𝑡, se 𝑥 → ±∞ então 𝑡 → ±0 daí temos que: lim →± 1 + 𝑎 𝑥 = lim → (1 + 𝑎𝑡) / e pelo exercício anterior temos que: lim → (1 + 𝑎𝑡) / = 𝑒 . 25) lim → (1 + 𝑎𝑥) / Solução: lim → (1 + 𝑎𝑥) / = lim → exp 𝑏 𝑥 ln(1 + 𝑎𝑥) = exp 𝑏 lim → 𝑎 1 + 𝑎𝑥 = exp(𝑎𝑏) = 𝑒 26) lim → (sin 𝑥) (ln 𝑥) Solução: lim → (sin 𝑥) (ln 𝑥) = lim → ln 𝑥 csc 𝑥 = lim → 1/𝑥 −csc 𝑥 ∗ tan 𝑥 = lim → 1 𝑥 − 1 sin 𝑥 cos 𝑥 sin 𝑥 = − lim → sin 𝑥 𝑥 sin 𝑥 cos 𝑥 = − lim → sin 𝑥 𝑥 lim → tan 𝑥 = − 0 ∗ 1 = 0 27) lim → (sin 𝑥) (ln 𝑥) Solução: lim → (sin 𝑥) (ln 𝑥) = lim → ln 𝑥 csc 𝑥 = lim → 1/𝑥 −csc 𝑥 ∗ tan 𝑥 = lim → 1 𝑥 − 1 sin 𝑥 cos 𝑥 sin 𝑥 = − lim → sin 𝑥 𝑥 sin 𝑥 cos 𝑥 = − lim → sin 𝑥 𝑥 lim → tan 𝑥 = − 0 ∗ 1 = 0 28) lim → 𝑥𝑒 / Solução: Temos que: lim → 𝑥𝑒 / = lim → 𝑒 / 1/𝑥 Tome 𝑡 = 1/𝑥 , se 𝑥 → 0 então 𝑡 → +∞, daí temos: lim → 𝑒 / 1/𝑥 = lim → 𝑒 𝑡 = ∞ 29) lim →± 𝑥𝑒 / − 𝑥 Solução: lim →± 𝑥𝑒 / − 𝑥 = lim →± 𝑒 / 1/𝑥 − 𝑥 Tome 𝑡 = 1/𝑥 , se 𝑥 → ±∞ então 𝑡 → ±0, daí temos: lim →± 𝑒 / 1/𝑥 − 𝑥 = lim →± 𝑒 − 1 𝑡 = lim →± 𝑒 = 1 PRIMITIVAS Determine as primitivas das funções dadas. 8) 1/𝑥√𝑥 Solução: 1 𝑥√𝑥 𝑑𝑥 = 𝑥 / 𝑑𝑥 = 𝑥 / −3/2 + 1 = 𝑥 / −1/2 = − 2 √𝑥 + 𝐶 9) 𝑥√𝑥 Solução: 𝑥√𝑥 𝑑𝑥 = 𝑥 / 𝑑𝑥 = 𝑥 / 3/2 + 1 = 𝑥 / 5/2 = 2 √𝑥 5 + 𝐶 10) 1/(𝑥 − 1) Solução: 1 𝑥 − 1 𝑑𝑥 = ln |𝑥 − 1| + 𝐶 11) 1/(𝑥 + 3) Solução: 1 𝑥 + 3 𝑑𝑥 = ln |𝑥 + 3| + 𝐶 12) 3/(2𝑥 − 1) Solução: Note que: 𝑑 𝑑𝑥 ln|2𝑥 − 1| = 2 2𝑥 − 1 Se multiplicarmos ambos os lados por 3/2 então teremos: 𝑑 𝑑𝑥 3 2 ln|2𝑥 − 1| = 3 2𝑥 − 1 Então concluímos que: 3 2𝑥 − 1 𝑑𝑥 = 3 2 ln|2𝑥 − 1| + 𝐶 13) 1/(𝑥 − 𝑎)² Solução: Utilizando o método de integração, por substituição temos que: 𝑢 = 𝑥 − 𝑎 ⟹ 𝑑𝑢 𝑑𝑥 = 1 ⟹ 𝑑𝑢 = 𝑑𝑥 Então temos: 1 (𝑥 − 𝑎)² 𝑑𝑥 = 1 𝑢² 𝑑𝑢 = 𝑢 −2 + 1 = 𝑢 −1 = − 1 𝑢 = − 1 𝑥 − 𝑎 + 𝐶 14) 1/(𝑥 − 𝑎)³ Solução: Utilizando