Hidrodinamica_2_Eq_Continuidade

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HIDRODINÂMICA 
 
 
3. EQUAÇÃO DA CONTINUIDADE 
 
 Seja um volume de fluido infinitesimal, dVol, escolhido no interior de 
uma fluido em escoamento, de massa específica ρ, referido a um sistema de 
eixos cartesianos tri-ortogonal, conforme mostra a figura seguinte: 
 
Fig. xx – Volume de controle utilizado para obtenção da equação diferencial 
da conservação da massa. 
 
 Seja m a massa contida em um volume de controle no instante t e m´ a 
massa num instante t´. Sendo t´ = t + dt � m´ = m + dm. Diz-se que no 
intervalo de tempo, dt, a massa variou de uma quantidade dm. Nesse caso: 
dm = ρ.dVol � dm = ρ.dx.dy.dz 
 
 
20 
 
No instante t, a massa é m. 
No instante t´ = t + dt, a massa é m´= m + dm 
 
A variação da massa no volume dVol, em um intervalo de tempo dt será: 
dt
t
dzdydx
∂
∂ )...(ρ
 
 
A taxa de variação da massa com o tempo no volume dVol, será: 
dzdydx
tdt
dt
t
dzdydx
...
)...(
∂
∂
=
∂
∂
ρ
ρ
 
 
Na direção do eixo Oy, pode-se escrever : 
• Massa que entra no volume elementar através da face do 
paralelepípedo perpendicular ao eixo Oy, na unidade de tempo: 
dzdxv ..ρ
 
 
• Massa que sai do volume elementar através da face do 
paralelepípedo perpendicular ao eixo Oy, na unidade de tempo: 
dzdxdy
y
v
v .
)(






∂
∂
+
ρρ
 
• Balanço de massa na direção de Oy: 
dzdydx
y
v
..
)(
∂
∂
−
ρ
 
 
Na direção de Ox: 
• Massa que entra no volume elementar através da face do 
paralelepípedo perpendicular ao eixo Ox, na unidade de tempo: 
dzdyu ..ρ
 
• Massa que sai do volume elementar através da face do 
paralelepípedo perpendicular ao eixo Ox, na unidade de tempo: 
dzdydx
x
u
u .
)(






∂
∂
+
ρρ
 
• Balanço de massa na direção de Ox: 
dzdydx
x
u
..
)(
∂
∂
−
ρ
 
 
Na direção de Oz: 
 
21 
 
• Massa que entra no volume elementar através da face do 
paralelepípedo perpendicular ao eixo Oz, na unidade de tempo: 
dydx..ρω
 
• Massa que sai do volume elementar através da face do 
paralelepípedo perpendicular ao eixo Oz, na unidade de tempo: 
dydxdz
z
.
)(






∂
∂
+
ρωρω
 
• Balanço de massa na direção de Oz: 
dzdydx
z
..
)(
∂
∂
−
ρω
 
 
 Considerando que a equação da conservação da massa afirma que a 
massa que entra, na unidade de tempo, menos a massa que sai, na unidade de 
tempo, é igual a taxa de variação da massa com o tempo no interior do 
volume, tem-se: 
dxdydz
tz
dxdywdz
y
dxdzvdy
x
dydzudx
∂
∂
=
∂
∂
−
∂
∂
−
∂
∂− ρρρρ )()()(
 
Dividindo-se a equação acima, membro a membro, por dx.dy.dz, tem-se: 
tz
w
y
v
x
u
∂
∂
−=
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂ ρρρρ )()()(
 
 A equação acima é a forma diferencial da equação da conservação da 
massa para o escoamento, quando se considera um volume elementar de 
fluido de massa específica ρ. 
 
 Na forma vetorial esta equação pode ser escrita como: 
t
Vdiv
∂
∂
−=
ρρ )(
r
 
 
Observações: 
1. Escoamento permanente: 0=∂
∂
t
ρ
� 0
)()()(
=
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
z
w
y
v
x
u ρρρ
. 
2. Escoamento incompressível (ρ constante): 0=∂
∂
t
ρ
� 
0)()()( =
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
z
w
y
v
x
u
. 
 
Em termos finitos, quando o escoamento se dá ao longo de um tubo de 
corrente, é possível escrever a equação da conservação da massa numa forma 
mais intuitiva. 
 
22 
 
 
Para as áreas elementares que formam um tubo de corrente dA1 e dA2, pode-se 
escrever: 
1111 dAVmd ρ=& e 2222 dAVmd ρ=& 
 
Como a equação da continuidade afirma que 21 mdmd && = tem-se: 
222111 dAVdAV ρρ = 
 
Integrando para as áreas A1 e A2, teremos: 
∫∫ =
21
222111 AA
dAVdAV ρρ
 
Como a massa específica não varia em cada uma das áreas, tem-se: 
∫∫ =
21
222111 AA
dAVdAV ρρ
 
Em termos do escoamento médio, em cada seção transversal ao escoamento, 
tem-se: 
222111 AVAV ρρ = 
 
 Para o escoamento incompressível a massa específica não varia nem em 
cada seção, nem de uma seção para outra. Logo a equação da continuidade 
para o escoamento de um fluido incompressível se torna: 
QCAVAV te === 2211 
 
Essa equação mostra que para o escoamento incompressível, a vazão em 
volume é constante ao longo do escoamento, embora a velocidade possa 
variar de uma seção para outra. Esse resultado é importante, pois permite 
 
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concluir que se o escoamento for incompressível, quando se aumentar a seção 
do escoamento, a velocidade terá que diminuir e vice-versa. 
1
2
1
2 VA
AV =
 
 
Portanto, quando a área aumentar (A2 > A1), a equação acima permite concluir 
que V2 < V1. 
 
 
 
EXERCÍCIOS DE ALICAÇÃO 
 
1. Em uma instalação de bombeamento verificou-se que a vazão deveria ser 
de 450 m3/h. Se a velocidade econômica na linha for de 1,05 m/s, qual 
deveria ser o diâmetro a ser utilizado? Lembre-se que os diâmetros 
comerciais existentes no mercado, na faixa considerada, são 350 mm, 400 
mm e 450 mm. 
 
SOLUÇÃO 
 
Q =A.V, sendo A = pi.D2/4. 
 
A = pi.D2/4 = Q/V. 
 
D2 =4.Q/V/pi. 
 
D2 = 4*450/3600/1,05/3,142 = 0,1558 
 
D = 0,389 m ou D =389 mm. 
 
Assim,o diâmetro comercial de 400 mm deverá ser o escolhido. 
 
 
2. Em uma edifício de 12 pavimentos a vazão máxima devida ao uso de uma 
coluna de distribuição é 7,5 l/s. Se a coluna tiver um diâmetro de 60 mm, 
qual será a velocidade do escoamento da água? 
 
SOLUÇÃO 
 
Q =A.V, sendo A = pi.D2/4. 
 
V =Q / A = 4.Q/(pi.D2). 
 
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V =4*0,0075/(3,142*0,0602) 
 
V= 2,65 m/s 
 
Observação: A ABNT recomenda 2,5m/s para colunas de 75 mm. 
 
 
 
4. EQUAÇÃO DE ESTADO: 
 
Fluido homogêneo e incompressível: tec=ρ 
Fluido homogêneo e compressível: ρ
ρ
d
dp
V
dV
dpE =−=
 
 gás ideal: RTp ρ= com R = R0/M