o método de integração, por substituição temos que: 𝑢 = 𝑥 − 𝑎 ⟹ 𝑑𝑢 𝑑𝑥 = 1 ⟹ 𝑑𝑢 = 𝑑𝑥 Então temos: 1 (𝑥 − 𝑎)³ 𝑑𝑥 = 1 𝑢³ 𝑑𝑢 = 𝑢 −3 + 1 = 𝑢 −2 = − 1 2𝑢 = − 1 2(𝑥 − 𝑎) + 𝐶 15) 1/(2𝑥 + 1) Solução: Utilizando o método de integração, por substituição temos que: 𝑢 = 2𝑥 + 1 ⟹ 𝑑𝑢 𝑑𝑥 = 2 ⟹ 𝑑𝑢 = 𝑑𝑥 2 Então temos: 1 (2𝑥 + 1) 𝑑𝑥 = 1 𝑢 𝑑𝑢 2 = 1 2𝑢 𝑑𝑢 = 1 2 𝑢 −2 + 1 = 𝑢 −2 = − 1 2𝑢 = − 1 2(2𝑥 + 1) + 𝐶 16) 1/(3𝑥 + 𝑎) Solução: Utilizando o método de integração, por substituição temos que: 𝑢 = 3𝑥 + 𝑎 ⟹ 𝑑𝑢 𝑑𝑥 = 2 ⟹ 𝑑𝑢 = 𝑑𝑥 3 Então temos: 1 (3𝑥 + 𝑎) 𝑑𝑥 = 1 𝑢 𝑑𝑢 3 = 1 3𝑢 𝑑𝑢 = 1 3 𝑢 −4 + 1 = 𝑢 −9 = − 1 9𝑢 = − 1 9(3𝑥 + 𝑎) + 𝐶 17) 1/(𝑎𝑥 + 𝑏) , 𝑟 ≠ −1, 𝑎 ≠ 0 Solução: Utilizando o método de integração, por substituição temos que: 𝑢 = 𝑎𝑥 + 𝑏 ⟹ 𝑑𝑢 𝑑𝑥 = 𝑎 ⟹ 𝑑𝑢 = 𝑑𝑥 𝑎 Então temos: 1 (𝑎𝑥 + 𝑏) 𝑑𝑥 = 1 𝑢 𝑑𝑢 𝑎 = 1 𝑎𝑢 𝑑𝑢 = 1 𝑎 𝑢 −𝑟 + 1 = 𝑢 𝑎(1 − 𝑟) = − 1 𝑎(1 − 𝑟)𝑢 + 𝐶 18) 𝑥 Solução: ∫ 𝑥 𝑑𝑥 = + 𝐶 19) (𝑎𝑥 + 𝑏) Solução: Utilizando o método de integração, por substituição temos que: 𝑢 = 𝑎𝑥 + 𝑏 ⟹ 𝑑𝑢 𝑑𝑥 = 𝑎 ⟹ 𝑑𝑢 = 𝑑𝑥 𝑎 Então temos: (𝑎𝑥 + 𝑏) 𝑑𝑥 = 𝑢 𝑑𝑢 𝑎 = 𝑢 𝑎 𝑑𝑢 = 1 𝑎 𝑢 𝑟 + 1 = 𝑢 𝑎(𝑟 + 1) = − (𝑎𝑥 + 𝑏) 𝑎(1 − 𝑟)𝑢 + 𝐶 20) √𝑥 + 1 Solução: Utilizando o método de integração, por substituição temos que: 𝑢 = 𝑥 + 1 ⟹ 𝑑𝑢 𝑑𝑥 = 1 ⟹ 𝑑𝑢 = 𝑑𝑥 Então temos: (𝑥 + 1) / 𝑑𝑥 = 𝑢 / 𝑑𝑢 = 𝑢 / 1/2 + 1 = 𝑢 / 3/2 = 2 √𝑥 ³ 3 + 𝐶 21) sin 𝑘𝑥 , 𝑘 ≠ 0 Solução: Utilizando o método de integração, por substituição temos que: 𝑢 = 𝑘𝑥 ⟹ 𝑑𝑢 𝑑𝑥 = 𝑘 ⟹ 𝑑𝑢 = 𝑑𝑥 𝑘 Então temos: sin 𝑘𝑥 𝑑𝑥 = sin 𝑢 𝑘 𝑑𝑢 = − cos 𝑢 𝑘 = − cos 𝑘𝑥 𝑘 + 𝐶 22) cos 𝑘𝑥 , 𝑘 ≠ 0 Solução: Utilizando o método de integração, por substituição temos que: 𝑢 = 𝑘𝑥 ⟹ 𝑑𝑢 𝑑𝑥 = 𝑘 ⟹ 𝑑𝑢 = 𝑑𝑥 𝑘 Então temos: cos 𝑘𝑥 𝑑𝑥 = cos 𝑢 𝑘 𝑑𝑢 = sin 𝑢 𝑘 = − sin 𝑘𝑥 𝑘 + 𝐶
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